专题08 期末压轴题 4大高频考点（解答题部分）（期末真题汇编，江苏专用）七年级数学下学期

**基本信息** 汇集江苏多地七下数学期末解答压轴题，聚焦几何变换、方程不等式、整式乘法与几何综合、新定义四大高频考点，以真实情境与梯度设计实现思维能力分层考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|24题（约120分）|几何含平行线性质、图形折叠与旋转（如“猪蹄模型”“飞镖模型”）；代数含方程组与不等式组应用（如亚冬会吉祥物进货方案）、整式乘法公式几何验证；新定义含“互优角”“学梅方程”等|以环球飞车、粮食生产等真实情境命题，几何题设置动态变化（如点移动过程中角关系探究），代数题融合方案设计与利润优化，新定义问题注重迁移应用（如模3运算证明），匹配江苏期末真题命题趋势。|

专题08 七下数学期末压轴题（解答题部分） 4大高频考点概览 考点01 几何图形变换与计算、推理 考点02 方程与组不等式（组）综合 考点03 整式乘法公式与几何综合题 考点04 新定义问题与材料阅读问题 ( 江苏 考点01 几何图形变换与计算、推理 ) 1．（24-25七年级下·江苏常州·期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． （1）如图1，已知，则∠AEC=∠BAE＋∠DCE成立吗?请说明理由； （2）如图2，已知，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=60°，∠ABC=40°，求∠BED 的度数； （3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠FAD=α°，∠ABC=β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”． (1)如图1，形中，若，，则________°； (2)如图2，形中，若，，则________°； (3)如图3，连接形中两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由； (4)在（3）的条件下，当点在射线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）（1）如图的图形我们把它称为“字形”，请说理证明． （2）如图，、分别平分、，和为任意角时，其他条件不变，试写出与、之间数量关系． （3）在图中，若设，，试问与、之间的数量关系为______用、的代数式表示． （4）在图中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论． 4．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）在和（共边且不重合）中，， (1)如图1，当和均为钝角三角形，在直线两侧时，和之间的数量关系为 ． (2)如图2，当和均为锐角三角形，且在直线两侧时，和之间的数量关系为 ． (3)如图3，当为钝角三角形，为锐角三角形，且在直线同侧时，求证：． (4)分别作和的角平分线，两条角平分线所在直线交于点（点不与点或者点重合），当时，直接写出的度数． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，点在长方形纸片边上． (1)将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图1中画出折痕，其中，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出折痕，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）； (3)折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图3中作出折痕，，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）．判断，的位置关系，并说明理由； (4)折叠长方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图4中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 6．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点分别在边上，沿折叠，使顶点落在点处，其中题中所有角都是指小于的角． (1)如图，______（填“”“”或“”）； (2)如图，若沿折叠，使顶点落在点处，点，点，点恰好在一条直线上，请用无刻度直尺和圆规作图，作出折痕（在图上标注出点）； (3)如图，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (4)连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交，若射线是的角平分线，求出的度数．（用含的代数式表示） 7．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）【综合与实践】 神州小组在探究平移、轴对称、旋转之间的关联得到的部分报告如表： 实验操作：奇妙的轴对称 三角形关于直线m对称，三角形关于直线n对称 直线平行 直线相交 三角形③可以由三角形①经过一次________得到．（填“平移”“旋转”“翻折”） 三角形③可以由三角形①经过一次________得到．（填“平移”“旋转”“翻折”） 神州小组通过查阅资料得到如下两个真命题： A．一次平移变换可以分解为两次轴对称变换． B．一次旋转变换可以分解为两次轴对称变换． 【理解运用】 如图三角形能完全重合，则三角形②一定可以由三角形①经过至少________次的轴对称变换得到． 【拓展迁移】 如图，中，把点A绕着C顺时针旋转得到点D，再把点A绕着B逆时针旋转得到点为上方一点且，连接，求的度数． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图1，在直角中，，D为上一点，E为外一点，，，． (1)求证：； (2)若（如图2），点F在线段上，． ①当时，求的面积； ②小亮说：可以看作由经过两次轴对称变换得到．他的说法是否正确，若正确，用圆规和没有刻度的直尺在图3中作出两条对称轴（若有多种情况，作出一种情况即可）；若不正确，请写出一种正确的变换方式． 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，直线，直线与、分别相交于点E、F，．将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点A、C分别在直线、上，，． (1)如图1，直接写出，，之间的数量关系________； (2)的平分线交直线于点G，且． ①如图2，当时，求的值； ②将从图2位置沿射线的方向平移，在平移过程中，请用含的代数式表示的度数． 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）【阅读材料】如图1，等边各边的垂直平分线交于点O，并将分成形状、大小完全相同的六个小三角形． 图1 图2 将一个小三角形沿着直线翻折得到新的三角形，这样的变换记为，类似地，沿着直线，翻折分别记为，； 将一个小三角形绕着点O顺时针旋转得到新的三角形，这样的变换记为，类似地，绕着点O顺时针旋转，分别记为，； 如果先作变换，再作变换，可以记为． 例如，图2中将作变换，即：将先作变换得；再将作变换，得到．而将直接作变换也得到． 这意味着（）变换可化简为变换，即：． 【问题解决】 (1)将作变换得到______；将作变换得到______；将进行变换得到______；变换可化简为______变换． (2)我们知道，有理数的加法运算具有交换律和结合律，即： ，．类似地，我们可以探究“”可以满足哪些运算律． 在下列等式中，你认为正确的是______．（填写所有正确的序号） ①；②；③． (3)利用两次旋转和一次翻折变换，可设计出变换结果为的算法．如：，请再设计4个符合要求的算法，要求算式中不带括号，且翻折变换只能是．（直接写出答案） 11．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知：，，、、、四点在同一直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，猜想、、这三个角之间有何数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，是下方一点，连接、，且，，若，求的度数． (4)如图4，是下方一点，连接、，且，，若，则______（结果用，表示）． 12．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”．即若，则称和互为“互优角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“互优角”，当时，则______； (2)如图1，将一长方形纸片沿着折叠，（点在线段上，点在线段上），使点落在，若与互为“互优角”，求的度数； (3)再将纸片沿着折叠（点在线段或上），使点落在．若与互为“互优角”，则______． 13．（24-25七年级下·江苏·期末）在△ABC中，，于点D，点E为边上的中点，连接DE．   【基本图形再认识】 如图1，的形状是 三角形； 【基本变换再探索】 如图2，点M为线段上一点，连接，将线段绕点D沿逆时针方向旋转，得线段，连接，求证：； 【基本变换再应用】 如图3，点P为线段上一点，连接，作，交延长线于点Q，线段与之间的数量关系为 ，请说明理由． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称为“灵动三角形”．如，三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以A为端点作射线，交线段于点（规定）． (1)的度数为_____°，_____．（填“是”或“不是”灵动三角形）． (2)若，是“灵动三角形”吗？如果是请证明：如果不是请说明理由． (3)当为“灵动三角形”时，直接写出的度数． 15．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，由线段、、、组成的图形像，称为“形”． (1)如图1，形中，若，则______； (2)如图2，连接形中、两点，当点在线段上时，若，试求的度数（用、表示）； (3)如图3，连接形中、两点，当点不在线段上时， 若，试求的度数（用、表示）． 16．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 17．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知，分别是长方形纸条边，上两点，如图1所示，沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，求和的度数． ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 18．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 19．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知直线，现有2个三角板和，，，，边交直线于点． (1)将这两块三角板摆成如图1的形式，点与重合，求的度数； (2)如图2所示，将图1中的固定，把从图1中的位置绕着点顺时针方向旋转，其中． ①运动中，当为轴对称图形时，求的度数； ②在旋转的过程中，设，，则的取值范围为___________． 20．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，直线，一副直角三角板、中，，，，． (1)若如图1摆放，当平分时，证明：平分． (2)若，如图2摆放时，________°． (3)若图2中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线、相交于点H（如图3），则________°． (4)若图2中固定，（如图4）将从图2位置绕点A顺时针旋转，速度为每秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出旋转的时间． 21．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】 （1）如图①，已知，为的角平分线，则的度数为__________； 【探索归纳】 （2）如图①，，为的角平分线．猜想的度数（用含、的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，若．若射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？ 22．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）（1）如图，正方形的四个内角，，，均为直角，边在直线上，的平分线交正方形的边于点．的度数为__________；与的度数之间的关系为__________． （2）将正方形绕点旋转至如图②所示的位置，此时，的平分线交正方形的边于点，请探究：与的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由． （3）将正方形绕点旋转至如图③的位置，平分，请探究与的度数之间的关系． 23．（24-25七年级下·江苏南京·期末）在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段（点与点对应，且不与点，重合），连接，和的平分线所在直线相交于点（点不与点，重合）． (1)如图，， ①依题意补全图1； ②求的度数； (2)若，直接写出的度数．（用含的式子表示） 24．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）【综合与实践】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转______°，才能使落在上； (2)如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，另一条直角边也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，直接写出旋转多少度时，所在直线与所在直线平行或垂直？ ( 江苏 考点0 2 方程组与不等式（组）综合 ) 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，“妮妮”是代表雪上运动的吉祥物．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个a元，售价每个16元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个b元，售价每个18元． (1)该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求a，b的值． (2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件m个，求有几种购买方案． (3)在（2）的条件下，在获得最大利润的同时，超市决定将售出的钥匙扣挂件每个捐出2元给当地福利院，用捐款后的利润全部再次同时购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件．请直接写出再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）环球飞车是一种特技表演，其中多辆摩托车在一个球形的金属笼子里高速骑行．表演者会垂直、倒置或倾斜骑行，而不会相撞． (1)物理学原理：摩托车手能在球型铁笼内骑行而不下落需满足旋转产生的离心力重力G．已知离心力，重力（其中m为车手及摩托车总质量，v为骑行速度，r为半径，g为重力加速度且），摩托车手以6米/秒的速度在半径为3米的铁笼内表演，则___（填“有”或“无”）掉落的危险． (2)如图1，两位摩托车手在周长为16米的水平圆形轨道上匀速顺时针进行骑行表演（最低安全速度为5米/秒），开始计时时两位车手分别位于图中两点位置（关于球心中心对称），已知位于点A处的摩托车手速度为6米/秒，要使安全表演时间超过16秒，则位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为________． (3)如图2，甲、乙两位摩托车手分别在周长均为16米的水平和竖直圆形轨道上逆时针进行骑行表演，甲的速度为6米/秒，乙的速度为7米/秒，两个表演轨道的交点分别为，开始表演时，甲位于其轨道上距离P点4米的A处，乙位于轨道上距离点P点2米的B处，求最多可以安全表演多少秒． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ （3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？ 4．（24-25七年级下·江苏·期末）【阅读材料】： 解答＂已知，且，试确定的取值范围＂有如下解法： 解：解题思想一：＂消元＂ ∵（①（用含y的代数式表示）， ∴． ∵，即②． 又∵． 解题思想二：＂配凑＂ 上式三边先同时乘2，得③， 再同时加1，得， ∴的取值范围是． 【完善材料】材料中①为，②为，③为； 【方法应用】若，且，试确定的取值范围； 【拓展提升】若（是大于3的整数），且，当的取值范围内恰有个整数时，则的值为． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）定义一种新运算（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：．已知，． (1)求a、b的值； (2)若无论n取何值时，的值均不变，求m的值； (3)若是的一个解，求a的取值范围． 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)判断方程是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于的方程不是不等式组的“相依方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组仅有个整数解试求的取值范围． 7．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知a，b为正数． (1)若，证明的最大值为． (2)若，用完全平方公式或借助图形求的最大值． 8．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）阅读理解： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”时有如下方法： 解：，． 又，．． 又，．① 同理可得．② 由①＋②得，． 拓展应用：请按照上述方法，完成下列问题． (1)已知，，，则的取值范围是______； (2)已知关于，的方程组的解均为正数，且，求的取值范围． 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”， (1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值； (3)未知数为x，y的方程，其中a与x、y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）【阅读材料】对于两个正数a，b，其中，如果，那么可将指数c记作，即．例如：，则． 【问题解决】 (1)填空：________；________． (2)小茗同学在研究这种运算时发现一个规律：，并给出了如下证明：设，，则，， ， ， ． 请利用小茗探究的结论，解决下列问题： ①已知两个正方形的边长分别为m，n，若，．求这两个正方形的面积之和． ②如图，把长方形分成4个小长方形．其中，长方形的面积是a，长方形、的面积都是b，长方形的面积是c．若，求的值． ( 江苏 考点0 3 整式 乘法公式与几何图形综合 ) 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）阅读下列材料并解答问题： 已知，求的值，可直接代入得：；若，求的值．如何解答?可令，则，代入得：．像这样把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化的方法叫做换元法． (1)已知，令，则的值为_________； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，连接．若的面积为50，设正方形的面积为，正方形的面积为，求的值． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合，某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式： (1)根据上面的信息回答：若，，则的值为_____ (2)如图，长方形周长为，以长方形的相邻两边为边长分别向外作正方形、正方形，若正方形、正方形的面积和为，直线与直线交于点，求长方形的面积； (3)如图，长方形面积为，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长 (4)如图，四边形是正方形，，分别是上的点，且，，分别以为边长作正方形和正方形，若长方形的面积为，则阴影部分的面积为_____ 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：；公式②：． 图1对应公式___________；图2对应公式___________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ ①，求的值； ②，求． 【迁移运用】 （3）如图3，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形且对角线时，若，阴影部分的面积和为35，请求出正方形和正方形的面积和．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【拓展提升】 （4）如图4，是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形．记与的面积之和为与的面积之和为． ①当是边的中点时，则的值为___________； ②当不是边的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出说理过程；若不成立，请说明理由． ( 江苏 考点0 4 新定义问题与材料阅读问题 ) 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑．若我们把一个正整数除以3所得的余数记作“模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模． (1)直接写出结果：36模______；360模_______． (2)①命题：如果模，其中为正整数，那么模3．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若模，其中为正整数，则能被3整除，可以设； 则； 所以能被3整除， 即模3． ②命题：如果模，其中为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明： (3)证明：如果模模，其中、为正整数，那么模． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“学梅方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“学梅方程”．反之，若一元一次方程的解不在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“思梅方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式组的“学梅方程”是________；（填序号） (2)若关于x的方程是的“思梅方程”，求a的取值范围． (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“学梅方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求m的取值范围． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）材料阅读：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为． 即：当n为非负整数时，如果，则． 如：，，，… 解决下列问题： (1)填空：①________． ②如果，求x的取值范围； (2)判断：是否成立？成立，请说明理由；不成立，请举出反例． (3)请直接写出满足的所有非负数x的值：________． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务： 如何快速判断一个较为复杂的整数能否被3整除？小明对下列一些能被3整除的整数进行了研究：27，123，159，246，1233，23454． 小明通过观察、计算发现：这些整数各个数位上的数字之和都能被3整除，如：整数246各个数位上的数字之和为，12能被3整除；整数1233各个数位上的数字之和为，9能被3整除．由此，他提出了这样一个命题； 命题1：如果一个数能被3整除，那么这个数各个数位上的数字之和能被3整除．小明以两位数为例进行了证明； 设是一个两位数，若两位数能被3整除，求证：能被3整除． 证明：∵两位数能被3整除， ∴设（k为正整数）．．． ．为整数．可以被3整除． 由此推断，命题1是一个真命题，紧接着对它的逆命题进行了研究，发现命题1的逆命题也是真命题． 结论：在判断一个数是否能被3整除时，可以通过计算其各个数位上数字之和来进行快速判断． 小明在研究时还发现，整数123中，；整数159中，；整数246中，．于是，他又提出了这样一个命题； 命题2：如果一个三位数能被3整除，那么这个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍． 任务1：证明命题 （1）设是一个三位数，若可以被3整除，求证：这个三位数也能被3整除． 任务2：写逆命题 （2）判断命题2是真命题还是假命题，并写出它的逆命题； 任务3：应用结论 （3）若四位数能被3整除，且，这个四位数的最小值为______． （4）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个能被3整除的两位数；后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个数字m所得的三位数，且这个三位数也能被3整除．则第一次看到的里程碑上的两位数是多少？ 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 七下数学期末压轴题（解答题部分） 4大高频考点概览 考点01 几何图形变换与计算、推理 考点02 方程与组不等式（组）综合 考点03 整式乘法公式与几何综合题 考点04 新定义问题与材料阅读问题 ( 江苏 考点01 几何图形变换与计算、推理 ) 1．（24-25七年级下·江苏常州·期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． （1）如图1，已知，则∠AEC=∠BAE＋∠DCE成立吗?请说明理由； （2）如图2，已知，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=60°，∠ABC=40°，求∠BED 的度数； （3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠FAD=α°，∠ABC=β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）． 【答案】（1）成立，理由见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论； （2）先过点E作EH∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论； （3）过E作EG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1中，作EF//AB，则有EF//CD， ∴∠1=∠BAE，∠2=∠DCE， ∴∠AEC=∠1+∠2=∠BAE+∠DCE． （2）如图2，过点E作EH∥AB， ∵AB//CD，∠FAD=60°， ∴∠FAD=∠ADC=60°， ∵DE平分∠ADC，∠ADC=60°， ∴∠EDC=∠ADC=30°， ∵BE平分∠ABC，∠ABC=40°， ∴∠ABE=∠ABC=20°， 由（1）的结论，得． （3）如图3，过点作． ∵平分，平分， ， ∴， ∵， ∴， 【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是正确的作出辅助线． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”． (1)如图1，形中，若，，则________°； (2)如图2，形中，若，，则________°； (3)如图3，连接形中两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由； (4)在（3）的条件下，当点在射线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系． 【答案】(1)60 (2)60； (3)，理由见解析； (4)或． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． （）过作，利用平行线的性质计算即可求解； （）设与交于点，利用平行线的性质和外角性质即可求解； （）过点作交于点，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得，结合（）的结论可求解； （）可分两种情况：当当，位于两侧时，当，位于同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解； 【详解】（1）解：过作， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴， 故答案为：60； （2）如图，设与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：60； （3）解：，理由如下： 过点作交于点， ∴， 则，， ∴ ∴， 由（）可得， ∵， ∴， ∴； （4）如图，当，位于两侧时， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 即； 当，，三点共线时，， ∴； 当，位于同侧时， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 即， 综上，或． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）（1）如图的图形我们把它称为“字形”，请说理证明． （2）如图，、分别平分、，和为任意角时，其他条件不变，试写出与、之间数量关系． （3）在图中，若设，，试问与、之间的数量关系为______用、的代数式表示． （4）在图中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论． 【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ．（4） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，“字型”四个角之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． （1）利用三角形内角和定理解决问题即可． （2）设，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题． （3）如图中，设，，则，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题． （4）如图中，延长交于，设利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题． 【详解】解：（1）如图中， ，，， ； （2）如图中， 设， 则有， ， ； ； （3）如图中，设，，则，设，， 则有， ， ， 故答案为：． （4）如图中，延长交于，设． 则有， ， ， ． 4．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）在和（共边且不重合）中，， (1)如图1，当和均为钝角三角形，在直线两侧时，和之间的数量关系为 ． (2)如图2，当和均为锐角三角形，且在直线两侧时，和之间的数量关系为 ． (3)如图3，当为钝角三角形，为锐角三角形，且在直线同侧时，求证：． (4)分别作和的角平分线，两条角平分线所在直线交于点（点不与点或者点重合），当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)， 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，外角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质定理即可求解； （2）根据多边形的内角和的公式即可求解； （3）根据三角形的外角和定理，角的等量代换即可求解； （4）根据题意，结合（1）、（2）、（3）的结论，角平分线的性质，三角形的内角和定理，外角和定理，分类讨论，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，延长，    在，中，，， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：根据四边形的内角和可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）证明：如图所示，设交于点，    ∵在中，，在中，， ∴， 又∵，， ∴ ， ∵， ∴． （4）解：①如图所示，，分别是的平分线，，    ∴，， ∵，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴； ②如图所示，，分别是的平分线，，且，，    ∴，， ∴， 由（2）可知，， ∴， 在四边形中，根据四边形内角和可得，； ③如图所示，，分别是的平分线，，设交于点，    在中，，在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（3）可知，， ∴， ∴； ④如图所示，是的角平分线，交于点，是的角平分线， 由②可得，则， ∵， ∴， ∴． 综上所示，的度数为． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，点在长方形纸片边上． (1)将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图1中画出折痕，其中，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出折痕，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）； (3)折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图3中作出折痕，，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）．判断，的位置关系，并说明理由； (4)折叠长方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图4中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，平行，理由见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）过点作于点，直线即为所求； （2）作线段的垂直平分线交于点，交于点，直线即为所求，利用同位角相等，两直线平行判断即可； （3）分别作，的角平分线，，分别交，于点，即可； （4）延长交的延长线于点，作的角平分线交于点，交于点，直线即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，直线即为所求； （2）如图2中，直线即为所求； （3）如图3中，直线，即为所求； 结论：． 理由：∵四边形是长方形， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴； （4）如图，直线即为所求． 6．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点分别在边上，沿折叠，使顶点落在点处，其中题中所有角都是指小于的角． (1)如图，______（填“”“”或“”）； (2)如图，若沿折叠，使顶点落在点处，点，点，点恰好在一条直线上，请用无刻度直尺和圆规作图，作出折痕（在图上标注出点）； (3)如图，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (4)连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交，若射线是的角平分线，求出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)或 (4) 【分析】（）根据折叠的性质即可求解； （）作的角平分线交于，线段即为所求； （）分点在的右边和左边两种情况，分别画出图形，根据折叠的性质和平角的定义解答即可求解； （）当分点在的右边和点在的右侧，在的左侧两种情况，分别画出图形，根据折叠的性质和角平分线的定义解答即可求解； 本题考查了作角平分线，折叠的性质，角平分线的定义，掌握折叠的性质并利用分类讨论的思想解答是解题关键 【详解】（1）解：∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，折痕即为所求； （3）解：如图，当点在的右边时， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∴； 当点在的左边时，如图， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （4）解：如图，当点在的右边时， 由折叠可得， ∵， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∴由折叠得， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∴由折叠得，， ∴； 综上，的度数为． 7．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）【综合与实践】 神州小组在探究平移、轴对称、旋转之间的关联得到的部分报告如表： 实验操作：奇妙的轴对称 三角形关于直线m对称，三角形关于直线n对称 直线平行 直线相交 三角形③可以由三角形①经过一次________得到．（填“平移”“旋转”“翻折”） 三角形③可以由三角形①经过一次________得到．（填“平移”“旋转”“翻折”） 神州小组通过查阅资料得到如下两个真命题： A．一次平移变换可以分解为两次轴对称变换． B．一次旋转变换可以分解为两次轴对称变换． 【理解运用】 如图三角形能完全重合，则三角形②一定可以由三角形①经过至少________次的轴对称变换得到． 【拓展迁移】 如图，中，把点A绕着C顺时针旋转得到点D，再把点A绕着B逆时针旋转得到点为上方一点且，连接，求的度数． 【答案】[综合与实践] 平移，旋转；[理解运用]2；[拓展迁移] 【分析】[综合与实践]两条对称轴平行时，图形经过两次轴对称，相当一次平移．两条对称轴相交时，图形经过两次轴对称，相当一次一次旋转． [理解运用]根据对称轴垂直平分对称点的连线，在平面内取点,连接，作线段的垂直平分线m，再作出点B，C关于m的对称点,在直线上取点，连接,作的垂直平分线n，作出点关于n的对称点，首尾连接即得，至少2次轴对称； [拓展迁移]作点P关于的对称点F，连接,根据轴对称性质得，求出 ，，由旋转性质得，,根据P为上方一点，分当点P在内时，当点P在的边上时，设在边上；当点P在的边延长线上时，设在延长线上；当点P在点A上时；当点P在外时；均得, ，得,，得，即得． 【详解】解：[综合与实践] 直线平行，三角形③可以由三角形①经过一次平移得到． 直线相交，三角形③可以由三角形①经过一次旋转得到． 故答案为：平移，旋转； [理解运用] 解：如图，∵作三角形①关于直线m对称的三角形③， 再作三角形③关于直线n对称的三角形②， ∴三角形②一定可以由三角形①经过至少2次的轴对称变换得到． 故答案为：2； [拓展迁移] 解：作点P关于的对称点F，连接， 则， ∵， ∴，， ∴，， 由旋转知，， ∵P为上方一点， ∴当点P在内时， ∵， ∴, ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在的边上时，设在边上， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在的边延长线上时，设在延长线上， 同理， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在点A上时， 同理， ∴, ∴, ∵, ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在外时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，． 【点睛】本题主要考查了几何变换的几种类型．熟练掌握轴对称性质，平移性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键．平移变换：在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．在平移变换下，对应线段平行且相等．轴对称变换：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形互相重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称．在轴对称变换下，对应线段相等，对应线段所在直线或者平行，或者交点在对称轴上，且这两条直线的夹角被对称轴平分．旋转变换：在平面内，将一个图形沿某一个定点方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．旋转不改变图形的形状和大小．在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图1，在直角中，，D为上一点，E为外一点，，，． (1)求证：； (2)若（如图2），点F在线段上，． ①当时，求的面积； ②小亮说：可以看作由经过两次轴对称变换得到．他的说法是否正确，若正确，用圆规和没有刻度的直尺在图3中作出两条对称轴（若有多种情况，作出一种情况即可）；若不正确，请写出一种正确的变换方式． 【答案】(1)见解析 (2)①9；②小亮说法正确，见解析 【分析】（1）根据，结合，得到即可得证； （2）①证明，结合，，得到解答即可； ②根据三角形全等的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质解答即可． 本题考查了直角三角形的互余性质，三角形全等的判定和性质，轴对称，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握性质和轴对称性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：设的交点为点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ②解：作的垂直平分线，将沿着第一次轴对称，得到； 连接，过作的垂线，由，则为的垂直平分线，将沿着第二次轴对称，得到，如图，则直线，即为所求． 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，直线，直线与、分别相交于点E、F，．将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点A、C分别在直线、上，，． (1)如图1，直接写出，，之间的数量关系________； (2)的平分线交直线于点G，且． ①如图2，当时，求的值； ②将从图2位置沿射线的方向平移，在平移过程中，请用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)①；②或． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）①根据平行线的性质求解即可；②分两种情况讨论：当点在左侧时和当点在右侧时，根据平行线和角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， （2）解：①，， ， ，， 平分， ， ，即； ②如图，当点在左侧时， ，， ， ， ， ， ， 平分， ； 如图，当点在右侧时， ，， ， ， ， ， ， 平分， ； ， 综上可知，的度数为或． 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）【阅读材料】如图1，等边各边的垂直平分线交于点O，并将分成形状、大小完全相同的六个小三角形． 将一个小三角形沿着直线翻折得到新的三角形，这样的变换记为，类似地，沿着直线，翻折分别记为，； 将一个小三角形绕着点O顺时针旋转得到新的三角形，这样的变换记为，类似地，绕着点O顺时针旋转，分别记为，； 如果先作变换，再作变换，可以记为． 例如，图2中将作变换，即：将先作变换得；再将作变换，得到．而将直接作变换也得到． 这意味着（）变换可化简为变换，即：． 【问题解决】 (1)将作变换得到______；将作变换得到______；将进行变换得到______；变换可化简为______变换． (2)我们知道，有理数的加法运算具有交换律和结合律，即： ，．类似地，我们可以探究“”可以满足哪些运算律． 在下列等式中，你认为正确的是______．（填写所有正确的序号） ①； ②； ③． (3)利用两次旋转和一次翻折变换，可设计出变换结果为的算法．如：，请再设计4个符合要求的算法，要求算式中不带括号，且翻折变换只能是．（直接写出答案） 【答案】(1)；；； (2)②③ (3)见解析 【分析】本题主要考查了旋转，轴对称，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意作出对应的变换即可得到答案； （2）以为开始图形，分别作出对应变换后的图形，看是否一致即可得到答案； （3）以为开始图形，作得到，当一开始作变换时，则作变换后得到，而到要么旋转120度，要么旋转480度；当最后作变换时，则前两次变换后得到，即前面两次变换要么旋转240度，要么选择360度；当第二次作变换时，讨论第一次作变换，进而确定第三次变换即可． 【详解】（1）解：由题意得，将作变换得到； 将作变换得到； 将进行变换得到，将作变换得到， ∴将进行变换得到， ∴变换可化简为变换； （2）解：将作变换得到， 将作变换得到， ∴将作变换得到， 将作变换得到， 将作变换得到， ∴将作变换得到， ∴，故①不正确； ∵作相当于把原图形绕点O先顺时针旋转120度，再绕点O顺时针旋转240度， ∴作相当于把原图形绕点O顺时针旋转360度； ∵作相当于把原图形绕点O先顺时针旋转240度，再绕点O顺时针旋转120度， ∴作相当于把原图形绕点O顺时针旋转360度； ∴，故②正确； ∵将作变换得到， ∴将作变换得到； ∵将作变换得到， ∴将作变换得到， ∴将作变换得到， ∴，故③正确； （3）解：由题意得，，，； ，，； ，，． 11．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知：，，、、、四点在同一直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，猜想、、这三个角之间有何数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，是下方一点，连接、，且，，若，求的度数． (4)如图4，是下方一点，连接、，且，，若，则______（结果用，表示）． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）如图所示，延长相交于点．由平行线得到，，即可得到； （2）如图所示，过点E作，得到，，然后得到，得到，等量代换求解即可； （3）由三角形内角和求出，然后由，求出，然后等量代换，利用三角形内角和求解即可； （4）同（3）得，然后由（1）得，． 【详解】（1）如图所示，延长相交于点． ∵， ∴， ∴； （2）如图所示，过点E作， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （3）∵ ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （4）∵ ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 由（1）得，． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，几何图形中角度的计算，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 12．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”．即若，则称和互为“互优角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“互优角”，当时，则______； (2)如图1，将一长方形纸片沿着折叠，（点在线段上，点在线段上），使点落在，若与互为“互优角”，求的度数； (3)再将纸片沿着折叠（点在线段或上），使点落在．若与互为“互优角”，则______． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了通过翻折计算角的度数，“互优角”的定义等知识，注意翻折后两个角相等，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （）利用“互优角”定义即可求解； （）由与互为互优角，分当；当时，两种情况即可； （3）分三种情况讨论，根据折叠的性质以及平角的性质即可求即可求解． 【详解】（1）解：∵和互为互优角， ∴当，， ∴或， 解得 或， 故答案为：或； （2）①∵与互为互优角，如图1 当时，， ∴， ∵翻折得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． ②当时，如图 ， ∴， ∵翻折得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 综上所述，的值为或． （3）当点F在边上时，如图： 显然， ∵与互为“互优角”， ∴， 根据折叠的性质： 即； 当点F在边上，且当时，如图： 与互为“互优角”， ， 根据折叠的性质：， ∴， ∴， ， 解得：， 即； 当点F在边上，且当时，如图： 与互为“互优角”， ∴， 根据折叠的性质：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 故的度数为或或． 13．（24-25七年级下·江苏·期末）在△ABC中，，于点D，点E为边上的中点，连接DE．   【基本图形再认识】 如图1，的形状是 三角形； 【基本变换再探索】 如图2，点M为线段上一点，连接，将线段绕点D沿逆时针方向旋转，得线段，连接，求证：； 【基本变换再应用】 如图3，点P为线段上一点，连接，作，交延长线于点Q，线段与之间的数量关系为 ，请说明理由． 【答案】基本图形再认识：等边；基本变换再探索：见解析；基本变换再应用：，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 基本图形再认识：根据等腰三角形性质得，再根据直角三角形斜边中线的性质得，由此即可得出的形状； 基本变换再探索：由旋转性质得：，由是等边三角形得，由此得，由此可证明和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； 基本变换再应用：延长到H，使，连接，证明是等边三角形得，由此可证明，进而依据“”判定和全等得，则，由此即可得出线段与之间的数量关系． 【详解】基本图形再认识：的形状是等边三角形，理由如下： 解：在中，，，于点D， ∴， ∵点E为边上的中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边； 基本变换再探索：证明：由旋转的性质得：，， 由基本图形再认识可知：是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； 基本变换再应用：解：线段、与之间的数量关系为：，理由如下： 延长到H，使，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由基本图形再认识可知：， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称为“灵动三角形”．如，三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以A为端点作射线，交线段于点（规定）． (1)的度数为_____°，_____．（填“是”或“不是”灵动三角形）． (2)若，是“灵动三角形”吗？如果是请证明：如果不是请说明理由． (3)当为“灵动三角形”时，直接写出的度数． 【答案】(1)30°，是 (2)是“灵动三角形” (3)或或 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、“灵动三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“灵动三角形”的概念判断； （2）根据“灵动三角形”的概念证明即可； （3）根据，点在线段上，根据“灵动三角形”的定义分六种情况进行计算即可． 【详解】（1）解: ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为“灵动三角形”， 故答案为；是； （2）解: 是“灵动三角形” 理由: ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是“灵动三角形”； （3）解: ∵为“灵动三角形”， ∵点在线段上，， ∵， ∴， Ⅰ、当时，， ∴， Ⅱ、当时， ∴ ∴此种情况不存在， Ⅲ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅳ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅴ、当时， ∴， ∴， ∵点与点不重合， ∴此种情况不成立， Ⅵ、当时， ∴°， ∴， ∴此种情况不存在， 综上所述，当为“灵动三角形”时，的度数为或或． 15．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，由线段、、、组成的图形像，称为“形”． (1)如图1，形中，若，则______； (2)如图2，连接形中、两点，当点在线段上时，若，试求的度数（用、表示）； (3)如图3，连接形中、两点，当点不在线段上时， 若，试求的度数（用、表示）． 【答案】(1)60 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质，合理添加辅助线，并利用整体思想是解题的关键． （1）过点作，根据“两直线平行，内错角相等”，及整体思想，即可求解； （2）由三角形内角和，分别表示出，，再根据，利用整体思想求解即可； （3）过点作交于点，由（1）可得，根据，再利用三角形内角和及整体思想，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴ ∴． 故答案为：． （2）∵， ∴， 又在中，， ∴， 同理，在中， ， ∴， ∴， 又，， ∴， 即． （3）如图2，过点作交于点， 则由（1）可得，且， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即． 16．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）3秒或9秒 【分析】本题主要考查了旋转的定义、平行线的性质、三角形外角的性质、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）如图，过E点作，根据平行线的性质、角的和差以及等量代换即可解答； （2）如图：延长相交于点P，过P作，易得则、，由垂直的定义可得，然后根据角的和差以及平行线的性质即可解答； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，然后根据题意分情况画出图形，根据旋转的性质列出关于t的方程求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过E点作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图：延长相交于点P，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合， 根据题意得，， ∴， 由题意可得：， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：（不符合题意）； 综上所述，运动时间秒为3或9． 17．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知，分别是长方形纸条边，上两点，如图1所示，沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，求和的度数． ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】此题主要考查了平行线的性质，翻折变换的性质，解答此题的关键是准确识图，利用图形翻折性质及平行线的性质准确的找出相关的角的关系． （1）利用翻折变换的性质和平行线的性质即可求得答案； （2）①根据平行线性质可得，由平角定义可得，再利用翻折变换的性质、平行线的性质即可求得答案． ②由平行线性质可得，由翻折得，推出，根据翻折得出，结合已知，联立求得，再由平行线性质即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1，由翻折的性质得：， ． 四边形是长方形， ，， ，， ． （2）解：①如图2，， ， ， ． 由翻折的性质得：， ， ． 继续沿进行第二次折叠， ， ． ②如图3， ， ． 由翻折得， ， ． 继续沿进行第二次折叠， ， ． ， ， ， ． ， ． 18．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵ ∴ ∴； （2）①如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，在直线上取一点，连接， 由①可知， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 19．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知直线，现有2个三角板和，，，，边交直线于点．    (1)将这两块三角板摆成如图1的形式，点与重合，求的度数； (2)如图2所示，将图1中的固定，把从图1中的位置绕着点顺时针方向旋转，其中． ①运动中，当为轴对称图形时，求的度数； ②在旋转的过程中，设，，则的取值范围为___________． 【答案】(1) (2)①的度数为或或；② 【分析】（1）根据两角差即可计算； （2）①根据当为轴对称图形时，为等腰三角形，分三种情况，当时，当时，当时，分别画出图形求出结果即可； ②根据三角形外角的性质得出，得出，求出，根据，得出，从而求出范围． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵当为等腰三角形时，为轴对称图形， ∴当时，，为等腰三角形，即此时为轴对称图形，    ∴此时， ∵， ∴， ∴此时； 当时，，为等腰三角形，即此时为轴对称图形，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时； 当时，，为等腰三角形，即此时为轴对称图形，    ∵， ∴， ∴此时； 综上分析可知：当为轴对称图形时，求的度数为或或； ②∵为的外角， ∴， ∴， 化简得：， ∵旋转角， ∴， 即， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了角度的计算、旋转角、三角形外角的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解不等式组，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 20．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，直线，一副直角三角板、中，，，，． (1)若如图1摆放，当平分时，证明：平分． (2)若，如图2摆放时，________°． (3)若图2中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线、相交于点H（如图3），则________°． (4)若图2中固定，（如图4）将从图2位置绕点A顺时针旋转，速度为每秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出旋转的时间． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) (4)或或． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，旋转的性质. （1）利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）过点作，利用平行线性质即可求得答案； （3）分别过点，作，，利用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （4）分三种情况：①，②，③，利用平行线的性质、角的和差求解即可得． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，过点作， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：； （3）解：如图，分别过点，作，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵和的角平分线、相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：分以下三种情况： ①如图，当时， ，即， ， ， 即此时旋转的角度为，旋转的时间为； ②如图，当时， ∴， ∴， 即此时旋转的角度为，旋转的时间为； ③如图，当时，过点作，延长交于，延长交于， ∵，， ∴， ， ， ， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即此时旋转的角度为，旋转的时间为； 综上，当线段与的一条边平行时，旋转的时间或或． 21．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】 （1）如图①，已知，为的角平分线，则的度数为__________； 【探索归纳】 （2）如图①，，为的角平分线．猜想的度数（用含、的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，若．若射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，一元一次方程的应用，涉及射线的旋转问题，有一定难度，解题的关键是理清角的和差关系，注意分情况讨论，避免漏解． （1）先根据角的和差关系计算出，再由角平分线的定义求出的度数，再根据求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）分①当为，夹角的角平分线，即平分时，此时，②当为，夹角的角平分线，即平分时，，③当为，夹角的角平分线，即平分时，，④当为，夹角的角平分线，即平分时，，四种情况根据角平分线的定义建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设运动时间为t，反向延长到E，如图： 由题意知，旋转了，旋转了，旋转了， ，， ∴，，， ∴经过9秒射线与直线重合，经过秒射线与直线重合，经过秒射线与直线重合， ∴总运动时间为秒， ∴，， 当重合时，则，解得； 当重合时，则，解得； 当重合时，则，解得， ①当为，夹角的角平分线，即平分时，此时，如图： ∴， ； 解得（舍去）； ②当为，夹角的角平分线，即平分时，，如图： ∴， ∴ 解得，符合题意； ③当为，夹角的角平分线，即平分时，，如图： ∴， ∴， 解得，符合题意； ④当为，夹角的角平分线，即平分时，，如图： ∴， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，运动时间为秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线． 22．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）（1）如图，正方形的四个内角，，，均为直角，边在直线上，的平分线交正方形的边于点．的度数为__________；与的度数之间的关系为__________． （2）将正方形绕点旋转至如图②所示的位置，此时，的平分线交正方形的边于点，请探究：与的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由． （3）将正方形绕点旋转至如图③的位置，平分，请探究与的度数之间的关系． 【答案】（1），；（2）；（3）； 【分析】本题考查了角平分线的定义、平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）如图①，由四边形为正方形，得，，所以，从而得到； （2）如图②，先根据平角的定义得到，再根据角平分线的定义得到，由，即可得到； （3）如图③，先根据角平分线的定义得到，则，根据平角的定义得到，变化后 ，消去，可得到． 【详解】解：（1）如图①，四边形为正方形， ，， ， ， 故答案为：，； （2）与的度数之间的关系没有发生改变，理由如下： 如图②，， ， 的平分线交正方形的边于点， ， ， ； （3）如图③，平分， ， ， ， ， ． 23．（24-25七年级下·江苏南京·期末）在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段（点与点对应，且不与点，重合），连接，和的平分线所在直线相交于点（点不与点，重合）． (1)如图，， ①依题意补全图1； ②求的度数； (2)若，直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1)①见解析；② (2)或或 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （）①根据题意补全图形即可； ②过点作，根据平行线的性质得到，，然后利用角平分线的性质得到，，最后利用平行线的性质求解即可； （）同（）②的方法求解即可．要结合题意分三种情况，把线段上，直线上的对应图形画出来，结合图形逐一求解，做到不漏解． 【详解】（1）①如图所示， ②如图所示，过点作， ∵将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵和的平分线所在直线相交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴； （2）解∶ ①如图所示，过点作， ∵将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵和的平分线所在直线相交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ②如图所示，过点作，交于，交于， ， ， ∵将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵和的平分线所在直线相交于点， ∴，，， ∵， ∴，， ∴； ③如图所示，过点P作，交于，交于， ∵将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵和的平分线所在直线相交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ④如图所示，过点作， ∵将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵和的平分线所在直线相交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ⑤如图，过点作， ， ，， 同理可求：， ∵和的平分线所在直线相交于点， ， ， ∴，， ， ， ； 综上所述，的度数为或或． 24．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）【综合与实践】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转______°，才能使落在上； (2)如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，另一条直角边也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，直接写出旋转多少度时，所在直线与所在直线平行或垂直？ 【答案】(1)75 (2) (3)平行：105度或285度；垂直：15度或195度 【分析】（1）由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合，利用三角板的性质和角度之间的关系计算即可； （2）设，分别表示出，然后根据列方程求解； （3）平行和垂直各分两种情况，画出图形求解即可． 【详解】（1）由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合， 由三角板的性质可知： ∵，， ∴， ∴至少旋转，与重合． 故答案为：75； （2）由旋转的性质得， 设， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当在点O的右侧时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在点O的左侧时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴旋转的角度， 综上所述：旋转的角度为或时，所在直线与所在直线平行． 当在点O的上侧时，如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∴， ∴． 当在点O的下侧时，如图，延长，相交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述：旋转的角度为或时，所在直线与所在直线垂直． ( 江苏 考点0 2 方程组与不等式（组）综合 ) 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，“妮妮”是代表雪上运动的吉祥物．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个a元，售价每个16元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个b元，售价每个18元． (1)该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求a，b的值． (2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件m个，求有几种购买方案． (3)在（2）的条件下，在获得最大利润的同时，超市决定将售出的钥匙扣挂件每个捐出2元给当地福利院，用捐款后的利润全部再次同时购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件．请直接写出再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案． 【答案】(1)a的值是10，b的值是14 (2)有3种购买方案，方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个 (3)再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案是购买“滨滨”造型钥匙扣挂件4个， 购买“妮妮”造型钥匙扣挂件20个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）根据购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元且购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不少于1160元又不多于1168元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案； （3）利用总利润每个的销售数量购进数量，可求出各方案可获得的总利润，设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个，利用进货总价进货单价进货数量，求出最大利润，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出各x，y的值，再取的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． 答：a的值为10，b的值为14； （2）解：根据题意得： ， 解得：， ∴可以取58，59，60，，41，40， ∴有3种购买方案． 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个； （3）解：购买方案1可获得的总利润为（元； 购买方案2可获得的总利润为（元； 购买方案3可获得的总利润为（元； 设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个， ∴当获得的总利润为320元时，， ， 又，y均为正整数， 或或或， 此时的最小值为． 再次购进两种钥匙扣挂件最小的方案为：购进“滨滨”造型钥匙扣挂件4个，“妮妮”造型钥匙扣挂件20个． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）环球飞车是一种特技表演，其中多辆摩托车在一个球形的金属笼子里高速骑行．表演者会垂直、倒置或倾斜骑行，而不会相撞． (1)物理学原理：摩托车手能在球型铁笼内骑行而不下落需满足旋转产生的离心力重力G．已知离心力，重力（其中m为车手及摩托车总质量，v为骑行速度，r为半径，g为重力加速度且），摩托车手以6米/秒的速度在半径为3米的铁笼内表演，则___（填“有”或“无”）掉落的危险． (2)如图1，两位摩托车手在周长为16米的水平圆形轨道上匀速顺时针进行骑行表演（最低安全速度为5米/秒），开始计时时两位车手分别位于图中两点位置（关于球心中心对称），已知位于点A处的摩托车手速度为6米/秒，要使安全表演时间超过16秒，则位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为________． (3)如图2，甲、乙两位摩托车手分别在周长均为16米的水平和竖直圆形轨道上逆时针进行骑行表演，甲的速度为6米/秒，乙的速度为7米/秒，两个表演轨道的交点分别为，开始表演时，甲位于其轨道上距离P点4米的A处，乙位于轨道上距离点P点2米的B处，求最多可以安全表演多少秒． 【答案】(1)无 (2) (3)最多可以安全表演14秒． 【分析】（1）将，分别代入和求解比较判断即可； （2）根据题意得到当两车相遇时，表演时间超过16秒，然后分两种情况讨论，分别根据题意列出不等式求解即可； （3）首先根据题意得到当甲乙相遇时，甲乙同时到达点P或Q，然后求出甲第一次到达P，Q的时间，乙第一次到达P，Q的时间，然后得到甲第n（n为正整数）次到达点P的时间为秒，乙第m（m为正整数）次到达点P的时间为秒，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴ ∴无掉落的危险； （2）解：∵要使安全表演时间超过16秒 ∴当两车相遇时，表演时间超过16秒 当时，此时位于点A处的摩托车手速度大于位于点B处的摩托车手速度， ∵开始计时时两位车手分别位于图中两点位置（关于球心中心对称），周长为16米 ∴当两车相遇时，位于点A处的摩托车手比位于点B处的摩托车手多走了8米 ∴ 解得 ∴； 当时，同理可得， 解得 ∴ 综上所述，要使安全表演时间超过16秒，则位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为； （3）解：要求最多可以安全表演多少秒，即求相遇时最多可以安全表演多少秒 ∵两个表演轨道的交点分别为， ∴当甲乙相遇时，甲乙同时到达点P或Q ∵开始表演时，甲位于其轨道上距离P点4米的A处，乙位于轨道上距离点P点2米的B处，甲的速度为6米/秒，乙的速度为7米/秒， ∴甲第一次到达P的时间为（秒），乙第一次到达P的时间为（秒） ∴甲第一次到达Q的时间为（秒），乙第一次到达Q的时间为（秒） ∵周长均为16米 ∴甲转一圈的时间为（秒），乙转一圈的时间为（秒）， ∴设甲第n（n为正整数）次到达点P的时间为（秒），乙第m（m为正整数）次到达点P的时间为（秒）， ∴当甲乙相遇于点P时， ∴整理得， ∵m，n都为正整数 ∴当，时，等式成立 ∴此时甲到达P点的时间为（秒） ∴最多可以安全表演14秒． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ （3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？ 【答案】（1）购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）有三种方案：方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件；方案一需要资金最少，最少资金是10万元；（3）节省的资金再次购买农机具的方案有两种：方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件 【分析】（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，根据题意可直接列出二元一次方程组求解即可； （2）在（1）的基础之上，结合题意，建立关于m的一元一次不等式组，求解即可得到m的范围，从而根据实际意义确定出m的取值，即可确定不同的方案，最后再结合一次函数的性质确定最小值即可； （3）结合（2）的结论，直接求出可节省的资金，然后确定降价后的单价，再建立二元一次方程，并结合实际意义进行求解即可． 【详解】解：（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元． 根据题意，得， 解得：， 答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元．             （2）根据题意，得， 解得：， ∵m为整数， ∴m可取5、6、7， ∴有三种方案： 方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件； 方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件； 方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件． 设总资金为W万元，则， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，（万元）， ∴方案一需要资金最少，最少资金是10万元．             （3）由（2）可知，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件时，费用最小， 根据题意，此时，节省的费用为（万元）， 降价后的单价分别为：甲种0.8万元，乙种0.3万元， 设节省的资金可购买a台甲种，b台乙种， 则：， 由题意，a，b均为非负整数， ∴满足条件的解为：或， ∴节省的资金再次购买农机具的方案有两种： 方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件； 方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件． 4．（24-25七年级下·江苏·期末）【阅读材料】： 解答＂已知，且，试确定的取值范围＂有如下解法： 解：解题思想一：＂消元＂ ∵（①（用含y的代数式表示）， ∴． ∵，即②． 又∵． 解题思想二：＂配凑＂ 上式三边先同时乘2，得③， 再同时加1，得， ∴的取值范围是． 【完善材料】材料中①为，②为，③为； 【方法应用】若，且，试确定的取值范围； 【拓展提升】若（是大于3的整数），且，当的取值范围内恰有个整数时，则的值为． 【答案】[完善材料]①，②，③；[方法应用]；[拓展提升]8 【分析】本题考查了不等式的性质以及解不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的性质进行求解． （1）根据材料中的解题思路和不等式的性质来确定①、②、③的值； （2）根据材料中的解题思想，通过消元法、配凑法确定的取值范围； （3）根据已知条件，通过消元表示出，再根据的取值范围内恰有个整数来确定n的值． 【详解】解题思想一：“消元” ，（用含y的代数式表示）， ，即， 又∵， 解题思想二：：“配凑”上式三边先同时乘2，得③， 再同时加1，得， ∴的取值范围是． 故答案为：①；；③； [方法应用] ∵， ， ， ， 即， 又∵， ， ， ，即， ∴的取值范围是； [拓展提升] ∵， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ∴的取值范围是， ∵的取值范围内恰有个整数，且是大于3的整数， 故答案为：8． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）定义一种新运算（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：．已知，． (1)求a、b的值； (2)若无论n取何值时，的值均不变，求m的值； (3)若是的一个解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查新定义运算，解方程组及不等式，理解题意，列出相应方程及不等式是解题关键． （1）根据题意列出方程组求解即可； （2）根据题意得出，确定，求解即可； （3）根据题意得出不等式，并且求解，确定即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得：； （2）由（1）得， ∴， ∵若无论n取何值时，的值均不变， ∴， 解得：； （3）根据题意得：， ∵， ∴， 解得：， ∵是的一个解， ∴， 解得：． 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)判断方程是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于的方程不是不等式组的“相依方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组仅有个整数解试求的取值范围． 【答案】(1)方程是不等式组的“相依方程”； (2)或； (3) 【分析】求出不等式组的解集以及方程的解，判断即可； 求出已知不等式组的解集，根据方程不是不等式组的“相依方程”，确定出的范围即可； 先分别求解方程和不等式组，根据不等式组整数解个数确定其解集范围，再结合“相依方程”定义确定取值范围． 此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：方程，解得：， 不等式组， 解得：， 方程是不等式组的“相依方程”； （2）解：不等式组， 解得：， 方程解得：， 因为关于的方程不是不等式组的“相依方程”， 所以或， 所以或； （3）解：解方程，得， 解不等式组， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为， 不等式组仅有个整数解， 令整数的值为，，， 则有：，． 故， 且， ， ， ， ， 关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”， ， 解得：， 的取值范围是． 7．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知a，b为正数． (1)若，证明的最大值为． (2)若，用完全平方公式或借助图形求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由得到，从而，即，即可得证； （2）由题意得到，根据可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为； （2）解：∵a，b为正数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 8．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）阅读理解： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”时有如下方法： 解：，． 又，．． 又，．① 同理可得．② 由①＋②得，． 拓展应用：请按照上述方法，完成下列问题． (1)已知，，，则的取值范围是______； (2)已知关于，的方程组的解均为正数，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，求二元一次方程组的解集，不等式组． （1）仿照示例作答即可； （2）先求出二元一次方程组的解集，根据“解均为正数”列不等式组求出a的取值范围，进而求出b的取值范围，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：， ． 又， ． ． 又， ．① 同理可得．② 由①＋②得，， 故答案为：； （2）， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∴， ∵关于，的方程组的解均为正数， ∴即， 解得， ∵， ∴， 即， ∴． 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”， (1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值； (3)未知数为x，y的方程，其中a与x、y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有“邻好关系”，见解析； (2)或； (3)具有“邻好关系”，，方程组的解为 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解绝对值方程，求一个数的绝对值，正确理解题意和熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）先利用加减消元法求出方程组的解，进而求出的值即可得到答案； （2）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据“邻好关系”的定义得到，即，据此求解即可； （3）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据a与x，y都是正整数，求出a的值为1或2，进而讨论当和当时，方程组的解是否具有“邻好关系”即可． 【详解】（1）解：， 将②代入①得，， 解得， 将代入②得，， ∴方程组的解为， ∴， ∴方程组的解x与y具有“邻好关系”； （2）解：， 得，， ∴， 将代入①得，m， ∴方程组的解为， ∵方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， 解得或； （3）解：方程组的解x与y具有“邻好关系”，理由如下： ， 得，， 解得， 将代入②得， ∵a、y都是正整数， ∴是12的公约数， ∵a、x都是正整数， ∴， ∴是24的公约数， ∴或或或， ∴a的值为1或2或4或10， ∵， ∴a的值只能是1或2， 当时，方程组的解为； 当时，方程组的解为（舍）， 综上所述：，方程组的解为． 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）【阅读材料】对于两个正数a，b，其中，如果，那么可将指数c记作，即．例如：，则． 【问题解决】 (1)填空：________；________． (2)小茗同学在研究这种运算时发现一个规律：，并给出了如下证明：设，，则，， ， ， ． 请利用小茗探究的结论，解决下列问题： ①已知两个正方形的边长分别为m，n，若，．求这两个正方形的面积之和． ②如图，把长方形分成4个小长方形．其中，长方形的面积是a，长方形、的面积都是b，长方形的面积是c．若，求的值． 【答案】(1)6；1 (2)①192；②． 【分析】（1）根据所给的新定义运算即可解答； （2）①根据新定义给出的特证求得，，再根据完全平方公式变形，计算即可；②设，，，，则，，根据题意得到，，，计算得到，再根据新定义给出的特证运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6；1； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵两个正方形的边长分别为m，n， ∴这两个正方形的面积之和； ②由题意，设，，，，则，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ( 江苏 考点0 3 整式 乘法公式与几何图形综合 ) 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）阅读下列材料并解答问题： 已知，求的值，可直接代入得：；若，求的值．如何解答?可令，则，代入得：．像这样把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化的方法叫做换元法． (1)已知，令，则的值为_________； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，连接．若的面积为50，设正方形的面积为，正方形的面积为，求的值． 【答案】(1)7 (2) (3)225 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、换元法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）令，，则，由题意得，再利用，求出的值，即可解答； （3）由题意得，，，设，则，，根据图形的面积公式可得，，令，，则，，利用求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵，   ∴， ∴令，则的值为7； 故答案为：7； （2）解：令，，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得，，， 设，则，， ∵的面积为50， ∴， ∴， ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴， 令，，则，， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合，某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式： (1)根据上面的信息回答：若，，则的值为_____ (2)如图，长方形周长为，以长方形的相邻两边为边长分别向外作正方形、正方形，若正方形、正方形的面积和为，直线与直线交于点，求长方形的面积； (3)如图，长方形面积为，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长 (4)如图，四边形是正方形，，分别是上的点，且，，分别以为边长作正方形和正方形，若长方形的面积为，则阴影部分的面积为_____ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，算术平方根的应用，解决本题的关键是利用完全平方公式的两个形式之间的相互转化求解． （1）把，整体代入求值即可； （2）设长方形的长为，宽为，则有大正方形的边长为，根据正方形、正方形的面积和为，可得，根据可得，从而可得，即长方形的面积为； （3）设长方形长为，宽为，因为长方形面积为，则，根据四边形和四边形都是正方形，可得，因为四边形是正方形，所以，从而可得，根据，可得，两边同时开方可以求出正方形的边长为； （4）设长方形的长为，宽为，根据，，可得，根据长方形的面积为，可得，根据，可得，因为阴影部分的面积为，把和整体代入计算即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）解：设长方形的长为，宽为， 则有大正方形的边长为， 正方形的面积为、正方形的面积为，长方形和长方形的面积均为， 正方形、正方形的面积和为， ， ， ， 解得：， 长方形的面积为； （3）解：设长方形长为，宽为， 长方形面积为， ， 四边形和四边形都是正方形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 或(负值舍去)， 正方形的边长为； （4）解：设长方形的长为，宽为， 四边形是正方形， ， ，， ， ， 四边形是正方形， ， ， 长方形的面积为， ， ， 解得：或(负值舍去)， 阴影面积 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减运算和单项式乘以多项式的应用，解题关键是熟练掌握单项式乘以多项式法则． （1）先把多项式化简，根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （2）计算，令，再根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出，的长与宽，求出它们的面积，进而求出的差，进行判断即可． 【详解】（1）解：关于的多项式， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 即 故答案为：． （2），， ， 又的值与的取值无关， ， 即 （3）由题意得，阴影部分的面积， ， 当变化时，的值始终保持不变， ， 即． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②：． 图1对应公式___________；图2对应公式___________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ ①，求的值； ②，求． 【迁移运用】 （3）如图3，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形且对角线时，若，阴影部分的面积和为35，请求出正方形和正方形的面积和．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【拓展提升】 （4）如图4，是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形．记与的面积之和为与的面积之和为． ①当是边的中点时，则的值为___________； ②当不是边的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出说理过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）②；①；（2）①12；②129；（3）30；（4）①2；②成立，过程见详解 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，正确理解题意，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）根据图形即可得出图1对应公式是；图2对应公式是； （2）①先求出，得出，再根据即可得出答案； ②设，，得出，，根据完全平方公式变形求出，即可得出答案； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则根据题意，得，得出，根据完全平方公式变形求出即可； （4）①根据点D为的中点，得出此时四边形为正方形，设，则，，，求出，，即可得出答案； ②设，，则，，，，求出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：图1对应公式是；图2对应公式是， 故答案为：②；①； （2）①， ， ∴， ， ． ②设，， ∴，， ∴； ∴． （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则根据题意，得， ， ， ， ∴， ∴ ∴正方形和正方形的面积和为30． （4）①根据题意可得：、、、都是等腰直角三角形， ∵点D为的中点， ∴， ∴此时四边形为正方形， 设，则， ，， ∴， ， ∴； ②结论成立；理由如下： 根据题意可得：、、、都是等腰直角三角形， ∵四边形为长方形， ∴设，， 则，， ，， ∴ ， ， ， ∴． ( 江苏 考点0 4 新定义问题与材料阅读问题 ) 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑．若我们把一个正整数除以3所得的余数记作“模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模． (1)直接写出结果：36模______；360模_______． (2)①命题：如果模，其中为正整数，那么模3．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若模，其中为正整数，则能被3整除，可以设； 则； 所以能被3整除， 即模3． ②命题：如果模，其中为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明： (3)证明：如果模模，其中、为正整数，那么模． 【答案】(1)0；0； (2)②正确，证明见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算的应用： （1）根据新定义解答即可求解； （2）根据命题①的证明方法解答，即可求解； （3）根据题意设，，可得，即可解答． 【详解】（1）解：，， ∴模；模； 故答案为：0；0 （2）解：②正确 证明：若模，其中为正整数，则除以3余1，可以设； 则； 因为能被3整除，10除以3余1， 所以模， 即模． （3）证明：因为模，模， 所以设，， ， 所以模， 所以模． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“学梅方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“学梅方程”．反之，若一元一次方程的解不在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“思梅方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式组的“学梅方程”是________；（填序号） (2)若关于x的方程是的“思梅方程”，求a的取值范围． (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“学梅方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题可主要考查解一元一次方程和一元一次不等式（组），再根据“学梅方程”和“思梅方程”的定义来求解； （1）先分别把三个方程解出来，再把不等式组求出解集，通过比较即可得到答案； （2）先把看作常数，分别解一元一次方程和一元一次不等式，根据思梅方程的定义，列出关于的不等式，求出解集即可； （3）先把看作常数，分别解一元一次方程和一元一次不等式组，根据不等式组恰好有3个整数解和学梅方程的定义，列出关于的不等式，求出解集即可； 【详解】（1）解：解不等式，移项可得，即； 解不等式，去括号得，移项合并同类项得，即，两边同时除以2得． 所以不等式组的解集为． 解方程①，得． 解方程②，得． 解方程③，得． 根据“学梅方程”的定义判断 ，因为，5和6不在范围内， 故答案是②． （2）解：解方程，去括号得，移项合并同类项得，即，两边同时除以−3得． 解不等式的解集 移项可得，即，系数化为1​​得​​． 据“思梅方程”的定义，所以2a<​ ​​，解得． 综上，的取值范围是． （3）解：解方程​，得． 解不等式，得． 解不等式，得． 所以不等式组的解集为． 根据“学梅方程”的定义和整数解的个数，所以，解不等式得；解不等式得，所以． 因为不等式组恰好有3个整数解，即1，2，3，所以，解不等式得；解不等式得，结合​，可得． 综上，的取值范围是． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）材料阅读：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为． 即：当n为非负整数时，如果，则． 如：，，，… 解决下列问题： (1)填空：①________． ②如果，求x的取值范围； (2)判断：是否成立？成立，请说明理由；不成立，请举出反例． (3)请直接写出满足的所有非负数x的值：________． 【答案】(1)①3；② (2)不成立，反例见解析 (3)0或或 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式组． （1）①根据新定义求解即可；②根据新定义求解即可； （2）举反例，即可说明； （3）设（为非负整数），则可得到即，据此求出，则或1或2，据此求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，， 故答案为：3； ②∵， ∴， 解得：． （2）解：不成立． 如，，则， ， ∴， ∴不成立． （3）解：设（为非负整数）， ，即 ∴ ， 又为非负整数， ∴或1或2， 当，， 当，， 当，， 综上所述：的值为0或或． 故答案为：0或或 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务： 如何快速判断一个较为复杂的整数能否被3整除？小明对下列一些能被3整除的整数进行了研究：27，123，159，246，1233，23454． 小明通过观察、计算发现：这些整数各个数位上的数字之和都能被3整除，如：整数246各个数位上的数字之和为，12能被3整除；整数1233各个数位上的数字之和为，9能被3整除．由此，他提出了这样一个命题； 命题1：如果一个数能被3整除，那么这个数各个数位上的数字之和能被3整除．小明以两位数为例进行了证明； 设是一个两位数，若两位数能被3整除，求证：能被3整除． 证明：∵两位数能被3整除， ∴设（k为正整数）．．． ．为整数．可以被3整除． 由此推断，命题1是一个真命题，紧接着对它的逆命题进行了研究，发现命题1的逆命题也是真命题． 结论：在判断一个数是否能被3整除时，可以通过计算其各个数位上数字之和来进行快速判断． 小明在研究时还发现，整数123中，；整数159中，；整数246中，．于是，他又提出了这样一个命题； 命题2：如果一个三位数能被3整除，那么这个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍． 任务1：证明命题 （1）设是一个三位数，若可以被3整除，求证：这个三位数也能被3整除． 任务2：写逆命题 （2）判断命题2是真命题还是假命题，并写出它的逆命题； 任务3：应用结论 （3）若四位数能被3整除，且，这个四位数的最小值为______． （4）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个能被3整除的两位数；后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个数字m所得的三位数，且这个三位数也能被3整除．则第一次看到的里程碑上的两位数是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）假命题，逆命题：如果一个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍，那么这个三位数能被3整除；（3）1203；（4）15或39 【分析】本题主要考查了新定义，判断命题真假，写出一个命题的逆命题，正确理解题意是解题的关键． （1）设（k为正整数），则，根据为整数，即可得可以被3整除， （2）根据能被3整除，但是可判断命题真假；把原命题的结论与条件互换写出对应的逆命题即可； （3）根据题意可得能被3整除，则可推出能被3整除；设（k为正整数），则可得到，要使这个四位数最小，首先要满足a最小，其次要保证b最小，再要保证c最小，据此求解即可； （4）设第一次看到的两位数为，则第二次看到的两位数为，第三次看到的三位数为，设（k为正整数），根据可以被3整除得到可以被3整除；可求出汽车的速度为，则可推出，则一定是大于等于0的偶数，当时，，则，当时，，则，据此讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵可以被3整除， ∴设（k为正整数） ∴， ∵为整数， ∴可以被3整除， （2）命题2是假命题，理由如下： 例如能被3整除，但是； 逆命题：如果一个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍，那么这个三位数能被3整除； （3）∵四位数能被3整除， ∴能被3整除， ∴能被3整除， ∵能被3整除， ∴能被3整除； 设（k为正整数）， ∵， ∴， ∴， ∵要使这个四位数最小， ∴首先要满足a最小， 当的同时，要满足b最小，则此时， ∴， ∴当，时，这个四位数最小，最小为1203； （4）设第一次看到的两位数为，则第二次看到的两位数为，第三次看到的三位数为 ∵可以被3整除， ∴设（k为正整数） ∵可以被3整除 ∴可以被3整除， ∵后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置， ∴汽车的速度为， ∵再过，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个数字m所得的三位数， ∴， ∴， ∵m为整数且， ∴一定是大于等于0的偶数， 当时，，则， ∵， ∴， ∴a一定是3的倍数， ∴， ∴， ∴； 当时，，则， ∵， ∴， ∴一定是3的倍数， ∴， ∴， ∴； 综上所述，第一次看到的里程碑上的两位数是15或39． 62 / 104 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $