四川安岳中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

安岳中学高2023级第二学期半期考试 数 学 试 题 考试时间120分钟；满分：150分； 一、单选题（共8小题，共计40分） 1．已知向量，，则的充要条件是（　　） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是 边长为2的正方形，则原四边形的面积是（    ） A． B． C．16 D．8 4．已知复数z满足（其中为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．在中，已知，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，b=2，，则c=（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所 示，则下列说法正确的是（        ） A．直线是图象的一条对称轴 B．图象的对称中心为， C．在区间上单调递增 D．将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象 8．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且E是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察，滑动横档使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，的影子恰好是.然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置。 若在一次测量中，，横档的长度为30，则太阳高度角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（共4小题，共计20分） 9．下列说法中，正确的是（    ） A．棱柱中每一个面都不会是三角形 B．各个侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体 C．经过圆锥的两条母线的截面一定是一个等腰三角形 D．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，菱形的直观图还是菱形 10．在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．若复数（i为虚数单位），则 B．若复数z满足，则 C．若复数，则z为纯虚数的充要条件是 D．若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆 11．在中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有（    ） A．若 ，则 ； B．若，则一定为等腰三角形； C．若，则为直角三角形； D．若为锐角三角形，则 . 12．下列结论正确的是（    ） A．点在所在的平面内，若，则点为的重心 B．若，为锐角，则实数m的取值范围是 C．点在所在的平面内，若，，分别表示， 的面积，则 D．点在所在的平面内，满足且，则点是且的内心 三、填空题（每小题5分，共计20分） 13．已知，则 ． 14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则 . 15．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为 ． 16．在中，若，点为边的中点，，则的最小值为 . 14题图 15题图 四、解答题（共计70分） 17．（10分）如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： (1)三棱锥的表面积； (2)三棱锥的体积． 18．（12分）在平面四边形中，，，． (1)若的面积为，求； (2)记，若，，求． 19．（12分）已知函数（其中）的最大值为2，最小正周期为． （1）求函数f（x）的单调递减区间和对称轴方程； （2）求函数f（x）在上的值域． 20．（12分）在直角梯形中，//. (1)求； (2)若与共线，求的值； (3)若为边上的动点（不包括端点），求的最小值. 21．（12分）已知向量，，． (1)若，求x的值； (2)记，若对于任意，而恒成立，求实数的最小值． 22．（12分）在锐角中，角的对边分别为，S为的面积，且． (1)求的值； (2)求的取值范围． 参考答案： 1．D 【详解】，． 故选：D． 2．D 【详解】． 故选：D． 3．B 【详解】在正方形中可得， 由斜二测画法可知，， 且，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 故选：B. 4．D 【详解】因为，所以，所以， 复数z在复平面上对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 5．C 【详解】由得，所以，所以，所以为直角三角形； 由得， 所以 ，所以， 即，因为，所以，所以为等腰三角形； 综上，为等腰直角三角形. 故选：C 6．B 【详解】因为，由正弦定理可得，即，因为， 所以，即，结合△ABC的面积为可知， 解得. 故选：B. 7．C 【详解】由函数图象可知，,最小正周期为 ， 所以 ， 将点代入函数解析式中，得：，结合， 所以，故， 对于A，当时，，故直线不是图象的一条对称轴，A错误; 对于B，令，则， 即图象的对称中心为，，故B错误； 对于C，当时，，由于正弦函数在上递增， 故在区间上单调递增，故C正确； 对于D，将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，该函数不是奇函数，故D错误； 故选：C 8．B 【详解】由题意知垂直平分，故， 在中，，则, 则， 而，故， 即太阳高度角的正弦值为， 故选：B 9．BC 【详解】A选项，三棱柱的上底面和下底面是三角形，A错误； B选项，各个侧面都是正方形，若上下底面是菱形，则这样的四棱柱不一定是正方体，B正确； C选项，圆锥的两条母线相等，故经过圆锥的两条母线的截面一定是一个等腰三角形，C正确； D选项，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，菱形的直观图不一定是菱形，如图所示， 正方形的直观图不是菱形，    故D错误. 故选：BC 10．AD 【详解】解：对于A：，，，所以，故A正确； 对于B：设，，所以，若，则，则或或，当时，故B错误； 复数，则z为纯虚数的充要条件是且，故C错误； 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确； 故选：AD 11．AC 【详解】对于A，由正弦定理，所以由，可推出，则，即A正确； 对于B，取，则，而不是等腰三角形，即B错误； 对于C，， 则，由正弦定理可得，故为直角三角形，即C正确； 对于D，若锐角三角形，取，此时，即，故D错误. 故选：AC. 12．ACD 【详解】对于选项A：设边上的中点为,则易得, 因为，所以, 所以，又点为公共点， 所以三点共线，即点在边的中线上， 同理可得点也在两边的中线上， 所以点为的重心，故A正确； 对于选项B:因为， 所以 因为为锐角，所以,且不共线， 所以，解得且，故选项B错误； 对于选项C: 因为，所以， 如图，设的中点为，设的中点为， 则,所以， 又点为公共点，所以三点共线，且， 所以,又， 所以，故C正确； 对于选项D:由，可得 即， 由，所以， 所以是的角平分线， 由，可得, 即， 由，所以， 所以是的角平分线， 所以点是且的内心，故选项D正确. 故选：ACD. 13． 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 14． 【详解】由题可知， 所以 . 故答案为： 15．2. 详解： 由题意知底面圆的直径AB＝2， 故底面周长等于2π. 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝， 解得n＝90， 所以展开图中∠PSC＝90°， 根据勾股定理求得PC＝2， 所以小虫爬行的最短距离为2. 故答案为2 点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 16． 【详解】，因为为边的中点，，故，故求的最大值.设，，则由余弦定理，，，因为，故，即，又，故，即，此时，故，当且仅当时取等号.即的最小值为 故答案为： 17．(1) (2) 【详解】（1）∵是正方体， ∴， ∴三棱锥的表面积为． （2）三棱锥，，，是完全一样的． 且正方体的体积为，故． 18．(1) (2) 【详解】（1）解：，解得， 由余弦定理得，因此，. （2）解：在中，， 在中，，   由正弦定理得，即， 所以，，即，故. 19．（1）（2） 【详解】解：（1）函数的最大值是2， ， 函数的周期， 则， 则， 由， 得， 即， 即函数的单调递减区间是， 由， 得， 即， 即函数的对称轴方程为； （2）， ，， 则当时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为， 即函数在上的值域为． 20．(1)； (2)； (3). 【详解】（1）过作，易知，又，故可得； 以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示：    则，， 故. （2）由（1）可知，， 故， 若与共线，则，解得. （3）设，则，易知， 则 则， 对，其对称轴，故其最小只能为； 故的最小值为. 21．(1) (2)的最小值为 【详解】（1）由，则，则， ，，故， ，由于，所以， 所以，则. （2）==+， ==， ∵，∴，. ∵恒成立，∴， 从而，即. 22．(1) (2) 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴（舍），. （2）∵， ∴， ∴ ∵为锐角三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 令， 单调递减，单调递增， 当，当， 学科网（北京）股份有限公司 $