6.3.2二项式系数的性质 教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

本文围绕《二项式系数的性质》展开，在学生已掌握计数原理等知识基础上，探究二项式系数性质，为后续概率及高等数学学习奠基。教学中，通过观察杨辉三角、从函数角度分析等环节，培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养。 本设计创新点在于多种学习策略结合，如指导、发现、合作及探究式学习。从学生层面看，提升分析总结能力；从教师层面看，提供清晰授课思路；从课堂效果看，增强互动，有效突破教学重难点。

《二项式系数的性质》教学设计 1、 教材分析 1. 课标分析 （1） 内容要求 本节课选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书》选择性必修第三册中的第六章第三节第2课时的内容，本节是在学习了二项式定理的基础上，探究二项式系数的性质。由于二项式系数组成的数列就 是一个离散型函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识前后联系，使学 生运用利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想进行思考。 研究二项式系数这组特定的性质，对巩固二项式定理，建立知识间的联系，进一步认识组合数、 进行组合数的计算和变形都有重要作用，对后续学习微分方程也具有重要地位。知识层面，从宏观上看，初中所学的多项式相乘为本节课提供支撑，而本节内容源于解决高次幂开方的问题，是引进多项式的微分学的重要起点，本节课又为大学高等数学的学习奠定基础，起到承上启下的作用。从微观上看，二项式系数的性质安排在计数原理、排列组合知识之后，随机变量及其分布列之前，能让学生看到二项式定理的“联系性”，它既是计数原理和组合知识的应用，也是解决有关概率问题的基础。教学中只有充分把控教学设计要点，科学设计教学各个环节，才能让学生通过完整教学过程掌握方法，才能让学生不断提升思考问题解决问题的能力，真正发挥教学的价值和作用。 （2） 学业要求 在本节课之前学生已经掌握了计数原理和排列组合的知识，少部分学生还知道杨辉三角，都为本节课做了铺垫。在思维维度上，学生在数学符号化、公理化、抽象化等逻辑推理方面有一定基础。心理维度上，可以在教师的指导下进行合作探究，但学生对数学的严谨性把握不好，研究问题的方法和能力有待提高。学生可以熟练归纳总结相关的数学概念。能用系统的眼光看待以前已经接触的知识，通过本节课的探究确定古典概型的定义及计算公式，所以本节课对学生构建数学模型能力和方法有所提升。 （3） 教学提示 依据新教材和新大纲的要求，初中所学的多项式相乘为本节课提供支撑，而二项式系数的性质源于解决高次幂开方的问题，是引进多项式的微分学的重要起点，本节课又为大学高等数学的学习奠定基础，起到承上启下的作用。 2. 内容分析 （1）内容的本质 是为解决二项式排列组合等问题提供理论基础。 （2）知识的上下位关系 安排在计数原理、排列组合知识之后，随机变量及其分布列之前，能让学生看到二项式定理的“联系性”，它既是计数原理和组合知识的应用，也是解决有关概率问题的基础。 （3）教学思想方法 该部分知识能利用二项式定理，由一般到特殊解决具体问题，蕴含着“特殊到一般”和“一般到特殊”的思想；该部分知识由特殊到一般概括出二项式定理，并能利用二项式定理，由一般到特殊解决具体问题，蕴含着“特殊到一般”和“一般到特殊”的思想：在归纳二项式系数的和的过程中，从x，y=1到x=1，y=-1，蕴含着“类比”的思想。同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用。使“方法“与〝思想"珠联璧合，将创新思维和创新精神寓于教学之中，教学才能卓有成效。 （4）内容与核心素养的关联 数学抽象：二项式系数的性质 逻辑推理：运用函数的观点讨论二项式系数的单调性 数学运算：运用二项式性质解决问题 几何直观：运用函数图像讨论二项式系数的性质 3. 学情分析 1.认知基础：掌握二项式系数的有关性质 2.认知困难：理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质 2、 教学目标 通过对的展开式的挖掘，能找出并记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题. 3、 教学重难点 1.教学重点：掌握二项式系数的有关性质 2.教学难点：熟练利用二项式系数的有关性质并应用性质解决简单问题。 4、 教学策略 1. 指导教学，教师向学生解释所选定学习策略的具体步骤和条件，在具体应用中不断给以提示. 2. 发现学习，以学生为主体，学生能在学习过程中自己发现问题，探索问题。 3. 合作学习，能力各异的学生组成小组进行探究学习，集广思议，互相启发。 探究式学习，遵循“自上而下”的学习原理，先让学生在课堂上进行探究和讨论，再引导他们用实际的情景进行训练。该部分知识由特殊到一般，能利用二项式定理，由一般到特殊解决具体问题，蕴含着“特殊到一般”和“一般到特殊”的思想。 5、 教学过程 环节一： 温故知新，引入课题 1.二项式定理: 二项式系数:_________________________________; 通项:_______________________________________; 2.写一写:把(n=1，2，3，4，5，6)展开式的二项式系数填入下面的表格 3.为了方便寻找规律，可将上表改写成如下形式: 【杨辉三角】 因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们称它为杨辉三角。杨辉，我国南宋年数学家，在编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，其实在我国古代，杨辉三角、勾股定理、圆周率等等数学成就是值得我们中华名族骄傲和自豪的。 【问题】大家观察杨辉三角能不能发现一些规律? 预设1：同一行中,与两端1等距离的两个二项式系数相等. 预设2：对于给定的n来说,其二项式系数满足中间大、两边小的特点; 利用二项式系数的对称性可知,二项式系数CA先逐渐变大,再逐渐变小. 活动意图:通过问题引导，思考问题，理解内涵。提高学生的分析问题、总结问题的能力，通过回顾二项式 定理，从数学知识内部提出问题，引导学生观察、发现二项式系数的性质。发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。 环节二：寻找规律，新知探究 【问题】对于展开式的二项式系数,我们能否从函数的角度来分析它们呢?那么函数的定义域和值域又是什么呢?（独立思考） 预设1：从函数角度看,可看成是以r为自变量的函数f(r) 预设2：其定义域是(0,1,2n},值域是(,,…,} 【问题】当n=6,你能画出函数f(r)=(r∈{0,1,2,3,4,5,6})的图像吗?（小组合作） 【问题】分别画出当n=7,8,9时,函数f(r)=的图像,比较它们的异同,你发现了什么规律?（小组合作） 活动意图:学生独立思考后再以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。培养学生合作交流问题的能力。提高学生的分析问题、总结问题的能力。 预设：（1）对称性（2）增减性（3）最大值 【问题】在的二项展开式中,如果令a=b=1,你能得到哪些等式? (a+b)”的二项展开式中,如果令α=1,b=-1,你能得到哪些等式? 预设：学生通过计算后寻找规律发现(a+b)"的二项展开式的奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,并且都等于 活动意图:让学生亲身经历了从特殊到一般，获得二项式性质的过程。发展学生逻辑推理，直观想象、数学 抽象和数学运算的核心素养。 环节三：初出茅庐，小试牛刀 【例1】已知的展开式所有的二项式系数之和为1024. (1)求展开式中含x°的项;(2)求展开式中二项式系数最大的项. 【例2】的的展开式中,系数绝对值最大的项是( ) A.第4项B.第4、5项C.第5项D.第3、4项 环节四：总结归纳，提升自我 活动意图：通过总结知识，提高解决问题的能力，感悟蕴含的数学思想，增强学生应用意识。 作业设计 A层：习题6.3第4，5题 B层：习题6.3第9题 活动意图：分层布置作业，避免繁难偏旧的现象能过做到因材施教，学生根据自己的实际情况作答。不仅锻炼学生的思考能力，而且为下一节课的内容作了铺垫。 6、 板书设计 学科网（北京）股份有限公司 $$