第四章 因式分解 单元卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 本练习以“概念理解-技能应用-综合创新”为路径，分层覆盖因式分解全章核心，通过基础巩固、情境应用与拓展探究，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|因式分解定义、提公因式法、公式法|选择1-2考查概念辨析，填空11、解答17直接应用基本方法，夯实运算能力| |中档|综合变形、简单应用|选择5奇数平方差推理，填空13含因式多项式参数求解，体现推理意识| |拔高|跨情境应用、新方法探究|解答18“热门定理”配方法，解答21“优美数”新定义问题，融合创新意识与模型观念|

第四章 因式分解（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列由左边到右边的变形，是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： A、，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、，不是整式乘积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、，是因式分解，故本选项符合题意； D、不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意． 2、下列从左到右的变形中是因式分解的有（　　） ①x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1； ②x3+x＝x（x2+1）； ③（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2； ④x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解； ②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解； ③整式的乘法，故③不是因式分解； ④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；一共有2个。 3、若可以因式分解为，那么的值为（    ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 【答案】B 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴； 4、已知，，则多项式的值为（   ） A． B．15 C． D．2 【答案】C 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 5、任意两个奇数的平方差总能（   ） A．被3整除 B．被6整除 C．被8整除 D．被10整除 【答案】C 【详解】解：设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数， 根据题意，得 ， 当时，，都能成立； 当时，则，则， 故， 故， 故一定能被8整除， 6、已知，，是互不相等的实数，且，，那么，，中最大的数为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】解： ，， ， ，，是互不相等的实数， ， ， ， ，，是互不相等的实数， ， ； 最大； 7、如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：图中剩余部分的面积等于两个正方形的面积之差，即， 剩余部分通过割补拼成的长方形的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 8、小刚是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：泽、爱、我、菏、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美丽 B. 菏泽美丽 C. 我爱菏泽 D. 美我菏泽 【答案】C 【详解】解： ， 对应“爱”，对应“我”，对应“泽”，对应“菏”． 四个因式组合为“爱、我、泽、菏”， 只有C“我爱菏泽”符合， 9、如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为15，则的值为（   ） A．240 B．120 C．-120 D．-240 【答案】A 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为15， ∴，ab=15， 则 =-2×15×8 =-240． 10、已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为（   ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【详解】解：∵当时，多项式的值为，当时，该多项式的值为， ∴①，②， 由①②得：，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、分解因式： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 12、已知，则代数式+3x +2026的值为 ． 【答案】2026 【详解】解：∵， ∴+3x +2026 =x(+x)+3x +2026 =-3x+3x +2026 =2026 故答案为：2026． 13、若多项式含有因式，则的值是________． 【答案】4 【详解】解：∵多项式含有因式， ∴设另一个因式是， 则， ∵ ， ∴，， 解得：，， ∴==4 故答案为：4． 14、若，，则 (填“”“”或“”)． 【答案】 【详解】解： ， ， ∴， 故答案为：． 15、如果两数满足，那么 ． 【答案】16 【详解】解：， ①②，得， ∴， ②①，得， 则， 故答案为：． 16、有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为10和40，则图乙的面积为 ． 【答案】90 【详解】解：设正方形和的边长分别为和， 所以图甲阴影部分面积为：，即， 图乙阴影部分面积为：，即， 所以， 所以图乙的面积为：． 故答案为：90． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、因式分解： （1）﹣12xy+x2+36y2． （2）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）． （3）﹣4x3+20x2﹣24x． 【答案】（1）（x﹣6y）2；（2）m（m﹣n）（n+1）；（3）﹣4x（x﹣2）（x﹣3）． 【解答】解：（1）﹣12xy+x2+36y2 ＝x2﹣12xy+36y2 ＝（x﹣6y）2； （2）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）． ＝mn（m﹣n）+m（m﹣n） ＝m（m﹣n）（n+1）； （3）﹣4x3+20x2﹣24x ＝﹣4x（x2﹣5x+6） ＝﹣4x（x﹣2）（x﹣3）． 18、19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去， 即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． （1）利用“热门定理”把分解因式． 热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变， 于是有 ，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式：． 【答案】（1）； （2） 【详解】解：（1） ； （2） ． 19、将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值． 例如：， ， ， 当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，求的最大值． 【答案】3 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴当时，的最大值为， 20、数学活动课上，老师准备了若干张如图①的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．老师用1张种纸片，1张种纸片，2张种纸片拼成如图②的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图②大正方形的面积，你能得到等式：___________． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：若，求的值； (3)从图①中的三种纸片中选取若干张，用它们拼一个长方形验证等式：成立，请画出拼出的长方形（请在图中标注选取的纸片的边长）． 【答案】(1) (2) (3)见详解（答案不唯一） 【详解】（1）解：用两种不同的方法表示图大正方形的面积， 方法一：；方法二：； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴； （3） 解：根据，选取A纸片1张，B纸片2张， C纸片3张拼成长为，宽为的长方形即可． 如下图所示：(答案不唯一) 21、若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． (2)设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值 ． 【答案】(1)27是“优美数”， 14与13，6与3都是27的平方差分解 (2)能，见解析 (3) 【详解】（1）解：27是“完美数”， ∵， ， ∴27是“完美数”，14与13，6与3都是27的平方差分解； （2）解： ， ∵能被8整除， ∴由它们构成的“优美数”能被8整除； （3）解：∵ ； ∴当时，为“优美数”，此时， 故当时，N为“优美数”． 22、从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①3；②；③2 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． =2 23、阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如： ．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是． 请用配方法解答下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）已知，求的值． （3）当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ 【答案】（1） （2）4 （3）时，有最小值，最小值是 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ； 【小问3详解】 解： ， ， 时，有最小值，最小值是． 24、如图，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图所示的图形． (1)通过两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可得到关于，的等量关系为________ (2)根据中的等量关系，解决下列问题： 若，，则的值为________； 将边长分别为，的正方形，正方形按图3摆放，若，，求图中阴影部分面积的和． 【答案】(1)； (2) ； ． 【详解】（1）解：由图可知：阴影正方形的边长为， 阴影的面积为：， 阴影的面积也可以看作是大正方形的面积减去长为、宽为的长方形的面积， 阴影的面积也可以表示为：， 可得到关于，的等量关系为， 故答案为：； （2）解：由可知， 当，时， ， 故答案为：； 解：如下图所示， 四边形和四边形为正方形，且边长分别为和， ，， ， ， 由可知， 或(舍去)， ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 因式分解（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列由左边到右边的变形，是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 2、下列从左到右的变形中是因式分解的有（　　） ①x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1； ②x3+x＝x（x2+1）； ③（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2； ④x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、若可以因式分解为，那么的值为（    ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 4、已知，，则多项式的值为（   ） A． B．15 C． D．2 5、任意两个奇数的平方差总能（   ） A．被3整除 B．被6整除 C．被8整除 D．被10整除 6、已知，，是互不相等的实数，且，，那么，，中最大的数为（   ） A． B． C． D．不能确定 7、如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 8、小刚是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：泽、爱、我、菏、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美丽 B. 菏泽美丽 C. 我爱菏泽 D. 美我菏泽 9、如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为15，则的值为（   ） A．240 B．120 C．-120 D．-240 10、已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为（   ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、分解因式： ． 12、已知，则代数式+3x +2026的值为 ． 13、若多项式含有因式，则的值是________． 14、若，，则 (填“”“”或“”)． 15、如果两数满足，那么 ． 16、有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为10和40，则图乙的面积为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、因式分解： （1）﹣12xy+x2+36y2． （2）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）． （3）﹣4x3+20x2﹣24x． 18、19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去， 即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． （1）利用“热门定理”把分解因式． 热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变， 于是有 ，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式：． 19、将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值． 例如：， ， ， 当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，求的最大值． 20、数学活动课上，老师准备了若干张如图①的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．老师用1张种纸片，1张种纸片，2张种纸片拼成如图②的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图②大正方形的面积，你能得到等式：___________． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：若，求的值； (3)从图①中的三种纸片中选取若干张，用它们拼一个长方形验证等式：成立，请画出拼出的长方形（请在图中标注选取的纸片的边长）． 21、若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． (2)设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值 ． 22、从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 23、阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如： ．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是． 请用配方法解答下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）已知，求的值． （3）当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ 24、如图，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图所示的图形． (1)通过两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可得到关于，的等量关系为________ (2)根据中的等量关系，解决下列问题： 若，，则的值为________； 将边长分别为，的正方形，正方形按图3摆放，若，，求图中阴影部分面积的和． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $