第二十五章 平行四边形（必备知识+13题型+分层检测）（复习讲义）数学人教版五四制八年级下册

该初中数学平行四边形复习讲义以“概念-性质-判定-应用”为逻辑链条构建知识体系，通过框架图呈现多边形与特殊平行四边形的内在联系，用表格归纳矩形、菱形、正方形的判定方法，思维导图梳理中位线定理等核心知识点，突出多边形内角和公式推导、平行四边形判定等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，基础巩固通关测涵盖多边形计算、性质应用等基础题型，能力提升进阶练包含动点问题、综合证明等复杂题型。如题型四“平行四边形性质与判定综合”通过推理证明培养推理意识，题型十三“动点问题”结合几何直观分析动态过程，每个题型配例题与变式，助力不同层次学生掌握方法，支持教师实施精准分层教学。

第二十五章 平行四边形（复习讲义） 1. 了解多边形、正多边形及相关概念（内角、外角、对角线），体会多边形内角和、外角和公式的推导过程及其与三角形内角和的整体联系。 2. 能运用多边形内角和公式与外角和定理求多边形的边数或角度，能利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义和性质进行推理与计算。 3. 理解并利用平行四边形的五种判定方法（对边平行、对边相等、一组对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）解决几何证明问题。 4. 掌握三角形中位线定理及其应用，理解特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）之间的联系与区别，并能灵活运用它们的性质和判定解决问题。 知识点01 多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 知识点02 多边形的内角和、外角和 1.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 2.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 知识点03 平行四边形的概念及性质与判定 1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 知识点04 三角形的中位线定理 （1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） （2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，. 知识点05 矩形的概念及性质与判定 1.矩形的概念和性质 （1）有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 知识点06 菱形的概念及性质与判定 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 知识点07 正方形的概念及性质与判定 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 【题型一 多边形内角和、外角和问题】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）过某个多边形1个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是__________边形，它的内角和是__________． 【答案】 九 【分析】本题考查的是多边形的边数以及内角和；过多边形一个顶点的所有对角线将多边形分成个三角形，由此求出边数，再根据内角和公式计算内角和 【详解】解：设这个多边形的边数为，由题意得， 解得， 所以这个多边形是九边形． 内角和为． 故答案为：九，． 【变式1-1】（25-26八年级上·重庆·月考）一个多边形的每个内角都相等，且内角和是外角和的5倍，则这个多边形的每个内角为________． 【答案】 /度 【分析】本题考查了多边形的内角和，外角和，抓住内角，外角的关系列方程是解题的关键．设多边形的一个内角的度数是，则每个外角的度数为，根据内角和是外角和的5倍，可得每一个内角的度数是每一个外角度数的5倍，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设多边形的一个内角的度数是，则每个外角的度数为， 根据题意，得每一个内角的度数是每一个外角度数的5倍， 则， 解得， 则这个多边形的每个内角为． 故答案为：． 【变式1-2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【答案】/340度 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴； 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·河北邢台·月考）将三个相同的六边形螺母并排摆放在桌面上，从上面看到的图形如图1所示．正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，从上面看到的图形如图2所示，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则： （1）图1中螺母组成的图形的周长（图中深色部分总长度）为___________； （2）图2中通过题意，我们可得出，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查正六边形的特征，解题的关键是掌握正六边形的每个外角都是． （1）运用组成图形的边的数量和乘以边长解题即可； （2）先延长交直线于点，延长交于点，再根据垂直的定义和平行线的性质得出，利用正六边形的每个外角都是，得出，最后根据直角三角形中，两个锐角互余，即可解答． 【详解】解：（1）图1中螺母组成的图形的周长为：； （2）如图，延长交直线于点，延长交于点， ， ． ， ， ． 图形是正六边形， ， ． 【题型二 利用平行四边形的性质求解】 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形ABCD中，的平分线交于点，连接，若，，，则的长为______． 【答案】3 【分析】根据平行四边形的性质得到，由角平分线的性质得到，推出，利用三角形的内角和求出，从而求出，可得，由等边对等角推出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，可得，，再结合平行线的性质以及角平分线的定义可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴． 【变式2-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知的周长为，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是____________． 【答案】6 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据垂直平分线的性质可知的周长． 【详解】解：∵的周长为， ∴， 由题意可得：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长． 【变式2-3】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，对角线，相交于点，为上一点，连接．若，的周长比四边形的周长大3，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形周长的计算，熟练掌握平行四边形周长公式是解题的关键； 根据已知角度和边长得出AD的长，再根据周长的差列式子求得ED的长． 【详解】解：，， ． ， ． 四边形是平行四边形， ． 的周长比四边形的周长大3， ， ， ， ； 故答案为：． 【题型三 判断能否构成平行四边形与特殊四边形】 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：A、由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形； B、由两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形； C、，可能是等腰梯形，不能判定这个四边形是平行四边形； D、由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形． 【变式3-1】（25-26九年级上·四川成都·期末）要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定定理，核心要点是牢记“对角线相等的平行四边形是矩形”“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”这两个判定定理． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， ∵若，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得平行四边形是矩形； 而选项B中、选项C中、选项D中均是平行四边形本身具有的性质，无法通过这些条件判定其为矩形． 故选：A． 【变式3-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）在菱形中，相交于点O．增加下列条件能判定四边形是正方形的是（   ） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 结合菱形的性质和正方形的判定逐个进行分析推理． 【详解】解：在菱形中，，∴条件①无法判断其为正方形； 在菱形中，当时，∴四边形是正方形；∴条件②能判断其为正方形； 在菱形中，，∴条件③无法判断其为正方形； 在菱形中，当时，∴四边形是正方形；∴条件④能判断其为正方形； 故选：D． 【变式3-3】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中点四边形，由四边形为菱形可得，由三角形中位线定理得，故可得结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵点、、、分别为四边形各边中点， ∴， ∴， 故选项C正确，选项A，B，D不正确， 故选：C． 【题型四 平行四边形的性质与判定综合】 【例4】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，．求的长． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)2 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意得即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 【变式4-1】（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知，如图，的对角线，相交于点，过点，分别交，于点，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则的边上的高为________． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由平行四边形的性质得出，，由平行线的性质得出，由“”证明，由全等三角形的性质得出，证出四边形为平行四边形即可； （）过点作于点，于点，利用等腰三角形的性质求出，利用面积法求出即可. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点，于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的边上的高为， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2)当点D在边BC的延长线上时，；当点D在边BC的反向延长线上时， (3)DF的长为2或10 【分析】（1）要证明，先利用两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，得到；再结合等腰三角形的性质，推出，从而得到；最后通过线段和的关系，结合完成证明； （2）当点在延长线或反向延长线上时，仍先判定四边形为平行四边形，再结合等腰三角形性质证，通过线段的和差关系，分别推导的数量关系； （3）分三种位置情况，代入，结合（1）（2）的结论计算的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵，且， ∴． （2）解：当在延长线上时：； 当在反向延长线上时：． （3）解：情况1：在上由（1）知， 代入，得， 解得； 情况2：在延长线上由（2）知， 代入得（无解，舍去）； 情况3：在反向延长线上由（2）知， 代入得， 解得：． 综上所述，的长为或． 【变式4-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）【教材呈现】我们在教材中已经学习过对角线互相平分的四边形是平行四边形．我们可以用演绎推理证明这一结论． 已知：如图①，四边形的两条对角线与相交于点，并且，．求证：四边形是平行四边形． （1）请写出证明过程． 【知识应用】（2）如图②，在中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【拓展提升】（3）在（2）的条件下，若的面积为26，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）利用对角线互相平分的条件，证明三角形全等，得到两组对边平行，从而判定平行四边形； （2）利用平行四边形性质和中点条件，证明三角形全等，得到对角线互相平分，从而判定平行四边形； （3）利用平行四边形面积关系，结合等底等高的三角形面积相等，求出的面积． 【详解】解：（1）证明：在和中， ， ， ． 同理可得， 四边形是平行四边形． （2）证明：四边形是平行四边形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， 与互相平分， 四边形是平行四边形． （3）由（2）知，四边形是平行四边形， ． 四边形是平行四边形， ， ， 和等底同高， ， ． 【题型五 三角形的中位线求解】 【例5】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是的中位线，平分，交于点．已知，，则的长为_____________． 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理求出和的长度，同时得到与平行的关系，再结合角平分线的定义和平行线的性质推导出，利用等角对等边得出，最后通过线段的差运算计算出的长度． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． ∴． 【变式5-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________． 【答案】1 【分析】取的中点并连接，先借助平行四边形对角线互相平分的性质，结合三角形中位线定理确定为的中位线，求出的长度，再根据线段比例关系推出是的中点，结合为的中点，再次运用三角形中位线定理判定为的中位线，最终求出的长． 【详解】解：取的中点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点． ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∵，是的中点， ∴，， ∴是的中点． 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【变式5-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，平分，，垂足为E，F是的中点，连接，，，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】延长、交于点，由角平分线的定义，可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合等角的余角相等，可得，可得，可得，由等腰三角形的性质，可得点为的中点，由三角形中位线的性质，可得线段的长． 【详解】解：延长、交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点为的中点， 又∵是的中点， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，，是平面内一点，且，点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线的性质、勾股定理及三角形三边关系，正确得出是解题关键．延长到，使，连接，，可得是的中位线，利用勾股定理可求出，根据三角形中位线的性质可得，利用三角形三边关系可得的最大值为，即可得出的最大值． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴点、、三点在一条直线上时，有最大值， ∴的最大值为， ∴线段的最大值为． 故答案为： 【题型六 利用矩形的性质求角度或线段长】 【例6】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，可求得，得到，进而求得为等边三角形，得到． 【详解】∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵四边形为矩形， ∴，． ∴，． ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∴． ∴． 故答案为： 【变式6-1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点都在格点上，D是的中点，连接，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据网格特点，利用勾股定理分别求出，，，则，再根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，且，然后利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：根据网格特点，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵D是的中点，且， ∴． 【变式6-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，矩形的对角线相交于点，，，点为上一点，连接，为的中点，若，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出解答．根据矩形的性质得出，进而利用三角形中位线得出，进而利用勾股定理得出，进而利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， 为的中点， 是的中位线， ， ，， ， ， 为的中点， ， 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）在矩形中，点在边上，与的延长线交于点，，若，则_____． 【答案】 【分析】取的中点G，连接，根据直角三角形的性质可得，进而得出，由，得，再根据勾股定理求出的长，得，进而可得． 【详解】解：取的中点G，连接， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型七 矩形的性质与判定综合问题】 【例7】（25-26九年级下·辽宁本溪·开学考试）如图，在中，，D为中点，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）通过等腰三角形三线合一，可得，，结合四边形是平行四边形，，，从而得证； （2）不妨设，那么，先求得，接着通过外角求得，得到为等腰直角三角形，结合矩形的性质以及勾股定理，可求得，最后通过可求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，D为的中点， ∴，． ∴，， ∴四边形是平行四边形． 又∵ ∴平行四边形是矩形． （2）解：不妨设，那么， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-1】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，对角线、交于点，过点作，交于点，过点作于点，点在边上，连接，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （2）证，得，则，过D作于M，由勾股定理得，，进而即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 四边形为矩形； （2）解：， ， 由（1）得：四边形为矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 如图，过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 【变式7-2】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，是的一条角平分线，为的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点F，连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理． （1）根据等腰三角形三线合一得到，，结合是的外角的平分线，可得出，又由即可得到，然后根据矩形的判定即可得证； （2）利用，，证明是等边三角形，求得，利用直角三角形的性质结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：，是角平分线， ，， ， 为的外角的平分线， ， ， 即， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知，四边形为矩形， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴矩形的面积． 【变式7-3】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）问题提出 （1）如图，已知是矩形内一点，过点作，分别交于点，则______；（填“”“”或“”） 问题探究 （2）如图，已知是矩形外一点，过点作，分别交的反向延长线于点，则（）中的结论还成立吗？请说明理由； 问题解决 （3）如图，在中，，是外一点，若，，，求线段的最小值． 【答案】（）；（）成立，见解析；（）最小值为． 【分析】此题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先证明四边形和四边形均为矩形，则有，，，然后通过勾股定理即可求解； （）先证明四边形和四边形均为矩形，则有，，，然后通过勾股定理即可求解； （）过点作，过点作，与交于点，连接，证明四边形是矩形，同（）理，，从而可得当三点共线时，线段取得最小值，最小值为． 【详解】解：（）四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∴； 故答案为：； （）成立，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∴； （）如解图，过点作，过点作，与交于点，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是矩形外一点， ∴同（）理，， ∴， ∵，， ∴当三点共线时，线段取得最小值，最小值为． 【题型八 利用菱形的性质求角度或线段长】 【例8】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且边长， ，， ， ∵是的中点， ． 【变式8-1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为____ ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，由菱形的性质推出，由直角三角形的性质得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式8-2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵垂直平分， ∴平分， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴． 故答案为：． 【变式8-3】（25-26九年级上·广西玉林·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，，，点是边上的一个动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等，由菱形的性质可得，，，即得，四边形是矩形，连接，可知，可得当时，取最小值，此时的值最小，再利用三角形的面积解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，， ∴，，， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， 连接，则， 当时，取最小值，此时的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 【题型九 菱形的性质与判定综合问题】 【例9】（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，平行四边形，M，N分别是的中点，，连接交于点O． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点C作于点E，交于点P．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出边之间的关系，然后根据直角三角形斜边中线定理得出相等的边，先证明平行四边形，再证明菱形即可； （2）根据菱形的性质以及角的关系和度数求出，然后利用锐角三角函数和含角的直角三角形的性质得出相关线段的长度，根据平行四边和等边三角形的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，M是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）得，四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且四边形是菱形， ∴, ∴为等边三角形， ∴ 由（1）可得，M，N分别是的中点，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式9-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质和判定，勾股定理； （1）先证明得到，，得出四边形是平行四边形，再证明邻边即可； （2）由菱形的性质和勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵点D、F分别是、的中点，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 【变式9-2】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在四边形中，是四边形的对角线，过点作的垂线交的延长线于点，点恰好是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，交于点，连接，若，求和的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)， 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识点．关键是先通过平行四边形的判定过渡到菱形，再利用菱形性质和勾股定理列方程求解线段长度． （1）先由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证出四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到，进而根据“邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明； （2）连接菱形对角线交于点，利用菱形对角线互相垂直的性质结合，证出四边形是平行四边形，得到；设，结合表示出、，用勾股定理表示出，通过比例关系得到与的数量关系，在中列勾股定理方程求出；最后利用线段垂直平分线的性质或勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：，， 四边形是平行四边形， ， ，即是直角三角形， 点是的中点， ， 平行四边形是菱形； （2）解：连接，交于点， 四边形是菱形， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 设，， ，则， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 由此可得，即， 在中，由勾股定理得：， 即，解得， 由，得， ，，， 四边形是菱形，， 垂直平分， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得， ； 综上，的长为，的长为． 【变式9-3】（25-26九年级上·重庆南岸·期末）在四边形中，，E为射线上的一点，四边形为平行四边形． (1)如图1，连接，，若，求证：四边形是矩形； (2)如图2，连接，，，交于点．若，求的周长的最小值； (3)如图3，连接，，交于点．若，当是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)周长的最小值为 (3)或或 【分析】（1）先证明四边形是菱形得到，，再根据平行四边形的性质推导出，，则四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定可证得结论； （2）过E作交延长线于N，过B作，交延长线于H，在延长线上截取，连接，则，由菱形的性质可求得，进而可得当F、B、M共线时取等号，的周长的最小值为；证明四边形、四边形是矩形，求得，，最后利用勾股定理求得即可求解； （3）先根据线段垂直平分线的判定与性质得到垂直平分，则，，设，则，，则，根据等腰三角形的定义分三种情况求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是菱形，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：过E作交延长线于N，过B作，交延长线于H，在延长线上截取，连接，如图， 则垂直平分， ∴， 由（1）知四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵的周长，当F、B、M共线时取等号， ∴的周长的最小值为， ∵，， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， 在中，， ∴的周长的最小值为； （3）解：∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵，设， ∴，，则， 根据题意，当是等腰三角形时，分三种情况： 当点E在线段上且时，， ∴； 当点E在延长线上且时， ∴； 当时，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，则 ∴， 综上，满足条件的的值为或或． 【题型十 利用正方形的性质求角度或线段长】 【例10】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，P是正方形内的一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数是______． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据正方形的性质，等边三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 【变式10-1】（25-26九年级上·山西运城·期末）在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，运用正方形的性质证明，，又因为点为的中点，得出，再根据勾股定理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式10-2】（25-26八年级下·全国·周测）四边形不具有稳定性．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形．如果，那么菱形与正方形ABCD的面积之比是_________． 【答案】 【分析】本题考查正方形与菱形面积，涉及含角的直角三角形的三边关系，熟记正方形与菱形面积公式是解决问题的关键． 过点作于点，利用含角的直角三角形的三边关系，在直角三角形中得到，从而，菱形的面积，两个面积作比即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示， 则． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积， ∴菱形与正方形的面积之比． 故答案为：． 【变式10-3】（2025·河南周口·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∵点B落在边上的三等分点M处， ∴和， 设，则， 由折叠的性质得， 当时，则， 在中，，即， 解得； 当时，则， 在中，，即， 解得； 综上，线段的长为或． 【题型十一 正方形的性质与判定综合问题】 【例11】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可； （2）证明是等腰直角三角形可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【变式11-1】（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． (1)求证：． (2)连接，交于点，求的长． (3)过点作，交于点．求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定定理、勾股定理、熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，，由平行线的性质可得，由旋转得．再证明得出，即可得证； （2）证明得出，，由勾股定理得出，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果； （3）先证明四边形是矩形．再求出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ，， ． ，， ． 由旋转，得．             在和中， ， ，         ． ， ． （2）解：在和中， ， ， ，．         在中，由勾股定理，得．     ， ． 在中，由勾股定理，得， ． （3）证明：∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形． ， ， ∴四边形是正方形． 【变式11-2】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）在中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，分别过点E，F作，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当点E是的中点时，连接．若，求的长； (3)如图3，当是矩形时，连接，交于点O，连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质得、，则、， 然后证，得即可证明结论； （2）由菱形的性质得，再由点E是的中点即可解答； （3）如图3，过点O作于点N， 证四边形是正方形，求出、的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ，， ∵平分， ， ， ， ∴平行四边形是菱形． （2）解：由（1）可知，四边形是菱形， ， ∵点E是的中点， ． （3）解：如图3，过点O作于点N． ∵四边形是矩形， ，， ， ∴菱形为正方形， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，，， ， ， 在中，由勾股定理得：． 【变式11-3】（24-25八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 【答案】（1）正方形；（2）①仍然成立，理由见解析，②；（3） 【分析】（1）首先得到四边形是矩形，然后由即可证明； （2）①如图所示，过点P作交于点M，交于点N，首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的性质证明出，得到，即可证明四边形是正方形； ②首先求出，得到正方形面积然后根据当时，最短，当点P和点A或点C重合时，最长，进而求解即可； （3）由正方形得到，然后由得到，然后求出，即可得到． 【详解】（1）∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∵四边形是正方形，点在对角线的中点处 ∴ ∴四边形是正方形； （2）①仍然成立，理由如下： 如图所示，过点P作交于点M，交于点N ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴， ∴ ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是正方形； ②∵在边长为10的正方形中 ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴正方形面积 ∴当时，最短 ∴此时 ∴正方形面积的最小值为； 当点P和点A或点C重合时，最长 ∴此时 ∴正方形面积的最大值为； ∴四边形面积的取值范围为； （3）∵四边形是正方形，是对角线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【题型十二 矩形、菱形、正方形中作图问题】 【例12】（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，， (1)用尺规作图完成以下作图：作边的垂直平分线，分别与和交于点和点E．在射线上截取（点不与点重合），连接、、、（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：作图得到的四边形是菱形； (3)在以上作图中，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及作法、菱形的证明、勾股定理、三角形中位线等知识点，掌握菱形的判定方法成为解题的关键． （1）根据线段的垂直平分线的尺规作图的作法以及相关要求作图即可； （2）由（1）可知直线为线段的垂直平分线，即、，然后证明四边形是平行四边形，最后结合即可证明结论； （3）先说明，再运用勾股定理求得，然后再证明是的中位线，最后根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）证明：由作图可知，直线为线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （3）解：∵， ∴， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴，点为线段的中点， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【变式12-1】（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，在中，平分交于点，连接． (1)过点作，垂足为（用没有刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若． ①求证：四边形是矩形； ②若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图—过一点作垂线，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据作垂线的步骤进行作图即可； （2）①根据平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，根据线段的和差得出，证明四边形是平行四边形，根据垂直得出直角，即可得出结论； ②根据含角的直角三角形的性质得出，然后利用勾股定理得出，最后利用矩形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； ②∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 由①得，四边形是矩形， ∴． 【变式12-2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，菱形的对角线、相交于点O． (1)尺规作图：过点D作，且，并使得点E在点D的左侧，连接，；（不用说明作图过程，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图要求下，完成下边两问： ①求证：四边形为矩形； ②若菱形的边长为4，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了作三角形，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的性质，等边三角形的判定与性质及勾股定理等知识，涉及较多的知识，熟练掌握这些知识并灵活运用是关键； （1）分别以D、C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点E，则，且； （2）①由菱形的性质及作图即可证明； ②由题意得是等边三角形，则，，从而得的长，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如下： （2）①证明：由作法知：， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴四边形是矩形； ②解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：． 【变式12-3】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题． (1)如图1，四边形为正方形，点E为边的中点，请仅用无刻度的直尺画出边的中点F（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图2，四边形为菱形，点E，F分别是，的中点，请仅用无刻度的直尺作以为边的矩形（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图3，中，，垂足为M，交边于点N．仅用无刻度的直尺在图中作，垂足为H（保留作图痕迹，不要求写作法）； (4)如图4，点E、F分别在平行四边形的边上，．连接，请过点A作的垂线，垂足为G（仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据正方形的中心对称性作图即可； （2）根据菱形的性质和三角形中位线定理构造中点四边形，根据矩形的判定即可得到答案； （3）根据平行四边形的中心对称性构造平行四边形，即可得到答案； （4）根据菱形判定和性质、平行四边形的判定和性质进行作图即可． 【详解】（1）解：如图，点F即为所求， （2）四边形即为所求， （3）如图，点即为所求， （4）如图，点G即为所求， 【题型十三 矩形、菱形、正方形中动点问题】 【例13】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点时，动点，同时停止运动．已知点，同时出发，运动时间为． (1)当取何值时，四边形为平行四边形？ (2)当取何值时，四边形为矩形？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）当时，四边形为平行四边形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图，， 当时，四边形为平行四边形． 根据题意，，， ， 解得， 当时，四边形为平行四边形． （2）解：如图，，， 当时，四边形为矩形． 根据题意，，， ， 解得， 当时，四边形为矩形． 【变式13-1】（25-26九年级上·吉林·开学考试）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) ； ； ； ； (2)当t为多少秒时，四边形成为矩形？请求出t值 (3)当t为多少时，？（直接写出答案即可） (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；3t；18；； (2) (3)或 (4)存在，，4或 【分析】（1）由题意可得，，，则，过点作于点，则四边形是矩形，得到，，，从而得出，进而表示出和； （2）当时，四边形成为矩形，列方程求解即可； （3）分两种情况讨论：当时，四边形是平行四边形，此时；当四边形是等腰梯形时，，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，分别列方程求解即可； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论，利用边相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ， ， 如图，过点作于点，则四边形是矩形， ，，， ， ， ， 故答案为：；；18；； （2）解：，， 当时，四边形成为矩形， ， 解得， 即当t为秒时，四边形成为矩形； （3）解：当时，四边形是平行四边形，此时， ， 解得； 当四边形是等腰梯形时，， 过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， ， ， 解得， 综上可知，当t为或秒时，； （4）解：存在，，4或， 是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，如图，过点作于点， 由（1）可知，，， ，， ， ， 解得； ②当时，， 解得； ③当时，如图， 则，， 在中，, 解得， 综上可知，存在使得是等腰三角形，t的值为，4或． 【变式13-2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)______； (2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； (3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值． 【答案】(1) (2)为直角三角形， (3)的值为2或6或 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据直角的不同分情况讨论求解． （1）先根据菱形的性质得出，再根据，可得为等边三角形，从而可得出； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，从而可得为直角三角形，再利用勾股定理求得，然后利用求解； （3）分，，三种情况，分别得到关于的一元一次方程求解，求得的值． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为 ∴， ， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为； （2）如图1，12秒后点走过的路程为， 则12秒后点到达点， 即点与点重合； 12秒后点走过的路程为，而， ∴点到点的距离为， 此时点到达的中点，即点为的中点 是等边三角形，而为中线， ， 为直角三角形， 在中， ； （3）为等边三角形， ， 经过3秒后，点运动的路程为、点运动的路程为， 点从点开始运动， ∴， 点为的中点， ∴， ①若，且点在上，如图1， 则， ， 在中，， ， ， ， ； ②若，且点在上，如图2， 则， ， 在中，， ， ， ， ； ③若，即， ， 点在的垂直平分线上， 此时点在点处， ， ， ， 综上所述，的值为2或6或． 【变式13-3】（25-26九年级上·江西宜春·月考）【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 【答案】（1）见解析（2）不成立，理由见解析（3） 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是旋转三角形，构造全等三角形． （1）由旋转的性质可得，进而证得，从而得出，进一步得出结论； （2）把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合，可证得，进而证得，进一步得出结果； （3）与（2）的证法类似，可得到结论； 【详解】解：（1）证明：由旋转的性质可得， ． 又，三点共线． ， ， ， ． 又， ， ． （2）不成立． 理由：如图，把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合． ， F，G，D三点共线． 由旋转的性质可知， ， ． 又， ， ； ∴（1）中的结论不成立． （3）． 理由：如图，把绕点A逆时针旋转至，使与重合． ， B，G，E三点共线． 同理可证：， ∴， ． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）九边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形外角和性质，任意凸多边形的外角和都等于，与边数无关，所以九边形的外角和为． 【详解】解：根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和等于， 九边形的外角和为． 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合已知求出的度数，再利用邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 3．（辽宁鞍山市第五十一中学教育集团鞍山市第五十一中学等校2025-2026学年九年级下学期数学学科限时作业）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 【答案】C 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质和平分，容易证得，则．运用勾股定理求出，最后用直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 二、填空题 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】已知，当时，四边形是平行四边形，据此即可解答． 【详解】解：当时， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 6．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得，则，两点的距离为______． 【答案】36 【分析】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半是解题关键； 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍即可解答． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，两点的距离为， 故答案为：． 7．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，即得，得到，进而即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形是两个相同的正方形，恰好落在正方形的对角线上， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，中，，，，点在边上（点不与点，重合），过点作，，垂足分别为点，，连接，为的中线，连接，当是直角三角形时，的长是______． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、二次根式的应用等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 连接，先证出四边形是矩形，经过的中点，利用勾股定理求出，再分两种情况：①当时，②当时，利用三角形的面积公式和勾股定理求出的长，则可得的长，然后利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵为的中线， ∴点是的中点， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴与互相平分，且， ∴经过的中点， ∵在中，，，， ∴， ①如图，当时，是直角三角形， 则， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，； ②如图，当时，是直角三角形， 过点作于点， 同理可得：，， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； 综上，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题 9．（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多边形内角和公式，解题的关键是熟练掌握边形内角和公式为． （1）直接根据多边形内角和公式求解即可； （2）由多边形内角和公式得到方程，即可求解． 【详解】（1）解：四边形的内角和为；五边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得． 10．（25-26九年级上·河南周口·期末）在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形中位线定理的运用； （1）依据等腰三角形的性质，即可得到是的中点，再根据三角形中位线定理，即可得到； （2）依据是的中位线，即可得到，，进而得到，再依据是的中点，继而得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：∵是的中位线， ∴，， 如图，连接，则， 又∵四边形的面积为6， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴的面积为． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可． （2）根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ． ， ， ． 平分， ， ． 为边的中点， ． 在和中， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：平分， ， ，， ， ， ． ， ， ， ． 四边形是平行四边形， ． 12．（2023八年级下·湖北荆州·专题练习）如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识， （）由，可得，可得，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （）在菱形中，，可得，在中，利用勾股定理列式即可求解． 【详解】（1）证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：在菱形中，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∵， ∴在中，， 整理得，， 解得：． 13．（25-26九年级上·全国·期末）在正方形中，是延长线上的点，是线段上一点且．过作，使，连接． (1)如图1，连接．求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于，并取中点，连接．若，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过作于，根据正方形的性质及垂直的定义，证得四边形为矩形，进而求得，即可解答． （2）连接、，过作于，证明，、、三点共线，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵四边形为正方形， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、，过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 又∵， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得， 由（1）知， ∴， ∴，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作． (1)证明是菱形； (2)若，连接、，求的度数； (3)若，，，是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据菱形的判定即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出和是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得； （3）先证出四边形为正方形，根据正方形的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质求出，从而可得，然后过作于，根据勾股定理求出的长，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ∴，， ，， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形为菱形． （2）解：四边形是平行四边形， ∴，，， ， ，， 由（1）知，四边形是菱形， ，，， ，， ∵， ， 是的平分线， ， ∵， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ． （3）解：，四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，， ∴， ， 又由（1）可知，四边形为菱形， 四边形为正方形． ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 如图，过作于， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个正多边形的每个外角是60°，则从它的一个顶点出发的对角线有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形外角和和对角线数量公式．先利用正多边形外角和为360°求出边数，再根据n边形从一个顶点出发的对角线数量公式计算结果． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且每个外角是， ∴该正多边形的边数， ∵从边形的一个顶点出发的对角线数量为， ∴从正六边形一个顶点出发的对角线数量为． 故选：A 2．（2026·江苏南通·一模）如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，若，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形中位线的性质得到，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：点，分别是，的中点， 四边形是菱形 菱形的周长． 【点睛】注意三角形中位线平行于底边且等于底边的一半． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，由，可得，，由直角三角形两锐角互余可得，． 本题主要考查了平行四边形的性质和直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质可得，，结合三角形的面积公式计算出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】用等面积法计算三角形的高是解题关键． 5．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，矩形中，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（　　） A．4 B．5 C．4.8 D． 【答案】C 【分析】先证明，得到，设，则，，，根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】∵矩形中，，， ∴，，， 根据折叠的性质，得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，，， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 二、填空题 6．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，已知正五边形的内角和为，，若，则_________． 【答案】56 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，平行线的判定和性质．根据正多边形的性质，可得，过点B作，可得，即可求解． 【详解】解：∵正五边形的内角和为， ∴， 如图，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：56． 7．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，平分，，连接，G是的中点，连接，若，则_______． 【答案】3 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，即可得，利用等腰三角形的性质可得，进而可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 8．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 【答案】/28度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，从而得到，再由得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ∵点为的中点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，四边形为正方形，点P为平面内一点，已知，，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质； 过点B作，且，连接、、，求出，证明和全等，可得，把求的最大值转换为求的最大值即可． 【详解】解：如图，过点B作，且，连接、、， ∵，，， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴当点A、 P、E三点共线时，最大，此时， ∵， ∴， 即的最大值为． 10．（25-26八年级下·全国·月考）如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为____________． 【答案】4或6或8 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的分类讨论等知识点，掌握通过构造全等三角形转化线段关系、列方程求解，以及对等腰直角三角形直角顶点的分类讨论方法是解题的关键． 设，则，根据等腰直角三角形直角顶点的不同，分三种情况讨论，通过构造全等三角形，利用矩形性质和全等三角形对应边相等列方程求解的值． 【详解】解：设，则． ①如图①，当，且时，可证得， ． ， 解得． ②如图②，当，且时，过点作于点， 在 和 中， ∴， ， ， 解得． ③如图③，当，且时，过点作于点， 在和中， ， ，，四边形是矩形， ，即， 解得． 综上，的长为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 11．（23-24八年级上·河北邢台·月考）旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据图片得出正多边形的边数是，进而利用求内角和；利用求周长；利用求对角线的条数. 【详解】（1）解：由图可知：旧版的一角硬币内是一个正九边形， ∴， 即：正多边形内角和为； （2）解：∵ ∴该正多边形的周长是； （3）解：∵， ∴该正多边形共有条对角线. 12．（25-26九年级上·山东烟台·期末）点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的性质证明，，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可得到结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线相互平分，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为的中位线， ，， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ，， ，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：连接， ，， ∴是的中位线， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ． 13．（25-26九年级上·云南昆明·月考）如图，在平行四边形中，，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求点D到的距离h． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质， 利用含30度的性质等知识． （1）利用菱形的判定方法和性质证明即可． （2）利用菱形的性质结合已知条件得出是等边三角形，再利用含30度的性质设，则，，利用勾股定理得出以及x，最后根据菱形求面积即可求出h． 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在中，， 即， 解得，负值舍去， 则，， ∴， ∴， 即， 则． 14．（25-26八年级上·江苏盐城·期末） 在矩形中，，G、H分别是、中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)当时，请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若四边形为矩形，求t的值； (3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）先证得，得，，然后根据“等角的补角相等”即可证明； （2）先证得四边形是矩形，再根据四边形为矩形，可得，再利用勾股定理即可求解； （3）根据“对角线互相平分且垂直是菱形”可得，四边形为菱形，则，设，则，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形． 理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①当时，连接，如图， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， 当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，连接，如图， 当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴， 综上，四边形为矩形时或． （3）解：连接，，，设与交于，如图， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即：， 解得：， ∴， ∴， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】熟练掌握矩形的对角线相等的性质，菱形的对角线互相垂直的性质，分类讨论，运用勾股定理列方程求解是解题的关键． 15．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，6 (3) 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； （3）由矩形为正方形，得到，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，有最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 平行四边形（复习讲义） 1. 了解多边形、正多边形及相关概念（内角、外角、对角线），体会多边形内角和、外角和公式的推导过程及其与三角形内角和的整体联系。 2. 能运用多边形内角和公式与外角和定理求多边形的边数或角度，能利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义和性质进行推理与计算。 3. 理解并利用平行四边形的五种判定方法（对边平行、对边相等、一组对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）解决几何证明问题。 4. 掌握三角形中位线定理及其应用，理解特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）之间的联系与区别，并能灵活运用它们的性质和判定解决问题。 知识点01 多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 知识点02 多边形的内角和、外角和 1.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 2.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 知识点03 平行四边形的概念及性质与判定 1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 知识点04 三角形的中位线定理 （1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） （2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，. 知识点05 矩形的概念及性质与判定 1.矩形的概念和性质 （1）有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 知识点06 菱形的概念及性质与判定 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 知识点07 正方形的概念及性质与判定 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 【题型一 多边形内角和、外角和问题】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）过某个多边形1个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是__________边形，它的内角和是__________． 【变式1-1】（25-26八年级上·重庆·月考）一个多边形的每个内角都相等，且内角和是外角和的5倍，则这个多边形的每个内角为________． 【变式1-2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【变式1-3】（25-26八年级上·河北邢台·月考）将三个相同的六边形螺母并排摆放在桌面上，从上面看到的图形如图1所示．正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，从上面看到的图形如图2所示，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则： （1）图1中螺母组成的图形的周长（图中深色部分总长度）为___________； （2）图2中通过题意，我们可得出，则___________． 【题型二 利用平行四边形的性质求解】 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形ABCD中，的平分线交于点，连接，若，，，则的长为______． 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，则的度数为____________． 【变式2-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知的周长为，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是____________． 【变式2-3】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，对角线，相交于点，为上一点，连接．若，的周长比四边形的周长大3，则的长为__________． 【题型三 判断能否构成平行四边形与特殊四边形】 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】（25-26九年级上·四川成都·期末）要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）在菱形中，相交于点O．增加下列条件能判定四边形是正方形的是（   ） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式3-3】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【题型四 平行四边形的性质与判定综合】 【例4】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，．求的长． 【变式4-1】（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知，如图，的对角线，相交于点，过点，分别交，于点，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则的边上的高为________． 【变式4-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 【变式4-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）【教材呈现】我们在教材中已经学习过对角线互相平分的四边形是平行四边形．我们可以用演绎推理证明这一结论． 已知：如图①，四边形的两条对角线与相交于点，并且，．求证：四边形是平行四边形． （1）请写出证明过程． 【知识应用】（2）如图②，在中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【拓展提升】（3）在（2）的条件下，若的面积为26，求的面积． 【题型五 三角形的中位线求解】 【例5】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是的中位线，平分，交于点．已知，，则的长为_____________． 【变式5-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________． 【变式5-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，平分，，垂足为E，F是的中点，连接，，，则线段的长为_________． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，，是平面内一点，且，点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_______． 【题型六 利用矩形的性质求角度或线段长】 【例6】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为_____． 【变式6-1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点都在格点上，D是的中点，连接，则的长为_________． 【变式6-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，矩形的对角线相交于点，，，点为上一点，连接，为的中点，若，则的长为___________． 【变式6-3】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）在矩形中，点在边上，与的延长线交于点，，若，则_____． 【题型七 矩形的性质与判定综合问题】 【例7】（25-26九年级下·辽宁本溪·开学考试）如图，在中，，D为中点，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的长． 【变式7-1】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，对角线、交于点，过点作，交于点，过点作于点，点在边上，连接，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【变式7-2】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，是的一条角平分线，为的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点F，连接，若，，求四边形的面积． 【变式7-3】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）问题提出 （1）如图，已知是矩形内一点，过点作，分别交于点，则______；（填“”“”或“”） 问题探究 （2）如图，已知是矩形外一点，过点作，分别交的反向延长线于点，则（）中的结论还成立吗？请说明理由； 问题解决 （3）如图，在中，，是外一点，若，，，求线段的最小值． 【题型八 利用菱形的性质求角度或线段长】 【例8】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 【变式8-1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为____ ． 【变式8-2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【变式8-3】（25-26九年级上·广西玉林·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，，，点是边上的一个动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为______． 【题型九 菱形的性质与判定综合问题】 【例9】（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，平行四边形，M，N分别是的中点，，连接交于点O． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点C作于点E，交于点P．若，求的长． 【变式9-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式9-2】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在四边形中，是四边形的对角线，过点作的垂线交的延长线于点，点恰好是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，交于点，连接，若，求和的长． 【变式9-3】（25-26九年级上·重庆南岸·期末）在四边形中，，E为射线上的一点，四边形为平行四边形． (1)如图1，连接，，若，求证：四边形是矩形； (2)如图2，连接，，，交于点．若，求的周长的最小值； (3)如图3，连接，，交于点．若，当是等腰三角形时，直接写出的值． 【题型十 利用正方形的性质求角度或线段长】 【例10】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，P是正方形内的一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数是______． 【变式10-1】（25-26九年级上·山西运城·期末）在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________． 【变式10-2】（25-26八年级下·全国·周测）四边形不具有稳定性．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形．如果，那么菱形与正方形ABCD的面积之比是_________． 【变式10-3】（2025·河南周口·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【题型十一 正方形的性质与判定综合问题】 【例11】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【变式11-1】（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． (1)求证：． (2)连接，交于点，求的长． (3)过点作，交于点．求证：四边形是正方形． 【变式11-2】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）在中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，分别过点E，F作，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当点E是的中点时，连接．若，求的长； (3)如图3，当是矩形时，连接，交于点O，连接．若，，求的长． 【变式11-3】（24-25八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 【题型十二 矩形、菱形、正方形中作图问题】 【例12】（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在中，， (1)用尺规作图完成以下作图：作边的垂直平分线，分别与和交于点和点E．在射线上截取（点不与点重合），连接、、、（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：作图得到的四边形是菱形； (3)在以上作图中，若，，求的长． 【变式12-1】（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，在中，平分交于点，连接． (1)过点作，垂足为（用没有刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若． ①求证：四边形是矩形； ②若，求的长度． 【变式12-2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，菱形的对角线、相交于点O． (1)尺规作图：过点D作，且，并使得点E在点D的左侧，连接，；（不用说明作图过程，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图要求下，完成下边两问： ①求证：四边形为矩形； ②若菱形的边长为4，，求的长． 【变式12-3】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题． (1)如图1，四边形为正方形，点E为边的中点，请仅用无刻度的直尺画出边的中点F（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图2，四边形为菱形，点E，F分别是，的中点，请仅用无刻度的直尺作以为边的矩形（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图3，中，，垂足为M，交边于点N．仅用无刻度的直尺在图中作，垂足为H（保留作图痕迹，不要求写作法）； (4)如图4，点E、F分别在平行四边形的边上，．连接，请过点A作的垂线，垂足为G（仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法）． 【题型十三 矩形、菱形、正方形中动点问题】 【例13】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点时，动点，同时停止运动．已知点，同时出发，运动时间为． (1)当取何值时，四边形为平行四边形？ (2)当取何值时，四边形为矩形？ 【变式13-1】（25-26九年级上·吉林·开学考试）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) ； ； ； ； (2)当t为多少秒时，四边形成为矩形？请求出t值 (3)当t为多少时，？（直接写出答案即可） (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，说明理由． 【变式13-2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)______； (2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； (3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值． 【变式13-3】（25-26九年级上·江西宜春·月考）【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）九边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（辽宁鞍山市第五十一中学教育集团鞍山市第五十一中学等校2025-2026学年九年级下学期数学学科限时作业）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 4．（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（   ） A． B． C．1 D． 二、填空题 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 6．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得，则，两点的距离为______． 7．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为______． 8．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，中，，，，点在边上（点不与点，重合），过点作，，垂足分别为点，，连接，为的中线，连接，当是直角三角形时，的长是______． 三、解答题 9．（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 10．（25-26九年级上·河南周口·期末）在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的面积． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 12．（2023八年级下·湖北荆州·专题练习）如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 13．（25-26九年级上·全国·期末）在正方形中，是延长线上的点，是线段上一点且．过作，使，连接． (1)如图1，连接．求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于，并取中点，连接．若，，求线段的长． 14．（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作． (1)证明是菱形； (2)若，连接、，求的度数； (3)若，，，是的中点，求的长． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个正多边形的每个外角是60°，则从它的一个顶点出发的对角线有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·江苏南通·一模）如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，若，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，矩形中，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（　　） A．4 B．5 C．4.8 D． ∴，，， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 二、填空题 6．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，已知正五边形的内角和为，，若，则_________． 7．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，平分，，连接，G是的中点，连接，若，则_______． 8．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 9．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，四边形为正方形，点P为平面内一点，已知，，则的最大值为_____． 10．（25-26八年级下·全国·月考）如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为____________． 三、解答题 11．（23-24八年级上·河北邢台·月考）旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 12．（25-26九年级上·山东烟台·期末）点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长． 13．（25-26九年级上·云南昆明·月考）如图，在平行四边形中，，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求点D到的距离h． 14．（25-26八年级上·江苏盐城·期末） 在矩形中，，G、H分别是、中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)当时，请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若四边形为矩形，求t的值； (3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 15．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $