精品解析：2026年内蒙鄂伦春自治旗九年级初中毕业生学业水平考试数学试题

鄂伦春自治旗2026年初中毕业生水平考试模拟卷2 数 学 一、选择题（下列各题的选项中只有一个正确．共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图是某物体对应几何体的三视图，则最符合该三视图的物体应是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形判断即可． 【详解】解：A．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心），故本选项不符合题意； B．圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意； C．长方体的三视图都是矩形，故本选项符合题意； D．该三棱柱的主视图是三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识． 2. 在学习了平行线的性质与判定后，数学活动小组的同学们对小学学过的光线的折射现象做了如下实验：如图，光线从液体中射向空气时会发生折射，光线变成，点G在射线上，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 3. 如图，，以为圆心，为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点，由作图可得，，，则是的垂直平分线，通过证明是等边三角形，得到，进而得到，再利用勾股定理求出的长，在中利用正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， 由作图可得，，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 即． 4. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接，，则面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数中系数的几何意义求出和，再利用解答即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴， ，， ． 5. 如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 中心对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的变换，熟练掌握平移是解题的关键； 根据平移可进行求解． 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移， 故选：A． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则及合并同类项法则，需根据相关法则逐一判断各选项计算的正确性． 【详解】解：A、，故A错误； B、，，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 故选：C． 7. 现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率等知识点，用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解决此题的关键． 【详解】解：将所有结果列表格如下： 声母 韵母 a e i d da de di t ta te ti l la le li 所有可能的组合为9种，符合条件的情况仅1种，故两张卡片刚好拼成“德”字读音de的概率为． 故选：A． 8. 如图，在中，，点D，E分别在边和上，，连接，M，N分别是的中点，连接，且，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接，取中点K，连接，根据中位线的判定和性质得到，，结合题意得到，根据勾股定理列式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，取中点K，连接， ∵点M，N分别是的中点， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得． 二、填空题（本题4个小题，每小题3分，共12分） 9. 函数中，自变量x的取值范围是_____________． 【答案】x≥1且x≠2 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，零指数幂的底数不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，x﹣1≥0且x﹣2≠0， 解得x≥1且x≠2． 故答案为：x≥1且x≠2． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 10. 北斗卫星导航系统是我国自主研发的全球卫星导航系统，它能提供定位服务、导航服务和高精度的授时功能，北斗卫星导航系统的授时精度非常高，每秒的误差不超过秒，数据用科学记数法可表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，需看原数变为时小数点移动的位数，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值小于时，为负整数． 【详解】解：． 11. 某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，由题意，得，线段的和差求出的长，解，求出的长即可．添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，则：米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米； 故答案为：． 12. 如图，在中，，，，点是边上的一个动点，以为直径作分别交，于点，，连接，则线段的最小值为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质、圆周角定理、垂线段最短和最值问题，解题的关键点在于根据圆周角定理得到；连接、，过点作于点，如图，先根据含角的直角三角形三边的关系计算出，再根据圆周角定理得到，所以，则，然后根据垂线段最短得到的最小值为，从而得到的最小值． 【详解】解：连接、，过点作于点，如图， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， 而， ∴， ∵， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， ∵点是边上的一个动点， ∴当点在点时，的值最小， 即的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本题6个小题，共64分） 13. 计算： （1） （2）先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， 由，得， 因为当时，原分式无意义，所以应舍去， 所以， 代入，得， ． 14. 如图，有三摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，图中标注了相关数据，请根据这些信息解答下列问题． （1）最下面的碗的高度是 ，每增加一个碗增加的高度是 ． （2）求第三摞碗的总高度与碗的总个数x(个)之间的函数关系式，并通过计算判断这摞碗的高度能否是． （3）已知买一个碗需要2元，对于第三摞碗，若其高度不低于，求买这摞碗至少需要多少钱． 【答案】（1）； （2）， 这摞碗的高度不能是，理由： ， 当时，即， 解得：， 不是整数， ∴这摞碗的高度不能是． （3）买这摞碗至少需要元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，求函数解析式，不等式的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）第一摞有个碗，高度是，第二摞有个碗，高度为，所以每增加一个碗增加的高度为，则最下面的碗的高度是； （2）根据（1）即可得出函数解析式，当时，即，解得， 即可判断； （3）对于，当，即时，解得，即可求解． 【小问1详解】 解：第一摞有个碗，高度是，第二摞有个碗，高度为， ∴每增加一个碗增加的高度为， ∴最下面的碗的高度是， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：对于，当，即时， 解得：， ∴若这摞碗的高度不低于，则这摞碗不少于个， ∴买这摞碗至少需要（元）． 15. 奶皮子是蒙古族的传统美食，以其浓郁的奶香和软糯的口感著称．将奶皮子与传统的冰糖葫芦结合，不仅保留了奶皮子的醇厚奶香，还融入了冰糖葫芦的酸甜爽口，形成了独特的草原风味．某实践小组为了解市民对甲，乙两家店铺奶皮子糖葫芦的喜爱程度，从甲，乙两家店铺的顾客中各随机抽取10名进行喜爱程度调查，并进行评分(百分制，分数分成四个等级：A：；B：；C：；D：)，对数据进行整理和分析，并将调查结果绘制成如下统计图表，其中乙店等级的评分是： ，，，， 甲乙两家店铺10名顾客评分统计表 店铺 平均数 中位数 众数 甲店 乙店 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ；请你估计一天内进入甲店的450名顾客中喜爱程度评分在等级的人数； （2）请你从中位数或众数的角度分析甲，乙两家店铺售卖的奶皮子糖葫芦，哪家更受市民喜爱？ （3）五一期间，甲店想招聘两位临时工，现有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求甲店恰好聘用一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）；；人 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求得的值，根据样本估计总体估计一天内进入甲店的450名顾客中喜爱程度评分在等级的人数； （2）从中位数或众数的角度即可解答； （3）根据画树状图法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可得，，组各有两个评分，中位数在C组， 乙店等级的评分是： ，，，， ∴乙店个评分数据中，第和第个数据分别为，，则中位数， 其中出现次数最多，则众数 甲店评分在等级的人数为1人，(人) 答：估计甲店450名顾客中D等级的人数为45人． 【小问2详解】 解：方法一：从中位数分析 甲店评分的中位数是89，乙店评分的中位数是92． 因为，说明乙店一半以上顾客的评分高于92分，甲店一半以上顾客的评分高于89分， 所以乙店的奶皮子糖葫芦更受市民喜爱． 方法二：从众数分析 甲店评分的众数是94，乙店评分的众数是93． 因为，说明甲店顾客评分中94分出现的次数最多，比乙店的众数高， 所以甲店的奶皮子糖葫芦更受市民喜爱．(两种方法任选一种作答即可) 【小问3详解】 解：如图 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好聘用一男一女的结果有8种， 所以概率 16. 将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E． （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形； （3）在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请求出的值． 【答案】（1） 解：，理由如下： 四边形与四边形都是矩形，如图①，连接， ， ， 即， 将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形， ， 在和中， ， ， ； （2） 证明：如图2：连接， 根据旋转的性质可得：， 四边形是矩形， ，，， 即， 又， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，根据矩形的性质得出，推得，根据旋转的性质得出，根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）连接，根据旋转的性质得出，根据矩形的性质得出，，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据平行四边形的判定定理即可证明； （3）分为：点，在的同一侧时和点，在的异侧时，两种情况分别求解，根据勾股定理求出，结合图形求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，当点，在的同一侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 如图4：当点，在的异侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）连接CE，求证：△ACE∽△ADC； （3）若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC． 【答案】（1） 证明：如图，过作于 ∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线， O为圆心，OC为半径， 是⊙O的切线． （2） 证明：如图，连结CE， 为的直径， （3）tan∠OAC 【解析】 【分析】（1）如图，过作于证明 即可得到结论； （2）证明 再结合 从而可得结论； （3）由相似三角形的性质可得 设 则 而 从而建立方程求解x，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设 则 而 解得 tan∠OAC 【点睛】本题考查的是切线的判定，相似三角形的判定与性质，求解锐角的正切，证明，利用相似三角形的性质求解是解本题的关键． 18. 如图①，这是某地的一个拱形彩灯门，其横截面如图②所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段构成的，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中为的中点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图②，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作3条支撑杆，其中和长度相等且垂直于地面，求所需支撑杆长度和的最大值； （3）如图③，为喜迎元宵佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后呈轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼间的水平距离相等且至少间隔，若灯笼高度忽略不计，请设计一种悬挂方案，使悬挂灯笼的数量最多．（参考数据：） 【答案】（1） （2）米 （3）以为中心，在、、、、、、、、、、的位置悬挂灯笼 【解析】 【分析】（1）根据拱形彩灯门的横截面各部分的长度，得到抛物线顶点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设点的坐标是，则有支撑杆的长度和是，整理成顶点坐标式为，根据二次函数的性质可知所需支撑杆长度和的最大值为； （3）因为灯笼到地面的垂直距离不低于，可得关于的一元二次方程，解一元二次方程得到时，两点之间的水平距离为，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂个灯笼，据此写成方案，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，抛物线顶点的坐标是， 为的中点，，， ∴点的坐标是， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴抛物线的函数表达式是； 【小问2详解】 解：设点的坐标是，则由抛物线的对称性可得， 则，， 则支撑杆的长度和是， 整理得， ∴当时，所需支撑杆长度和的最大值为米； 【小问3详解】 解：由（1）知，抛物线的函数表达式是， 令， 整理得， 解得， ∴时，两点之间的水平距离为， 要让数量最多，相邻间隔取1米，最多可以悬挂灯笼的数量是个． 悬挂方案：以O为中心，在、、、、、0、1、2、3、4、5的位置悬挂灯笼． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄂伦春自治旗2026年初中毕业生水平考试模拟卷2 数 学 一、选择题（下列各题的选项中只有一个正确．共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图是某物体对应几何体的三视图，则最符合该三视图的物体应是（　　） A. B. C. D. 2. 在学习了平行线的性质与判定后，数学活动小组的同学们对小学学过的光线的折射现象做了如下实验：如图，光线从液体中射向空气时会发生折射，光线变成，点G在射线上，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，以为圆心，为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接，，则面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 中心对称 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点D，E分别在边和上，，连接，M，N分别是的中点，连接，且，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 二、填空题（本题4个小题，每小题3分，共12分） 9. 函数中，自变量x的取值范围是_____________． 10. 北斗卫星导航系统是我国自主研发的全球卫星导航系统，它能提供定位服务、导航服务和高精度的授时功能，北斗卫星导航系统的授时精度非常高，每秒的误差不超过秒，数据用科学记数法可表示为_____． 11. 某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米） 12. 如图，在中，，，，点是边上的一个动点，以为直径作分别交，于点，，连接，则线段的最小值为 __________． 三、解答题（本题6个小题，共64分） 13. 计算： （1） （2）先化简，再求值：，其中a满足． 14. 如图，有三摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，图中标注了相关数据，请根据这些信息解答下列问题． （1）最下面的碗的高度是 ，每增加一个碗增加的高度是 ． （2）求第三摞碗的总高度与碗的总个数x(个)之间的函数关系式，并通过计算判断这摞碗的高度能否是． （3）已知买一个碗需要2元，对于第三摞碗，若其高度不低于，求买这摞碗至少需要多少钱． 15. 奶皮子是蒙古族的传统美食，以其浓郁的奶香和软糯的口感著称．将奶皮子与传统的冰糖葫芦结合，不仅保留了奶皮子的醇厚奶香，还融入了冰糖葫芦的酸甜爽口，形成了独特的草原风味．某实践小组为了解市民对甲，乙两家店铺奶皮子糖葫芦的喜爱程度，从甲，乙两家店铺的顾客中各随机抽取10名进行喜爱程度调查，并进行评分(百分制，分数分成四个等级：A：；B：；C：；D：)，对数据进行整理和分析，并将调查结果绘制成如下统计图表，其中乙店等级的评分是： ，，，， 甲乙两家店铺10名顾客评分统计表 店铺 平均数 中位数 众数 甲店 乙店 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ；请你估计一天内进入甲店的450名顾客中喜爱程度评分在等级的人数； （2）请你从中位数或众数的角度分析甲，乙两家店铺售卖的奶皮子糖葫芦，哪家更受市民喜爱？ （3）五一期间，甲店想招聘两位临时工，现有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求甲店恰好聘用一名男生和一名女生的概率． 16. 将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E． （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形； （3）在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请求出的值． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）连接CE，求证：△ACE∽△ADC； （3）若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC． 18. 如图①，这是某地的一个拱形彩灯门，其横截面如图②所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段构成的，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中为的中点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图②，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作3条支撑杆，其中和长度相等且垂直于地面，求所需支撑杆长度和的最大值； （3）如图③，为喜迎元宵佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后呈轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼间的水平距离相等且至少间隔，若灯笼高度忽略不计，请设计一种悬挂方案，使悬挂灯笼的数量最多．（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $