精品解析：北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高二下学期数学统练三

人大附中高二下学期数学统练三 2026年5月19号 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，正确. 2. 样本数据4，16，5，27，6，30，11，21的第40百分位数为（ ） A. B. 11 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先从小到大把一组数据排序，再根据第百分位数的位置计算方法运算即可. 【详解】原数据按从小到大顺序排序为； 由第百分位数的位置计算公式为. 样本容量，得. 根据百分位数定义，当位置不是整数时，向上取整得到的数即为对应百分位数的位置. 因为不是整数，向上取整得，即取排序后第项，排序后第项数据为. 因此该组数据的第百分位数为. 3. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】根据图像得，点，切线斜率为，，则. 4. 一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得的平均数为，故，故AB错误； 又 ，而不全相等，故， 所以，故C正确，D错误. 5. 已知事件与相互独立，且，，以下四个命题中正确的个数是（ ） ①；②互斥；③；④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对于独立事件与，，判断与是否互斥，只需判断是否为，由条件概率公式可得，. 【详解】因为事件与相互独立，且，， ，①正确； 若互斥，则，不符，②错误； ， ，③正确； ，④正确. 6. 记为等比数列的前项和，设甲：为等差数列，乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差性质、等比数列的性质，结合充分条件、必要条件的概念求解判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，首项为. 甲：，，. 因为为等差数列，所以，即， 整理得，即，所以. 乙：，，. 因为为等差数列，所以，即， 整理得，即，解得或. 所以若甲成立，乙一定成立，故甲是乙的充分条件；若乙成立，甲不一定成立，故甲不是乙的必要条件； 综上，甲是乙的充分不必要条件. 7. 某4位同学排成一排准备照相时，又来了3位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ） A. 150 B. 160 C. 180 D. 210 【答案】D 【解析】 【详解】7位同学排成一排准备照相时，共有种排法，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 8. 二维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件结合古典概型列出不等式，通过指数运算求解不等式，进而得到的最小值. 【详解】已知破译器每秒能随机生成个不重复的二维码， 一分钟能生成的二维码总数为， 一个二维码共有种情况， 要确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于， 则，即， 即， 因为，且为整数， 所以， 解得，即， 所以的最小值为. 9. 2025年这个寒假，国产AI助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴．DeepSeek在训练模型时会用到对数似然函数来优化参数.假设某模型的对数似然函数为，其中是模型参数，是输入特征，为了最大化，我们需要求解以下哪个方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过求对数似然函数的导数，根据函数取得极值的条件来确定最大化时需要求解的方程. 【详解】已知，故.  函数在极值点处的导数为，为了最大化，需要找到的极值点，即令，可得： 将等式两边同时乘以，得到. 此即，即，选项A正确. 故选：A. 10. 设随机变量的分布列为，且，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列前7项之和为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用累积概率与分布列关系推导出的递推公式，进而求出通项，再结合分布列概率总和为1确定首项，最后逐个分析选项即可. 【详解】因为，， 则当时，， 代入得，化简得; 由递推式：，即; 由分布列概率总和为1可得：，即. 选项A，因为，所以，，所以数列不是等比数列，A错误； 选项B，，B错误； 选项C，因为，所以前7项和为：，C错误； 选项D，期望，D正确. 二、填空题（共6道小题，每题5分，共30分.请把正确答案填在答题纸上） 11. 已知函数，则曲线在处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，先求出曲线在处的点的坐标及导函数值，再根据点斜式即可得到切线方程. 【详解】因为，所以，， 所以， 所以曲线在处的切线方程为，即. 12. 的展开式的常数项为_________，展开式的系数和为_______. 【答案】 ①. 135 ②. 4096 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式可求展开式中的常数项， 根据赋值法可求出所有项系数和. 【详解】二项展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中常数项为； 令，由知，所有项系数和为4096. 13. 已知随机变量X，Y满足，且，，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式可得，进而可得，结合方差的性质运算求解即可. 【详解】因为，则， 即，且，解得， 则，可得， 又因为，所以 ． 14. 不全为0的实数对满足关系式，则这样的实数对共有_________组. 【答案】 【解析】 【分析】由，可知点与点到直线的距离都为，以，为圆心，半径分别作圆，判断两圆公切线个数即可求解. 【详解】由，得， 根据点到直线的距离公式，可知点与点到直线的距离都为， 分别以，为圆心，半径作圆、圆， ，，所以两圆外离， 根据圆的位置关系，外离的两圆有条公切线 结合图形，可知这条公切线对应的直线都满足点、到直线的距离为，且每条公切线对应一组实数对， 因此，满足条件的实数对共有对. 15. 已知袋子中装有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球.小明从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球.小明第二次摸到白球的概率为________；当小明第二次摸到白球时，第一次摸到黑球的概率为_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用全概率公式以及贝叶斯公式即可解答. 【详解】设为“第一次摸到黑球”，为“第一次摸到白球”，为“第二次摸到白球”， 则, 若第一次摸到黑球（放回），第二次摸到白球的概率为， 若第一次摸到白球（不放回），第二次摸到白球的概率为， 由全概率公式，可得. 小明第二次摸到白球时，第一次摸到黑球的概率为 . 16. 已知函数，给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根； ③已知是曲线上任意一点，，则； ④设为曲线上一点，为曲线上一点.若，则. 其中所有正确结论的序号是_________. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对与分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得. 【详解】对①：令，即有，即，故函数不是奇函数，故①错误； 对②：，即， 当时，有，故是该方程的一个根； 当，时，由，故，结合定义域可得， 有，即， 令，，有或（负值舍去），则， 故必有一个大于的正根，即必有一个大于的正根； 当，时，由，故，结合定义域有， 有，即， 令，， 有或（正值舍去）， 令，即，则， 即，故在定义域内亦必有一根， 综上所述，，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根，故②正确； 对③：令，则有，， 令，，， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 又，，故恒成立，即，故，故③正确； 对④：当时，由，，故， 此时，，则， 当时，由与关于轴对称，不妨设，则有或， 当时，由，有，故成立； 当时，即有， 由③知，点与点在圆上或圆外， 设点与点在圆上且位于x轴两侧，则, 故； 综上所述，恒成立，故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当、都小于零时，的情况. 三、解答题：（共2道小题，共30分.请把正确答案填在答题纸上） 17. 激光的单光子通讯过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息． 某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2，3等可能地出现，原始信息息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系． 原始信息的单光子的偏振状态 0 1 2 3 解密信息的单光子的偏振状态 0，1，2 0，1，3 1，2，3 0，2，3 已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现． （1）若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率； （2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为，求的分布列和数学期望； （3）已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为，有两种偏振状态的可能性为，有三种偏振状态的可能性为，试比较的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）列出基本事件，再求解概率即可. （2）利用分布列的定义求解分布列，再求解数学期望即可. （3）依据贝叶斯公式得出结论即可. 【小问1详解】 设“解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振相同”独立作为事件，易知共有3个基本事件，则． 【小问2详解】 的可能取值为. ，， ，， 所以，的分布列如下： 0 1 2 3 P ． 【小问3详解】 结论： 证明：由窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1可得原始信息只能包含0，1，2， 设原始信息的单光子只有一种偏振状态为事件A，有两种偏振状态为事件B，有三种偏振状态为事件C，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1为事件M, 则， , 易知，，， 故得证. 18. 已知函数. （1）若在处的切线与轴平行，求； （2）当时，求的单调区间； （3）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）的单调递增区间为 ，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，，代入求解即可. （2）代入,对求导，讨论单调性即可. （3）有两个零点意味着与的函数在，有两个交点，研究本身的单调性与最值，即可求解出的范围. 【小问1详解】 对求导，得， 因为在处的切线与轴平行，则，即， 解得. 【小问2详解】 当时， ， 而时， ，令，解得或(舍去)， 当时， ，，单调递增， 当时， ，，单调递减， 综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 若有两个零点，即方程 有两个解， 因为，则方程等价于有两个解， 令，即与图象有两个交点， 对求导得，，令 ， ， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， ，当时， ，当 时，， 因此，当时，，故，单调递增， 当 时，，故，单调递减，所以在处取得最大值， ，当时， ，故，当 时，增长远慢于，故, 因此，要使 与有两个交点，则应有，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中高二下学期数学统练三 2026年5月19号 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据4，16，5，27，6，30，11，21的第40百分位数为（ ） A. B. 11 C. D. 3. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 3 4. 一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知事件与相互独立，且，，以下四个命题中正确的个数是（ ） ①；②互斥；③；④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 记为等比数列的前项和，设甲：为等差数列，乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7. 某4位同学排成一排准备照相时，又来了3位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ） A. 150 B. 160 C. 180 D. 210 8. 二维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 2025年这个寒假，国产AI助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴．DeepSeek在训练模型时会用到对数似然函数来优化参数.假设某模型的对数似然函数为，其中是模型参数，是输入特征，为了最大化，我们需要求解以下哪个方程（ ） A. B. C. D. 10. 设随机变量的分布列为，且，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列前7项之和为 D. 二、填空题（共6道小题，每题5分，共30分.请把正确答案填在答题纸上） 11. 已知函数，则曲线在处的切线方程为__________． 12. 的展开式的常数项为_________，展开式的系数和为_______. 13. 已知随机变量X，Y满足，且，，则______． 14. 不全为0的实数对满足关系式，则这样的实数对共有_________组. 15. 已知袋子中装有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球.小明从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球.小明第二次摸到白球的概率为________；当小明第二次摸到白球时，第一次摸到黑球的概率为_________. 16. 已知函数，给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根； ③已知是曲线上任意一点，，则； ④设为曲线上一点，为曲线上一点.若，则. 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题：（共2道小题，共30分.请把正确答案填在答题纸上） 17. 激光的单光子通讯过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息． 某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2，3等可能地出现，原始信息息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系． 原始信息的单光子的偏振状态 0 1 2 3 解密信息的单光子的偏振状态 0，1，2 0，1，3 1，2，3 0，2，3 已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现． （1）若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率； （2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为，求的分布列和数学期望； （3）已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为，有两种偏振状态的可能性为，有三种偏振状态的可能性为，试比较的大小关系．（结论不要求证明） 18. 已知函数. （1）若在处的切线与轴平行，求； （2）当时，求的单调区间； （3）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $