6.5.2平面与平面垂直（第2课时）（教学课件）数学北师大版必修第二册

§5 垂 直 关 系 5.2 平面与平面垂直（第二课时） 第六章 立体几何初步 1 2 3 了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系。（重点） 熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化，并能解决有关垂直问题。（重难点） 灵活掌握空间中线、面平行、垂直关系的相互转化关系。（重点） 温故知新 线面垂直 线线垂直 面面垂直 线面垂直的判定 线面垂直的性质 面面垂直的性质 面面垂直的性质 我们已经学习了空间内的垂直问题： 二面角 直二面角 除了直二面角能判定面面垂直，还有什么能判定两个平面垂直呢？ 思考：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查墙面是否与水平平面垂直.系有铅锤的线是垂直于水平面的，如果系有铅锤的线紧贴墙面，就说明墙面垂直于水平面. 这种判断方法的理论依据是什么？你能用所学知识证明吗？ 猜想：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 情景导入 读教材 阅读课本P245-P246，5分钟后完成下列问题： 1.如何能判定平面与平面垂直？用数学符号怎么表示？ 2.空间内的线线、线面、面面垂直之间能相互转化吗？ 3.空间内的平行、垂直之间能相互转化吗？你能总结一下有哪些转化吗？ 我们一起来探究“平面与平面垂直的判定”吧！ 已知：如图，. 求证： 证明：假设， 因为，所以. 在平面内过点B作直线， 则∠ABC是二面角的平面角. 而，故是直二面角， 所以. 新知探索 三、平面与平面垂直的判定 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 现在你能解释为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直吗？ 不管门如何旋转，门所在的平面始终经过地面的垂线(门轴所在的直线)，由面面垂直的判定定理可得，门所在的平面始终与底面垂直. 新知探索 一、平面与平面垂直的判定 则. 图形语言 符号语言 简记：线面垂直，则面面垂直 新知探索 三、平面与平面垂直的判定 面面垂直的判定 线面垂直 线线垂直 面面垂直 线面垂直的判定 线面垂直的性质 面面垂直的性质 面面垂直的性质 面面垂直的判定 例1： 如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，四个侧面都是矩形. 求证：平面BB1C1C⊥平面ABCD. A B D C A1 B1 D1 C1 证明：由四边形BB1C1C是矩形，得. 同理可得. 又，， 因此. 又， 于是. ∴ 侧面是矩形的棱柱是直棱柱，直棱柱的侧面都垂直于底面. 典例讲解 例2： 如图，在四面体A1-ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA1＝AB. （1）四面体A1-ABC中有几组互相垂直的平面？ （2）求二面角A-A1B-C和A1-BC-A的大小. A B C A1 解:(1)由A1A⊥平面ABC，A1A⊂平面A1AB，得平面A1AB⊥平面ABC， 同理可得平面A1AC⊥平面ABC. ∵A1A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC. 又∵AB⊥BC，A1A⊂平面A1AB，AB⊂平面A1AB， A1A∩AB＝A， ∴BC⊥平面A1AB， 由BC⊂平面A1BC，得平面A1BC⊥平面A1AB. 于是四面体A1-ABC中有3组互相垂直的平面，分别是： 平面A1AB⊥平面ABC，平面A1AC⊥平面ABC，平面A1BC⊥平面A1AB. 典例讲解 A B C A1 解：（2）由（1）知平面A1BC⊥平面A1AB， 所以二面角A-A1B-C为90°. 由BC⊥平面A1AB，得A1B⊥BC， 又AB⊥BC，所以∠A1BA是二面角A1-BC-A的平面角. 在Rt△A1AB中，AA1＝AB，则∠A1BA＝45°， 即二面角A1-BC-A为45°. 典例讲解 例2： 如图，在四面体A1-ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA1＝AB. （1）四面体A1-ABC中有几组互相垂直的平面？ （2）求二面角A-A1B-C和A1-BC-A的大小. 典例讲解 2. 确定二面角的平面角的方法 （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂 直于棱的射线. （2）垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生 交线，这两条交线所成的角，即二面角的平面角. 步骤：一作（找） 二证 三求 方法总结 1.证明面面垂直的方法 （1）定义法：证明两个半平面所成的二面角是直二面角. （2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问 题转化为“线面垂直”. （3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面. 典例讲解 如图所示，已知三棱锥， ，，，为 的 中点，且是正三角形， . （1）求证：平面 平面 . （2）求二面角 的正弦值. （1）证明：是的中点，是正三角形，， ，故 . 又，， 平面 . 又 平面， . 又，， 平面 . 又 平面， 平面 平面 . 典例讲解 （2）解：，且 , 是二面角 的平面角. 由（1）知 平面，则 , . 如图所示，已知三棱锥， ，，，为 的 中点，且是正三角形， . （1）求证：平面 平面 . （2）求二面角 的正弦值. 典例讲解 例3： 如图，在矩形中，，，为 的中点， 把和分别沿，折起，使点与点重合于点 . （1）求证：平面 平面 . （2）求二面角 的大小. 二 几何中的翻折问题 方法指导：解决空间中的翻折问题注意以下两点： (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口。 (2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形。 典例讲解 （1）证明：由，得，同理， . 又， 平面 . 又 平面 ， 平面 平面 . 例3： 如图，在矩形中，，，为 的中点， 把和分别沿，折起，使点与点重合于点 . （1）求证：平面 平面 . （2）求二面角 的大小. 几何中的翻折问题 典例讲解 （2）解：如图所示，取的中点，连接，， 则易知 ， ， 就是二面角 的平面角. 又 平面， 平面 ， .又， ， . 二面角的大小为 . 例3： 如图，在矩形中，，，为 的中点， 把和分别沿，折起，使点与点重合于点 . （1）求证：平面 平面 . （2）求二面角 的大小. 几何中的翻折问题 F 探索新知 二 几何中的翻折问题 方 法 小 结 解决空间中的翻折问题注意以下两点： (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口。 (2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形。 典例讲解 在直角梯形中，，，为上的点，且 ，，将沿折叠到点，使 . （1）求证：平面 平面 . （2）求的长和梯形 的面积. （1）证明：如图，取的中点，的中点，连接，， . 由题意知，又， . ， . 又， 平面 . 又 平面， . H G 典例讲解 ，为的中点， . ，且，与 必相交， 平面.又 平面 ， 平面 平面 ， 即平面 平面 . H G （2）连接，，由（1）可知，为四棱锥 的高. ，且， 四边形 为菱形， .又， ， ，, ， . 例4 如图，在四棱锥中， 平面 ， ，， . （1）求证： . （2）求证： 平面 . （3）在棱上是否存在点，使得平面 ? 若存在，确定点 的位置;若不存在，请说明理由. 探索新知 三 线面位置关系中的存在性问题 典例讲解 证明：（1）因为 平面， 平面，所以 . 因为， ， 所以 平面 . 因为 平面，所以 . （2）因为平面, 平面,所以. 在直角梯形 中， ， 由题意可得 ， 所以，所以 . 因为，所以 平面 . 典例讲解 例4 如图，在四棱锥中， 平面 ， ，， . （3）在棱上是否存在点，使得平面 ? 若存在，确定点 的位置;若不存在，请说明理由. 解：（3）在棱上存在点,使平面,且是 的中点. 证明如下：如图,取的中点，连接， ， 因为是的中点，所以 . 因为，所以 , 所以是平行四边形，所以 . 因为 平面， 平面 ,所以平面 . M N 探索新知 三 线面位置关系中的存在性问题 方法总结 空间线面位置关系中的存在性问题一般解题思路： 1.对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么. 2.对于探索结论是否存在的问题，求解时常假设结论存在，再寻找与条件 相容或者矛盾的结论. 典例讲解 如图，四棱锥 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长 的倍，为侧棱 上的点. （1）求证： . （2）若 平面，则侧棱上是否存在一点 ，使得平面？ 若存在，求出 ；若不存在，请说明理由. （1）证明：如图，连接，设与交于点，连接 ， 由题意得四棱锥是正四棱锥，所以 . 在正方形中，，又， 所以 平面 . 因为 平面，所以 . O 典例讲解 （2）在棱上存在一点，使得平面 . 连接.设正方形的边长为，则 . 由 平面，得，易求得 . 故可在上取一点，使得 . 过点作的平行线与交于点，连接， ， 在中，易得 . 又因为， 平面， 平面，， 平面， 平面， ， 所以平面平面，所以平面 . 易得，所以 . O E N 通过直线与直线垂直判定直线与平面垂直；可以通过直线与平面垂直的定义得到直线与直线垂直；可以通过直线与平面垂直判定平面与平面垂直；同时平面与平面垂直的性质定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直.这种直线、平面之间的位置关系的相互转化，是解决空间图形问题的一种重要的思想方法. 线面垂直 线线垂直 面面垂直 线面垂直的判定 线面垂直的定义 面面垂直的判定 面面垂直的性质 课堂小结 课后思考：空间内的平行和垂直之间可以互相转化吗？ $