陕西西安市某校2025-2026学年度第二学期高三模拟考试数学试卷

高三年级全真模考数学试题和详解 一、单选题 1.已知集合A={x∈N 2<x< 16 3 集合B={-1,3,4,5},则A⌒B的真子集个数为() A.5 B.6 C.7 D.8 2.复数z满足(z+1)i=1-2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是() A.-3 B.-3i C.1 D.i 3.下列说法中不正确的是() A.一组数据48,49,53,54,55,55,55,57的下四分位数为51 B.在成对样本数据分析中相关系数”=0，表示两个变量之间没有线性相关关系 C.根据线性回归方程得到预测值为6=33.991时的观测值为34，则残差为0.009 D.将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为x,x, 和，好，若无=无，则总体方差了-+) 4.设x∈R,则3*<9”是“x2+x-6<0”的() A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 5.若6∈(0，m，sin os8=-1 6 则2cos20-1 =() sine+cose A.-25 B.2v5 C.-22 D.22 3 3 3 3 6.在△ABC中，若siA:sinB:sinC=3:5:7,且该三角形的面积为15√5，则VABC的最小 边长等于() A.3 B.6 C.9 D.12 7.设抛物线E:y2=2px的焦点为F,不经过F的直线与E交于A,B两点，与y轴交于点 C,已知点A的坐标为(9,6)，且VBCF与△ACF的面积之比是1：3，则BF为() A.2 B.3 C.4 D.5 7 8.对于给定的正整数k,若数列a}满足n≤k,a≥80,2，则称a,}为“k螺旋数列 己知“k螺旋数列'{an}的前n项和Sn=-4n2-2n+a,则4(k-a)的最大值为() 试卷第1页，共4页 A.111 B.110 C.109 D.108 二、多选题 9.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，x∈R,f(x-)=f(x+)成立，当x∈(0，) 且5≠飞时，有：)】f<0,则下列命腿中正确的是《) X2一x A.f(1)=0 B.f(x)在[-2,2]上有5个零点 C.直线x=2022是函数y=f(x)图象的一条对称轴 D.点(2022,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心 10.已知双曲线C:号-二=1(a>0,b>0)的渐近线与圆A:2+-2y=1相切， a2-b2 记C的左、右焦点分别为E,E,B为C上一点，且BF⊥FF2,BF与圆A交于M, N两点，则() A.C的离心率为2 B.C的渐近线方程为y=±x C.tanBFF 3 D.若Fr=8,则wN=号 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，E为棱BC的中点，F为底面 ABCD内一动点（含边界），则下列说法正确的是（) B A D B C F。 D A.存在动点F,使BF⊥平面AEC B.若D,F/1平面AEC,则动点F的轨迹长度为√2 试卷第2页，共4页 C.若F平面AEC,则三棱锥F-AEC,体积的最大值为2 D.若正方体ABCD-AB,C,D,的外接球为球O,则球O被平面AEC,所截截面圆的 面积为 二、填空题 12.若数列a,4-a,…,an-a-1,…是首项为1，公比为3的等比数列，则数列 的通项 公式是 13.某校高一新生组织数学竞赛选拔测试，一共30道试题，规定答对一题得5分，答错一 题扣2分.已知小明同学每道题答对的概率为0.8，每道题答对与否互相独立，则小明同学 总得分的均值为一· 14.已知函数fy-血r+x+L(aeR).对r∈(0，+o),f()≤x心恒成立，实数a 的取值范围 三、解答题 I5.如图，四边形ABCD与ABEF为直角梯形，且平面ABCD L平面ABEF,其中 AB∥CD∥EF,CD=EF=1,AB=AD=AF=2,∠BAD=∠BAF=90°. (I)求证：BC⊥AF: (2)求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值： 16.已知函数f(x)=2 sin@x(W5cosx-sin cx)+1（ao>0),最小正周期T的范围为[3,4]. (1)求⊙的取值范围： 2若oeN,函数f()的图象关于直线x=1对称，求am2r+4) 的值 I7.己知f(x)=e2r-ax+2,a∈R,e是自然对数的底数. (1)求函数y=∫(x)的单调区间； 试卷第3页，共4页 (2)若关于x的方程f(x)-2=0有两个不等实根，求a的取值范围： 18已肉据短（号会o>办>0的兴率为5，直线=1被肺圆C所技得的线级的长 为3. (1)求C的方程： (2)已知点B(O,√3)，过点P(4,O)的直线I交C于E,F两点(E,F在x轴的下方)，直线BF交 直线x=1于点M. (i)设直线ME的斜率为k,直线MF的斜率为k2,判断k+飞是否为定值，并说明理由； (ii)证明：直线ME过定点， 19.在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）。每 个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）。为平 衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入 对方钱包.记该协议重复执行n(n∈N)次后，甲钱包中“黑币'的数量为Xn,甲钱包中恰好有 1枚“黑币”的概率为Pn。 (1)求P: (2)证明： 数列引 是等比数列，并求出数列{P}的通项公式： (3)求E(Xn). 试卷第4页，共4页 参考答案 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 C 0 A B O C ABD ABD 题号 11 答案 BCD 1.C 【详解】由题意得A={0,1,2,3,4,5},集合 ,则A∩B={3,4,5). 则 的真子集个数为23-1=7. 2.C 【详解】由题意可得：乙 1-21-1=0-21i-1=-3-i,所以2=-3+i,所以复数的共轭 i -1 复数的虚部为1. 3.D 【详解】对于A,8x25%=2,下四分位数为49+53 51,A正确： 2 对于B,相关系数 的含义是两个变量没有线性相关关系，但可能存在非线性关系，B 正确： 对于C,残差e=y-y=34-33.991=0.009,C正确： 对于D,分层抽样的总体方差不仅与各层样本方差有关，还与各层的样本量和层间均值差异 有关，即使一一，总体方差也不等于一 ,还需要考虑各层的样本量权重，D 不正确 4.A 【分析】求解两个不等式，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断 【详解】因为 ,则3<32，又因为指数函数3是单调递增的，所以x<2, 又因为 ,所以(x+3)x-2)<0,求解可得-3<x<2, 由x<2不能推出-3<x<2,所以“ ”不是“ ”的充分条件， 由-3<x<2能推出x<2,所以“ ”是“ ”的必要条件， 所以“ ”是“ ”的必要非充分条件」 5.A 【详解】由2cos8-L-cos20-sin20 cose-sine. sine+cose sine+cose 因为6∈(0，π)， -,所以sin0>0,cos0<0, 答案第1页，共11页 所以cos6-sin6<0,又(cos0-sin9=1-2sin6cos0=1-2x6F3, 1)4 所以cos8-sin8= 2W3 ,故200-1-2W3 3 sine+cos 3 6.B 【详解】由sinA:sinB:sinC=3:5:7以及正弦定理可得a:b:c=3:5:7,设 a=3k,b=5k,c=7k,k>0, 由余弦定理可得c0sA=c+-a2_49k2+252-9k2.13 2bc 2×7k×5k14 由于Ae(0,m.sinA=Vcos'A=35 14 则Swebesin4-35x35=155,解得k=2, 1 -X 2 214 又最小的边长为a,故a=3k=6, 7.C 【分折】作出冈形，结合肉形得出产-之求型A的值，即可求出B的组 【详解】由题知点A(9,6)在抛物线E:y2=2px(p>0)上，故6=18p,即p=2. 所以抛物线E的方程为y2=4x,焦点为F(1,0),准线方程为x=-1, 如图，Sr=CF-cin∠FCB,Sx=)CF-c4sin☑FCB,|BF=。+aF=x+l 所以【 -红=又由点A9,6)知七=9，故=3，所以B5=+1=4 F B 8.C 【详解】由题意得，当a最小，最大时， 取得最大值， 当n=1时，a1=S1=a-6,当n≥2时，由题意得 答案第2页，共11页 则Sn-1=-4(n-1)2-2(n-1)+a,可得an=Sn-Sn-1=-4n2-2n+a -(-4(n-1)2-2(n-1)+a)=-8n+2,an+2=-8n-14, 7 当n=1时，因为 -，所以4≥84： 题意得4=-2，则a-6≥8X(-22,解得a2 4 7 当n≥2时，因为 ，所以-8+22名(-8n-14,解得n≤ 4 因为a=N,所以a≤14，可物4kas44到)1m 9.【详解】A选项，令∫(x-1)=f(x+1)中x=0得，f(-1)=f(1), 又函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-I)=-∫() 所以f(1)=-f(1),所以f(1)=0,故A正确： B选项，由f(x-1)=∫(x+1),得f(x)=f(x+2),所以f(x)是周期为2的周期函数， 所以f(2)=f(0)=0, 又x∈(0，)且x≠时，有s)f(<0, X2一X1 所以函数在区间x∈(0，)上单调递减，可作函数的示意图如下： 由图知B,D也正确，C不正确 10.【详解】双曲线C:广-1的渐近线方程为y=±2x,即x士四=0. a-b2 a 圆A:x2+(y-2)=1的圆心为A(0,2),半径为r=1. 由题意得，圆心A到渐近线的距离d=r,即 ±2d_2a=l,所以c=2a. Va2+b2 c 答案第3页，共11页 F 对于A:e--2公2，故A正确 对于B:b=VC-G-5,所以渐近线方程为y=±2x=士x,故B正确 对于C:F(-c,O),E(c,O),因为BF2⊥FF,所以点B的横坐标为c, 代入双曲线方程C-y a2-b2 1,解得y=± b21 取Ba 则，FE=2c, a b2 所以tan∠BFF,= B_a=3a2=3,故C错误， FF2 2c a.4a 4 对于D:若EF=8,则c=4,a=2,b=25,F(-4,0),B(4,6). 直线BF方程为y= 40x+49)=4x+4,即3x4*2=0 圆心A到直线BF的距离AQ= -8+124 V32+(4 5, 出垂定理可海，2G-3图 6 故D正确 11.【详解】以B为坐标原点，分别以BA,BC,BB所在直线为x,y,z轴，建立如图所 示的空间直角坐标系， 答案第4页，共11页 B D F D 则D(2,2,0),A(2,0,2),B(0,0,2),C(0,2,2),E(0,1,0) 对于A,设F(x,y,0),且xy∈[0,2]， AE=（-2,1,-2),AC=（-2,2,0),BF=（x,y,-2); 设平面AEC的法向量为i=（x,y,z), i.AE=-2x+y-2z=0 则 i.AC=-2x+2y=0 ，取x=2,则y=2,=-1, 所以平面AEC的法向量为i=（2,2,-1), uu 若BF⊥平面AEC,则BF1In, 由=义=2 22-1’ 解得x=y=4,不合题意， 不存在动点F,使B,F⊥平面AEC,故A错误； 对于B,如图，取AD的中点M,CD的中点N,连接MN, 则MN/IAC,由正方体性质可知AC//AC,故MNIIAC, ,MNd平面AEC,ACc平面AEC, ∴.MN/I平面AEC, M(2,1,0),D(2,2,2),DM=(0,-1,-2), 因为DM,i=0,且D,M文平面AEC, .DM/平面AEC, .DMOMN=M且DM,MNc平面DMN, 答案第5页，共11页 .平面AEC/1平面D,MN, 若DFII平面AEC,则D,FC平面D,MN, .动点F的轨迹为线段MN,其长度为√2，故B正确： B D A长 B M 对于C,CE=(0,-1,-2),CA=(2,-2,0), CE=5.CE.CA=2.GA=212, 空间向量法计算点E到直线AC,的距离为 C1A·CE 32 C A 则△4EC的面积为x2N2×3 2 ≥3 ● 显然，当F与D重合时，三棱锥F-AEC的体积最大，则EF=ED=(2,1,0), 点F到平面AEC,的距离为 E乎.列_6=2， 3 1 ·三棱锥F-AEC体积的最大值为3x3x2=2,故C正确： 对于D,正方体ABCD-AB,CD,外接球的球心为O1,1,),半径R=√5， 则EO=(1,0,1),则点O到平面AEC的距离为d= E0.列1 3 故球0被平面AEC所截截面圆半径r=√R2-d2 √26 2 “截面圆的面积为=6，故D正确。 12.an= 3”-1 2 答案第6页，共11页 【详解】由题意可知an-am1=3,(n≥2，n∈N), 所以a,=4+(a,-g)++(a.-a)=1+3++3_1-3）_3-1. 1-3 2 又4=1满足上式，所以a,=Y1 2 13.108 【详解】设事件A为“小明同学答对试题”，则P(A)=0.8, 用X表示事件A发生的次数，则X~B30,0.8). 设小明同学总得分为Y,则Y=5X-2(30-X)=7X-60. 因为E(X)=30×0.8=24,所以E(Y)=E(7X-60)=7E(X)-60=7×24-60=108, 14. (2)因为f=2血r+r+L≤re,则a≤x2e-2hnr-x, 所以原题意等价于对vx∈(0，+∞)，a≤x2er-2nr-x恒成立， 构建g()=x2e-2nx-x,x>0. 则gm)=(x2+2x)c-是-1=xc+2)(e-)） 令h()=c-克，x>0.则f=e+是>0网x∈(0，+四恒成立， 可知)在(0，+0)内单调递增，且h(号)=6-4<0，h()=c-1>0. 可知h()在0，+四)内存在唯-零点x,∈（号，）： 当0<x<x时，h(x)<0,即g(x)<0: 当r>xo时，h(x)>0,即gm)>0: 可知g()在(0，xo)内单调递减，在(xo,+0)内单调递增， 则g闭≥g(o)=e0-2h0-x=e-h(e),且h(xo)=e西-最=0.可得e=1， 则g()≥g(xo)=1-h1=1,可得a≤1， 所以实数的取值范围为（一o,]。 15.【详解】(1)由∠BAF=90°，得AB⊥AF,而平面ABCD⊥平面ABEF, 平面ABCD∩平面ABEF=AB,AFC平面ABEF,则AF⊥平面ABCD, 又BCC平面ABCD,所以BC⊥AF. (2)由(1)知AF⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,则AF⊥AD, 答案第7页，共11页 而AB⊥AF,AB⊥AD,以点A为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 又AB∥CD,AB∥EF,CD=EF=1,AB=AD=AF=2, 则A(0,0,0),D(2,0,0),F(0,0,2),C(2,1,0),E(0,1,2),B(0,2,0), CE=(-2,0,2),CB=(-2,1,0),AC=(2,10),AF=(0,0,2), 设平面BCE的法向量为m=（x,y,z),则 CB.m=-2x+y=0 cEm=2x+2=0’令x=1,得m=(1,2), AC=2x+y=0 设平面ACF的法向量为i=(x,y,),则 元.AF=2z=0 ，令八=2，得元=（←120）， 因此cosi万=m:方=_3√30 励园V6x5101 所以平面ACF与平面BCE夹角的正弦值为，-50= 10 10 16.【详解】(1)f(x)=2 sin x(N3 cos@x--sin wx)+1 =23sin @xcos @x-2sin2 @x+1 -V3sin 2ox+cos2ox=2sin 20x+ 又o>0,函数∫(x)的最小正周期为T, 所以T-小则[后引 (2)由oeN,且w c故o=l,即f)-2sn2x+君 ππ 则21+π九 +6+标keZ),解得1=元+(keZ, 62 6 答案第8页，共11页 兀 tan π+= m+m至。541-5+5+刊2-5 (341-tan tan-x1(-VV5+可 3 4 17.【详解】(1)函数f(x)=ex-ax+2的定义域为R,求导得f'(x)=2e2-a, 当a≤0时，恒有'(x)>0,则函数f(x)在R上单调递增： 当a>0时，由f(k0,得x<n号由r小>0，得x>号 即函数了()在（一）上单词运减、在合0宁+上卓调递指。 1 所以当a≤0时，函数∫(x)的单调递增区间为(-∞，+∞)，无单调递减区间：当a>0时，函 数了()的单调递减区间为(h引· 单调递增区间为 ,to 22 (2)方程f()-2=0,即ec2-ax=0,当x=0时，方程不成立，则a=c ·依思意，方程了①-2=0有两个不等实根，即直线y=a与y=8()的 有两个交点， 求导得g'W)=2-e,当<0或0<x<时，gk0,当x时，8)>0， 所以函数g(x)在(-0,0)， 〔Q上单润递减，在行+上单调造暗， 而当<0时，8付<0，当>0时，&因>0.且当x=方，8)取得极小值：付)20。 作出函数，y=g(x)的大致图象，如图， =g(x) y-a 2e 观察图象，当a>2e时，直线y=a与函数y=g(x)的图象有两个交点， 所以a的取值范围为(2e,+o): 18.【详解】(1)因为直线x=1被椭圆C所截得的线段的长为3， 答案第9页，共11页 所以引在上，代入行上) 21 a" b2 4+31. (2)设点M(1,),E(x,y),F(x2y2), 设1：x=my+4, [x2+y 1 由 43得(3m2+4)y2+24my+36=0, (x=my+4 由△>0，得(24m)2-4×36×(3m2+4)>0,解得m>2或m<-2, 又点E,F在x轴下方，则m>2, -24m 36 由韦达定理得y+y2= 3m2+4y=3n2+4 海-用2-新 , 因为飞=上- 53-1 所以k+k=》'+2-‘-（y-)0-1)+(G-1(2-) x-1”x2-1 (x-1)(x3-1) -_(y-t(m2+3)+(my+3)(0y-t）_2myy2+(3-tm)(y+2)-6t (my,+3)(y2+3) m2yy2+3m(y+y2)+9 -1m(y+y2)-61= 2 3*为小49 3, 所以k+k2不是定值 mi证明：B05.M.友-'5-r-5 1-0 自得=子-6=--同=寻+6 则直线E份方程为y1(得)。 即3y-35x+33=t(8-5x), 当x时，得y=, 5 答案第10页，共11页 所以ME必过定点 E 19. 【详解】(1)由题意得P=x+2x2_5 33339 (2)当n≥2(n∈N)时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为qn, 则没有“黑币的概率为1-Pn-9n, 33 9 又R专0，故2-引为5比数列故（日-》（门 (3)由题X,的可能取值为0,1,2，其概率分布列为： 0 2 1-P-9n 依题意，P(Xn=0)=P(Xn=2)即1-n-9n=9n.于是P+2qn=1 故E(Xn)=0x(1-Pn-9n)+1xPn+2×9n=Pn+2gn=1. 答案第11页，共11页