复习专题立体几何球的切接问题讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

复习专题 空间几何体外接球及内切球 【题型】 1.长方体（正方体）的外接球问题 2.直棱柱（圆柱）的外接球问题 3.圆台、棱台的外接球问题 4.垂面模型的外接球问题 5.直二面角模型外接球问题 6.几何体的内切球 【知识点】 （一）长方体（正方体）相关的几何体外接球 长方体（正方体）的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 长方体的长、宽、高分别为，则外接球的半径 正方体的棱长为.则外接球半径；内切球半径；棱切球半径 常见可以补成长方体的三棱锥如下： （1）三条侧棱两两互相垂直，如图1所示． （2）四个面均是直角三角形，此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）三棱锥的对棱两两相等，如图4所示 图1 图2 图3 图4 （二） 直棱柱（圆柱）的外接球 （汉堡模型） 已知：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 1.确定球心的位置，是的外心，则平面； 2.算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 3.勾股定理：，解出 （三） 垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 1.将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 2.为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 3.利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②． 若底面是等边三角形的三棱锥（柱）： 若底面是等腰直角三角形的三棱锥（柱）： 若底面是直角三角形的三棱锥（柱）： （四）面面垂直模型（或直二面角模型也叫切瓜模型） 1.如图4-1，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 步骤： ①确定球心的位置，取的外心，则三点共线； ②先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； ③勾股定理：，解出；1． 事实上，的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出. 2．如图4-2，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则 求三棱锥的外接球半径：①； ② 3．如图4-3，平面平面，且（即为小圆的直径） 4．已知：如图4-4，平面平面，且（即为小圆的直径） ①易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径； ②在中，可根据正弦定理，求出. 求外接球问题的方法总结：一定球心，二定半径 (1)通法---- 外心垂面法，先找一个面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其到各顶点的距离等于半径，确定球心的位置． (2)进阶法---两垂面交线法.分别过几何体的两个相交平面的外接圆的圆心作各自所在平面的垂线，垂线的交点就是球心．常用正弦定理求外接圆半径. (3)特殊补形法，多面体还可通过补成正方体、长方体或直棱柱的方法找到球心的位置． （五）几何体的内切球 (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决． (2)体积分割是求内切球半径的通用方法． (3)正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1．(a为该正四面体的棱长) (4)等体积法求内切球半径． 为内切球半径 【典型例题】 【例1】棱长均为2的四面体的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正棱锥及其有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【解析】方法一：因为四面体所有棱长都是，所以四面体可以看成由一个边长为的正方体截得的， 因此四面体的外接球即为正方体的外接球，所以外接球的直径， 故四面体的外接球体积为. 方法二：作在底面上的投影，连接，则外接球球心位于上， 连接， 设外接球半径为，则，已知，则 ， ， 在中，，即， 解得， ． 【变式1-1】已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB＝，BC＝，AC＝2，则此三棱锥的外接球的体积为(　　) A．π B．π C．π D．π 【答案】B 【解析】∵AB＝，BC＝，AC＝2， ∴PA＝1，PC＝，PB＝2． 以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱，作长方体，如图所示，则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC的外接球． ∵长方体的体对角线长为＝2， ∴球的直径为2，半径R＝， ∴三棱锥P-ABC外接球的体积为πR3＝π×()3＝π．故选B． 【例2】在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，然后求出球表面积即可． 【解析】因为， 所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：    设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则有，整理得， 则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径， 所以有， 所以所求的球体表面积为：． 故选：A． 【变式2】在四面体中，，，，则其外接球的表面积为__________. 　　 【答案】 【解析】解：如下图所示， 将四面体放在长方体内，设该长方体的长、宽、高分别为、、，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为，由勾股定理得 ，得， 所以，该四面体的外接球直径为， 因此，四面体的外接球的表面积为， 故答案为：． 总结：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）画出一个长方体标出三组互为异面直线的对棱，设出长方体的长宽高分别为，，（如图） ，， 列方程组，， 【例3】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且∠BAC＝，AA1＝BC＝2，则球O的体积为(　　) A．4π　　　B．8π　　　C．12π　　　D．20π 【答案】A 【解析】在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圆的半径r＝＝＝，则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径R＝＝＝， 则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的体积为πR3＝4π．故选A． 【变式3-1】(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为3 和4 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π 【答案】A 【解析】由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为×3＝3，×4＝4．设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π．故选A． 【变式3-2】在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 【答案】 【分析】先求出底面正三角形的外接圆半径，再结合侧棱垂直底面的几何特征计算外接球半径，最后代入球的表面积公式求解． 【解析】 设底面正的外接圆圆心为，外接圆半径为， 已知是正三角形，边长， 则其外接圆半径为， 平面， 三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上， 且球心到平面的距离， 外接球半径为：， 由球的表面积公式得． 【例4】已知正三棱柱，，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________. 【答案】 【分析】分别取和的中心，易知外接球的球心为的中点，进而结合勾股定理求出半径，然后求出球的表面积. 【解析】如图，在正三棱柱中，设和的中心分别为，设的中点为， 所以为正三棱柱外接球的球心， 所以， 连接，延长交于点，所以为的中点， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以该球的表面积为. 【变式4-1】已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理求，结合正弦定理求解外接圆半径，再根据三棱柱的外接球球半径与三棱柱的高以及外接圆半径的关系得出结果. 【解析】如图所示，在中，，，， 由余弦定理可得，所以， 由正弦定理可得外接圆半径， 设此圆圆心为，球心为，在中，，易得球半径， 故此球的表面积为． 故选：A． 【变式4-2】已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据给定条件，证明平面，再确定球心O的位置，求出球半径作答. 【解析】在三棱锥中，如图，，则，同理， 而平面，因此平面， 在等腰中，，则，， 令的外接圆圆心为，则平面，， 有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即， 从而，四边形为平行四边形，，又， 因此球O的半径， 所以球的表面积. 【例5】如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________． 【答案】 【分析】首先，根据正四棱台的体积公式求出棱台的高；然后，通过建立关于外接球半径的方程来求解外接球半径；最后，利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【解析】已知，，则上底面积，下底面积，体积， 由棱台体积公式得， 设外接球球心到下底面中心的距离为，则到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为，则. 展开并化简：（负值舍去）， 则， 最终外接球表面积：， 故答案为： 【变式5】在正四棱台内有一个球与该四棱台的每个面都相切（称为该四棱台的内切球），若，则该四棱台的外接球（四棱台的顶点都在球面上）与内切球的半径之比为________． 【答案】 【分析】利用正棱台的性质，分别求出内切球与外接球的半径即可得解. 【解析】根据题意，该正棱台的轴截面，如图：    由题意，由知， 由圆的切线长性质可知，所以， 所以， 所以该四棱台的内切球的半径为， 下面画出正四棱台， 连接,，交于点,连接,，交于点，如图，    由可得,，， 设外接球的半径为，，则， 由得，解得， 于是，则. 所以. 故答案为：. 【例6】已知圆台的上、下底面的半径之比为，侧面积为9π，在圆台的内部有一球O，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O的表面积为(　　) A．3π B．5π C．8π D．9π 【答案】C 【解析】设圆台的上底面半径为r，则下底面半径为2r，母线长为l，如图所示，作出圆台与球的轴截面． 由于球O与圆台的上、下底面及母线均相切， 故l＝AD＝AH＋DG＝r＋2r＝3r． 根据圆台的侧面积公式S＝(πr＋2πr)l＝9π，可得r＝1， 所以球的直径为HG＝2，即半径为，则球的表面积为4π×()2＝8π．故选C． 【变式6-1】已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 【答案】/ 【分析】先根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线，再结合勾股定理求出圆台的高，再设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，从而结合勾股定理列出方程组，求出，进而根据球的表面积公式即可求解． 【解析】由圆台的上底面半径为，下底面的半径为，其侧面积为， 设该圆台的母线为，高为， 则，解得， 则， 设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，（若球心在下底的上方，则为正值，反之为负值） 所以，解得， 所以该圆台的外接球表面积为．    【例7】 (2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 【答案】π 【解析】法一： 如图，在圆锥的轴截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圆O内切于△ABC，E为切点，连接OE，则OE⊥BC．在Rt△BCD中，CD＝＝2．易知BE＝BD＝1，则CE＝2．设圆锥的内切球半径为R，则OC＝2－R，在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，即(2－R)2－R2＝4，所以R＝，圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π． 法二： 如图，记圆锥的轴截面为△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝＝2，则S△ABC＝2．设△ABC的内切圆O的半径为R，则R＝＝，所以圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π． 【变式7-1】已知点在直径为2的球面上，过点作球的两两垂直的三条弦，若.则的最大值为______. 【答案】 【分析】将放置在一个长方体内，然后根据长方体外接球的直径为体对角线长建立方程，三角换元，最后利用正弦函数性质求解最值. 【解析】因为两两垂直，点在直径为2的球面上， 所以以为棱的长方体的对角线即为该球的一条直径， 记，    所以，又，所以，所以， 故可令，， 则，其中， 因为，所以的最大值为. 故答案为：. 【变式7-2】已知圆台的上､下底半径分别为和，若圆台外接球的球心在圆台外，则圆台的高的取值范围是__________；若，圆台的高为，且，则圆台外接球表面积的最大值为__________． 【答案】 【分析】利用圆台的特征确定外接球球心的位置，结合勾股定理解方程与不等式可得第一空；再利用球体的表面积公式结合函数的单调性计算最大值即可. 【解析】圆台外接球的球心必在圆台的轴线上，因为在圆台外，则球心在下底面下方， 设到下底面的距离为，则，所以， 所以， 所以圆台的外接球表面积为 ， 易知在时单调递减，且， 所以． 故答案为：． 【变式7-3】已知一个圆锥的底面半径为3，侧面积为.若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体（圆锥表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为___________. 【答案】8 【分析】要使圆锥内能放入自由转动的正方体的体积最大，则该正方体的外接球恰好为该圆锥内能放入的最大的球，即内切球，再求解内切球的半径得到正方体的棱长，最后计算体积. 【解析】要使圆锥内能放入自由转动的正方体的体积最大， 则该正方体的外接球恰好为该圆锥内能放入的最大的球，即内切球， 设圆锥的底面半径为，母线长为， 则圆锥侧面积为，解得. 如图，在圆锥轴截面中，，则， 所以， 所以圆锥内切球半径，即正方体外接球半径为. 设正方体的棱长为，则，解得， 所以正方体的体积为. 【强化训练】 1．设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由球的体积公式求得球的半径，再通过正四面体体积确定棱长和半径的关系，即可求解. 【解析】球的体积公式为， 由题意内切球体积， 代入得： ，整理得： 设正四面体棱长为，高为 如图为正四面体，为的中心， 根据正弦定理知的外接圆半径， 所以， 设是正四面体PABC的内切球球心，内切球半径为， 则根据等体积法得： ． 故 对两边立方得： 将​代入上式，得： 因此该正四面体的棱长为. 2．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，面，四边形是边长为的正方形．若，求的面积．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因侧棱垂直于底面，故将其补成直棱柱即可. 【解析】因面且四边形是正方形，故将其补成长方体. 如图，球心O为长方体的中心，， 则等腰的高为， 故的面积为. 故选：B. 3．已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆柱的底面半径，利用柱体的体积公式可求得结果. 【解析】如下图所示： 圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心， 由题意可得，解得， 因此，该圆柱的体积为. 故选：C. 4．已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆台的底面面积和体积公式，求得圆台的底面圆半径以及高；再根据外接球球心的几何特点，列出等量关系，进而求得球半径，再求球的表面积即可. 【解析】设该圆台的上底面和下底面半径分别为，高为； 由题可知：，，解得； 设圆台上底面、下底面圆心为，外接球球心为，球半径长度为， 显然，球心在的连线上，设，根据题意，作图如下所示：    若要满足题意，则，也即，，解得， 故，则该圆台外接球表面积. 故选：B. 5．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆台体积公式可得其高为，结合圆台的几何性质确定轴截面从而可得外接球半径，即可得所求． 【解析】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为， 设圆台的高为，由体积可得， 解得， 圆台的轴截面如下：上底面圆心为，下底面圆心为，设球心在直线上，连接， 设，则， 则该圆台的外接球半径为， 由勾股定理可得：，解得，所以， 则该圆台的外接球表面积为. 故选：C. 6．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可知顶点在底面的投影为的外心（正三角形的中心），外接球的球心在过该中心且垂直于底面的直线上，通过勾股定理建立方程求解半径. 【解析】如图，设点为底面的投影，因为， 则为正三角形的中心，计算可得， 则平面，连接 在中，： ， 设外接球的球心为，半径为，则在直线上. 设，则， 在中：解得：， 所以，即. 所以三棱锥外接球的半径为. 7．半径为定值的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高和球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设球的半径为，圆柱的高为，底面半径为， 可得：， 圆柱的侧面积为：， 当且仅当时取等，此时圆柱的侧面积最大，所以， 所以，所以圆柱的高和球的半径之比为. 二、多选题 8．已知圆锥的母线长为为底面圆的一条直径，.用一平行于底面的平面截圆锥，得到截面圆的圆心为.设圆的半径为，点为圆上的一个动点，则（    ） A．圆锥的体积为 B．的最小值为 C．若，则圆锥与圆台的体积之比为1:8 D．若为圆台的外接球球心，则圆的面积为 【答案】ABD 【分析】根据圆锥的几何性质，求得其高，结合圆锥的体积公式、勾股定理、球的性质，可得答案. 【解析】由题意可作图如下：    由圆锥的母线长为，底面圆的半径为2，则，， 可得圆锥的高. 对于A：，A选项正确； 对于B：已知，设点在底面的投影为，如下图所示：    则，所以，B选项正确； 对于C：由题意可作图如下：    当时，，所以， 又，所以，C选项错误； 对于D：由题意可作图如下：    若点是圆台的外接球球心，则由， 解得，所以，D选项正确. 故选：ABD. 9．若正四面体的表面积为，则（    ） A．该正四面体的棱长为1 B．该正四面体的高为 C．该正四面体的体积为 D．该正四面体的外接球表面积为 【答案】ACD 【分析】先根据表面积计算出正四面体的棱长，然后运用正四面体的性质求出高，进而得到体积，最后通过将四面体放入正方体求解外接球表面积. 【解析】设该正四面体的棱长为，则其表面积为，所以，A正确； 作平面，垂足为，则为的重心，连接延长交于中点， 则有，于是该正四面体的高为，B错误； 由 A选项和B选项的分析可知该正四面体的体积为，C正确； 将该四面体放入正方体中，则正方体的棱长为，且四面体的外接球即为正方体的外接球， 其半径为，表面积为，D正确. 10.（多选）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．圆锥的体积为 C．圆锥的外接球的表面积为 D．圆锥的内切球的体积为 【答案】ACD 【分析】对于AB，求出圆锥的母线长和高，即可求出侧面积和体积；对于C，求出外接球半径，即可得出外接球体积；对于D，求出内切球半径，即可得出内切球表面积. 【解析】设圆锥的底面半径，母线长为， 则侧面展开图半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，解得， 所以圆锥的高. 对于A：圆锥侧面积，A正确. 对于B：圆锥体积，B错误. 对于C：设外接球的半径为，球心在圆锥的高上， 由勾股定理得，，即，解得， 圆锥的外接球的表面积，C正确. 对于D：设内切球半径为，圆锥轴截面为边长为2的等边三角形， 则，解得. 所以内切球的体积为，D正确. 三、填空题 11.若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________． 【答案】 【解析】设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积S1＝4××a2＝a2，其内切球的半径r为a，因此内切球的表面积S2＝4πr2＝，则＝＝． 12.已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________. 【答案】 【分析】根据三棱锥的三组对棱分别相等，可得到三棱锥的顶点必是一个长方体的顶点，再由棱的长度可求得长方体同一个顶点发出的三条棱的长度，继而表示出外接球半径，借助于基本不等式即可求得. 【解析】由题设知，三棱锥的四个顶点是一个长方体的四个顶点，如图． 因三棱锥中三组相对应的棱长分别相等， 长度分别为，，， 故该长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为， 且三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 故外接球的直径长为长方体的体对角线长，设外接球半径为， 则三棱锥的外接球表面积为， 因，则，当且仅当时等号成立． 此时，，即时，. 13.已知△ABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为________． 【答案】10π 【解析】如图所示，设M为BC的中点，在平面PBC内过点M作MN⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，MN⊂平面PBC，所以MN⊥平面ABC． 又△ABC是以BC为斜边的直角三角形，所以直线MN上任意一点到A，B，C的距离相等． 在平面PBC内作线段PB的垂直平分线DE，设DE与MN的交点为O，则点O到P，A，B，C的距离都相等，即点O为三棱锥P-ABC外接球的球心，并且O也是△PBC的外心． 因此三棱锥P-ABC外接球的半径与△PBC的外接圆的半径相等． 又PB＝2，BC＝3，PC＝， 所以cos ∠PBC＝＝， 则sin ∠PBC＝． 设三棱锥P-ABC外接球的半径为R， 则2R＝＝，即R＝， 则外接球的表面积S＝4πR2＝10π． 四、解答题 14．如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为． (1)求圆柱的表面积； (2)求三棱锥外接球的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出AP、BP，即可得到，再由，求出，最后根据圆柱的表面积公式计算可得； （2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球，求出外接球的半径，再根据球的体积公式计算可得． 【解析】（1）在中，，， ， 又在中，，， ， 而点P在圆柱的底面圆O上，且为圆的直径， ， 所以， 于是由，得， ， 圆柱的表面积． （2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球， 则外接球的球心是的中点，半径， 所以三棱锥外接球的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 复习专题 空间几何体外接球及内切球 【题型】 1.长方体（正方体）的外接球问题 2.直棱柱（圆柱）的外接球问题 3.圆台、棱台的外接球问题 4.垂面模型的外接球问题 5.几何体的内切球 【知识点】 （一）长方体（正方体）相关的几何体外接球 长方体（正方体）的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 长方体的长、宽、高分别为，则外接球的半径 正方体的棱长.则外接球半径；内切球半径；棱切球半径 常见可以补成长方体的三棱锥如下： （1）三条侧棱两两互相垂直，如图1所示． （2）四个面均是直角三角形，此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）三棱锥的对棱两两相等，如图4所示 图1 图2 图3 图4 （二） 直棱柱（圆柱）的外接球 （汉堡模型） 已知：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 1.确定球心的位置，是的外心，则平面； 2.算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 3.勾股定理：，解出 （三） 垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 1.将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 2.为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 3.利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②． 若底面是等边三角形的三棱锥（柱）： 若底面是等腰直角三角形的三棱锥（柱）： 若底面是直角三角形的三棱锥（柱）： （四）面面垂直模型（或直二面角模型也叫切瓜模型） 1.如图4-1，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 步骤： ①确定球心的位置，取的外心，则三点共线； ②先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； ③勾股定理：，解出；1． 事实上，的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出. 2．如图4-2，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则 求三棱锥的外接球半径：①； ② 3．如图4-3，平面平面，且（即为小圆的直径） 4．已知：如图4-4，平面平面，且（即为小圆的直径） ①易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径； ②在中，可根据正弦定理，求出. 求外接球问题的方法总结：一定球心，二定半径 (1)通法---外心垂面法，先找一个面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其到各顶点的距离等于半径，确定球心的位置． (2)进阶法---两垂面交线法.分别过几何体的两个相交平面的外接圆的圆心作各自所在平面的垂线，垂线的交点就是球心．常用正弦定理求外接圆半径. (3)特殊补形法---通过补成正方体、长方体或直棱柱的方法找到球心的位置． （五）几何体的内切球 (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决． (2)体积分割是求内切球半径的通用方法． (3)正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1．(a为该正四面体的棱长) (4)等体积法求内切球半径． 【典型例题】 【例1】棱长均为2的四面体的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB＝，BC＝，AC＝2，则此三棱锥的外接球的体积为(　　) A．π B．π C．π D．π 【例2】在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在四面体中，，，，则其外接球的表面积为__________. 　　 总结：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）画出一个长方体标出三组互为异面直线的对棱，设出长方体的长宽高分别为，，（如图） ，， 列方程组，， 【例3】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且∠BAC＝，AA1＝BC＝2，则球O的体积为(　　) A．4π　　　B．8π　　　C．12π　　　D．20π 【变式3-1】(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为3 和4 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π 【变式3-2】在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 【例4】已知正三棱柱，，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________. 【变式4-1】已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于（    ）． A． B． C． D． 【变式4-2】已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【例5】如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________． 【变式5】在正四棱台内有一个球与该四棱台的每个面都相切（称为该四棱台的内切球），若，则该四棱台的外接球（四棱台的顶点都在球面上）与内切球的半径之比为________． 【例6】已知圆台的上、下底面的半径之比为，侧面积为9π，在圆台的内部有一球O，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O的表面积为(　　) A．3π B．5π C．8π D．9π 【变式6-1】已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 【例7】 (2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 【变式7-1】已知点在直径为2的球面上，过点作球的两两垂直的三条弦，若.则的最大值为______. 【变式7-2】已知圆台的上､下底半径分别为和，若圆台外接球的球心在圆台外，则圆台的高的取值范围是__________；若，圆台的高为，且，则圆台外接球表面积的最大值为__________． 【变式7-3】已知一个圆锥的底面半径为3，侧面积为.若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体（圆锥表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为___________. 【强化训练】 1．设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，面，四边形是边长为的正方形．若，求的面积．（   ） A． B． C． D． 3．已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 7．半径为定值的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高和球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知圆锥的母线长为为底面圆的一条直径，.用一平行于底面的平面截圆锥，得到截面圆的圆心为.设圆的半径为，点为圆上的一个动点，则（    ） A．圆锥的体积为 B．的最小值为 C．若，则圆锥与圆台的体积之比为1:8 D．若为圆台的外接球球心，则圆的面积为 9．若正四面体的表面积为，则（    ） A．该正四面体的棱长为1 B．该正四面体的高为 C．该正四面体的体积为 D．该正四面体的外接球表面积为 10.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．圆锥的体积为 C．圆锥的外接球的表面积为 D．圆锥的内切球的体积为 三、填空题 11.若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________． 12.已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________. 13.已知△ABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为________． 四、解答题 14．如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为． (1)求圆柱的表面积； (2)求三棱锥外接球的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $