北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高二下学期数学统练三

人大附中高二下学期数学统练三2026年5月19号 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．样本数据4，16，5，27，6，30，11，21的第40百分位数为（ ） A． B．11 C． D．21 3．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ） A． B． C． D． 4．一组不全相等的数据，，，，的平均数为，方差为：设新数据，，，，，的平均数为，方差为，则（ ） A． B． C． D． 5．已知事件与相互独立，且，，以下四个命题中正确的个数是（ ） ①； ②A，B互斥； ③ ④； A．1 B．2 C．3 D．4 6．记为等比数列的前项和，设甲：，，为等差数列，乙：，，为等差数列，则甲是乙的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．某4位同学排成一排准备照相时，又来了3位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ） A．150 B．160 C．180 D．210 8．二维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形．某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．2025年这个寒假，深度求索的国产AI助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴．DeepSeek在训练模型时会用到对数似然函数来优化参数。假设某模型的对数似然函数为，其中是模型参数，是输入特征，为了最大化，我们需要求解以下哪个方程（ ） A． B． C． D． 10．设随机变量的分布列为，，2，…，8且，则（ ） A．数列是等比数列 B． C．数列前7项之和为 D． 二、填空题（共6道小题，每题5分，共30分。请把正确答案填在答题纸上） 11．已知函数，则曲线在处的切线方程为_____ 12．的展开式的常数项为_________，展开式的系数和为_______ 13．已知随机变量，满足，且，，则_______． 14．不全为0的实数对满足关系式，则这样的实数对共有_________组． 15．已知袋子中装有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球．小明从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球．小明第二次摸到白球的概率为________；当小明第二次摸到白球时，第一次摸到黑球的概率为_________． 16．已知函数，给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②，且，关于的方程恰有两个不相等的实数根； ③已知是曲线上任意一点，，则； ④设为曲线上一点，为曲线上一点．若，则． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题：（共2道小题，共30分。请把正确答案填在答题纸上） 17．（本小题15分）激光的单光子通讯过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者；由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息． 某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2，3等可能地出现，原始信息息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系． 原始信息的单光子的偏振状态 0 1 2 3 解密信息的单光子的偏振状态 0，1，2 0，1，3 1，2，3 0，2，3 已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现． （1）若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率； （2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为，求的分布列和数学期望； （3）已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为，有两种偏振状态的可能性为，有三种偏振状态的可能性为，试比较，，的大小关系．（结论不要求证明） 18．（本小题15分）已知函数． （1）若在处的切线与轴平行，求； （2）当时，求的单调区间； （3）若有两个零点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $