江苏镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年第二学期高二数学周练11

**基本信息** 聚焦高二数学核心知识，通过文旅消费、软件研发等现实情境设计问题，融合概率统计、立体几何、导数等模块，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|正态分布、重心向量、函数图像分析、条件概率|结合文旅年卡消费情境考查条件概率，体现应用意识| |多选题|3/18|互斥独立事件、二项式定理、概率期望方差|以双盒取球模型综合考查概率计算与期望，强化逻辑推理| |填空题|3/15|独立性检验、线性回归方程、正八面体共面概率|软件公司利润数据考查线性回归，培养数据观念| |解答题|5/77|组合计数、二项式定理、立体几何证明与计算、导数应用|传统文化小组选法分层设计（基础组合→至少1人→既有男女），立体几何三问从证明到夹角计算再到线面角应用，体现能力梯度|

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学周练11 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为 （ ） 若 A． B． C． D． 2．三棱锥中，为的重心，是的中点，则 （ ） A． B． C． D． 3．已知函数的大致图象如图所示，则 （ ） A． B． C． D． 4．关于下列命题，其中不正确的是 （ ） A．若 B．若 C．已知随机变量，则 D．已知随机变量，若 5．若是11的倍数，则自然数为 （ ） A．奇数 B．偶数 C．的倍数 D． 被除余1的数 6．如图，4个圆相交有8个交点，现在4种不同的颜色供选用，给8个交点染色，要求在同一圆上的4个交点的颜色互不相同，则不同的染色方案共有（ ）种 A． B． C． D． 7．若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是 （ ） A． B． C． D． 8．2026年某地文旅部门积极探索政策，带动旅游消费，推出文旅一卡通旅游年卡，凡是购买文旅一卡通旅游年卡的市民可在合作影院免费观影两次，小明同学购买旅游年卡后，在家附近有甲、乙两家合作影院可供选择，小明第一次去甲、乙两家影院观影的概率分别为，如果他第一次去甲影院，那么第二次去甲影院的概率为，如果他第一次去乙影院，那么第二次去甲影院的概率为，现已知小明同学第二次去了甲影院，则第一次去的是乙影院的概率为 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是 （ ） A．若互斥，则 B．若相互独立，则 C．若，则相互独立 D．若， 10．已知，则下列结论正确的是 （ ） A． B． C． D． 11．有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒中装有2个红球和2个白球，乙盒中装有1个红球和3个白球，先随机选择一个盒子（选甲盒的概率，选乙盒的概率为），再从选中的盒子里不放回依次取出2个球，记事件为“第一次摸到红球”，事件为 “第二次摸到红球”，其中表示摸出的2个球中红球的个数，则下列说法正确的是 （ ） A． B． C．的数学期望 D．的方差 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．为研究课后整理错题习惯于数学成绩达标之间的关联性，经独立性检验计算得，临界值，记事件为“学习成绩达标”，事件为“学生坚持整理错题”；已知，则有 的把握认为二者存在关联；随机抽取一名学生，其成绩达标的概率为 . 13．某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． x 3 4 5 6 6 7 8 9 y 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示），________． 附：（1）参考数据：，． （2）参考公式：， 14．如图为一个正八面体，用事件表示“从正八面体的所有顶点中任取4个点，这4个点恰好共面”，若事件满足，则 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动． （1）如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？ （2）如果男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （3）如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？ 16．已知在的展开式中，第9项为常数项， 求：（1）正整数n的值； （2）展开式中的系数； （3）含x的整数次幂的项的个数． 17．甲、乙两袋有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球. （1）若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回， ①求取出的2个球中至少有一个红球的概率； ②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率； （2）若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率. 18．如图，在四棱锥中，，，，，是棱的中点，且平面，点是棱上的一点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 19．已知 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②是的极值点，求证： 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学周练11 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为 （ A ） 若 A． B． C． D． 2．三棱锥中，为的重心，是的中点，则 （ D ） A． B． C． D． 3．已知函数的大致图象如图所示，则 （ C ） A． B． C． D． 4．关于下列命题，其中不正确的是 （ D ） A．若 B．若 C．已知随机变量，则 D．已知随机变量，若 5．若是11的倍数，则自然数为 （ A ） A．奇数 B．偶数 C．的倍数 D． 被除余1的数 6．如图，4个圆相交有8个交点，现在4种不同的颜色供选用，给8个交点染色，要求在同一圆上的4个交点的颜色互不相同，则不同的染色方案共有（ D ）种 A． B． C． D． 7．若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是 （ D ） A． B． C． D． 8．2026年某地文旅部门积极探索政策，带动旅游消费，推出文旅一卡通旅游年卡，凡是购买文旅一卡通旅游年卡的市民可在合作影院免费观影两次，小明同学购买旅游年卡后，在家附近有甲、乙两家合作影院可供选择，小明第一次去甲、乙两家影院观影的概率分别为，如果他第一次去甲影院，那么第二次去甲影院的概率为，如果他第一次去乙影院，那么第二次去甲影院的概率为，现已知小明同学第二次去了甲影院，则第一次去的是乙影院的概率为 （ A ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是 （ AC ） A．若互斥，则 B．若相互独立，则 C．若，则相互独立 D．若， 10．已知，则下列结论正确的是 （ AB ） A． B． C． D． 11．有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒中装有2个红球和2个白球，乙盒中装有1个红球和3个白球，先随机选择一个盒子（选甲盒的概率，选乙盒的概率为），再从选中的盒子里不放回依次取出2个球，记事件为“第一次摸到红球”，事件为 “第二次摸到红球”，其中表示摸出的2个球中红球的个数，则下列说法正确的是 （ ABC ） A． B． C．的数学期望 D．的方差 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．为研究课后整理错题习惯于数学成绩达标之间的关联性，经独立性检验计算得，临界值，记事件为“学习成绩达标”，事件为“学生坚持整理错题”；已知，则有 的把握认为二者存在关联；随机抽取一名学生，其成绩达标的概率为 . 13．某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． x 3 4 5 6 6 7 8 9 y 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示），________． 附：（1）参考数据：，． （2）参考公式：，． 【详解】， ， 由条件可知，得， 所以，故答案为：. 14．如图为一个正八面体，用事件表示“从正八面体的所有顶点中任取4个点，这4个点恰好共面”，若事件满足，则 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动． （1）如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？ （2）如果男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （3）如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？ 15．解：（1）第一步，从5名男生中选2人，有种选法； 第二步，从5名女生中选2人，有种选法． 根据分步乘法计数原理，共有种选法． （2）从10人中选取4人，有种选法； 男生甲与女生乙都不参加，有种选法． 所以男生甲与女生乙至少有1人参加， 共有种选法． （3）从10人中选取4人，有种选法； 4人全是男生，有种选法； 4人全是女生，有种选法． 所以4人中既有男生又有女生， 共有种选法． 16．已知在的展开式中，第9项为常数项， 求：（1）正整数n的值； （2）展开式中的系数； （3）含x的整数次幂的项的个数． 16．解：（1）由已知得二项展开式的通项为 因为第9项为常数项，所以当时，，即，解得 （2）由（1）知， 令，得，所以的系数为． （3）要使为整数，只需k为偶数，由于，， 因此含x的整数次幂的项共有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项． 17．甲、乙两袋有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球. （1）若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回， ①求取出的2个球中至少有一个红球的概率； ②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率； （2）若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率. 17．解：（1）①“所取的2个球中至少有一个红球”的对立事件“所取的2个球都是白球”， 因为从甲袋中随机取2个球都是白球的概率为， 所以根据对立事件公式，所取的2个球中至少有一个红球的概率为； ②设事件表示“第1次从甲袋中取到一个白球”， 表示“第二次从甲袋中取到红球”， ，； （2）设事件表示“取到的2个球中有1个红球”， 事件表示“从甲袋中取到红球”， 事件表示“从甲袋中取到白球”， 那么，，, 18．如图，在四棱锥中，，，，，是棱的中点，且平面，点是棱上的一点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 18．解：（1）取的中点，连接. 因为，所以. 在中，，是的中点， 所以. 在中，，所以. 所以，又， 所以平面，又平面，所以. 在中，因为，为的中点，所以. 又平面，所以平面. 又平面，所以. 而，平面，所以平面. （2）由（1）知，， 所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 那么，，. 由（1）知平面，而平面，所以. 所以. 所以. 设平面与平面的法向量分别为. 所以，. 即：，. 令，则；. 所以平面与平面的法向量分别为. 所以. 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）设，因为，， 所以，设平面的法向量为， 则，令，则. 所以平面的法向量为.而 所以. 化简得，解得或者 根据相似可得，所以或者. 所以或者. 19．已知 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②是的极值点，求证： 19．解：（1）函数， ， 当时，，则， 所以上单调递增； 当时，令， 当单调递减， 当单调递增， 综上，当时，上单调递增； 当时，上单调递减；上单调递增； （2）①由（1）知，当时，上单调递增；此时至多有一个零点，不符合题意， 当时，上单调递减；上单调递增； 所以的极小值也是最小值， 令， 又因为， 所以由零点存在定理可知，当有两个零点， 所以，实数的取值范围是； ②由①知，，， 即， 要证， 只要证， 即证 设，上不等式可化为， 令， ， ， 即是单调递增，， 故不等式成立， 所以 6 学科网（北京）股份有限公司 $