山西太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高三下学期5月阶段检测数学试题

绝密★启用前 数学参考答案 l.【答案】D 【解析】易知A={2,4,6,7},B={1,4,5,6},则A∩B={4,6}. 2.【答案】A 【解析】易知新数据的平均数为8，所以2√a=8,所以a=16 3.【答案】B 【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则zi+z=(a-b)+(a+b)i,所以a-b=0,即a=b≠0，所以 z2=a2-b2+2abi=2a2i,即z2的实部为0. 4.【答案】D 2x-2m+e2m+-2m+ ,由题意可知，-2m +g<a+<-2m+e☑，解得 2 ππ 6 2 3'2 5.【答案】C 【解析】设BC中点为D,则4D=3GD,因为BE=FC=BC,所以DB=DC=3DE,又AB.4C=1GEGF, 所以AD2-DB2=(GD2-DE2)）,又AD2=9GD，DB2=9DE2,所以元=9. 6.【答案】D 【解析】设A 则01,0B的斜率分别为片=二，k= 一之，将双曲线与椭圆方程联立，消去y, X 可得 *3 a2 =1,整理得a2ab21 -·+b=0,设k=子，所以k,飞是方程K_ -k+b2=0的 b2x2 t 两根，所以kk2= -,易得离心率e= 2 7.【答案】A 【解析】设两条公切线的交点为P,则P,O,C共线，且因为r<√10，所以PO<PC,因为两条公切线垂直，所 以PC=V2V10=2V5,因为0C=√5，所以P0=5或P0=3W5(舍去)，所以r= P0V10 2 2 8.【答案】A 数学参考答案第1页（共8页） 1A 【限】思知了约-士2a,设切点为》.可孩方为y-化2-rn+a或- -+2ax0 Xo r+lnaG-l,因为切点过(L),所以1=+2a,+n-a-1=ln-a+2a+1-1, Xo 由题意可知，对任意1∈R,上述关于x,的方程均仅有一解，设(x)=lnx-ar2+2ar+】1,则t()在定义域 肉单1)-士2+2a-20-小所以1-2a=0,即a号 9.【答案】ACD 【解析】因为e=C=2,所以c=2a,所以c2=a2+b2=4a2,可得b=V3a,即A正确：因为c2=a2+b2=4a2, Q 所以c-4b,所以2c-252.即B箭误：焦点Rc,0)到布近线y=V5x的距离d=5c-c-6, 3 3 √3+12 所以c=22,所以焦距为4V2，即C正确：因为焦距为8，所以c=4,满足PF-PF=2的点P的轨迹为 双曲线x-上=L,该双曲线与直线y=5x有公共点，即D正确 15 10.【答案】ABD 【解析】若a=】则4，=14=9，则3=1-q=1,即A正确：因为4=2，所以了=2222g=1,解 q29 得q=4,所以a1 =2-=。,即B正确：因为a=1,所以aa=a2a==aam=1,所以 g2-8 Tm=a2m=amg"=g">l,即C错误；因为aa3=a2a2==a6·a=a2，所以T3=a3≥a,所以a,l, 即D正确. 11.【答案】AC 【解析】因为BCE3BD,所以SAM=2SAm,所以)b:AD-sin∠CADE2,cAD:sin∠BAD,所包 2 bsin∠CAD=2csin∠BAD,因为sin∠BAD=2sin∠CAD,所以b=4c,即A正确：当cos∠B4C=3时，由 余孩定题可知。=+产-2次eos∠4C,所9-17e-8c名12c,所以c-5,新以b=25,因为 2 AD-写4c+号4B,所以0f-)4d+4+23 C-c0smC,所u 数学参考答案第2页（共8页） 1A 9 ,即B错误：以B为坐标原点，BC的方向为x轴 983362 正方向建立平面直角坐标系，则C(3,0),且设A(x,y),由A选项可知，b=4c,即AC2=b2=162=16AB2，故 x-32+y=16x2+y),整理有(x++y2=2,即A在以点(10)为圆心且半径为4的圆上，故当A到x 轴的距离恰为圆的半径时，△ABC的面积最大，此时S△AC= 3x5,即C正确：设AD=x,因为 1。.46 -×3 cos∠ADB+cos∠ADC=0,且BD=L,CD=2,b=4e,所以1+-C+4+2- -=0,整理得6c2=x2+2, 2x 4x 所以cms∠AD6-1+-c_6+6+2)_5+4≥5，当且仅当2=4时，等号成立，所以C2=7 2x 12x 12x3 15 又9=17c-8ccos∠Bac，所以cas∠B4C=号，所以5n∠1C=3yS 7 ,所以 Sa=)besin∠BAC=2c'sin∠BAC=25,即D错误 2 12.【答案】10 【解析】四人均住单人房时，方案数为1；若四人住两间双人房时，方案数为C=3:若四人中仅有两人住双人房 时，方案数为C?=6,即方案总数为1+3+6=10种. 13.【答案】-3 8 【解析】因为f(x+2)=2f(x),且f(x)为奇函数，所以f(1)=2f(-1)=-2f(),所以f()=0,所以 )=+a=0,即a=1.所以》"2(，)“》 付-0，所以〔》)-「+-0，所以 [++如+）=6 14.【答案】 13V3 元 3 D 0 【解析】如图，延长母线BC,AD交于点P,设圆台的高OO2=2t,四边形BCEF E 102 数学参考答案第3页（共8页） 付所司 S 8 的面积为S,则OC=r=1,O2B=R=3,PO1=t,则PB2=9t2+9,易知 ⑧Ar三)PR'sin /FPB,若2122，则∠PPB≤∠APB≤)所母线EF与DA重合时，截面BCEF的面积 最大，此时S=(2+621=8≥8，不符题意：若21<2，则∠AP8>刀，则当∠FPB=T时， 2 8rP9-”.所以-号 89t2+9 2 =412+4=7，所以2t=V5，所以该圆台的体积 3(π+9m+3m)=13v5n 3π. 15.(13分) 【解析】(1)因为S·S,=S,所以2(2+a2)=2+a+a, …2分 所以4-4=2，即公差为2 …4分 所以an=2n(neN): …6分 1111 (2)由)可知，S。=na+),所以8。nn+nn+1 …8分 11。1 所以T2n=a+a2+…+an+ =+++…+1 …10分 S S2 SS S2 S 1.1 因为sS 十…十 一十…十一 Sn2'23nn+1n+1' …12分 所以Tn=n(n+1)+” …13分 n+1 16.(15分) 【解析】(1)因 PE_PF-,所以EFBC, …1分 PB PC 3 又因为BCC平面ABC,EF丈平面ABC, 所以EF∥平面ABC, …3分 又因为EFc平面EFNM, 平面EFNM∩平面ABC=MN, 所以EF∥MN, 所以MN∥BC; ……5分 数学参考答案第4页（共8页） 1A (2)如图，建立空间直角坐标系， 则B(3,0,0),C(0,6,0),P(0,0,6), E(1,0,4),F(0,2,4), …6分 E 由1)可知，4=4C=2. …7分 AM AB 设M(t,0,0),N(0,2t,0)(0<t<3), C 则BC=(-3,6,0),BP=(-3,0,6), EF=(-1,2,0),EM=(t-1,0,-4), …8分 设平面PBC的法向量m=(x,y1,乙1)， [m-BC=-3x1+6y=0 则 m·BP=-3x1+6z1=0 取x,=2,则y=21=1, 所以平面PBC的一个法向量为m=(2,1,), …10分 设平面EFNM的法向量n=(x2,y2,Z2), n.EF=-x2+2y2=0 则 取x2=4,则y2=2,22=t-1, n-EM=(t-1)x2-4z2=0 所以平面EFNM的一个法向量为n=（4,2,t-1), …12分 m s-6+4+- 8+2+t-1 √30 由题意可知， 26 解得t=1或t=6(舍去)，所以AM=1,AN=2, …14分 所以梯形BCNM的面积S=SaC-SAw=x3x6-)X 1 ×1×2=8. …15分 2 17.(15分) 【解析】1)设P(x,),则长=-2k,=)+2 …2分 x-1 x-1 所以11=-】-1-1，整理得y=4x, ……4分 kk,y-2 y+2 数学参考答案第5页（共8页） 1A 又点P与A,B不重合，所以曲线C的方程为y2=4x(x≠1)： …5分 6-)+2, (2)设M(o,%),则直线AM:y=-2 令x=-1,可得yo= -20。-2+2, …7分 x0-1 方+20+2)+1，与曲线C的方程联立， 易知直线BM:x=。-1 x=y+2)+1 %+2 y2=4x 消去x,整理得=4(6-0+2)+4， %+2 因为人≠2，解得， 4x-+2, …10分 y%+2 由愿意可知，，=2，所以4-+2=20%-2+2. %+2 x-1 整理行飞一+公1，即M点在椭圆=+-1上， …12分 24 24 因为描圆。+广=1的焦点为(0，±2)， 24 所以椭圆-少+上=1的焦点为，±士V2), …14分 2 所以在直线AB上存在两个定点E(1,V2),F山，-V2),使得ME+MF为定值. …15分 18.(17分) 【解析】(1)易知f'(x)=(ax+a+1)e-1,设g(x)=f'(x),则g'(x)=(ax+2a+1)e, …1分 令g'(x)=0,解得x=-1-2, 当x-0.2时，g)<0,8)年词褪减，了)年词建减。 当x(。2+女时，8()>0,8()单调演培，用了y)单调温湖， …3分 因为f(-)=。-1<0,f0=2a>0,所以存在∈(-1，)，使得f()=0, …4分 数学参考答案第6页（共8页） 1A 则当x∈(-o,x)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(xo,+oo)时，f'(x)>0,则f(x)单调递增， 所以x是f(x)的极小值点，且x∈(-1，I): …5分 (2)由(1)可知，f(x)mm=f(xo)=(ax+1)e6-x-1,且(ax。+a+1)e1-1=0, 消去a,整理得M=e-】 +1七， …6分 设(-e-收e功，则y=e-x-2 x+1 (x+1)2 因为x∈(-l,1),所以e-1-x-2<e1-1<0, …7分 则当x∈(-1,0)时，M'(x)>0,M(x)单调递增， 当x∈(0,1)时，M'(x)<0,则M(x)单调递减， 所以M的最大值为MO)-。1, …9分 此时6=0，所以f(0)=a+1-1=0,解得a=6-1, …10分 e (3)因为f(0)=-1<0,所以m<0<n,且m<x<, e m+n>0,即m<0<-m<n, 由于f(x)<0的解集是(m,n), 所以m<0<-mn等价于八=中+加-1长=0。 …12分 因为f(m)=(am+1)em-m-1=0, 消去a,整理得ef-m)=m-em1-+2<0, …14分 设m)=(m-1e号+2m<0）,则)=加+ em<0, 所以h(m)单调递减， 又h(-1)=0,所以h(m)<0,当且仅当-1<m<0, …16分 因为f(x)在(-oo,x)单调递减，且f(m)=0, 若a之1，则f)&0=fm,放m≤-1，此时e-m)=m)≥0，这与f-m<0矛盾 数学参考答案第7页（共8页） 1A 若0<a<1,则f-=-a+1>0=fm,故-1<m<0,此时e-m=hm<0,满足要求， 综上，a的取值范围是(0，). …17分 19.(17分) 【解析】(1)由题意可知，第一天只有一人值班，则第二天两人都值班或第一天未值班的人单独值班， 所以开工第二天后，两人的值班天数的情况有三种： A一天，B两天；A两天，B一天；A,B各一天： …3分 (2)由题意可知，两人值班总天数之差至多为1，且值班总天数较少者下一天单独值班的概率为} …4分 称徙可知，A的值班总天数多于B,与B的值班总大数多于A的概率相等，均为号 …6分 所以Pm+1=22 …8分 11,111 所以P32,+62P.3 …10分 (3)设A第i天值班的天数为随机变量x,则n天后总值班天数为x+x2++xn, 由题意可知，x的取值为0或1， …11分 易知P=小-+方+号号= 3 2 即少号 …13分 两以E()=0P%=0)-16=1)+号 …14分 因为En=E(x+x2+.+xn)=E(x)+E(x2+.+E(cn), …15分 所以E= x-cl …17分 6 数学参考答案第8页（共8页） 1A绝密★启用前 数学试卷 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦千净 后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答策写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,且CuA={1,3,5},CuB={2,3,7},则A∩B= A.{1,2,3,5,7 B.{1,2,5,7} C.{3,4,6} D.{4,6} 2. 已知数据x,x2,,x的平均数为4，将该组数据中的每个数据均增大为原来的两倍，其平均数为2√a,则a= A.16 B.8 C.4 D.2 3. 已知复数z满足z·i+z为纯虚数，则复数z2的实部为 A.-1 B.0 C.1 D.2 4. 已知题数=m(:+君引，格()图象上的所有点的横坠标省小为原来的后，再向右平移mm0到引个 单位，得到函数g(x)的图象若函数g(x)在区间0， 上不单调，则m的取值范围为 6 A.0, 6 a D.π元〉 32 5. 在△4BC中，E,F是BC边上的两点，G是三角形的重心，且E=FC=BC.若B.AC=G匝.G丽，则2= A.3 B.6 C.9 D.12 6. C:若+3=1(a>6>≥0)与双曲线y=>0)在第一象限交于A,B两点，若0A,0B斜率2 则C的离心率为 1 A.4 B c D.V2 2 7. 在平面直角坐标系x0y中，已知圆0：x2+y2=r2(0<<而)与圆C:(x-1)2+(y-2}-10的两条公切线互相垂 直，则r= A要 B.5 C.2 D.5 2 8. 已知函数f(x)=lnx+ax2,若对任意t∈R,过点(l,t)均仅可作一条曲线y=f(x)的一条切线，则a的值为 A月 B.1 c D.2 数学试题第1页（共4页） 1A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在平面直角坐标系x0y中，已知双曲线C:二-为1(@>0,6>0)左、右焦点为，B,离心率e=2,下列说 法中正确的有 A.C的渐近线为y=±V3x B.C的焦距是虚轴长的√3倍 C.若C的焦点到其渐近线的距离为V6，则FF引=4V2 D.若C的焦距为8，则其渐近线上存在点P,使得P-PF=2 10.已知等比数列{an}的各项均为正数，公比g>1,前n项积为T,，下列说法中正确的有 A若a=日则3=l B若6=2，Z-1,则a=日 C.若anm=1(m≥2)，则T2nm=1 D.若I≥a,则a,≥1 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,点D在BC上，且BC=3BD,a=3,若 sin∠BAD=2sin∠CAD,则 A.b=4c B.当coS∠BAC=时，AD=V2 C△MBC面积的最大值为号 B D D.当∠ADB最大时，△ABC的面积为V2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知甲、乙、丙、丁四名男生结伴游玩，入住的酒店仅有单人房和双人房两种房型，则四人不同的订房方案数 为 13.已知f(x)定义在R上奇函数，且当x≥-1时，满足f(x+2)=2f(x),且当x∈[-1,1)时，f(x)=x-ax,则 ⑤[)++(2+ 14.已知圆台O,O,的上、下底面半径分别为1,3，若经过该圆台两条母线的平面，截圆台所得截面面积的最大值为 7,则该圆台的体积为」 数学试题第2页（共4页） 1A 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,且S,·S2=S· (1)求{an}的通项公式： ②设数列4，。，。，，04，。，为数列b,求数列b}的前2n项 16.(15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，AP,AB,AC两两垂直，且AB=3,AC=AP=6, E,F分别是PB,PC上的点，且9S=},过F的平面与仍，AC分别 E 交于点M,N, (1)证明：N∥BC: 2》若锐二面角B-r-M的余弦值为Y0,求梯形8CNM的面积 A C M B 17.(15分) 在平面直角坐标系xOy中，己知A(1,2),B(1,-2),P是平面上的动点，记直线PA,PB的斜率分别为k,k2, 且2-1=1. k k2 (1)求动点P形成的曲线C的方程： (2)点Q在直线x=-1上，且PO与x轴平行，设OA与PB交于点M,证明：在直线AB上存在两个定点E, F,使得ME+MF为定值 数学试题第3页（共4页） 1A 18.(17分) 己知f(x)=(ax+1)e-1-x-1(a>0). (1)证明：f(x)的极值点。∈(-1,1)： (2)设∫(x)的最小值为M,当M最大时，求a的值： (3)设f(x)<0的解集为(mn)(m<n)，若m+n>0,求a的取值范围. 19.(17分) 新年伊始，某车间开始生产活动.已知该车间每天被安排生产甲产品或乙产品的概率均为？，且要求A,B两位 员工中，每天至少有一人值班为了公平起见，当某天被安排生产甲产品时，若之前A的值班总天数多于B,则两者 当天均值班，若之前A的值班总天数不多于B,则A值班：同样的，当某天被安排生产乙产品时，若之前B的值班 总天数多于A,则两者当天均值班，若之前B的值班总天数不多于A,则B值班设刚开始时两人值班总天数均为0. (1)分析开工第二天后，两人值班天数的所有情况： (2)求n天后，两位员工值班总天数相同的概率pn: (3)求n天后，A值班总天数的期望E,n· 参考公式：随机变量X,Y的期望满足公式E(X+Y)=E(X)+E(Y) 数学试题第4页（共4页） 1A