精品解析：山西太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高三下学期5月阶段检测数学试题

绝密★启用前 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由全集，及， 得 ，所以 . 2. 已知数据，，…，的平均数为4，将该组数据中的每个数据均变为原来的两倍，其平均数为，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由题，可得， 所以将该组数据中的每个数据均变为原来的两倍，其平均数为， 所以，得. 3. 已知复数满足为纯虚数，则复数的实部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据待定系数法，复数的乘方，及复数的定义即可得到答案． 【详解】设，则 ， 又为纯虚数，则，解得，且， 则， 所以 ， 故复数的实部为． 4. 已知函数，将图象上的所有点的横坐标缩小为原来的后，再向右平移个单位，得到函数的图象．若函数在区间上不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过伸缩平移得到函数，由题意得到在存在最值点，进而可求解. 【详解】由， 横坐标缩小为原来的​，得； 向右平移个单位，得： ， 当时，相位的范围为： ，  不单调区间内存在正弦函数的最值点， 结合，则， 该范围内仅有的最值点为， 因此要求： ， 右半部分： ​，符合题设； 左半部分： 综上，的取值范围是 . 5. 在中，，是边上的两点，是三角形的重心，且．若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则即可求解． 【详解】由是的重心，取的中点，则在线段上，且， 又，则，， 则，， 所以， 故． 6. 已知椭圆与双曲线在第一象限交于，两点，若，斜率之积为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据斜率之积得出，再将点坐标代入椭圆方程中，利用韦达定理得出即可计算. 【详解】设， 因为，斜率之积为，所以，即， 因为， 所以， 则是关于的方程 的两个不等根， 则，则，故的离心率为. 7. 在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，结合两圆的位置关系，可得四边形与四边形均为正方形，结合勾股定理，列式求解，即可得答案 【详解】圆C的圆心为，半径，圆O的圆心为， 因为，所以在圆C内部， 因为两圆有两条公切线，且垂直，所以两圆相交， 设圆C与两切线分别交于点A、B，圆O与两切线分别交于点D、E，两切线交于点F， 连接CA、CB、OD、OE、OC，过O作，如图所示， 则四边形与四边形均为正方形， 则四边形为矩形，且 ， ， 在中，，所以 ， 则，即，解得或（舍）， 8. 已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设切点坐标 ，求导确定切线方程，代入，得到，由方程根的个数，转换成 在上单调，进而可求解. 【详解】由，定义域为， 导数，设切点为 ， 切线斜率为​， 则切线方程：，又切线过点 ， 代入整理得：  由题意对任意，方程关于仅有一个解， 即函数 在上单调， 求导得： ​ ，又， 符号由分子 决定， 要让单调，需恒正或恒负对所有成立， 当时，恒成立，此时当时，恒正或恒负不成立， 当时，若恒正或恒负对所有成立， 需满足和有相同零点， 有正根​​，，得， 即，解得​； 此时 对所有恒成立， 仅处等号成立，在单调递减，且 ， ， 故对任意，方程仅有一个解，符合要求； 因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右焦点为，，离心率，下列说法中正确的有（ ） A. 的渐近线为 B. 的焦距是虚轴长的倍 C. 若的焦点到其渐近线的距离为，则 D. 若的焦距为8，则其渐近线上存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以的渐近线为，正确； 对于B，因为，错误； 对于C，不妨设的右焦点到其渐近线的距离为，即，所以，正确； 对于D，设，且在直线上，所以， 又，即 ， 化简移项 ，再平方化简可得，故存在. 10. 已知等比数列的各项均为正数，公比，前项积为，下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等比数列的性质及通项公式判断ABD，举反例判断C. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以 ，解得， 所以，所以，故B正确； 取，则，，故C错误； 由等比数列性质知，所以， 若，则，即 ，由，所以，故D正确. 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，点在上，且，，若，则（ ） A. B. 当时， C. 面积的最大值为 D. 当最大时，的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】通过线段比例与面积公式分析A选项，再利用余弦定理和向量运算处理B选项，用点A的坐标轨迹圆求解C、D选项的最值. 【详解】根据题意可得：，又因为， 所以 ，在A选项中，因为和等高， 所以面积比，又因为 ， ，又因为 ， 所以 ，解得，A正确， 在B选项中，由A选项可知，，又因为，， 所以由余弦定理 可得： ，化简得：， 即，，，又因为， 两边平方得： ， ， B错误， 在C选项中，建立平面直角坐标系，设，，，动点. 由，列两点间距离公式：， 平方后整理得. 点轨迹是以为圆心，半径的圆. 三角形面积， 圆上点纵坐标最大值为半径，故，选项C正确； 选项D，定点在圆外，设，在中，，. 由正弦定理，得. 当时，最大，此时，为圆的切线， 则,此时. ，故选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知甲、乙、丙、丁四名男生结伴游玩，入住的酒店仅有单人房和双人房两种房型，则四人不同的订房方案数为_________． 【答案】 【解析】 【详解】当订购2间双人房时，共有种方案， 当订购1间双人房和2间单人房时，共有种方案， 当订购4间单人房时，共有1种方案， 综上，由分类加法计数原理知共有种方案. 13. 已知定义在上奇函数，且当时，满足，且当时，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的递推性质及奇偶性求出参数，再由函数解析式及递推关系得出 即可得解. 【详解】因为当时，满足， 所以，即， 又函数为上的奇函数，所以， 即 ，解得，又 ，解得， 所以时，，所以， 由，， 所以 ，同理， 所以. 14. 已知圆台的上、下底面半径分别为1，3，若经过该圆台两条母线的平面，截圆台所得截面面积的最大值为7，则该圆台的体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】作出圆台的轴截面，并将其补充成等腰三角形，设，可得圆台的母线长为，过圆台两条母线所作截面也为等腰梯形，并将其补成等腰三角形，设其顶角为，求出，根据条件求得，进而求得圆台的高，求出体积. 【详解】由题意作出轴截面，并将其补充成等腰三角形， 则，，设， 因为，，所以，即圆台的母线长为. 过圆台两条母线所作截面也为等腰梯形，并将其补成等腰三角形，设其顶角为， 则， 因为，且，则当时，的最大值为， 所以，得， 在中，由余弦定理得 ，即. 所以圆台的高， 所以圆台的体积 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列的前项和为，已知，且． （1）求的通项公式； （2）设数列，，，，…，，，…为数列，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出公差，代入公式，即可得答案. （2）根据等差数列的求和公式，可得，写出的表达式，根据裂项相消求和法，整理计算，即可得答案. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以，即公差为2， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，，所以， 所以， 因为， 所以． 16. 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，分别是，上的点，且，过的平面与，分别交于点，． （1）证明：； （2）若锐二面角的余弦值为，求梯形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理和性质定理证明即可； （2）利用空间向量方法求解可得. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 平面平面， 所以， 所以； 【小问2详解】 如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 由（1）可知，， 设， ， 则，， ，， 设平面的一个法向量， 则， 取，则， 所以平面的一个法向量为； 设平面的一个法向量， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为， 由题意可知，， 解得或（舍去），所以，， 所以梯形的面积 ． 17. 在平面直角坐标系中，已知，，是平面上的动点，记直线，的斜率分别为，，且． （1）求动点形成的曲线的方程； （2）点在直线上，且与轴平行，设与交于点，证明：在直线上存在两个定点，，使得为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，结合已知条件得出，结合构造方程，结合点与，不重合，求出曲线的方程为； （2）设点，求出直线的方程，求出，求出直线，联立直线与曲线的方程求出，再根据得出椭圆方程，进而求出焦点即为定点，，使得为定值． 【小问1详解】 设，则，， ，整理得， 又点与，不重合， 曲线的方程为． 【小问2详解】 设，则直线： ， 令，可得 ， 则直线： ， 联立直线与曲线的方程得， 消去，整理得 ， ，解得 ， 由题意可知，， ， 整理得 ，即点在椭圆上， 椭圆的焦点为， 椭圆的焦点为， 在直线上存在两个定点，，使得为定值． 18. 已知． （1）证明：的极值点； （2）设的最小值为，当最大时，求的值； （3）设的解集为，若，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，研究其单调性，根据零点存在性定理判断； （2）求出最小值，再消去参变量，构造函数，利用导函数求最大值即可； （3）得出 等价于，化简得 ，再构造函数得出，再分、讨论. 【小问1详解】 易知， 设，则， 当时，，单调递减，即单调递减， 当时，，单调递增，即单调递增， 因为，，所以存在，使得， 因为，时，， 所以当时，， 所以当时，，单调递减， 当时，，则单调递增， 所以是的极小值点，且； 【小问2详解】 由（1）可知，，且， 消去，整理得， 设，则， 因为，所以 ， 则当时，，单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的最大值为， 此时，所以，解得； 【小问3详解】 因为，的解集是，所以，且， 由，得 ， 所以 等价于， 由，得， 消去，整理得 ， 设，则， 所以单调递减， 又，所以，当且仅当， 因为在单调递减，且， 若，则，故，不符合； 若，则，故，满足要求， 综上，的取值范围是． 19. 新年伊始，某车间开始生产活动．已知该车间每天被安排生产甲产品或乙产品的概率均为，且要求，两位员工中，每天至少有一人值班．为了公平起见，当某天被安排生产甲产品时，若之前的值班总天数多于，则两者当天均值班，若之前的值班总天数不多于，则值班；同样的，当某天被安排生产乙产品时，若之前的值班总天数多于，则两者当天均值班，若之前的值班总天数不多于，则值班．设刚开始时两人值班总天数均为． （1）分析开工第二天后，两人值班天数的所有情况； （2）求天后，两位员工值班总天数相同的概率； （3）求天后，值班总天数的期望． 参考公式：随机变量，的期望满足公式 【答案】（1）情况有三种：一天，两天；两天，一天；，各一天 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意列举出符合题意的情况即可. （2）结合题意并且构造等比数列，进而得到即可. （3）结合题意求出每种情况的概率，再得到数学期望，最后结合期望的性质求和即可. 【小问1详解】 由题意可知，第一天只有一人值班， 则第二天两人都值班或第一天未值班的人单独值班， 所以开工第二天后，两人的值班天数的情况有三种， 为一天，两天；两天，一天；，各一天； 【小问2详解】 由题意可知，两人值班总天数之差至多为， 且值班总天数较少者下一天单独值班的概率为， 由对称性可知，的值班总天数多于， 与的值班总天数多于的概率相等，均为， 所以， 所以， 又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，所以； 【小问3详解】 设第天值班的天数为随机变量， 则天后总值班天数为，由题意可知，的取值为或， 易知， 即， 所以， 因为， 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，且，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数据，，…，的平均数为4，将该组数据中的每个数据均变为原来的两倍，其平均数为，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 3. 已知复数满足为纯虚数，则复数的实部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知函数，将图象上的所有点的横坐标缩小为原来的后，再向右平移个单位，得到函数的图象．若函数在区间上不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，是边上的两点，是三角形的重心，且．若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 已知椭圆与双曲线在第一象限交于，两点，若，斜率之积为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右焦点为，，离心率，下列说法中正确的有（ ） A. 的渐近线为 B. 的焦距是虚轴长的倍 C. 若的焦点到其渐近线的距离为，则 D. 若的焦距为8，则其渐近线上存在点，使得 10. 已知等比数列的各项均为正数，公比，前项积为，下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，点在上，且，，若，则（ ） A. B. 当时， C. 面积的最大值为 D. 当最大时，的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知甲、乙、丙、丁四名男生结伴游玩，入住的酒店仅有单人房和双人房两种房型，则四人不同的订房方案数为_________． 13. 已知定义在上奇函数，且当时，满足，且当时，，则_________． 14. 已知圆台的上、下底面半径分别为1，3，若经过该圆台两条母线的平面，截圆台所得截面面积的最大值为7，则该圆台的体积为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列的前项和为，已知，且． （1）求的通项公式； （2）设数列，，，，…，，，…为数列，求数列的前项和． 16. 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，分别是，上的点，且，过的平面与，分别交于点，． （1）证明：； （2）若锐二面角的余弦值为，求梯形的面积． 17. 在平面直角坐标系中，已知，，是平面上的动点，记直线，的斜率分别为，，且． （1）求动点形成的曲线的方程； （2）点在直线上，且与轴平行，设与交于点，证明：在直线上存在两个定点，，使得为定值． 18. 已知． （1）证明：的极值点； （2）设的最小值为，当最大时，求的值； （3）设的解集为，若，求的取值范围． 19. 新年伊始，某车间开始生产活动．已知该车间每天被安排生产甲产品或乙产品的概率均为，且要求，两位员工中，每天至少有一人值班．为了公平起见，当某天被安排生产甲产品时，若之前的值班总天数多于，则两者当天均值班，若之前的值班总天数不多于，则值班；同样的，当某天被安排生产乙产品时，若之前的值班总天数多于，则两者当天均值班，若之前的值班总天数不多于，则值班．设刚开始时两人值班总天数均为． （1）分析开工第二天后，两人值班天数的所有情况； （2）求天后，两位员工值班总天数相同的概率； （3）求天后，值班总天数的期望． 参考公式：随机变量，的期望满足公式 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $