山西太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高三下学期5月阶段检测数学试题

绝密★启用前 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，且，，则 A． B． C． D． 2．已知数据，，…，的平均数为4，将该组数据中的每个数据均增大为原来的两倍，其平均数为，则 A．16 B．8 C．4 D．2 3．已知复数满足为纯虚数，则复数的实部为 A． B．0 C．1 D．2 4．已知函数，将图象上的所有点的横坐标缩小为原来的后，再向右平移个单位，得到函数的图象．若函数在区间上不单调，则的取值范围为 A． B． C． D． 5．在中，，是边上的两点，是三角形的重心，且．若，则 A．3 B．6 C．9 D．12 6．已知椭圆与双曲线在第一象限交于，两点，若，斜率之积为，则的离心率为 A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则 A． B． C． D． 8．已知函数，若对任意，过点均仅可作一条曲线的一条切线，则的值为 A． B．1 C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右焦点为，，离心率，下列说法中正确的有 A．的渐近线为 B．的焦距是虚轴长的 C．若的焦点到其渐近线的距离为，则 D．若的焦距为8，则其渐近线上存在点，使得 10．已知等比数列的各项均为正数，公比，前项积为，下列说法中正确的有 A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 11．在中，角，，所对的边分别为，，，点在上，且，，若，则 A． B．当时， C．面积的最大值为 D．当最大时，的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知甲、乙、丙、丁四名男生结伴游玩，入住的酒店仅有单人房和双人房两种房型，则四人不同的订房方案数为_________． 13．已知定义在上奇函数，且当时，满足，且当时，，则_________． 14．已知圆台的上、下底面半径分别为1，3，若经过该圆台两条母线的平面，截圆台所得截面面积的最大值为7，则该圆台的体积为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 设等差数列的前项和为，已知，且． （1）求的通项公式； （2）设数列，，，，…，，，…为数列，求数列的前项和． 16．（15分） 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，分别是，上的点，且，过的平面与，分别交于点，． （1）证明：； （2）若锐二面角的余弦值为，求梯形的面积． 17．（15分） 在平面直角坐标系中，已知，，是平面上的动点，记直线，的斜率分别为，，且． （1）求动点形成的曲线的方程； （2）点在直线上，且与轴平行，设与交于点，证明：在直线上存在两个定点，，使得为定值． 18．（17分） 已知． （1）证明：的极值点； （2）设的最小值为，当最大时，求的值； （3）设的解集为，若，求的取值范围． 19．（17分） 新年伊始，某车间开始生产活动．已知该车间每天被安排生产甲产品或乙产品的概率均为，且要求，两位员工中，每天至少有一人值班．为了公平起见，当某天被安排生产甲产品时，若之前的值班总天数多于，则两者当天均值班，若之前的值班总天数不多于，则值班；同样的，当某天被安排生产乙产品时，若之前的值班总天数多于，则两者当天均值班，若之前的值班总天数不多于，则值班．设刚开始时两人值班总天数均为． （1）分析开工第二天后，两人值班天数的所有情况； （2）求天后，两位员工值班总天数相同的概率； （3）求天后，值班总天数的期望． 参考公式：随机变量，的期望满足公式 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 数学参考答案 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】A 9．【答案】ACD 10．【答案】ABD 11．【答案】AC 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 15．（13分） 【解析】（1）因为，所以， 2分 所以，即公差为2 4分 所以； 6分 （2）由（1）可知，，所以， 8分 所以， 10分 因为， 12分 所以． 13分 16．（15分） 【解析】（1）因为，所以， 1分 又因为平面，平面， 所以平面， 3分 又因为平面， 平面平面， 所以， 所以； 5分 （2）如图，建立空间直角坐标系， 则，，． ，， 6分 由（1）可知，， 7分 设，， 则，， ，， 8分 设平面的法向量， 则， 取，则， 所以平面的一个法向量为， 10分 设平面的法向量， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为， 12分 由题意可知，，， 解得或（舍去），所以，， 14分 所以梯形的面积． 15分 17．（15分） 【解析】（1）设，则，， 2分 所以，整理得， 4分 又点与，不重合，所以曲线的方程为； 5分 （2）设，则直线：， 令，可得， 7分 易知直线：，与曲线的方程联立，， 消去，整理得， 因为，解得， 10分 由题意可知，，所以， 整理得，即点在椭圆上， 12分 因为椭圆的焦点为， 所以椭圆的焦点为， 14分 所以在直线上存在两个定点，，使得为定值． 15分 18．（17分） 【解析】（1）易知，设，则， 1分 令，解得， 当时，，单调递减，即单调递减， 当时，，单调递增，即单调递增， 3分 因为，，所以存在，使得， 4分 则当时，，单调递减， 当时，，则单调递增， 所以是的极小值点，且； 5分 （2）由（1）可知，，且， 消去，整理得， 6分 设，则， 因为，所以， 7分 则当时，，单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的最大值为， 9分 此时，所以，解得； 10分 （3）因为，所以，且， ，即， 由于的解集是， 所以等价于， 12分 因为， 消去，整理得， 14分 设，则， 所以单调递减， 又，所以，当且仅当， 16分 因为在单调递减，且， 若，则，故，此时，这与矛盾， 若，则，故，此时，满足要求， 综上，的取值范围是． 17分 19．（17分） 【解析】（1）由题意可知，第一天只有一人值班，则第二天两人都值班或第一天未值班的人单独值班， 所以开工第二天后，两人的值班天数的情况有三种： 一天，两天；两天，一天；，各一天； 3分 （2）由题意可知，两人值班总天数之差至多为，且值班总天数较少者下一天单独值班的概率为， 4分 由对称性可知，的值班总天数多于，与的值班总天数多于的概率相等，均为， 6分 所以， 8分 所以， 又因为，所以； 10分 （3）设第天值班的天数为随机变量，则天后总值班天数为， 由题意可知，的取值为或， 11分 易知， 即， 13分 所以， 14分 因为， 15分 所以． 17分 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $