6.5.2平面与平面垂直课件（第2课时）-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面与平面垂直，涵盖定义、性质定理、判定定理及应用。通过回顾空间线线、线面垂直关系，结合长方体模型实例，搭建从已有知识到新知的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点是以定理严谨证明为基础，通过“定义辨析-定理推导-典例应用-同步练习”的教学逻辑，培养学生的推理能力和空间观念。例如例3利用面面垂直性质证线线垂直，练5结合四棱锥模型综合应用判定与性质，总结部分清晰梳理知识框架，既助力学生构建立体几何知识体系，也为教师提供了层次分明的教学资源。

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第六章 立体几何初步 第5节 垂直关系 5.2 平面与平面垂直 第2课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解平面与平面垂直的性质定理的含义. 2、理解平面与平面垂直的判定定理的含义. 3、能运用平面与平面垂直的性质定理和判定定理证明一些空间中相关的垂直问题. 1、能运用平面与平面垂直的性质定理和判定定理证明一些空间中相关的垂直问题. 1、理解平面与平面垂直的性质定理和判定定理的含义. 2 新 知 引 入 1、空间两条直线的位置关系有：________、________、________. 相交 平行 异面 a b P α a b α a b α 特别的，当直线a与直线b所成的角为_______时，称a垂直于b,记作：_________. 2、一条直线和一个平面的位置关系有：________、________、_____________。 线在面内 相交 平行 b α b α P b α 特别的，当直线a与平面α所成的角为________时，称a垂直于α,记作：_________. 90º 90º a⊥b a⊥α 学 习 新 知 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 面面垂直 面面垂直的符号表示：α⊥β. 注意：1、 2、 图形表示：通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直． α β α β 新 知 引 入 A B C D A1 B1 C1 D1 3、在长方体ABCD-A1B1C1D1中： 平面A1ADD1⊥平面ABCD,且交线为AD，A1A⊥AD，A1A_______平面ABCD D1D⊥AD，D1D_______平面ABCD 平面DCC1D1⊥平面ABCD,且交线为DC，D1D⊥DC ，D1D_______平面ABCD C1C⊥DC ，C1C _______平面ABCD ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 学 习 新 知 平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直。 已知：α⊥β,α∩β=CD,AB⊂β,AB⊥CD,求证：AB⊥α α β D E A B C 证明：在平面α内作BE⊥CD,垂足为B 则___________是二面角α-CD-β的平面角。 ∵ α⊥β ∴ AB______BE 又AB⊥CD,且BE∩CD=B,BE,CD⊂α ∴AB_______α ∠ABE ⊥ ⊥ 学 习 新 知 平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直。 注意：1、 2、 3、 此定理可简记为“面面垂直,线面垂直”. 此定理可以作为判断线面垂直的依据. 三个条件，缺一不可：①两个平面垂直;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须与交线垂直. 学 习 新 知 重要结论1：如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第 二个平面的直线在第一个平面内. 已知：α⊥β,P∈α,P∈a,a⊥β，求证：a⊂α α β c a P 证明：设α⋂β=c,过点P在平面α内作直线b⊥c. ∵α⊥β ∴b_____β, 又a⊥β,P∈a ∴经过P点有两条直线a和b与平面β垂直. ∵经过一点___________________与平面β垂直, ∴直线a应与直线b________. ∴a_______α b 只能有一条直线 重合 ⊂ ⊥ 学 习 新 知 重要结论2：如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线（不在另一个平 面内）平行于另一个平面. α β a b m 已知：α⊥β,a⊥β,a⊄α,求证：a∥α. 证明：设α∩β=m 在α内作b⊥m ∵ α⊥β ∴ b_____β ∵ a⊥β ∴ a______b 又∵ a⊄α ∴ a______α ⊥ ∥ ∥ 学 习 新 知 重要结论3：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直第 三个平面。 已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l,求证：l⊥γ α β γ a b m n l 证明：设α∩γ=n,β∩γ=m 在α内作直线a⊥n,在β内作b⊥m 则a_______γ,b_______γ ∴ a______b 又∵ a⊂α,b⊄α ∴ b_______α 又∵ b⊂β,α∩β=l ∴ b_______l 又∵ b⊥γ ∴l______γ ∥ ⊥ ⊥ ⊥ ∥ ∥ 学 习 新 知 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直. 已知：a⊂β,a⊥α，求证：α⊥β 证明：设a∩α=A,那么A______α,A______a ∵a⊂β,A∈a ∴A______β 即α和β有公共点A，因此α与β________，设α∩β=b ∵A是α与β的公共点 ∴A_____b ，过A在α内作AC⊥b ∵a⊥α，b⊂α ∴a_______b,垂足为A ∴___________是二面角α-b-β的平面角 ∵a⊥α，AC⊂α ∴a_______AC即∠aAC=90º ∴α⊥β α β b a m A C ∈ ∈ ∈ 相交 ∈ ⊥ ∠aAC ⊥ 学 习 新 知 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直. 注意：1、 2、 3、 此定理可简记为“线面垂直,面面垂直”. 此定理不仅仅是判定两个平面垂直的依据,而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据. 过一点可作无数个平面与已知平面垂直； 过平面α的一条垂线可作无数个平面与平面α垂直； 过平面α的一条斜线可作一个平面与平面α垂直； 过平面α的一条平行线可作一个平面与平面α垂直. 学 习 新 知 直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法。 线线垂直 线面垂直 面面垂直 判定 判定 定义 性质 典 例 引 路 （1）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(     ) （2）已知两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．(    ) （3）若两个平面垂直，则两个平面内任意两条直线互相垂直. (     ) （4）如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.(       ) （5）三个两两垂直的平面的交线两两垂直．(     ) （6）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β．(      ) 例1、判断正误： √ √ × × × × 同 步 练 习 练1、判断正误： （1）当α⊥β时，直线l过α内一点且与交线垂直，则l⊥β.(      ) （2）已知α，β，γ是平面，若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ．(　  　) （3）已知α，β，γ是平面，若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ．(　 　) （4）已知α，β，γ是平面，若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ．(　 　) （5）若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=a，则a⊥α；(     ) （6）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β．(     ) × × × √ √ √ 典 例 引 路 例2、长方体ABCD-A1B1C1D1中,MN在平面B1BCC1内，MN⊥BC于点M， 判断MN与AB的位置关系，并说明理由。 解：由题意知平面B1BCC1⊥平面ABCD，交线为BC. ∵ MN⊂平面B1BCC1,且MN⊥BC ∴ MN⊥平面ABCD 又∵ AB⊂平面ABCD ∴ MN⊥AB A B C D A1 B1 C1 D1 M N 同 步 练 习 练2、如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC， AB=,CE=EF=1.求证：CF⊥平面BDE. 证明：设AC∩BD=G,连接FG,EG,CF 由题意知EF∥CG,EF=CG=1 ∴四边形CEFG为平行四边形 ∵CE=1 ∴平行四边形CEFG为菱形，∴CF⊥EG ∵四边形ABCD为正方形 ∴BD⊥AC ∵平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC，BD⊄平面ABCD ∴BD⊥平面ACEF ∵CF⊂平面ACEF ∴BD⊥CF 又BD∩EG=G ∴CF⊥平面BDE A B C D E F G 典 例 引 路 例3、如图,已知V是△ABC外一点,VA⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VBC. 求证:AB⊥BC. 证明：在平面VAB内,过点A作AD⊥VB于点D. ∵ 平面VAB⊥平面VBC,且交线为VB, ∴ AD⊥平面VBC. ∴ AD⊥BC. ∵ VA⊥平面ABC, ∴ VA⊥BC. ∵ AD∩VA=A,且VA⊂平面VAB,AD⊂平面VAB, ∴ BC⊥平面VAB. ∵ AB⊂平面VAB ∴ AB⊥BC. D 同 步 练 习 练3、如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形， 且∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD． (1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB． 证明：(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD， 由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形， ∵G是AD的中点，∴BG⊥AD． ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴BG⊥平面PAD． (2)如图，连接PG.∵△PAD是正三角形，G是AD的中点， ∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD． 又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG. 而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB． 典 例 引 路 A B C D A1 B1 C1 D1 例4、在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四个侧面都是矩形。 求证：平面BB1C1C⊥平面ABCD. 证明：由四边形BB1C1C是矩形，得CC1⊥BC 同理可得CC1⊥CD 又∵BC∩CD=C,BC,CD⊂平面ABCD， ∴CC1⊥平面ABCD 又∵CC1⊂平面BB1C1C ∴平面BB1C1C⊥平面ABCD 同 步 练 习 练4、正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面AA1C1C⊥面A1BD. 证明：∵ AA1⊥面ABCD,BD⊂面ABCD ∴ AA1⊥BD ∵ BD⊥AC且AC∩AA1=A ∴ BD⊥面AA1C1C ∵ BD⊂面A1BD ∴ 面AA1C1C⊥面A1BD A B C D A1 B1 C1 D1 典 例 引 路 例5、在四面体A1-ABC中，A1A⊥平面ABC,AB⊥BC,且AA1=AB （1）四面体A1-ABC中有几组互相垂直的平面？ （2）求二面角A-A1B-C和A1-BC-A的大小 解：(1)由A1A⊥平面ABC，A1A⊂平面A1AB，得平面A1AB⊥平面ABC; 同理可得平面A1AC⊥平面ABC. ∵A1A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC 又∵AB⊥BC,A1A⊂平面A1AB，AB⊂平面A1AB，A1A∩AB=A ∴BC⊥平面A1AB,由BC⊂平面A1BC，得平面A1BC⊥平面A1AB 于是四面体A1-ABC中互相垂直的平面为： 平面A1AB⊥平面ABC,平面A1AC⊥平面ABC，平面A1BC⊥平面A1AB. A1 A B C （2）由（1）知，平面A1BC⊥平面A1AB，所以二面角A-A1B-C为90º. 由BC⊥平面A1AB,得A1B⊥BC; 又AB⊥BC,所以∠A1BA是二面角A1-BC-A的平面角。 在直角三角形A1AB中，A1A=AB,则∠A1BA=45º, 即二面角A1-BC-A为45º. 同 步 练 习 练5、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=a. (1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:平面PAC⊥平面PBD;(3)求二面角P-BC-D的大小. (1)证明：∵PD=a,DC=a,PC=a,∴PC2=PD2+DC2.∴PD⊥DC. 同理可证PD⊥AD.又AD∩DC=D, ∴PD⊥平面ABCD. (2)证明：由(1)知PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC. 而四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD. 又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD. 同时AC⊂平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBD. (3)解：由(1)知PD⊥BC,又BC⊥DC, ∴BC⊥平面PDC.∴BC⊥PC. ∴∠PCD为二面角P-BC-D的平面角. 在Rt△PDC中,PD=DC=a,∴∠PCD=45°. 即二面角P-BC-D的大小是45°. 同 步 练 习 全 课 总 结 一、面面垂直的定义 二、面面垂直的性质定理 三、面面垂直的判定定理 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 25 $