专题21.2 平行四边形（4大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期培优讲义

专题21.2 平行四边形 知识点1：平行四边形的定义与表示 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.表示方法：用符号“▱”表示，平行四边形记作“▱”，读作“平行四边形”（顶点字 母需按顺时针或逆时针顺序书写，不可打乱）。 3.基本元素： 边：分为邻边（如与）和对边（如与），共4条边； 角：分为邻角（如与）和对角（如与），共4个角； 对角线：连接对角顶点的线段（如与），共2条。 知识点2：平行四边形的性质 性质类别 具体内容 数学语言（以▱为例） 图示 边的性质 对边平行且相等 ，；， 角的性质 对角相等，邻角互补 ，； 对角线性质 对角线互相平分 对角线与交于点，， 面积性质 面积=底×高（底为任意一边，高为该边对应的垂线段长度） （为边上的高） 其他性质 对角线将平行四边形分成两个全等三角形；过对角线交点的直线平分平行四边形的周长和面积 ；过点的直线平分▱的周长和面积 知识点3：平行四边形的判定定理 判定依据 具体条件 数学语言（以四边形为例） 图示 定义判定 两组对边分别平行 ，四边形是平行四边形 边的判定 两组对边分别相等 ，四边形是平行四边形 边的判定 一组对边平行且相等 且（或且）四边形是平行四边形 角的判定 两组对角分别相等 ，四边形是平行四边形 对角线判定 对角线互相平分 对角线与交于点，，四边形是平行四边形 知识点4：三角形的中位线与平行四边形的关联 1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 3.与平行四边形的联系：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形（利用中位线定理可证明对边平行且相等）。 【基础必考题型】 【题型1】平行四边形基本性质的直接应用（求边、角、对角线） 1.核心知识点 平行四边形对边相等、对角相等的性质； 平行四边形对角线互相平分的性质。 2.解题方法技巧 直接利用性质建立等量关系，已知一边求对边，已知一角求对角或邻角； 涉及对角线时，抓住“中点”特征，利用、转化线段长度。 【例题1】.（25-26八年级上·山东淄博·期末）关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（　　） A．对角相等 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 故选：D． 【变式题1-1】.（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，若，则_____°． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知在中，，，则的周长为（    ） A．11cm B．28cm C．22cm D．44cm 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，与的平分线相交于边上的一点．若，，求平行四边形的面积． 【题型2】平行四边形判定定理的基础应用 1.核心知识点 平行四边形的5种判定定理； 判定条件与性质的区别（性质是“已知平行四边形推结论”，判定是“已知条件推平行四边形”）。 2.解题方法技巧 根据已知条件选择对应判定定理（如已知对边平行，可证对边相等或另一组对边平行）； 书写时明确判定条件的完整性（如“一组对边平行且相等”需同时体现平行和相等）。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条法：如图所示，将两根木条，的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形．这种方法的依据是_____________． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）新情境  王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式题2-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点A，C在对角线所在的直线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【变式题2-3】.（2026八年级下·江苏·专题练习）已知如图，在中，点、分别在、上，．求证：． 【题型3】利用平行四边形性质求面积 1.核心知识点 平行四边形面积公式（底×高）； 平行线间距离处处相等的性质。 2.解题方法技巧 确定任意一边为底，找到该边对应的高（注意高与底的垂直关系）； 若题目中未直接给出高，可利用勾股定理或面积转化（如相邻边与夹角的正弦值乘积）求解。 【例题3】.（22-23八年级下·吉林·期中）如图，直线，下面关于与的面积，说法正确的是（  　）    A．的面积大 B．的面积大 C．面积相等 D．不确定 【变式题3-1】.（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，在这个变化过程中，关于木框的周长和面积，下列说法正确的是（   ）    A．周长和面积都不变 B．周长和面积都变小 C．周长不变，面积变小 D．周长不变，面积变大 【变式题3-2】.（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，平行四边形的面积是84平方厘米． (1)阴影部分的面积是多少平方厘米？ (2)丙三角形的面积是甲三角形面积的几分之几？（列式计算） 【变式题3-3】.（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，，AC、BD交于点E，的面积等于10，的面积等于6，那么的面积等于________．    【题型4】三角形中位线与平行四边形的简单综合 1.核心知识点 三角形中位线定理； 平行四边形的判定（两组对边分别平行）。 2.解题方法技巧 先识别三角形中位线，利用定理得到“平行且倍分”关系； 通过中位线的平行关系推导四边形对边平行，进而判定平行四边形。 【例题4】.（2026·山西运城·一模）如图，在中，对角线相交于点，是的中点，若的周长为，，则的周长为（    ） A．16 B．21 C．13 D．18 【变式题4-1】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式题4-2】.（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，在四边形中，点是的中点，，交于点，，．求证：四边形为平行四边形． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·广东佛山·月考）如图，在中，F，E分别是和的中点，连接，点G是的中点，连接并延长，交的延长线于点D．若，则的长为（　　） A．12 B．8 C．10 D．6 【培优高频题型】 【题型5】平行四边形性质与全等三角形的综合证明 1.核心知识点 平行四边形的边、角、对角线性质； 全等三角形的判定（、、等）。 2.解题方法技巧 利用平行四边形性质获取全等所需的边相等或角相等条件（如对边相等、内错角相等）； 证明全等后，反向利用全等结论补充平行四边形判定的条件。 【例题5】.（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，点、分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·湖北荆州·月考）如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，． ①线段长为 ． ②四边形的面积为 ． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【题型6】平行四边形中的折叠问题 1.核心知识点 平行四边形的性质； 折叠的性质（对应边相等、对应角相等、折痕垂直平分对应点连线）。 2.解题方法技巧 设未知数表示相关线段长度，利用折叠性质和平行四边形对边相等建立方程； 结合勾股定理求解未知量，注意折叠后重合部分的等量关系。 处，与交于点F，若，，（   ）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【变式题6-1】.（24-25八年级下·广东清远·期末）已知：如图，将纸片折叠，使得点落在点的位置，折痕为，连接，求证：四边形为平行四边形． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·广西钦州·期末）活动探究：矩形的折叠． (1)如图1，在矩形中，E，F分别是的中点，M，N分别是上的点，且，将沿着折叠，点D的对应点为G；将沿折叠，点B的对应点为H，点G，H都在矩形内部． ①求证：； ②判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，在矩形中，E是边上的一个动点，将沿着折叠，点D的对应点为F，已知，若以F，C，B为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【变式题6-3】.（2025·甘肃兰州·一模）综合与实践：数学中的折纸与作图 折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动． 探究主题 平行四边形中的折纸与作图 探究素材 如图1，一张平行四边形纸片 折纸过程 如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为． 探究问题 （1）在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____； （2）在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____； （3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 【题型7】平行四边形中的动点问题（存在性探究） 1.核心知识点 平行四边形的判定定理； 动点运动过程中线段长度和位置关系的变化。 2.解题方法技巧 设动点运动时间为，用含的代数式表示相关线段长度； 根据平行四边形的判定条件（如一组对边平行且相等）列方程，求解的值，注意验证结果的合理性（如线段长度为正）。 【例题6】.（2025八年级上·山东·专题练习）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（   ）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【变式题6-1】.（24-25八年级下·广东清远·期末）已知：如图，将纸片折叠，使得点落在点的位置，折痕为，连接，求证：四边形为平行四边形． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·广西钦州·期末）活动探究：矩形的折叠． (1)如图1，在矩形中，E，F分别是的中点，M，N分别是上的点，且，将沿着折叠，点D的对应点为G；将沿折叠，点B的对应点为H，点G，H都在矩形内部． ①求证：； ②判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，在矩形中，E是边上的一个动点，将沿着折叠，点D的对应点为F，已知，若以F，C，B为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【变式题6-3】.（2025·甘肃兰州·一模）综合与实践：数学中的折纸与作图 折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动． 探究主题 平行四边形中的折纸与作图 探究素材 如图1，一张平行四边形纸片 折纸过程 如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为． 探究问题 （1）在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____； （2）在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____； （3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 【题型8】跨学科情境题：平行四边形在实际测量中的应用 1.核心知识点 平行四边形的判定与性质； 实际测量中“等角对等边”“平行线转移线段”的思路。 2.解题方法技巧 构建平行四边形模型，将实际测量的线段或角度转化为平行四边形的边或角； 利用平行四边形对边相等的性质，间接求出无法直接测量的线段长度（如池塘两端距离、建筑物高度）。 【例题7】.（24-25八年级下·河南洛阳·月考）如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间______时，四边形为平行四边形． 【变式题7-1】.（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 【变式题7-2】.（2025八年级下·全国·专题练习）如图，等边的边长为，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以的速度运动． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ (2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置． 【变式题7-3】.（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)___________ (2)当___________时，点运动到的角平分线上； (3)请用含的代数式表示的面积： (4)当时，直接写出点到四边形相邻两边距离相等时的值． 【压轴素养题型】 【题型9】平行四边形中的最值问题 1.核心知识点 平行四边形的性质； 垂线段最短、三角形三边关系等最值原理。 2.解题方法技巧 将最值问题转化为“线段最短”问题（如求某点到直线的最短距离）； 利用平行四边形对边平行且相等的性质，转移线段，结合最值原理求解。 【例题8】.（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·广东河源·期末）综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·全国·周测）某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·山东烟台·期末）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①任意取一点，使点和点在直线l的两旁； ②以为圆心，的长为半径画弧，交l于点，，连接； ③分别以点，为圆心，以，长为半径画弧，两弧相交于点（点和点在直线的两旁）； ④作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程，解决下列问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹；可以继续完成小明的作图，也可以按照小明的思路在备用图中自主完成） (2)你认为小明的做法正确吗？请说明理由． 【题型10】平行四边形与特殊三角形的综合（素养导向） 1.核心知识点 平行四边形的性质； 等边三角形、等腰直角三角形的性质。 2.解题方法技巧 利用特殊三角形的边角关系（如等边三角形三边相等、等腰直角三角形斜边与直角边的关系）补充平行四边形的边长或角度条件； 通过旋转、平移等图形变换构造平行四边形，转化线段或角的位置。 【例题10】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知是等边三角形，点分别在线段、上，，，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求证：． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别以它的三边为边长，在边的同侧作三个等边三角形，即、、，连接、、． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，在梯形中，，、分别是、的中点，连接，叫做梯形的中位线．小华结合学习三角形中位线定理的经验对线段、与之间的位置和数量关系做了探究．通过连接，并延长交的延长线于点，证明，再结合三角形中位线的定理可得出，． 请利用上述方法解决问题： 如图②，在梯形中，和的平分线相交于点，且点在梯形中位线上．若梯形的周长为，求的长． 【变式题10-3】.（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）已知，在中，点在边上，过点作于点，点在边上，在边上，且是等边三角形，连接，． (1)如图，若，，，求的长； (2)如图，若平分，，且，求证：． 易错点 1.混淆平行四边形的性质与判定，如用“对角线相等”错误判定平行四边形（对角线相等是矩形的性质）。 2.计算平行四边形面积时，误用邻边相乘（忽略“高”需与底垂直的条件），或混淆不同底对应的高。 3.解决折叠、动点问题时，未考虑多解情况（如动点在线段延长线上），导致漏解。 4.表示平行四边形时，顶点字母顺序混乱，或忽略“两组对边分别平行”的定义核心，误将“一组对边平行、另一组对边相等”当作平行四边形的判定（可能是等腰梯形）。 重点 1.熟练掌握平行四边形的5种判定定理和3类核心性质，能根据题目条件灵活选择判定方法和性质应用。 2.掌握平行四边形与全等三角形、三角形中位线、特殊三角形的综合解题思路，建立“性质→等量关系→证明/计算”的逻辑链。 3.理解平行四边形在实际问题中的应用，能构建数学模型，将实际问题转化为几何计算或证明。 4.掌握折叠、动点、分类讨论等常见题型的解题方法，提升方程思想和数形结合思想的运用能力。 难点 1.平行四边形的多解问题（如给定三点求第四点构成平行四边形、动点运动的不同情况），需全面分类讨论，避免漏解。 2.平行四边形与图形变换（折叠、旋转、平移）的综合题，需准确把握变换前后的等量关系，结合平行四边形的性质进行推导。 3.探究式题型中，需自主发现平行四边形的隐含性质（如角平分线与边的关系、对角线的特殊比例），并通过逻辑推理验证猜想。 4.利用平行四边形的性质解决最值问题，需灵活转化线段关系，结合最值原理（如垂线段最短）突破解题瓶颈。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，已知，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．已知中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 5．如图，是等边三角形，的平分线交于点D，过点D作于点E，延长和交于点F，若，则的长为（  ） A． B．3 C． D． 二、填空题 6．若中，，，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形．点的坐标为________． 7．如图，平行四边形中，点E在边上，若点A关于的对称点落在上，的周长为5，的周长为17，则的长为____． 8．在平行四边形中，，，、的平分线分别交于F、E，则线段的长表示为______．（用a、b表示） 9．如图，E，F分别是的边，上的点，与相交于点P，与相交于点．若的面积为2，的面积为4，的面积为26，则阴影部分的面积为_______． 10．如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点（含端点，但点不与点重合），、分别是线段、的中点，则的最大值为_____________． 三、解答题 11．如图，已知：在四边形中，，且．求证：四边形是一个平行四边形．    12．如图，在中，过点D作，垂足为E，过点B作，垂足为F．若，，，求的长． 13．如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 14．如图，在中，E为上一点，F为上一点，且与交于点G，求证：． 15．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.2 平行四边形 知识点1：平行四边形的定义与表示 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.表示方法：用符号“▱”表示，平行四边形记作“▱”，读作“平行四边形”（顶点字 母需按顺时针或逆时针顺序书写，不可打乱）。 3.基本元素： 边：分为邻边（如与）和对边（如与），共4条边； 角：分为邻角（如与）和对角（如与），共4个角； 对角线：连接对角顶点的线段（如与），共2条。 知识点2：平行四边形的性质 性质类别 具体内容 数学语言（以▱为例） 图示 边的性质 对边平行且相等 ，；， 角的性质 对角相等，邻角互补 ，； 对角线性质 对角线互相平分 对角线与交于点，， 面积性质 面积=底×高（底为任意一边，高为该边对应的垂线段长度） （为边上的高） 其他性质 对角线将平行四边形分成两个全等三角形；过对角线交点的直线平分平行四边形的周长和面积 ；过点的直线平分▱的周长和面积 知识点3：平行四边形的判定定理 判定依据 具体条件 数学语言（以四边形为例） 图示 定义判定 两组对边分别平行 ，四边形是平行四边形 边的判定 两组对边分别相等 ，四边形是平行四边形 边的判定 一组对边平行且相等 且（或且）四边形是平行四边形 角的判定 两组对角分别相等 ，四边形是平行四边形 对角线判定 对角线互相平分 对角线与交于点，，四边形是平行四边形 知识点4：三角形的中位线与平行四边形的关联 1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 3.与平行四边形的联系：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形（利用中位线定理可证明对边平行且相等）。 【基础必考题型】 【题型1】平行四边形基本性质的直接应用（求边、角、对角线） 1.核心知识点 平行四边形对边相等、对角相等的性质； 平行四边形对角线互相平分的性质。 2.解题方法技巧 直接利用性质建立等量关系，已知一边求对边，已知一角求对角或邻角； 涉及对角线时，抓住“中点”特征，利用、转化线段长度。 【例题1】.（25-26八年级上·山东淄博·期末）关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（　　） A．对角相等 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，需要区分所有平行四边形共有的性质与特殊平行四边形才具有的性质，找出不一定正确的结论，即可作答． 【详解】解：依题意，平行四边形的基本性质是对角相等、对边相等、对角线互相平分，这是所有平行四边形都满足的性质， ∴选项A、B、C一定正确； ∵平行四边形不一定具备对角线互相垂直的性质， ∴D选项不一定正确， 故选：D． 【变式题1-1】.（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，若，则_____°． 【答案】 【详解】解：根据平行四边形对角相等可得 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知在中，，，则的周长为（    ） A．11cm B．28cm C．22cm D．44cm 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握对边相等是解题的关键. 根据平行四边形对边相等的性质，直接计算周长即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴周长. 故的周长为. 故选：C. 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，与的平分线相交于边上的一点．若，，求平行四边形的面积． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据三角形内角和定理求出，根据三角形面积公式求出，根据平行四边形的面积等于面积的2倍，求出结果即可． 【详解】解：是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ， ，， ． 【题型2】平行四边形判定定理的基础应用 1.核心知识点 平行四边形的5种判定定理； 判定条件与性质的区别（性质是“已知平行四边形推结论”，判定是“已知条件推平行四边形”）。 2.解题方法技巧 根据已知条件选择对应判定定理（如已知对边平行，可证对边相等或另一组对边平行）； 书写时明确判定条件的完整性（如“一组对边平行且相等”需同时体现平行和相等）。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条法：如图所示，将两根木条，的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形．这种方法的依据是_____________． 【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：∵木条，的中点O重叠， ∴， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）新情境  王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平行四边形的证明方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形； B、，，一组对边平行，另一组对边相等，不能得到四边形是平行四边形； C、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形； D、，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点A，C在对角线所在的直线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的性质可得，，再由，可得，即可求证． 【详解】证明：连接，交于点O． 四边形是平行四边形， ，． 又， ，即， ∴四边形是平行四边形． 【变式题2-3】.（2026八年级下·江苏·专题练习）已知如图，在中，点、分别在、上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的性质得出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【题型3】利用平行四边形性质求面积 1.核心知识点 平行四边形面积公式（底×高）； 平行线间距离处处相等的性质。 2.解题方法技巧 确定任意一边为底，找到该边对应的高（注意高与底的垂直关系）； 若题目中未直接给出高，可利用勾股定理或面积转化（如相邻边与夹角的正弦值乘积）求解。 【例题3】.（22-23八年级下·吉林·期中）如图，直线，下面关于与的面积，说法正确的是（  　）    A．的面积大 B．的面积大 C．面积相等 D．不确定 【答案】C 【分析】由平行线间距离处处相等以及同底等高的两个三角形的面积相等即可得到答案． 【详解】解：由且平行线间距离处处相等，即可得到与的边上的高相等，同底等高的两个三角形的面积相等， 即与的面积相等， 故选：C 【点睛】此考查了平行线间的距离、三角形的面积等知识，熟练掌握平行线间距离处处相等是解题的关键． 【变式题3-1】.（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，在这个变化过程中，关于木框的周长和面积，下列说法正确的是（   ）    A．周长和面积都不变 B．周长和面积都变小 C．周长不变，面积变小 D．周长不变，面积变大 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，关键是掌握平行四边形的面积公式． 平面图形的周长就是围成它的所有线段的长度和；将矩形拉成平行四边形后，每个边的长度不变，所以它的周长就不变，但是它的高变小了，因此面积就变小了． 【详解】解：矩形木框挤压变成平行四边形后，底边没变，但高变小了， 木框的面积变小了； 在变化过程中，木框每边的长度没变， 木框的周长不变． 故选：C ． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，平行四边形的面积是84平方厘米． (1)阴影部分的面积是多少平方厘米？ (2)丙三角形的面积是甲三角形面积的几分之几？（列式计算） 【答案】(1)18平方厘米 (2) 【分析】本题考查平行四边形的面积，三角形的面积，关键是确定单位“1”，并明确乙的对应比例． （1）将平行四边形面积看作单位“1”，乙丙的面积是平行四边形面积的，平行四边形面积×乙丙对应分率＝乙丙的面积；再将乙丙的面积看作单位“1”，乙丙合起来的大三角形和乙三角形等高，三角形的面积＝底×高÷2，因此乙的底÷乙丙合起来的大三角形的底＝乙的面积占乙丙面积的几分之几，乙丙的面积×乙的对应分率＝乙的面积，即阴影部分的面积； （2）将甲的面积看作单位“1”，甲的面积＝乙的面积+丙的面积，1－乙的面积占乙丙面积和的几分之几＝丙三角形的面积是甲三角形面积的几分之几． 【详解】（1）解： （平方厘米）． 答：阴影部分的面积是18平方厘米． （2） 答：丙三角形的面积是甲三角形面积的． 【变式题3-3】.（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，，AC、BD交于点E，的面积等于10，的面积等于6，那么的面积等于________．    【答案】4 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线之间的距离处处相等，可得，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：4． 【题型4】三角形中位线与平行四边形的简单综合 1.核心知识点 三角形中位线定理； 平行四边形的判定（两组对边分别平行）。 2.解题方法技巧 先识别三角形中位线，利用定理得到“平行且倍分”关系； 通过中位线的平行关系推导四边形对边平行，进而判定平行四边形。 【例题4】.（2026·山西运城·一模）如图，在中，对角线相交于点，是的中点，若的周长为，，则的周长为（    ） A．16 B．21 C．13 D．18 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质以及三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，且周长为， ∴，， ∵点是的中点， ∴，为的中位线， ∴， ∴的周长． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．关键是通过中位线的平行关系，结合角平分线的定义推导出等腰三角形，进而计算线段长度．首先根据三角形中位线定理，确定的长度、与的平行关系及的长度；接着利用平行线的内错角相等和角平分线的定义，证明为等腰三角形，得到；最后通过减去的长度，求出的长． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，在四边形中，点是的中点，，交于点，，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据中位线定理，易证，再根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，即可求证． 【详解】证明： ，     点是的中点， 点是的中点， ，即 ， 四边形为平行四边形． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·广东佛山·月考）如图，在中，F，E分别是和的中点，连接，点G是的中点，连接并延长，交的延长线于点D．若，则的长为（　　） A．12 B．8 C．10 D．6 【答案】B 【分析】由三角形中位线定理可得，，由平行线的性质可得，证明，可得，从而得到的长度． 【详解】解： 分别是和的中点， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ． 【培优高频题型】 【题型5】平行四边形性质与全等三角形的综合证明 1.核心知识点 平行四边形的边、角、对角线性质； 全等三角形的判定（、、等）。 2.解题方法技巧 利用平行四边形性质获取全等所需的边相等或角相等条件（如对边相等、内错角相等）； 证明全等后，反向利用全等结论补充平行四边形判定的条件。 【例题5】.（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，点、分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】先根据平行四边形的性质得，再结合已知条件证明，然后根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”得出答案． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可． （2）根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ． ， ， ． 平分， ， ． 为边的中点， ． 在和中， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：平分， ， ，， ， ， ． ， ， ， ． 四边形是平行四边形， ． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·湖北荆州·月考）如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，． ①线段长为 ． ②四边形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接交于．根据平行四边形的性质得，，再根据，得，根据平行四边形的判定即可得证； （2）①在中，由勾股定理得，进而得，从而即可得解；②过点作于，根据面积公式得，再证明（），得，从而利用面积公式即可得解． 【详解】（1）证明：连接交于． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②过点作于， ∵，，，， ∴， ∴， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理： （1）证明，利用可证明； （2）根据勾股定理求出，可得到，再根据解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ． ，， ． 在和中， ． （2）解：四边形是平行四边形， ，． ，， ∴， ， ． 【题型6】平行四边形中的折叠问题 1.核心知识点 平行四边形的性质； 折叠的性质（对应边相等、对应角相等、折痕垂直平分对应点连线）。 2.解题方法技巧 设未知数表示相关线段长度，利用折叠性质和平行四边形对边相等建立方程； 结合勾股定理求解未知量，注意折叠后重合部分的等量关系。 处，与交于点F，若，，（   ）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键．由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵将沿折叠至处， ， ， 故选：A． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·广东清远·期末）已知：如图，将纸片折叠，使得点落在点的位置，折痕为，连接，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据折叠的性质，平行四边形的性质和判定证明即可． 本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ． ． 由折叠过程可知，，， ． ． ． 四边形为平行四边形． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·广西钦州·期末）活动探究：矩形的折叠． (1)如图1，在矩形中，E，F分别是的中点，M，N分别是上的点，且，将沿着折叠，点D的对应点为G；将沿折叠，点B的对应点为H，点G，H都在矩形内部． ①求证：； ②判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，在矩形中，E是边上的一个动点，将沿着折叠，点D的对应点为F，已知，若以F，C，B为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)①见解析②四边形是平行四边形，理由见解析 (2)或2 【分析】（1）①利用矩形性质证明，得到，再结合折叠的性质即可证明； ②连接，结合矩形性质证明，进而得到由折叠性质可知 ，即可证明四边形的形状； （2）根据以F，C，B为顶点的三角形是等腰三角形，分情况：①当时，②当时，过点F作，垂足为M，交于N，③若，结合勾股定理，矩形性质和判定，分析求解，即可解题． 【详解】（1）①证明：在矩形中， E、F分别是的中点， ， 又， ， ， 由折叠的性质可知，，， ． ②四边形是平行四边形 理由：连接， 四边形是矩形 ， ， 由①知． ， 即， ， 由折叠性质可知， ， 四边形是平行四边形； （2）解：或2， 理由如下： ①如图，当时，是等腰三角形，根据题意可知， 即， 又， 点F在上，且为中点， 又， ， ， ， ， ； ②如图，当时， 是等腰三角形．过点F作，垂足为M，交于N， 四边形是矩形， ，， ， ， 又， ， 同理易知，四边形是矩形， 设， ，， ，解得， ； ③如图，若，则，， 这样，， 所以不成立． 综上所述，或2． 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形性质和判定，等腰三角形性质和判定，平行四边形判定，掌握相关知识是解题的关键． 【变式题6-3】.（2025·甘肃兰州·一模）综合与实践：数学中的折纸与作图 折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动． 探究主题 平行四边形中的折纸与作图 探究素材 如图1，一张平行四边形纸片 折纸过程 如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为． 探究问题 （1）在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____； （2）在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____； （3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）垂直；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查轴对称，折叠的性质，尺规作垂线的方法，掌握轴对称，折叠的性质是关键． （1）根据折叠，轴对称图形的性质即可求解； （2）根据折叠得到，根据平行四边形的性质得到，则，由此即可求解； （3）根据尺规作垂直的方法作图即可． 【详解】解：（1）∵折叠，点重合，即成轴对称图形， ∴线段与折痕相互垂直， 故答案为：垂直； （2）∵折叠， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）根据（1），（2）可得，，且平分， ∵折叠， ∴，， ∴，且平分，折痕所在直线， ∴如图所示， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点， 连接交于点， 以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接， ∴四边形即为四边形关于折痕折叠后的图形． 【题型7】平行四边形中的动点问题（存在性探究） 1.核心知识点 平行四边形的判定定理； 动点运动过程中线段长度和位置关系的变化。 2.解题方法技巧 设动点运动时间为，用含的代数式表示相关线段长度； 根据平行四边形的判定条件（如一组对边平行且相等）列方程，求解的值，注意验证结果的合理性（如线段长度为正）。 【例题6】.（2025八年级上·山东·专题练习）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（   ）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键．由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵将沿折叠至处， ， ， 故选：A． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·广东清远·期末）已知：如图，将纸片折叠，使得点落在点的位置，折痕为，连接，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据折叠的性质，平行四边形的性质和判定证明即可． 本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ． ． 由折叠过程可知，，， ． ． ． 四边形为平行四边形． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·广西钦州·期末）活动探究：矩形的折叠． (1)如图1，在矩形中，E，F分别是的中点，M，N分别是上的点，且，将沿着折叠，点D的对应点为G；将沿折叠，点B的对应点为H，点G，H都在矩形内部． ①求证：； ②判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，在矩形中，E是边上的一个动点，将沿着折叠，点D的对应点为F，已知，若以F，C，B为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)①见解析②四边形是平行四边形，理由见解析 (2)或2 【分析】（1）①利用矩形性质证明，得到，再结合折叠的性质即可证明； ②连接，结合矩形性质证明，进而得到由折叠性质可知 ，即可证明四边形的形状； （2）根据以F，C，B为顶点的三角形是等腰三角形，分情况：①当时，②当时，过点F作，垂足为M，交于N，③若，结合勾股定理，矩形性质和判定，分析求解，即可解题． 【详解】（1）①证明：在矩形中， E、F分别是的中点， ， 又， ， ， 由折叠的性质可知，，， ． ②四边形是平行四边形 理由：连接， 四边形是矩形 ， ， 由①知． ， 即， ， 由折叠性质可知， ， 四边形是平行四边形； （2）解：或2， 理由如下： ①如图，当时，是等腰三角形，根据题意可知， 即， 又， 点F在上，且为中点， 又， ， ， ， ， ； ②如图，当时， 是等腰三角形．过点F作，垂足为M，交于N， 四边形是矩形， ，， ， ， 又， ， 同理易知，四边形是矩形， 设， ，， ，解得， ； ③如图，若，则，， 这样，， 所以不成立． 综上所述，或2． 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形性质和判定，等腰三角形性质和判定，平行四边形判定，掌握相关知识是解题的关键． 【变式题6-3】.（2025·甘肃兰州·一模）综合与实践：数学中的折纸与作图 折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动． 探究主题 平行四边形中的折纸与作图 探究素材 如图1，一张平行四边形纸片 折纸过程 如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为． 探究问题 （1）在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____； （2）在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____； （3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）垂直；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查轴对称，折叠的性质，尺规作垂线的方法，掌握轴对称，折叠的性质是关键． （1）根据折叠，轴对称图形的性质即可求解； （2）根据折叠得到，根据平行四边形的性质得到，则，由此即可求解； （3）根据尺规作垂直的方法作图即可． 【详解】解：（1）∵折叠，点重合，即成轴对称图形， ∴线段与折痕相互垂直， 故答案为：垂直； （2）∵折叠， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）根据（1），（2）可得，，且平分， ∵折叠， ∴，， ∴，且平分，折痕所在直线， ∴如图所示， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点， 连接交于点， 以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接， ∴四边形即为四边形关于折痕折叠后的图形． 【题型8】跨学科情境题：平行四边形在实际测量中的应用 1.核心知识点 平行四边形的判定与性质； 实际测量中“等角对等边”“平行线转移线段”的思路。 2.解题方法技巧 构建平行四边形模型，将实际测量的线段或角度转化为平行四边形的边或角； 利用平行四边形对边相等的性质，间接求出无法直接测量的线段长度（如池塘两端距离、建筑物高度）。 【例题7】.（24-25八年级下·河南洛阳·月考）如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间______时，四边形为平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而根据平行四边形的判定列出方程解答即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得， 故答案为：． 【变式题7-1】.（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 【变式题7-2】.（2025八年级下·全国·专题练习）如图，等边的边长为，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以的速度运动． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ (2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置． 【答案】(1)秒 (2)当时间， ；当时间， 【分析】（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程列方程求解即可； （2）分类讨论：当点M在线段上，点N在上时；当点M在线段上，点N在上时；当点M在线段上，点N在上时，利用等边三角形的性质和点M、N的运动规律列出关于t的方程，借助于方程解答即可． 【详解】（1）解： 第一次相遇时间（秒）； 答：若动点M、N同时出发，经过秒钟两点第一次相遇； （2）如图2，当点M在线段上，点N在上时： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵为等边三角形， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 此时； 如图3，当点M在线段上，点N在上时： 同理和是等边三角形， ， ， ∴， ， ， 此时， 如图4，当点M在线段上，点N在上时， 同理和是等边三角形， ， ， ∴， ， （不合题意，舍去）． 综上所述：当时间， ；当时间，． 【点评】本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的性质，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键． 【变式题7-3】.（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)___________ (2)当___________时，点运动到的角平分线上； (3)请用含的代数式表示的面积： (4)当时，直接写出点到四边形相邻两边距离相等时的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4)或或或 【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案； （2）作的角平分线交于，求出，据此列方程并解方程即可得到答案； （3）根据题意分3种情况讨论求解即可； （4）分四种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 故答案为： （2）如图，作的角平分线交于， ， 四边形是长方形， ∴， ， ， ， ， ， ，解得． 当时，点运动到的角平分线上； 故答案为：； （3）根据题意分3种情况讨论： ①当点在上运动时， ，； ②当点在上运动时， ，； ③当点在上运动时， ，； 综上，； （4）解：当时，点在，、边上运动，根据题意分情况讨论： ①当点到与距离相等时， 则点在角平分线上， 由（2）可知，； ②当点到与距离相等时，则点在角平分线上，过点作于点Q， ∵， ∴， ∴ ∴ 在中， 即 解得 ∴， ③当点到与距离相等时，则点在角平分线上，过点作于点F，于点G，如图， 同理可得， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴ 在中， 即， 解得 ④当点到与距离相等时，点在角平分线上， ∴ ∴为等腰三角形， ∴ ∴ 综上所述：或或或时，点到四边形相邻两边距离相等． 【点睛】此题考查了勾股定理、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、列函数关系式等知识，正确画出图形和分类讨论是关键． 【压轴素养题型】 【题型9】平行四边形中的最值问题 1.核心知识点 平行四边形的性质； 垂线段最短、三角形三边关系等最值原理。 2.解题方法技巧 将最值问题转化为“线段最短”问题（如求某点到直线的最短距离）； 利用平行四边形对边平行且相等的性质，转移线段，结合最值原理求解。 【例题8】.（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 【答案】篮球架篮板的高度为 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质的应用．根据垂直定义可得，从而可得，再根据同位角相等，两直线平行可得，从而可得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，即可解答 【详解】解：，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 答：篮球架篮板的高度为． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·广东河源·期末）综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·全国·周测）某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·山东烟台·期末）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①任意取一点，使点和点在直线l的两旁； ②以为圆心，的长为半径画弧，交l于点，，连接； ③分别以点，为圆心，以，长为半径画弧，两弧相交于点（点和点在直线的两旁）； ④作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程，解决下列问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹；可以继续完成小明的作图，也可以按照小明的思路在备用图中自主完成） (2)你认为小明的做法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)正确，理由见解析 【分析】本题考查了作图中的复杂作图：复杂作图一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，即可求解． （1）利用作法补全图形； （2）根据两组对边分别相等判定四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： ； （2）解：小明的做法正确，理由： 连接， 由（1）中作图易得：，， ∴四边形是平行四边形， ； 【题型10】平行四边形与特殊三角形的综合（素养导向） 1.核心知识点 平行四边形的性质； 等边三角形、等腰直角三角形的性质。 2.解题方法技巧 利用特殊三角形的边角关系（如等边三角形三边相等、等腰直角三角形斜边与直角边的关系）补充平行四边形的边长或角度条件； 通过旋转、平移等图形变换构造平行四边形，转化线段或角的位置。 【例题10】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知是等边三角形，点分别在线段、上，，，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质，通过内错角相等得到，继而得证四边形是平行四边形． （2）通过证明是等边三角形，得到，继而证明，根据对应边相等得到． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别以它的三边为边长，在边的同侧作三个等边三角形，即、、，连接、、． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）分别用证明，得到四边形的两组对边分别相等即可． （2）由是等边三角形可得，在中，，可得，由是等边三角形可得，由，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由（1）得，， ∵， ∴， 在中，． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，在梯形中，，、分别是、的中点，连接，叫做梯形的中位线．小华结合学习三角形中位线定理的经验对线段、与之间的位置和数量关系做了探究．通过连接，并延长交的延长线于点，证明，再结合三角形中位线的定理可得出，． 请利用上述方法解决问题： 如图②，在梯形中，和的平分线相交于点，且点在梯形中位线上．若梯形的周长为，求的长． 【答案】 【分析】平行线和角平分线结合构造出等腰三角形，推出，，等量代换得出，结合题干中得出的，即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 同理可得， ， ∵梯形的周长为， ， ． 【变式题10-3】.（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）已知，在中，点在边上，过点作于点，点在边上，在边上，且是等边三角形，连接，． (1)如图，若，，，求的长； (2)如图，若平分，，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定： （1）证得，设，在中，根据勾股定理可知，求解即可求得答案； （2）过点作交于点，交于点，过点作交于点．证得，依据，，可求得，证明，得到，再证明，得到，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵，四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∵， 设，那么． 在中，根据勾股定理可知，即 ． 解得 或（舍去）． ∴． （2）证明：过点作交于点，交于点，过点作交于点． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ． ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在中，． ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． ∵，且，，， ∴． 易错点 1.混淆平行四边形的性质与判定，如用“对角线相等”错误判定平行四边形（对角线相等是矩形的性质）。 2.计算平行四边形面积时，误用邻边相乘（忽略“高”需与底垂直的条件），或混淆不同底对应的高。 3.解决折叠、动点问题时，未考虑多解情况（如动点在线段延长线上），导致漏解。 4.表示平行四边形时，顶点字母顺序混乱，或忽略“两组对边分别平行”的定义核心，误将“一组对边平行、另一组对边相等”当作平行四边形的判定（可能是等腰梯形）。 重点 1.熟练掌握平行四边形的5种判定定理和3类核心性质，能根据题目条件灵活选择判定方法和性质应用。 2.掌握平行四边形与全等三角形、三角形中位线、特殊三角形的综合解题思路，建立“性质→等量关系→证明/计算”的逻辑链。 3.理解平行四边形在实际问题中的应用，能构建数学模型，将实际问题转化为几何计算或证明。 4.掌握折叠、动点、分类讨论等常见题型的解题方法，提升方程思想和数形结合思想的运用能力。 难点 1.平行四边形的多解问题（如给定三点求第四点构成平行四边形、动点运动的不同情况），需全面分类讨论，避免漏解。 2.平行四边形与图形变换（折叠、旋转、平移）的综合题，需准确把握变换前后的等量关系，结合平行四边形的性质进行推导。 3.探究式题型中，需自主发现平行四边形的隐含性质（如角平分线与边的关系、对角线的特殊比例），并通过逻辑推理验证猜想。 4.利用平行四边形的性质解决最值问题，需灵活转化线段关系，结合最值原理（如垂线段最短）突破解题瓶颈。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，已知，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边相等，可知，，再根据平行四边形的周长公式计算出结果即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 的周长为． 故选：D． 2．已知中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，灵活运用平行四边形对角相等的性质是解题的关键．根据平行四边形的对角相等得到，进而结合求出的度数． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， 故选：． 3．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、的长，根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， 四边形的周长； 4．如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理，连接，根据三角形中位线定理得到，得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点R在上从点B向点C移动， ∴先变小再变大， ∴线段的长先变小再变大． 故选：B． 5．如图，是等边三角形，的平分线交于点D，过点D作于点E，延长和交于点F，若，则的长为（  ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，易得，证明为等边三角形，三线合一求出，线段的和差求出的长． 【详解】解： 取的中点，连接， ∵是等边三角形，的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题 6．若中，，，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形．点的坐标为________． 【答案】或或． 【分析】先建立平面直角坐标系，描出，连接，根据平行四边形对角线互相平分，进行分类讨论：①以为对角线，②以为对角线，③以为对角线，分别求出的中点坐标，再根据中点坐标公式求解即可． 【详解】如图，建立平面直角坐标系，描出，连接， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴分类讨论： ①以为对角线， 如图，作中点，连接并延长使得，连接， ∵，， ∴，即， ∵也是的中点，， ∴，即； ②以为对角线， 如图，作中点，连接并延长使得，连接， ∵，， ∴，即， ∵也是的中点，， ∴，即； ③以为对角线， 如图，作中点，连接并延长使得，连接， ∵，， ∴，即， ∵也是的中点，， ∴，即； 综上，的坐标为或或． 7．如图，平行四边形中，点E在边上，若点A关于的对称点落在上，的周长为5，的周长为17，则的长为____． 【答案】6 【分析】运用翻折的性质可得，，，结合已知条件的周长为5，的周长为17，求得平行四边形的周长，从而得到，最后结合的周长为17，求得的长． 【详解】解：由折叠可得，，． ∵的周长为5，的周长为17， ∴， ∴，． ∴平行四边形的周长， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴． 8．在平行四边形中，，，、的平分线分别交于F、E，则线段的长表示为______．（用a、b表示） 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定，利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线得到等角，利用等角对等边得到，再根据线段的和差关系计算EF的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，． ，． 平分，平分， ，． ，． ，． 当为与的重叠部分时， ． ． 当为与的不重叠部分时， ． ． ． 故答案为：． 9．如图，E，F分别是的边，上的点，与相交于点P，与相交于点．若的面积为2，的面积为4，的面积为26，则阴影部分的面积为_______． 【答案】7 【分析】连接、两点，过点作于点．根据平行四边形的性质得出，进而减去公共的的面积可得，同理，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、两点，过点作于点． ∵，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∴， ∴， 同理， ∴． ∵，， ∴， 故阴影部分的面积． 故答案为：7． 10．如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点（含端点，但点不与点重合），、分别是线段、的中点，则的最大值为_____________． 【答案】1 【分析】本题考查中位线的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，根据中位线的性质得到，进而得到最大时，最大，根据勾股定理求出的最大值，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接， 、分别是线段、的中点， ， 最大时，最大， 当点与重合时，最大，此时， ， 的最大值为1． 三、解答题 11．如图，已知：在四边形中，，且．求证：四边形是一个平行四边形．    【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理． 直接根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明即可． 【详解】证明：∵，且， ∴四边形是一个平行四边形． 12．如图，在中，过点D作，垂足为E，过点B作，垂足为F．若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的面积计算公式，以及同底等高的平行四边形与三角形之间的面积的数量关系，掌握以上知识是解题的关键．由得到，，由此可得，再根据，可得，最后将，，代入上式，可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 13．如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点以及等量代换得出，然后根据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）根据等边三角形和平行四边形的性质得出相等的边，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 14．如图，在中，E为上一点，F为上一点，且与交于点G，求证：． 【答案】见详解 【分析】过点C作于点N，于点H，连接，根据等积法可得，进而即可得到结论． 【详解】解：过点C作于点N，于点H，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴． 15．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据路程=速度×时间，求解即可 ； （2）当时，过点A作于点F，则，，得到，根据题意，得，，构造等式求解即可； （3）当时，；当时，， 根据平行四边形的判定，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动， ∴； （2）解：当时，如图1，过点A作于点F，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴， ∴， 解得． （3）解：存在， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴当点P与点D重合时，， 故， 解得， ∴当点Q与点B重合时，， 故， 解得， ∴当时，； 当时，， ∵， ∴当时，A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， 当时，如图2，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 当时，如图3，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $