精品解析：2026年辽宁省辽阳市九年级中考第一次模考数学试卷

2026年初中学业水平考试九年级考试科目模拟考试 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 左图是一个正三棱柱，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 2. 据中汽协官方数据显示，2025年我国全年汽车出口超700万辆，其中新能源汽车出口达261.5万辆，中国汽车完成“换道超车”，从汽车进口大国变成出口第一大国．将数据261.5万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四种化学仪器的示意图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O．此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，以为直径作半圆O．C是半圆上一点，以点A为圆心，的长为半径作弧交射线于点D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线l与正五边形的边分别交于点M，N，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中正确的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而增大 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 9. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：“今有客自洛至燕，六日可达；使自燕至洛，九日可达，今使先发三日，客乃发洛，问几何日相逢？”其大意是：有客人从洛阳出发去燕地，6日可到；使者从燕地出发去洛阳，9日可到．现在使者先出发3日，客人才从洛阳出发，问多久后两人相遇？设使者出发x日，两人相遇，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中．．，①以点A为圆心任意长为半径作弧，分别交和于点D和E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G；③分别以点C和点G为圆心．大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交于点P和点Q．若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：______． 12. 一个不透明的袋子中装有3个红球和n个白球，它们除颜色外都相同．若从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，则n的值为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，四边形是正方形，将正方形沿x轴正方向平移1个单位长度得到正方形，点O与点D是对应点，点B与点G是对应点，若反比例函数经过点G和边的三等分点，则k值为______． 14. 如图，在中．和相交于点．，，分别是，，的中点．连接，，．若，．的周长为24．则的面积为______． 15. 如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 随着社区养老服务设施的升级，某街道计划采购一批智能呼叫器和应急急救箱，街道为了精准预算，工作人员收集了两款设备的采购报价信息，如表： 智能呼叫器数量（单位：个） 应急急救箱数量（单位：个） 总报价（单位：元） 2 3 2700 4 5 4900 （1）求智能呼叫器和应急急救箱的单价各是多少元？ （2）若街道计划采购这两款设备共60个，且采购总费用不超过32000元，则最多采购智能呼叫器多少个？ 18. 2026年是人工智能（AI）发展的重要机遇期，为深化“人工智能＋”的应用实践，某中学举办了AI技术比赛．为了解比赛的成效，教研部门随机抽取了部分学生的成绩（成绩均为整数）进行整理、描述和分析，并将成绩按百分制划分为A，B，C，D四个等级，绘制了如下统计图表． 抽取成绩的扇形统计图 抽取成绩的统计表 等级 成绩分 人数/名 A 12 B m C 13 D 10 （1）求m的值； （2）若抽取的A等级学生的成绩（单位：分）是：91，92，93，94，95，96，96，97，97，97，98，100，求A等级学生成绩的众数和中位数； （3）若测试成绩大于80分为优秀，估计该校1200名学生中成绩优秀的人数是多少？ 19. 2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． （1）请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 20. 如图1，为某两足人形机器人行走时的实拍图，图2为该时刻下半身对应的几何示意图（所有点均在同一平面内），行走时，机器人前脚跟、后脚尖同时着地，着地点分别为W，N，为后脚跟离地的最大距离，点A为髋关节，大腿与小腿在一条直线上，与地面垂直．经测量大腿长均为，小腿长均为，，，，． （1）行走时的身高与直立时的身高相差多少？ （2）行走时每步的步长是多少？ （结果精确到，参考数据：，，，） 21. 如图，内接于，是的直径，平分．交于点F，交于点E，过点F作的切线，交的延长线于点M，连接． （1）求证：∥； （2）若，，求的半径． 22. 如图1．在菱形中，，点是边上一点，作射线．并将射线绕点顺时针旋转与边的延长线交于点，与边相交于点． （1）求证：；小明的思路是：如图2．只要过点作交于点，然后证明全等就可以．请按小明的思路写出完整证明过程． （2）连，如图3所示．求证：； （3）连接，，，如图4所示，若，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B．与x轴正半轴交于点C，二次函数的图象经过点A和点C． （1）求点A，B的坐标及的解析式． （2）直线与交于点D，与交于点E．与x轴交于点F，若，求此时t的值． （3）定义新函数：，若直线与新函数图象有三个交点，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试九年级考试科目模拟考试 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 左图是一个正三棱柱，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，主视图如下， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的主视图．解题的关键在于明确从正面看到的是主视图，看到的轮廓线用实线，看不到的轮廓线用虚线． 2. 据中汽协官方数据显示，2025年我国全年汽车出口超700万辆，其中新能源汽车出口达261.5万辆，中国汽车完成“换道超车”，从汽车进口大国变成出口第一大国．将数据261.5万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：261.5万. 3. 下列四种化学仪器的示意图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意； B. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； C. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方的计算规则逐一判断选项． 【详解】解：A.，故原计算错误，不符合题意； B.，故原计算正确，符合题意； C.，故原计算错误，不符合题意； D.，故原计算错误，不符合题意． 5. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O．此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求的度数，再利用平行线的性质得，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． 6. 如图，以为直径作半圆O．C是半圆上一点，以点A为圆心，的长为半径作弧交射线于点D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理得出，结合图形得出阴影部分的面积为即可求解 【详解】解：连接，如图所示： ∵以为直径作半圆O， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 7. 如图，直线l与正五边形的边分别交于点M，N，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和计算出，再根据四边形的内角和是360度求出，结合对顶角相等即可得到答案. 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 8. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中正确的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而增大 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法错误，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法错误，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，不符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，符合题意 9. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：“今有客自洛至燕，六日可达；使自燕至洛，九日可达，今使先发三日，客乃发洛，问几何日相逢？”其大意是：有客人从洛阳出发去燕地，6日可到；使者从燕地出发去洛阳，9日可到．现在使者先出发3日，客人才从洛阳出发，问多久后两人相遇？设使者出发x日，两人相遇，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将总路程看作单位1，根据两人路程和等于总路程列方程，先确定两人的速度和行走时间，再表示出各自路程即可得到方程. 【详解】解：把总路程看作单位1， ∵客人从洛到燕需6日到达，使者从燕到洛需9日到达， ∴客人的速度为，使者的速度为， ∵设使者出发x日两人相遇，使者先出发3日，客人才出发， ∴客人行走的时间为日， ∴使者走的路程为，客人走的路程为； ∵两人路程和等于总路程1， ∴可列方程为. 10. 如图，在中．．，①以点A为圆心任意长为半径作弧，分别交和于点D和E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G；③分别以点C和点G为圆心．大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交于点P和点Q．若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据题意得平分垂直平分，确定，，得出，，，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 根据题意得平分垂直平分， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：，即． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：______． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数为非负数，列出不等式求解得到的取值范围，在取值范围内任取一个值即可. 【详解】解：由题意，，解得， 故可取. 12. 一个不透明的袋子中装有3个红球和n个白球，它们除颜色外都相同．若从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，则n的值为______． 【答案】9 【解析】 【详解】解：根据题意，袋子中球的总个数为，其中红球有3个， ∵摸到红球的概率为， ∴， 解得. 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，四边形是正方形，将正方形沿x轴正方向平移1个单位长度得到正方形，点O与点D是对应点，点B与点G是对应点，若反比例函数经过点G和边的三等分点，则k值为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】设正方形的边长为，根据题意得，，，边的三等分点有两个，，据此即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， 由于正方形沿x轴正方向平移1个单位长度得到正方形 则，，， 如图， 此时，反比例函数过点与， 代入得，解得， 如图， 此时，反比例函数过点与， 代入得，解得， 综上所述，k值为2或． 14. 如图，在中．和相交于点．，，分别是，，的中点．连接，，．若，．的周长为24．则的面积为______． 【答案】144 【解析】 【分析】连接，由平行四边形的性质推出，，，，，由等腰三角形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，由三角形中位线定理推出，，得到，推出，得到，由，得到，判定四边形是平行四边形，推出，由勾股定理求出，得到，因此的面积面积的2倍． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形是平行四边形， ，，，，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 的周长， ， ， 由勾股定理得到：， ，， ， ， 的面积， 的面积面积的2倍． 15. 如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，当，，在同一条直线上时，的值最小，求得的长即可． 【详解】解：取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，则，， ， 当，，在同一条直线上时，的值最小， 点为的中点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ，， ， ， ， ， 点为的中点，， ， ， ， ． 的最小值为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先进行负整数指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值化简，最后合并即可得出结果； （）先对括号内进行异分母加减法运算，再进行分式的除法运算，即得结果． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解： ． 17. 随着社区养老服务设施的升级，某街道计划采购一批智能呼叫器和应急急救箱，街道为了精准预算，工作人员收集了两款设备的采购报价信息，如表： 智能呼叫器数量（单位：个） 应急急救箱数量（单位：个） 总报价（单位：元） 2 3 2700 4 5 4900 （1）求智能呼叫器和应急急救箱的单价各是多少元？ （2）若街道计划采购这两款设备共60个，且采购总费用不超过32000元，则最多采购智能呼叫器多少个？ 【答案】（1）智能呼叫器单价为600元，应急急救箱单价为500元； （2）最多采购智能呼叫器20个． 【解析】 【分析】（1）设智能呼叫器单价为x元，应急急救箱单价为y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设采购智能呼叫器m个，则采购应急急救箱个，根据题意列出不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设智能呼叫器单价为x元，应急急救箱单价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：智能呼叫器单价为600元，应急急救箱单价为500元． 【小问2详解】 设采购智能呼叫器m个，则采购应急急救箱个， ， 解得， ∴m的最大值为20， 答：最多采购智能呼叫器20个． 18. 2026年是人工智能（AI）发展的重要机遇期，为深化“人工智能＋”的应用实践，某中学举办了AI技术比赛．为了解比赛的成效，教研部门随机抽取了部分学生的成绩（成绩均为整数）进行整理、描述和分析，并将成绩按百分制划分为A，B，C，D四个等级，绘制了如下统计图表． 抽取成绩的扇形统计图 抽取成绩的统计表 等级 成绩分 人数/名 A 12 B m C 13 D 10 （1）求m的值； （2）若抽取的A等级学生的成绩（单位：分）是：91，92，93，94，95，96，96，97，97，97，98，100，求A等级学生成绩的众数和中位数； （3）若测试成绩大于80分为优秀，估计该校1200名学生中成绩优秀的人数是多少？ 【答案】（1）m的值为15； （2）A等级学生成绩的众数为97分，中位数为96分； （3）该校1200名学生中成绩优秀的人数约为648名． 【解析】 【分析】（1）因为已知A等级人数和A等级占总抽取人数的百分比，所以先用A等级人数除以对应占比得到抽取的总人数；再用总人数乘以B等级的占比即可得到m的值． （2）求众数时，找出A等级成绩中出现次数最多的数值即可；求中位数时，先将A等级的12个成绩按从小到大排序，取第6和第7个成绩的平均值即可． （3）因为成绩大于80分对应A和B两个等级，所以先计算A、B等级的占比之和，再用该校总人数乘以该占比，即可估计出成绩优秀的总人数． 【小问1详解】 解：所抽取的学生共有：（名）， （名）． 答：m的值为15． 【小问2详解】 解：∵97出现次数最多， ∴众数为97分． A等级学生一共12名，排序后处于最中间的两个数据为96，96， ∴中位数为（分）． 答：A等级学生成绩的众数为97分，中位数为96分． 【小问3详解】 解： （名）． 答：该校1200名学生中成绩优秀的人数约为648名． 19. 2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． （1）请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 【答案】（1）y与x的函数关系式为； （2）当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 【解析】 【分析】（1）根据题目给出销售量y与销售单价x的一次函数，且提供了两组对应数据，可设函数表达式为，代入数据解出k和b，从而得到函数关系式； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”，结合（1）中得到的销量表达式，列出总利润W关于x的二次函数，再利用二次函数的顶点式，求出利润最大值及对应的销售单价． 【小问1详解】 解：设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 把，；，代入得， ， 解得． ∴y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设销售这种吉祥物玩具的利润为W元，则 ∵，∴抛物线开口向下，W有最大值， ∴当时，W最大，W最大（元）． 答：当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 20. 如图1，为某两足人形机器人行走时的实拍图，图2为该时刻下半身对应的几何示意图（所有点均在同一平面内），行走时，机器人前脚跟、后脚尖同时着地，着地点分别为W，N，为后脚跟离地的最大距离，点A为髋关节，大腿与小腿在一条直线上，与地面垂直．经测量大腿长均为，小腿长均为，，，，． （1）行走时的身高与直立时的身高相差多少？ （2）行走时每步的步长是多少？ （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）行走时的身高与直立时的身高相差； （2）行走时每步的步长约是． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，然后解即可； （2）过C作于点P，过T作于点Q，则， ，根据图形得出，，再由矩形的判定和性质确定，然后结合解三角形即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：行走时的身高与直立时的身高相差． 【小问2详解】 如图，过C作于点P，过T作于点Q，则， ， 在中，，，， ∵， ∴． 在中，，，， ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 在中， ， ，，， ∴． 同理四边形是矩形， ∴． ∴． 答：行走时每步的步长MW约是． 21. 如图，内接于，是的直径，平分．交于点F，交于点E，过点F作的切线，交的延长线于点M，连接． （1）求证：∥； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆心角为直角可得，再由圆周角定理可求解的度数，结合切线定理即可证明； （2）先证明与相似，得到边长成比例，再结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的直径， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴． ∴． ∴∥； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得，． ∴．即的半径为． 22. 如图1．在菱形中，，点是边上一点，作射线．并将射线绕点顺时针旋转与边的延长线交于点，与边相交于点． （1）求证：；小明的思路是：如图2．只要过点作交于点，然后证明全等就可以．请按小明的思路写出完整证明过程． （2）连，如图3所示．求证：； （3）连接，，，如图4所示，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作平行交于点，利用菱形的性质和，证明和都是等边三角形，得到且，再由射线旋转得到，通过角的等量代换推出，最后用证明，从而证得； （2）由且，证明是等边三角形，再通过四边形内角和与邻补角的性质，推出，结合菱形性质得到，证明，得到，接着利用第一问的全等结论和等边三角形的性质，推出，将其代入比例式后整理，即可证得； （3）通过角的等量代换和，证明，结合第一问的全等结论得到，再根据且是等边三角形，得出是的中点即，代入相似比例式得到，然后设、，过作垂直的延长线于，设、相交于点，在中利用角所对直角边等于斜边的一半和勾股定理求出、的长度，再在中用勾股定理求出即的长度，在菱形中求出，在中利用角所对直角边等于斜边的一半和勾股定理求出的长度，进而得长，最后计算两者的比值即可得到结果． 【小问1详解】 证明：如图，过作交于点，设、相交于点， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∵ ， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴是等边三角形． ∵， ∵， ∴在四边形中，， ∵， ∴， 同理，为等边三角形， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， 如图，过作交于点， 由（1）知 ， ， ∵， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图，过作，交延长线于点，设、相交于点， ∵ ，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， 由（1）可得为等边三角形，且 ， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 设 ， 在中，，， ∴， ∴ ， 由勾股定理得，， ∴在中，， 由勾股定理得，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B．与x轴正半轴交于点C，二次函数的图象经过点A和点C． （1）求点A，B的坐标及的解析式． （2）直线与交于点D，与交于点E．与x轴交于点F，若，求此时t的值． （3）定义新函数：，若直线与新函数图象有三个交点，求m的取值范围． 【答案】（1），，； （2）t的值为或； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据题意分别求出，，，然后再由待定系数法确定函数解析式即可； （2）由题意，，，，确定， ，再由题意建立方程，分情况分析求解即可； （3）根据题意得出当时，，确定，然后根据题意取临界点即可求解． 【小问1详解】 解：令，解， 得，， ∴，． 令，得， ∴． 把，代入中， 得， 解得，． ∴． 【小问2详解】 解：由题意，，，． ∴， ∵由， ∴． ∴当时，化简得， 解得（舍去），． 当时，化简得， 解得（舍去），． 综上所述，t的值为或． 【小问3详解】 解：， 当时，， 解得：， ∵， ∴开口向上， ∴当时，， ∴由题意，得 直线与有三个交点，需分两种临界情况： 联立，即， 整理得：， 判别式：， 解得． 联立，即， 整理得：， 判别式：， 解得． ∴ 将代入中，得． 将代入中，得． ∴． ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $