培优14 拓展专题之五：轻松突破几何体的三球问题——外接球、内切球、棱切球12大题型（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

培优14 拓展专题之五：轻松突破几何体的三球问题——外接球、内切球、棱切球 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01特殊几何体的外接球问题 题型02墙角问题 题型03对棱相等几何体的外接球问题 题型04垂面型外接球问题（棱锥的一条侧棱垂直于底面） 题型05面面垂直模型 题型06外接球之折叠模型（二面角模型） 题型07球的最值问题 题型08球心不确定问题 题型09内切球问题 题型10棱切球问题 题型11数学文化与球体综合 题型12多球相切问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 长方体、正方体、正四面体等特殊几何体的外接球半径公式 能熟记并运用公式 （长方体）、（正方体）、（正四面体）直接计算外接球半径 基础必考题，常以选择题或填空题出现 三条侧棱两两垂直的三棱锥（墙角模型）外接球 能识别墙角模型，将其补成长方体，外接球直径等于长方体体对角线长 （ 为三条两两垂直的棱长） 高频模型，常见于三棱锥，注意三条棱必须交于同一点且两两垂直 对棱相等的三棱锥外接球（补形为长方体） 能识别三组对棱分别相等的特征，补成长方体，并运用 （ 为三组对棱长）求出外接球半径 中档题，需判断对棱相等，易错点是对棱对应关系错误 侧棱垂直底面的棱柱或棱锥的外接球（球心在底面外心正上方） 能确定球心位置为上下底面外心连线的中点（柱）或底面外心正上方  处（锥），利用  列方程求解 常见题型，底面不一定是正多边形但需可求外接圆半径 ，注意锥体高与侧棱长的区别 侧面与底面垂直的棱锥或棱柱的外接球 能找出交线，在垂直面内确定球心的投影位置，常需利用两个垂直面的外心及公共棱的中垂面来定位球心，构造直角三角形求解 难度中等偏上，需要空间想象能力，易错点是球心定位不准确 球内接几何体的体积或表面积最值，或球的半径最值 能建立目标函数（如半径与变量关系），利用基本不等式、二次函数或导数求最值，或通过几何直观（如最大截面）确定临界状态 常以选择题或填空题压轴形式出现，需综合应用函数思想，易错点是不能正确建立变量关系 多面体内切球（等体积法） 能熟练运用等体积公式  求内切球半径，并能正确计算几何体的体积和全面积 高频考点，特别适用于三棱锥，需注意只有存在内切球时才能使用，易错点是误用侧面积代替全面积 与几何体所有棱相切的球（棱切球） 能记住特殊几何体（正方体、正四面体）的棱切球半径公式：正方体 ，正四面体 ，对于一般几何体能利用球心到棱的距离等于半径列方程 冷门考点，偶见于选择题，记忆公式为主，也可通过补形或距离计算，易错点是与内切球、外接球概念混淆 知识点01：外接球的概念 外接球是指一个球面经过几何体的所有顶点.球心到各顶点距离相等，该距离即为外接球半径 .球心通常位于几何体的对称中心或某些特殊线上（如体对角线中点、底面外心的垂线上）. 示例：正方体的外接球球心为体心，半径 （ 为棱长）. 易错点：误将面对角线当作体对角线；球心位置找错（如直棱柱外接球球心在上下底面外心连线的中点，而非几何中心）. . 知识点02：内切球的概念 内切球是指一个球面与几何体的所有面相切.球心到各面的距离相等，该距离即为内切球半径 .对于多面体，常用等体积法：，其中  为多面体的全面积. 示例：正方体内切球半径 ；正四面体内切球半径 . 易错点：等体积法只适用于存在内切球的多面体（各面到球心等距）；计算全面积时漏掉某个面或重复计算. 知识点03：棱切球的概念 棱切球是指一个球面与几何体的所有棱相切（与每条棱有且只有一个公共点）.球心到各棱的距离相等，该距离即为棱切球半径.棱切球既不是外接球也不是内切球. 示例：正方体的棱切球半径 ，球心仍为体心；正四面体的棱切球半径 . 易错点：混淆棱切球与内切球、外接球；误以为所有几何体都有棱切球. 知识点04：墙角模型（三条侧棱两两垂直的三棱锥） 若三棱锥的三条侧棱  两两垂直，则可将该三棱锥补成一个长方体，长方体的体对角线即为外接球直径：. 示例：已知 ，则外接球半径 . 易错点：三条棱必须交于同一点且两两垂直；补形后顶点对应关系要正确. 知识点05：对棱相等的三棱锥补形法 若三棱锥的三组对棱分别相等（即 ），则可将该三棱锥补成长方体.设长方体的长、宽、高分别为 ，则对棱长满足  等，外接球直径平方为 . 示例：对棱长均为  的三棱锥（即正四面体），补形后为正方体，外接球半径 . 易错点：补形后顶点不是全部顶点都在球面上；计算对棱平方和时错用边长. 知识点06：直棱柱的外接球 直棱柱（侧棱垂直于底面）的外接球球心位于上下底面外心连线的中点.若底面外接圆半径为 ，棱柱高为 ，则 . 示例：正三棱柱底面边长为 ，高为 ，则底面外接圆半径 ，外接球半径 . 易错点：错将底面外心当作重心（正三角形两者重合）；忘记除以2. 知识点07：正棱锥的外接球 正棱锥（底面为正多边形，顶点在底面投影为底面中心）的外接球球心在高线上.设棱锥高为 ，底面外接圆半径为 ，球心到顶点的距离为 ，到底面中心的距离为 ，则有 ，解得 . 示例：正四棱锥底面边长为 ，高为 ，则 ，代入得 . 易错点：球心可能在锥体内部(）或外部()，方程均适用；勿漏解. 知识点08：旋转体的外接球与内切球 圆柱、圆锥等旋转体的外接球或内切球，常通过轴截面将问题转化为平面几何.圆柱外接球：轴截面为矩形，外接圆半径即球半径，.圆锥内切球：轴截面为等腰三角形，内切圆半径即为球半径，利用等面积法或相似三角形求解. 示例：圆锥底面半径 ，高 ，则内切球半径 . 易错点：轴截面误选为过轴线的截面；混淆内切球和外接球. 知识点09：等体积法求内切球半径 对于任意多面体，若存在内切球，设球心为 ，则多面体体积  等于各个以  为顶点、各面为底面的棱锥体积之和：，从而 . 示例：三棱锥  中，若顶点  到底面  的高已知，可先求体积，再求全面积，最后得内切球半径. 易错点：误将侧面积当作全面积；多面体不一定有内切球（需各面到球心等距），公式仅当内切球存在时成立. 知识点10：球心定位的一般方法——坐标法 建立空间直角坐标系，设球心 ，利用  列方程组，解出球心坐标和半径.此法适用于任意几何体，特别是球心不易直接找的情况. 示例：已知四点坐标，求外接球半径：设球心为 ，根据到四点距离相等列三个独立方程求解. 易错点：方程个数不足或过度；计算量大易错；未考虑点共面（此时无穷多解）. 知识点11：常用几何体外接球半径公式（记忆表） 几何体 外接球半径  备注 正方体（棱长 ） 体对角线一半 长方体（边长 ） 体对角线一半 正四面体（棱长 ） 高为 ，外心在高上距顶点  高处 正三棱锥（底面边长 ，侧棱 ） 先求底面外接圆半径 圆柱（底面半径 ，高 ） 轴截面矩形对角线一半 ·易错点：混淆不同几何体的公式；忘记除以2或开方. 知识点12：常用几何体内切球半径公式（记忆表） 几何体 内切球半径  备注 正方体（棱长 ） 球心到各面距离 正四面体（棱长 ） 高为 ， 等边圆柱（底面半径 ，高 ） 轴截面为正方形 圆锥（底面半径 ，高 ） 轴截面三角形内切圆半径 ·易错点：正四面体内切球半径与外接球半径的关系 ；圆锥内切球需用相似三角形. 题型一 特殊几何体的外接球问题 解｜题｜技｜巧 对于正方体（棱长 ），体对角线即为外接球直径，故 ，即 .对于长方体（长宽高分别为 ），体对角线长为 ，因此 .对于正四面体（棱长 ），其外接球球心在高上，且到顶点和底面的距离满足 .记忆时可借助补形法：正四面体可补成正方体，正方体棱长为 ，体对角线一半即得.解题时先判断几何体类型，直接代入公式即可.若题目给出的是正三棱锥但非正四面体，则不能直接用此公式，需用一般方法. 易｜错｜点｜拨 易错点有三：一是混淆正方体的面对角线与体对角线，误用  作为直径；二是长方体求外接球半径时忘记除以2；三是正四面体公式记错，常见错误写成  或与内切球半径混淆. 【典例1】（2026·江西·一模）若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·浙江·高三月考）棱长均为2的正三棱柱的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 题型二 墙角问题 解｜题｜技｜巧 墙角模型是指三棱锥中三条侧棱  两两垂直（交于同一点 ）.处理此类问题的核心方法是补形法：将该三棱锥补成一个以  为相邻棱的长方体.补形后，三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心位于长方体体对角线的中点.设 ，则长方体的体对角线长为 ，因此外接球直径 ，半径 .若三条侧棱相等（即 ），则补形为正方体，.解题时只需识别出“共顶点的三条棱两两垂直”，直接代入公式即可，无需另作辅助线. 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，则该三棱锥的外接球体积为 ． 【变式1】（25-26高三上·山东德州·开学考试）已知三棱锥，若两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为 . 题型三 对棱相等几何体的外接球问题 答｜题｜模｜板 若三棱锥的三组对棱分别相等，即 ，，，则可将该三棱锥补成一个长方体.设长方体的长、宽、高分别为 ，则三组对棱的平方满足：，，.三式相加得 ，而长方体体对角线平方为 ，故外接球直径平方 .因此，外接球半径 .更简洁的记忆形式：，其中  为三组对棱长.解题时先验证三组对棱是否相等，若相等则直接代入公式. 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·河南许昌·开学检测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河北·一模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 题型四 垂面型外接球问题（棱锥的一条侧棱垂直于底面） 解｜题｜技｜巧 对于侧棱垂直于底面的几何体（如直棱柱、侧棱垂直底面的棱锥），外接球球心位于底面外心的正上方（或上下底面外心连线的中点）.具体分两类：直棱柱（包括圆柱）：球心为上下底面外心连线的中点，设底面外接圆半径为 ，棱柱高为 ，则 .侧棱垂直底面的棱锥：球心在高线上，设底面外接圆半径为 ，棱锥高为 ，球心到顶点的距离为 ，到底面的距离为 （若球心在锥体内部则 ，外部则 ），勾股定理得 ，解得 .解题步骤：先求底面外接圆半径 （正多边形可用公式，一般三角形用正弦定理），再代入相应公式.注意直棱柱与棱锥公式不同，不可混淆. 【典例1】（25-26高二上·贵州遵义·月考）在三棱锥中，平面ABC，，，，则三棱锥的外接球的体积为______. 【变式1】（25-26高二上·贵州遵义·期中）四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 题型五 面面垂直模型 解｜题｜技｜巧 当几何体存在侧面与底面垂直时，外接球球心通常位于两个垂直平面的交线（公共棱）的中垂面上，且球心到两个平面中关键点（如底面外心、侧面外心）的距离相等.常用方法：先找出公共棱，分别求出底面外接圆圆心  和侧面外接圆圆心 ，过  作底面的垂线，过  作侧面的垂线，两垂线的交点即为球心 .另一种思路：将几何体补形为直棱柱或构造直角三角形. 易｜错｜点｜拨 易错点：盲目认为球心在底面或侧面的外心垂线上，忽略两垂线的交点可能不在几何体内部. 【典例1】（2026·辽宁抚顺·二模）如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·天津红桥·二模）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 题型六 外接球之折叠模型（二面角模型） 解｜题｜技｜巧 此类问题通常给出两个面（如面  与面 ）所成二面角的大小，且这两个面的外接圆圆心分别为 ，公共棱为 .外接球球心  在过  且垂直于面  的直线上，也在过  且垂直于面  的直线上.设二面角为 ，则  在公共棱上的投影关系可构造直角三角形. 易｜错｜点｜拨 易错点有三：一是混淆二面角的平面角与两圆心连线的夹角，需注意  和  的夹角即为二面角的平面角；二是球心  可能位于两平面的同侧或异侧，导致  与  的符号关系不同，需画图判断；三是计算余弦定理时漏掉负号.建议先画出轴截面示意图，明确几何关系再列方程. 【典例1】（2026·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知矩形中，，将沿折起至，使二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）在边长为4的等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，得到三棱锥，若二面角的大小为120°，则三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 题型七 球的最值问题 解｜题｜技｜巧 球体中的最值问题通常有两种类型：一是给定球，求其内接几何体（如长方体、圆锥）的体积或表面积的最大值；二是给定几何体，求其外接球半径的最小值.核心方法是建立目标函数，再利用基本不等式或二次函数求最值.例如，球内接长方体的体对角线为定值 ，设长宽高分别为 ，则 ，体积 .由基本不等式，当 （即正方体）时体积最大，最大值为 .对于球内接圆锥，设底面半径为 ，高为 ，由几何关系（球心在圆锥轴上）得 ，即 ，体积 ，利用导数求  的最值.若涉及表面积最值，同样先建立函数关系.另一类问题：给定几何体，求外接球半径的最小值，往往通过分析几何体的变化临界点（如棱锥的高变化时球心位置变化），利用勾股定理列出半径表达式，再求最值. 【典例1】（2026·广东湛江·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（2026·福建漳州·模拟预测）一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·宁夏银川·二模）已知正四棱锥的一个侧面的周长为，则该四棱锥体积的最大值时，其外接球表面积为 . 题型八 球心不确定问题 解｜题｜技｜巧 当几何体的外接球球心不易直接定位时，采用坐标法是通用解法.步骤如下：第一步，建立空间直角坐标系，将几何体的各顶点坐标化.第二步，设球心坐标为 ，外接球半径为 .第三步，利用球心到各顶点距离相等列方程，如 、 等，通常只需三个独立方程（因为  四个未知数，但  可由任一距离平方表示，实际上只需解出 ）.第四步，解方程组求出 ，再回代得 .若题目涉及内切球或棱切球，则利用球心到各面（或各棱）距离相等列方程，此时需写出平面方程，利用点到平面距离公式.对于不确定球心位置的问题，坐标法避免了复杂的几何推理，是可靠的通法.注意：坐标系的选择应尽量使顶点坐标简单（如将多面体置于原点、坐标轴上）. 【典例1】（2026·宁夏银川·二模）如图，在菱形中，，，E为对角线BD的中点，将沿BD折起到的位置，若，则三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江西南昌·二模）已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型九 内切球问题 解｜题｜技｜巧 内切球是指与几何体所有面相切的球，球心到各个面的距离相等，即为内切球半径 .对于任意存在内切球的多面体，常用等体积法求解：将多面体分割成以球心为顶点、各个面为底面的棱锥，则多面体体积  等于所有棱锥体积之和，即 ，因此 ，其中  为多面体的全面积.解题步骤：① 计算多面体的体积 （常用公式或分割法）；② 计算多面体的全面积 （各面面积之和）；③ 代入公式得 .该方法特别适用于三棱锥、四棱锥等锥体.对于旋转体（如圆锥、圆台），内切球问题常通过轴截面转化为平面几何：轴截面为三角形或梯形，其内切圆半径即为球半径，利用等面积法或相似三角形求解.例如，圆锥底面半径 ，高 ，则轴截面三角形内切圆半径 . 易｜错｜点｜拨 易错点有三：一是误以为任何多面体都有内切球，只有当球心到各面距离相等时才存在，否则公式不适用；二是计算全面积时漏掉某个面（如三棱锥漏掉底面）或重复计算；三是在锥体中使用等体积法时，忘记系数 .对于旋转体，易错点是轴截面选错（如圆锥内切球轴截面为等腰三角形，非直角三角形）.建议先判断几何体是否对称（如正四面体、正方体必有内切球），再使用公式. 【典例1】（2026·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（    ） A．48π B．36π C．24π D．12π 【变式1】（2026·河南·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·重庆·一模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 题型十 棱切球问题 解｜题｜技｜巧 棱切球是指球面与几何体的每一条棱都相切（恰好接触于一点），球心到所有棱的距离相等，该距离即为半径 .常见的棱切球存在于高度对称的几何体中，如正方体和正四面体.对于正方体（棱长 ），棱切球球心仍为体心，半径为球心到棱中点的距离，即面对角线的一半：.对于正四面体（棱长 ），棱切球球心与外接球、内切球球心重合（均为正四面体的中心），半径为球心到棱中点的距离，可推导得 .一般多面体的棱切球问题，常用坐标法：建立空间直角坐标系，设球心 ，半径 ，利用球心到每条棱所在直线的距离等于  列方程.点到直线的距离公式（向量法）可避免求垂足.若几何体对称性高，也可通过几何分析：棱切球球心必在对称中心，计算球心到任一棱中点的距离即可.注意：棱切球不一定存在，只有各棱到某定点等距时才存在. 易｜错｜点｜拨 易错点有三：一是混淆棱切球与内切球（切面）或外接球（过顶点）；二是公式记忆错误，如正方体棱切球半径误记为  或 ；三是正四面体棱切球半径与内切球半径（）混淆.建议从几何意义出发：棱切球与棱中点相切，正方体中棱中点到体心的距离即为 .若题目考查非特殊几何体，优先采用坐标法. 【典例1】（2026·浙江杭州·一模）已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 . 【变式1】（2026·抚州·一模）已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为 . 【变式2】（2026·宁波·一模）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为 . 题型十一 数学文化与球体综合 解｜题｜技｜巧 此类题目先通过阅读理解，从古文或文化描述中提取几何信息.常见模型有：① 球与外切正方体（“丸居立方”问题）：球内切于正方体，则球直径等于正方体棱长，球体积与外切正方体体积之比为 .② 牟合方盖：两个等半径圆柱垂直贯穿公共部分，其体积与内切球体积之比为 ，利用祖暅原理可推球体积公式.③ 《九章算术》中的“开立圆术”给出球体积近似公式.解题时，先明确文化背景对应的几何体形状，将其转化为常规几何模型（球、圆柱、正方体等），再运用球体积公式 、表面积公式 ，以及正方体、圆柱的体积公式进行计算.若涉及比例关系，可直接套用已知的经典结论（如球体积与牟合方盖体积之比为 ）.关键是抓住核心几何量——球的半径，通过已知条件求出半径，其余问题便迎刃而解. 易｜错｜点｜拨 易错点有三：一是不能准确理解古文描述，误将外切、内接关系颠倒；二是遗忘特殊文化模型的比例关系（如球与外切正方体体积比需推导或记忆）；三是计算时忽略单位换算或混淆直径与半径.建议复习时积累常见的数学文化模型（如牟合方盖、堑堵、阳马），理解其几何本质，考试时即使忘记公式也可通过体积比推导. 【典例1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在封闭的鳖臑内有一个体积为V的球，若平面，，，则V的最大值是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·湖北武汉·期末）中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为 cm2的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭浇铸过程体积无变化，该铁锭的上、下底面的边长分别为 cm和 cm，则该铁锭的高为（   ） A．30 cm B． C．36 cm D． 【变式1】（25-26高三上·湖北·期中）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型十二 多球相切问题 解｜题｜技｜巧 核心思路：将球心连线转化为几何体的顶点利用几何体的边长与角度关系求解 常见模型： 两球相切：球心距等于半径之和（外切）或半径之差（内切） 三球两两相切：球心构成三角形边长为半径之和利用余弦定理求角度 四球外切：球心构成正四面体利用正四面体的外接球模型求大球半径 关键步骤：先确定各球心的位置关系再将三维问题转化为平面或立体几何问题求解 【典例1】（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 【典例2】（25-26高一下·山东济南·期中）如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三下·湖北孝感·阶段检测）如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体的棱长为，则模型中九个球的表面积的和为（    ） A．6π B．9π C． D．21π 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高三上·云南楚雄·期中）一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山西·月考）已知四面体的顶点坐标为，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川成都·三模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（2026·四川达州·二模）三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东湛江·月考）（多选）下列四个几何体中体积与其表面积的数值之比为的是（   ） A．底面半径为1，高为2的圆锥 B．底面半径为1，高为2的圆柱 C．上、下底面半径分别为，，高为2的圆台 D．半径为1的球 3．（2026高二上·山东枣庄·学业考试）底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱，各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 . 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1. （2026·上海黄浦·一模）已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为 ． 2.（25-26高三上·河北沧州·月考）如图，已知正三棱柱的外接球球心为，平面平面是的中点．求正三棱柱外接球的体积.    1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优14 拓展专题之五：轻松突破几何体的三球问题——外接球、内切球、棱切球 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01特殊几何体的外接球问题 题型02墙角问题 题型03对棱相等几何体的外接球问题 题型04垂面型外接球问题（棱锥的一条侧棱垂直于底面） 题型05面面垂直模型 题型06外接球之折叠模型（二面角模型） 题型07球的最值问题 题型08球心不确定问题 题型09内切球问题 题型10棱切球问题 题型11数学文化与球体综合 题型12多球相切问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 长方体、正方体、正四面体等特殊几何体的外接球半径公式 能熟记并运用公式 （长方体）、（正方体）、（正四面体）直接计算外接球半径 基础必考题，常以选择题或填空题出现 三条侧棱两两垂直的三棱锥（墙角模型）外接球 能识别墙角模型，将其补成长方体，外接球直径等于长方体体对角线长 （ 为三条两两垂直的棱长） 高频模型，常见于三棱锥，注意三条棱必须交于同一点且两两垂直 对棱相等的三棱锥外接球（补形为长方体） 能识别三组对棱分别相等的特征，补成长方体，并运用 （ 为三组对棱长）求出外接球半径 中档题，需判断对棱相等，易错点是对棱对应关系错误 侧棱垂直底面的棱柱或棱锥的外接球（球心在底面外心正上方） 能确定球心位置为上下底面外心连线的中点（柱）或底面外心正上方  处（锥），利用  列方程求解 常见题型，底面不一定是正多边形但需可求外接圆半径 ，注意锥体高与侧棱长的区别 侧面与底面垂直的棱锥或棱柱的外接球 能找出交线，在垂直面内确定球心的投影位置，常需利用两个垂直面的外心及公共棱的中垂面来定位球心，构造直角三角形求解 难度中等偏上，需要空间想象能力，易错点是球心定位不准确 球内接几何体的体积或表面积最值，或球的半径最值 能建立目标函数（如半径与变量关系），利用基本不等式、二次函数或导数求最值，或通过几何直观（如最大截面）确定临界状态 常以选择题或填空题压轴形式出现，需综合应用函数思想，易错点是不能正确建立变量关系 多面体内切球（等体积法） 能熟练运用等体积公式  求内切球半径，并能正确计算几何体的体积和全面积 高频考点，特别适用于三棱锥，需注意只有存在内切球时才能使用，易错点是误用侧面积代替全面积 与几何体所有棱相切的球（棱切球） 能记住特殊几何体（正方体、正四面体）的棱切球半径公式：正方体 ，正四面体 ，对于一般几何体能利用球心到棱的距离等于半径列方程 冷门考点，偶见于选择题，记忆公式为主，也可通过补形或距离计算，易错点是与内切球、外接球概念混淆 知识点01：外接球的概念 外接球是指一个球面经过几何体的所有顶点.球心到各顶点距离相等，该距离即为外接球半径 .球心通常位于几何体的对称中心或某些特殊线上（如体对角线中点、底面外心的垂线上）. 示例：正方体的外接球球心为体心，半径 （ 为棱长）. 易错点：误将面对角线当作体对角线；球心位置找错（如直棱柱外接球球心在上下底面外心连线的中点，而非几何中心）. . 知识点02：内切球的概念 内切球是指一个球面与几何体的所有面相切.球心到各面的距离相等，该距离即为内切球半径 .对于多面体，常用等体积法：，其中  为多面体的全面积. 示例：正方体内切球半径 ；正四面体内切球半径 . 易错点：等体积法只适用于存在内切球的多面体（各面到球心等距）；计算全面积时漏掉某个面或重复计算. 知识点03：棱切球的概念 棱切球是指一个球面与几何体的所有棱相切（与每条棱有且只有一个公共点）.球心到各棱的距离相等，该距离即为棱切球半径.棱切球既不是外接球也不是内切球. 示例：正方体的棱切球半径 ，球心仍为体心；正四面体的棱切球半径 . 易错点：混淆棱切球与内切球、外接球；误以为所有几何体都有棱切球. 知识点04：墙角模型（三条侧棱两两垂直的三棱锥） 若三棱锥的三条侧棱  两两垂直，则可将该三棱锥补成一个长方体，长方体的体对角线即为外接球直径：. 示例：已知 ，则外接球半径 . 易错点：三条棱必须交于同一点且两两垂直；补形后顶点对应关系要正确. 知识点05：对棱相等的三棱锥补形法 若三棱锥的三组对棱分别相等（即 ），则可将该三棱锥补成长方体.设长方体的长、宽、高分别为 ，则对棱长满足  等，外接球直径平方为 . 示例：对棱长均为  的三棱锥（即正四面体），补形后为正方体，外接球半径 . 易错点：补形后顶点不是全部顶点都在球面上；计算对棱平方和时错用边长. 知识点06：直棱柱的外接球 直棱柱（侧棱垂直于底面）的外接球球心位于上下底面外心连线的中点.若底面外接圆半径为 ，棱柱高为 ，则 . 示例：正三棱柱底面边长为 ，高为 ，则底面外接圆半径 ，外接球半径 . 易错点：错将底面外心当作重心（正三角形两者重合）；忘记除以2. 知识点07：正棱锥的外接球 正棱锥（底面为正多边形，顶点在底面投影为底面中心）的外接球球心在高线上.设棱锥高为 ，底面外接圆半径为 ，球心到顶点的距离为 ，到底面中心的距离为 ，则有 ，解得 . 示例：正四棱锥底面边长为 ，高为 ，则 ，代入得 . 易错点：球心可能在锥体内部(）或外部()，方程均适用；勿漏解. 知识点08：旋转体的外接球与内切球 圆柱、圆锥等旋转体的外接球或内切球，常通过轴截面将问题转化为平面几何.圆柱外接球：轴截面为矩形，外接圆半径即球半径，.圆锥内切球：轴截面为等腰三角形，内切圆半径即为球半径，利用等面积法或相似三角形求解. 示例：圆锥底面半径 ，高 ，则内切球半径 . 易错点：轴截面误选为过轴线的截面；混淆内切球和外接球. 知识点09：等体积法求内切球半径 对于任意多面体，若存在内切球，设球心为 ，则多面体体积  等于各个以  为顶点、各面为底面的棱锥体积之和：，从而 . 示例：三棱锥  中，若顶点  到底面  的高已知，可先求体积，再求全面积，最后得内切球半径. 易错点：误将侧面积当作全面积；多面体不一定有内切球（需各面到球心等距），公式仅当内切球存在时成立. 知识点10：球心定位的一般方法——坐标法 建立空间直角坐标系，设球心 ，利用  列方程组，解出球心坐标和半径.此法适用于任意几何体，特别是球心不易直接找的情况. 示例：已知四点坐标，求外接球半径：设球心为 ，根据到四点距离相等列三个独立方程求解. 易错点：方程个数不足或过度；计算量大易错；未考虑点共面（此时无穷多解）. 知识点11：常用几何体外接球半径公式（记忆表） 几何体 外接球半径  备注 正方体（棱长 ） 体对角线一半 长方体（边长 ） 体对角线一半 正四面体（棱长 ） 高为 ，外心在高上距顶点  高处 正三棱锥（底面边长 ，侧棱 ） 先求底面外接圆半径 圆柱（底面半径 ，高 ） 轴截面矩形对角线一半 ·易错点：混淆不同几何体的公式；忘记除以2或开方. 知识点12：常用几何体内切球半径公式（记忆表） 几何体 内切球半径  备注 正方体（棱长 ） 球心到各面距离 正四面体（棱长 ） 高为 ， 等边圆柱（底面半径 ，高 ） 轴截面为正方形 圆锥（底面半径 ，高 ） 轴截面三角形内切圆半径 ·易错点：正四面体内切球半径与外接球半径的关系 ；圆锥内切球需用相似三角形. 题型一 特殊几何体的外接球问题 解｜题｜技｜巧 对于正方体（棱长 ），体对角线即为外接球直径，故 ，即 .对于长方体（长宽高分别为 ），体对角线长为 ，因此 .对于正四面体（棱长 ），其外接球球心在高上，且到顶点和底面的距离满足 .记忆时可借助补形法：正四面体可补成正方体，正方体棱长为 ，体对角线一半即得.解题时先判断几何体类型，直接代入公式即可.若题目给出的是正三棱锥但非正四面体，则不能直接用此公式，需用一般方法. 易｜错｜点｜拨 易错点有三：一是混淆正方体的面对角线与体对角线，误用  作为直径；二是长方体求外接球半径时忘记除以2；三是正四面体公式记错，常见错误写成  或与内切球半径混淆. 【典例1】（2026·江西·一模）若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方法一：如图，正四面体中， 作底面的高，由正四面体的性质，点为的中心，设为外接球的球心，外接球的半径为， 由正三角形的性质，， ； 由，得，解得， 该球的表面积为． 故选：A． 方法二：如下图 在立方体中，通过连接面对角线可得到正四面体， 可知两者的外接球相同，正四面体的棱长为立方体的一个面的对角线长，则立方体的棱长为. 立方体的体对角线即为外接球的直径.代入计算可得，外接球的半径， 外接球的表面积为. 故选：A. 【变式1】（2026·浙江·高三月考）棱长均为2的正三棱柱的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，因为正三棱柱的底面是边长为的等边三角形， 设的外接圆的半径为，正三棱柱的外接球的半径为， 可得，则， 所以正三棱柱外接球的体积为. 故选：D 题型二 墙角问题 解｜题｜技｜巧 墙角模型是指三棱锥中三条侧棱  两两垂直（交于同一点 ）.处理此类问题的核心方法是补形法：将该三棱锥补成一个以  为相邻棱的长方体.补形后，三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心位于长方体体对角线的中点.设 ，则长方体的体对角线长为 ，因此外接球直径 ，半径 .若三条侧棱相等（即 ），则补形为正方体，.解题时只需识别出“共顶点的三条棱两两垂直”，直接代入公式即可，无需另作辅助线. 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，则该三棱锥的外接球体积为 ． 【答案】 【详解】将三棱锥补形为棱长为的正方体如图所示，可知三棱锥与正方体的外接球相同， 其半径是正方体的体对角线长的一半，为，所以球的体积为. 故答案为：. 【变式1】（25-26高三上·山东德州·开学考试）已知三棱锥，若两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】在三棱锥中，因为PA，PB，PC两两垂直，且， 以PA，PB，PC为棱构造一个长方体， 则这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球， 由题意可知，这个长方体的体对角线的中点是三棱锥的外接球的球心， 三棱锥的外接球半径为， 所以外接球的表面积为. 故答案为：. 题型三 对棱相等几何体的外接球问题 答｜题｜模｜板 若三棱锥的三组对棱分别相等，即 ，，，则可将该三棱锥补成一个长方体.设长方体的长、宽、高分别为 ，则三组对棱的平方满足：，，.三式相加得 ，而长方体体对角线平方为 ，故外接球直径平方 .因此，外接球半径 .更简洁的记忆形式：，其中  为三组对棱长.解题时先验证三组对棱是否相等，若相等则直接代入公式. 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线， 设这个长方体各棱长分别为，则有， 各式相加得， 设外接球半径为，则有， 外接球表面积. 故选：C． 【典例2】（2026·河南许昌·开学检测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设四面体的外接球的半径为, 则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图， 则 故， 故四面体ABCD外接球的体积为， 故选：C 【变式1】（2026·河北·一模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示， 所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得. 所以四面体外接球表面积是. 故答案为：B. 题型四 垂面型外接球问题（棱锥的一条侧棱垂直于底面） 解｜题｜技｜巧 对于侧棱垂直于底面的几何体（如直棱柱、侧棱垂直底面的棱锥），外接球球心位于底面外心的正上方（或上下底面外心连线的中点）.具体分两类：直棱柱（包括圆柱）：球心为上下底面外心连线的中点，设底面外接圆半径为 ，棱柱高为 ，则 .侧棱垂直底面的棱锥：球心在高线上，设底面外接圆半径为 ，棱锥高为 ，球心到顶点的距离为 ，到底面的距离为 （若球心在锥体内部则 ，外部则 ），勾股定理得 ，解得 .解题步骤：先求底面外接圆半径 （正多边形可用公式，一般三角形用正弦定理），再代入相应公式.注意直棱柱与棱锥公式不同，不可混淆. 【典例1】（25-26高二上·贵州遵义·月考）在三棱锥中，平面ABC，，，，则三棱锥的外接球的体积为______. 【答案】 【分析】求出，可得外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径．即可求出体积． 【详解】， . 由正弦定理可知，的外接圆的直径，因此半径. 平面， 该三棱锥的外接球的半径， 则三棱锥的外接球的体积. 故答案为：. 【变式1】（25-26高二上·贵州遵义·期中）四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过的外接圆圆心，作直线平面，可得，在中，利用正弦定理求出外接圆半径，利用勾股定理即可求出外接球半径，再利用球的表面积公式即可求解. 【详解】如图所示，圆为的外接圆，过作直线平面， 又平面，则，连接，与球交于点，连接，与直线的交点为球心，则，则， 在中，由正弦定理得，即， 所以该四面体的外接球的半径, 所以外接球的表面积. 故选：C. 题型五 面面垂直模型 解｜题｜技｜巧 当几何体存在侧面与底面垂直时，外接球球心通常位于两个垂直平面的交线（公共棱）的中垂面上，且球心到两个平面中关键点（如底面外心、侧面外心）的距离相等.常用方法：先找出公共棱，分别求出底面外接圆圆心  和侧面外接圆圆心 ，过  作底面的垂线，过  作侧面的垂线，两垂线的交点即为球心 .另一种思路：将几何体补形为直棱柱或构造直角三角形. 易｜错｜点｜拨 易错点：盲目认为球心在底面或侧面的外心垂线上，忽略两垂线的交点可能不在几何体内部. 【典例1】（2026·辽宁抚顺·二模）如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案. 【详解】如图，由题可知，外接圆的圆心O是的中点. 设三棱锥外接球的球心为，连接，则平面. 过A作，与的延长线交于点，则由平面平面，可得平面. 因为，，所以，. 取的中点E连接，，可得，， 则. 设，连接，，则，解得， 故三棱锥外接球的表面积为. 【变式1】（2026·天津红桥·二模）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过作两个平面的垂线交于点，点即为该球的球心，求出长度，由勾股定理可求出四棱锥外接球的半径，再由球的表面积公式可得出答案． 【详解】 如图，在四棱锥中， 取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为， 分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知， 点即为该球的球心，连接并延长，交于，则是线段的中点， 连接，则四边形为矩形， 在等边中，可得，则，即， 在正方形中，因为，可得， 在中，，即， 所以四棱锥外接球的表面积为． 题型六 外接球之折叠模型（二面角模型） 解｜题｜技｜巧 此类问题通常给出两个面（如面  与面 ）所成二面角的大小，且这两个面的外接圆圆心分别为 ，公共棱为 .外接球球心  在过  且垂直于面  的直线上，也在过  且垂直于面  的直线上.设二面角为 ，则  在公共棱上的投影关系可构造直角三角形. 易｜错｜点｜拨 易错点有三：一是混淆二面角的平面角与两圆心连线的夹角，需注意  和  的夹角即为二面角的平面角；二是球心  可能位于两平面的同侧或异侧，导致  与  的符号关系不同，需画图判断；三是计算余弦定理时漏掉负号.建议先画出轴截面示意图，明确几何关系再列方程. 【典例1】（2026·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设是中点，连接，设的外心为，的外心为， 是四面体外接球球心， 由于和都是边长为的正三角形， 所以， 且分别在靠近E的三等分点处. 根据二面角的大小为及球的性质可知： 平面，平面，所以， 由于，所以四边形是正方形， ，， 设四面体外接球的半径为，则. 所以外接球的表面积为. 故选：A 【变式1】（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知矩形中，，将沿折起至，使二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意得，. 记矩形的对角线与交于点，则翻折过程中点到四点的距离不变， 即点是三棱锥外接球的球心，所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故选：A. 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）在边长为4的等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，得到三棱锥，若二面角的大小为120°，则三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设的中点分别为，连接， 则，，因为等边三角形中，是的中点，将沿中线折起， 所以，进而，所以为二面角的平面角，故． 因为，都是直角三角形，记三棱锥外接球的球心为，连接， 因为为的中点，则， 又，，所以平面，所以， 又，，所以平面，所以， 同理得， 由，可知，且，所以平分， 因为，，所以，在中，，， 所以，即三棱锥外接球半径为． 所以所求体积为． 故选：C. 题型七 球的最值问题 解｜题｜技｜巧 球体中的最值问题通常有两种类型：一是给定球，求其内接几何体（如长方体、圆锥）的体积或表面积的最大值；二是给定几何体，求其外接球半径的最小值.核心方法是建立目标函数，再利用基本不等式或二次函数求最值.例如，球内接长方体的体对角线为定值 ，设长宽高分别为 ，则 ，体积 .由基本不等式，当 （即正方体）时体积最大，最大值为 .对于球内接圆锥，设底面半径为 ，高为 ，由几何关系（球心在圆锥轴上）得 ，即 ，体积 ，利用导数求  的最值.若涉及表面积最值，同样先建立函数关系.另一类问题：给定几何体，求外接球半径的最小值，往往通过分析几何体的变化临界点（如棱锥的高变化时球心位置变化），利用勾股定理列出半径表达式，再求最值. 【典例1】（2026·广东湛江·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是． 故选：D 【变式1】（2026·福建漳州·模拟预测）一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作出圆台的轴截面，分析可知，要使球的表面积最大，则球需要与相切， 设圆的半径为，则， 由，所以，所以， 作，由， 所以，又，所以， 又，， 所以， 即， 所以球的表面积的最大值为， 故选：C. 【变式2】（2026·宁夏银川·二模）已知正四棱锥的一个侧面的周长为，则该四棱锥体积的最大值时，其外接球表面积为 . 【答案】 【详解】如图，设正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，高为， 因为正四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心， 侧棱长相等，侧面为等腰三角形，所以，所以，得， 又，所以正四棱锥的体积 . 设， 则， 当时，，即在单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，所以. 此时，，， 设该正四棱锥外接球的半径为，则， 解得，故其外接球表面积. 故答案为：. 题型八 球心不确定问题 解｜题｜技｜巧 当几何体的外接球球心不易直接定位时，采用坐标法是通用解法.步骤如下：第一步，建立空间直角坐标系，将几何体的各顶点坐标化.第二步，设球心坐标为 ，外接球半径为 .第三步，利用球心到各顶点距离相等列方程，如 、 等，通常只需三个独立方程（因为  四个未知数，但  可由任一距离平方表示，实际上只需解出 ）.第四步，解方程组求出 ，再回代得 .若题目涉及内切球或棱切球，则利用球心到各面（或各棱）距离相等列方程，此时需写出平面方程，利用点到平面距离公式.对于不确定球心位置的问题，坐标法避免了复杂的几何推理，是可靠的通法.注意：坐标系的选择应尽量使顶点坐标简单（如将多面体置于原点、坐标轴上）. 【典例1】（2026·宁夏银川·二模）如图，在菱形中，，，E为对角线BD的中点，将沿BD折起到的位置，若，则三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过球心作平面，则为等边三角形的中心，∵四边形是菱形，，∴与都是边长相同的等边三角形， ∵，∴，∵， ∴，∴，，中，， 由勾股定理得， ∴球的半径， ∴三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A． 【变式1】（2026·江西南昌·二模）已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 根据正方体，得，，所以平面， 四边形是矩形，其中，， 的三边为， ，， ， 设的外接圆半径为，则， 于是， 设矩形的外接圆半径为，则， 设球心为，过作平面，垂足为， 过作平面，垂足为， 则是矩形的外心，是三角形的外心， 取中点，则， 于是平面， 所以四边形是矩形. 设球半径为，， 则， 于是球的表面积为. 故选：D. 题型九 内切球问题 解｜题｜技｜巧 内切球是指与几何体所有面相切的球，球心到各个面的距离相等，即为内切球半径 .对于任意存在内切球的多面体，常用等体积法求解：将多面体分割成以球心为顶点、各个面为底面的棱锥，则多面体体积  等于所有棱锥体积之和，即 ，因此 ，其中  为多面体的全面积.解题步骤：① 计算多面体的体积 （常用公式或分割法）；② 计算多面体的全面积 （各面面积之和）；③ 代入公式得 .该方法特别适用于三棱锥、四棱锥等锥体.对于旋转体（如圆锥、圆台），内切球问题常通过轴截面转化为平面几何：轴截面为三角形或梯形，其内切圆半径即为球半径，利用等面积法或相似三角形求解.例如，圆锥底面半径 ，高 ，则轴截面三角形内切圆半径 . 易｜错｜点｜拨 易错点有三：一是误以为任何多面体都有内切球，只有当球心到各面距离相等时才存在，否则公式不适用；二是计算全面积时漏掉某个面（如三棱锥漏掉底面）或重复计算；三是在锥体中使用等体积法时，忘记系数 .对于旋转体，易错点是轴截面选错（如圆锥内切球轴截面为等腰三角形，非直角三角形）.建议先判断几何体是否对称（如正四面体、正方体必有内切球），再使用公式. 【典例1】（2026·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（    ） A．48π B．36π C．24π D．12π 【答案】A 【详解】 因为内切球和外接球球心重合，如图可以得到 所以外接球半径， ∵，∴ 因此圆锥外接球的表面积为48π. 故选：A. 【变式1】（2026·河南·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的内切球的半径为，则，所以. 又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为， 圆锥的底面半径为， 则圆锥的体积. 故选：A. 【变式2】（2026·重庆·一模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大， 设内切球球心为O，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为， 由正四面体结构特征可知G为的中心，面， 设E为中点，球O和球分别与面相切于F和. 易得，，， 由可得， 又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得， 即空隙处的最大球的半径为. 所以空隙处的最大球的体积为为. 故选：D 题型十 棱切球问题 解｜题｜技｜巧 棱切球是指球面与几何体的每一条棱都相切（恰好接触于一点），球心到所有棱的距离相等，该距离即为半径 .常见的棱切球存在于高度对称的几何体中，如正方体和正四面体.对于正方体（棱长 ），棱切球球心仍为体心，半径为球心到棱中点的距离，即面对角线的一半：.对于正四面体（棱长 ），棱切球球心与外接球、内切球球心重合（均为正四面体的中心），半径为球心到棱中点的距离，可推导得 .一般多面体的棱切球问题，常用坐标法：建立空间直角坐标系，设球心 ，半径 ，利用球心到每条棱所在直线的距离等于  列方程.点到直线的距离公式（向量法）可避免求垂足.若几何体对称性高，也可通过几何分析：棱切球球心必在对称中心，计算球心到任一棱中点的距离即可.注意：棱切球不一定存在，只有各棱到某定点等距时才存在. 易｜错｜点｜拨 易错点有三：一是混淆棱切球与内切球（切面）或外接球（过顶点）；二是公式记忆错误，如正方体棱切球半径误记为  或 ；三是正四面体棱切球半径与内切球半径（）混淆.建议从几何意义出发：棱切球与棱中点相切，正方体中棱中点到体心的距离即为 .若题目考查非特殊几何体，优先采用坐标法. 【典例1】（2026·浙江杭州·一模）已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 . 【答案】 【详解】可采用补体的方法，先画一个正方体， 正方体的棱长为322，那么正方体的面对角线为3， 取四点构成棱长为3的三棱锥，若与三棱锥的各棱均相切，即与正方体的各面相切， 所以正方体的内切球就是所求的球，球的半径为棱长的一半，即342， 这样球的表面积为S=4πR2=4π×(342)2=92π. 故答案为：92π 【变式1】（2026·抚州·一模）已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为 . 【答案】 【详解】将三棱锥补全为正方体，如下图所示： 则正方体的内切球即为与三棱锥各条棱均相切的球， 设正方体棱长为，则，解得：， 所求的球的半径，球的体积. 故答案为：. 【变式2】（2026·宁波·一模）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为 . 【答案】 【详解】由题意三棱柱是正三棱柱，分别是棱柱下底面和上底面的中心，由对称性知中点为球的球心，取中点（为切点），则（等于到棱距离．设球半径为， 由正三角形性质知， 与底面垂直，则必与底面上直线垂直，因此，解得， 球体积为． 故答案为：． 题型十一 数学文化与球体综合 解｜题｜技｜巧 此类题目先通过阅读理解，从古文或文化描述中提取几何信息.常见模型有：① 球与外切正方体（“丸居立方”问题）：球内切于正方体，则球直径等于正方体棱长，球体积与外切正方体体积之比为 .② 牟合方盖：两个等半径圆柱垂直贯穿公共部分，其体积与内切球体积之比为 ，利用祖暅原理可推球体积公式.③ 《九章算术》中的“开立圆术”给出球体积近似公式.解题时，先明确文化背景对应的几何体形状，将其转化为常规几何模型（球、圆柱、正方体等），再运用球体积公式 、表面积公式 ，以及正方体、圆柱的体积公式进行计算.若涉及比例关系，可直接套用已知的经典结论（如球体积与牟合方盖体积之比为 ）.关键是抓住核心几何量——球的半径，通过已知条件求出半径，其余问题便迎刃而解. 易｜错｜点｜拨 易错点有三：一是不能准确理解古文描述，误将外切、内接关系颠倒；二是遗忘特殊文化模型的比例关系（如球与外切正方体体积比需推导或记忆）；三是计算时忽略单位换算或混淆直径与半径.建议复习时积累常见的数学文化模型（如牟合方盖、堑堵、阳马），理解其几何本质，考试时即使忘记公式也可通过体积比推导. 【典例1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在封闭的鳖臑内有一个体积为V的球，若平面，，，则V的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】球与三棱锥的四个面均相切时球的体积最大，由平面，平面， 可得， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以， 设此时球的半径为R，则， 即，解得， 所以球的体积V的最大值为. 故选：C 【典例2】（25-26高三上·湖北武汉·期末）中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为 cm2的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭浇铸过程体积无变化，该铁锭的上、下底面的边长分别为 cm和 cm，则该铁锭的高为（   ） A．30 cm B． C．36 cm D． 【答案】B 【详解】解：设实心铁球的半径为R，则 ，解得， 则实心铁球的体积为 ， 设正四棱台的实心铁锭的高为h， 因为实心铁球的体积和正四棱台的实心铁锭体积相等， 则 ，解得 故选： 【变式1】（25-26高三上·湖北·期中）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，连接AC，BD，设， 因为四边形ABCD为矩形，所以为矩形ABCD外接圆的圆心．连接， 则平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q， 根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线交EF于点M． 连接PQ，则，且为PQ的中点，因为，所以， 连接EP，FQ，在与中，易知， 所以梯形EFQP为等腰梯形，所以，且． 设，球O的半径为R，连接OE，OA， 当O在线段上时，由球的性质可知， 易得，则，此时无解． 当O在线段的延长线上时，由球的性质可知， ，解得，所以， 所以球O的表面积， 故选：D． 题型十二 多球相切问题 解｜题｜技｜巧 核心思路：将球心连线转化为几何体的顶点利用几何体的边长与角度关系求解 常见模型： 两球相切：球心距等于半径之和（外切）或半径之差（内切） 三球两两相切：球心构成三角形边长为半径之和利用余弦定理求角度 四球外切：球心构成正四面体利用正四面体的外接球模型求大球半径 关键步骤：先确定各球心的位置关系再将三维问题转化为平面或立体几何问题求解 【典例1】（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 【答案】 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体ABCD的表面积为，即，解得， 由，解得， 由图知最大球内切于高的正四面体，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 中等球内切于高的正四面体，中等球半径， 因此中等球的表面积为； 最小球内切于高的正四面体，最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以九个球的表面积为． 【典例2】（25-26高一下·山东济南·期中）如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 则，最大球半径， 因此最大球的体积为； 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 因此最小球半径， 因此最小球的体积为，所以5个球的体积之和为. 【变式1】（25-26高三下·湖北孝感·阶段检测）如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体的棱长为，则模型中九个球的表面积的和为（    ） A．6π B．9π C． D．21π 【答案】B 【详解】如图所示正四面体，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心，延长AO交底面BCD于， 是等边三角形BCD的中心，过作交CD于，连接BF， 根据对称性，BF过点E， 则OE为正四面体内切球的半径， 正中，高，而，， 同理，所以， 所以， 解得，所以正四面体ABCD内切球的表面积为， 由图可知最大球内切于高的正四面体中， 最大球半径，故最大球表面积为， 进一步，可知中等球内切于高的正四面体中， 中等球半径，故中等球的表面积为， 最小球内切于高的正四面体中， 最小球半径，故最小球的表面积为， 所以九个球的表面积之和为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高三上·云南楚雄·期中）一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为棱长为3的正方体的八个顶点都在同一个球面上， 所以球的直径是正方体的体对角线，即球的半径， 所以球的表面积为． 故选：A． 2．（25-26高三上·山西·月考）已知四面体的顶点坐标为，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设球心，半径为， 由，得到，解得， 所以，则该四面体外接球的表面积为， 故选：B. 3．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合， 正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为， 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：，而为的中点，则， 所以该三棱锥的外接球的体积为. 故选：A 4．（2026·四川成都·三模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过作圆台的轴截面，如图所示 为该圆台外接球球心，且圆的半径是圆半径的2倍， 不妨设圆的半径，则圆的半径 依题意， ，， ， 故选：D. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（2026·四川达州·二模）三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取中点，连接，点在平面的射影为点， 又因为，所以外接圆圆心为，所以O必在直线上， 因为，外接圆的半径为，所以是外接圆的圆心，， 因为平面，与平面所成的角为， 则，从而， 设球O的半径为R，在中，，则，解得， 所以球O的表面积为. 故选：B． 2．（25-26高三上·广东湛江·月考）（多选）下列四个几何体中体积与其表面积的数值之比为的是（   ） A．底面半径为1，高为2的圆锥 B．底面半径为1，高为2的圆柱 C．上、下底面半径分别为，，高为2的圆台 D．半径为1的球 【答案】BD 【详解】对于A，圆锥的体积为，表面积为， 所以，故A错误； 对于B，圆柱的体积为，表面积为， 所以，故B正确； 对于C，圆台的体积为， 表面积为：， 所以，故C错误； 对于D，球的体积为：，表面积为：， 所以，故D正确． 故选：BD． 3．（2026高二上·山东枣庄·学业考试）底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱，各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 . 【答案】 【详解】由题意，该正四棱柱的体对角线为外接球的直径，设外接球半径为R， 则，解得， 所以外接球的表面积. 故答案为： 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1. （2026·上海黄浦·一模）已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为 ． 【答案】 【详解】设正三角形的外接圆半径为. 根据正弦定理可得，，所以. 设球O的半径为，则，. 所以球O的体积为. 故答案为：. 2.（25-26高三上·河北沧州·月考）如图，已知正三棱柱的外接球球心为，平面平面是的中点．    求正三棱柱外接球的体积； 【答案】 【详解】（1）如图，设上、下底面的中心分别为，则为的中点． 因为，且平面平面， 所以平面， 设平面平面平面，所以． 取与的中点，连接则，所以， 所以为二面角的平面角， 因为平面平面，所以， 由对称性可知， 连接，因为，所以，所以， ，正三棱柱外接球的半径， 所以正三棱柱外接球的体积． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $