专题09 二次根式 5大高频考点（期末真题汇编，江苏专用）八年级数学下学期

专题09 二次根式 5大高频考点概览 考点01 二次根式有意义的条件 考点02 根据二次根式的性质化简 考点03 二次根式的运算（小题） 考点04 二次根式的计算与化简（解答题） 考点05 二次根式的综合运用 ( 江苏 江苏 考点0 1 二次根式有意义的条件 ) 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若代数式有意义，则a的取值范围应是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数必须是非负数求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴a是非负数，即． 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）当时，下列式子没有意义的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，二次根式有意义的条件，当分式的分母为零或二次根式的被开方数为负数时，式子无意义，将代入各选项，逐一检验即可． 【详解】解：选项A：代入，分母为，分母为零，分式无意义，符合题意； 选项B：代入，分母为，分子为，分式值为0，有意义，不符合题意； 选项C：代入，被开方数为，根式有意义，不符合题意； 选项D：代入，分子，分母为，分式有意义，不符合题意； 综上，只有选项A在时无意义， 故选：A． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若式子有意义，则实数x的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，建立不等式求解，即可确定x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：要使有意义，需满足被开方数，解得． 选项中只有，因此的值可能是4， 故选：D． 4．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）已知，则的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确解出x和y的值，是解答本题的关键． 根据二次根式的定义，被开方数必须非负，确定x的取值范围，进而求出x和y的值，最后计算的值． 【详解】解：确定x的取值范围： 由可知，，即； 由可知，，即． ． 将代入原式：， ．因此，的值为9． 故选：A． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）要使二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是明确二次根式中被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于零，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 所以的取值范围是． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）若二次根式有意义，则x的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，根据二次根式有意义的条件得出，然后解不等式即可． 【详解】解∶根据题意，得， 解得， 故答案为∶． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．二次根式有意义即被开方数为非负数，分式有意义即分母不为0，由此计算即可． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义， 则， 解得， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： ( 江苏 考点0 2 根据二次根式的性质化简 ) 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）实数x在数轴上对应点的位置如图所示，则可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据点在数轴上的位置得出，进而可得出答案． 【详解】解： 根据数轴可知：， ∴， ∴， 故选：D 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为_______． 【答案】7 【分析】本题主要考查的是二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据数轴得，然后利用二次根式的性质得到，再去绝对值，合并即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：7． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）化简：____． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，直接根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，化简：__________． 【答案】3 【分析】本题考查了实数与数轴，化简二次根式． 先求出a的范围，再化简即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴ ， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·江苏南京·期末）______． 【答案】 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，解题的关键是掌握：．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须满足①被开方数的因数不含能开得尽方的数；②被开方数不含分母． 根据二次根式必须满足的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．分母含根号，需有理化为，不符合最简二次根式条件； B．，被开方数为分数，需化为，不符合最简二次根式条件； C．被开方数含分母10，需化为，不符合最简二次根式条件； D．，被开方数30分解质因数为，无平方数因子且不含分母，符合最简二次根式条件． 故选D． 7．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）下列选项中，正确的是（  ） A． B．是最简二次根式 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质及运算，熟练运用二次根式的性质及运算是解题的关键，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】A、，故错误，不符合题意； B、，不是最简二次根式，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，平方与开平方互为逆运算，结果正确，故正确，符合题意； 故选：D． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，据此进行判断即可． 【详解】A、，不是最简二次根式，不符合题意． B、最简二次根式，符合题意． C、，不是最简二次根式，不符合题意． D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选B． 10．（24-25八年级下·江苏常州·期末）下列各式中，最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数的因数不含完全平方数；②被开方数不含分母． A、，被开方数为分数，分母含非平方数2，需有理化为，故不是最简二次根式； B 、，被开方数6分解为，无平方因数，且不含分母，符合最简二次根式条件； C 、，被开方数8含平方因数4，可进一步化简，故不是最简二次根式； D 、，被开方数含分母4（平方数），需化简为，故原式不是最简二次根式． 故选：B． 11．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的性质是解题的关键． 根据最简二次根式的性质判断即可．当二次根式满足一下条件即为最简二次根式：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内没有分母． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C．，是最简二次根式，故该选项符合题意； D．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意． 故选：C． 12．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②根号中无分母，或分母中不含根号．逐一分析各选项即可． 【详解】A：．故不是最简二次根式． B：．符合最简二次根式的条件． C：．故不是最简二次根式． D：．故不是最简二次根式． 故选：B． 13．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）化简：__________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用二次根式的除法法则计算后再进行化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江苏常州·期末）计算，则中的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘法运算解答即可求解，掌握二次根式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴中的数是， 故答案为：． ( 江苏 考点0 3 二次根式的运算（小题） ) 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，合并同类二次根式，逐一分析各选项的正确性，结合算术平方根的定义和运算规则进行判断． 【详解】解：A．，而非，故A错误． B．，算术平方根结果非负，故B错误． C．：合并同类项，，故C正确． D．，故D错误． 故选C． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式， 根据同类二次根式的定义，化简后根号内的数相同，由此建立方程求解． 【详解】∵和最简二次根式是同类二次根式， ∴ ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的化简与运算，涉及分式约分、符号处理、算术平方根性质及二次根式运算．根据分式约分、算术平方根性质及二次根式运算法则逐项判断，即可求解． 【详解】解：选项A：，故A正确． 选项B：，故B错误． 选项C：，故C错误． 选项D：，故D错误． 故选：A． 4．（24-25八年级下·江苏常州·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此进行判断即可． 【详解】解：A 、，与是同类二次根式，故A选项符合题意； B 、，与不是同类二次根式，故B选项不符合题意； C 、，与不是同类二次根式，故C选项不符合题意； D 、，与不是同类二次根式，故D选项不符合题意． 故选：A． 5．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则逐一分析即可判断． 【详解】解：A：，运算正确，符合题意； B：与不是同类二次根式，不能合并，运算错误。不符合题意； C：，运算错误，不符合题意； D：，故运算错误，不符合题意； 故选：A． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式化简和运算的法则． 利用二次根式化简和运算的法则，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A．，而，该选项错误，不符合题意； B．，而，该选项错误，不符合题意； C．，而，该选项错误，不符合题意； D．，结果与等式右侧一致，该选项正确，符合题意； 故选：D． 7．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）下列各式中，与为同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断同类二次根式的判断，是否为同类二次根式需化简后比较被开方数．将各选项化简，找出被开方数为3的选项即可． 【详解】解：，被开方数为3． ．：已最简，被开方数为2，故该选项不符合题意； ．：已最简，被开方数为6 ，故该选项不符合题意； ．：，被开方数为2，故该选项不符合题意； ．：，被开方数为3，与化简后相同，故该选项符合题意； 故选：D． 8．（24-25八年级下·江苏常州·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握运算法则．根据二次根式的运算法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、 与 不是同类二次根式，无法直接相加，，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选：D． 9．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质，判断二次根式是否为同类，需将各选项化简为最简二次根式后比较被开方数，即可作答． 【详解】解：A、，被开方数为，与是同类二次根式，故该选项不符合题意； B、，与不是同类二次根式，故该选项符合题意； C、，与是同类二次根式，故该选项不符合题意； D、，与是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B 10．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算和性质，掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的加法、减法和乘法的运算法则，以及二次根式的性质，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，选项错误； B、，计算正确，选项正确； C、，计算错误，选项错误； D、，计算错误，选项错误； 故选：B． 11．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，逐一验证各选项的正确性解答即可． 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. 与的被开方数不同，无法合并，错误，不符合题意；     B. ，错误，不符合题意；     C. ，正确，符合题意；         D. ，错误，不符合题意， 故选：C． 12．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则_____ ． 【答案】1 【分析】此题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式．据此列方程进行解答即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 移项、合并同类项，得， 解得：． 故答案为：1． 13．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，先化简，再根据同类二次根式的定义得出，即可求出x的值． 【详解】解：， 与最简二次根式是同类二次根式， ， ， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·江苏南京·期末）计算的结果是______． 【答案】0 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为：0． 15．（24-25八年级下·江苏常州·期末）计算：的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的计算，根据二次根式的乘法进行计算，然后合并同类二次根式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知与最简二次根式是同类二次根式，则___________． 【答案】0 【分析】本题考查同类二次根式，先利用二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且， ∴，则， 故答案为：0． 17．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如果与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式和最简二次根式等知识点，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键． 根据同类二次根式的定义得出，求出即可． 【详解】， 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故答案为：． 18．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义和同类二次根式的定义计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． ( 江苏 考点0 4 二次根式的 计算与化简 （ 解答 题） ) 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）计算或化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化为最简，然后再进行二次根式的加减运算即可； （2）根据完全平方公式及二次根式的运算进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； 利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则进行计算，即可解答； （2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答． 本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1） ； （2） ． 4．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的性质化简，再利用二次根式的加减法则计算即可； （2）利用二次根式的运算法则及完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式将括号展开，将其余二次根式化简，再合并同类二次根式即可； （2）按照二次根式乘除运算法则将各项化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式乘除的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 7．（24-25八年级下·江苏南京·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 9．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）先利用二次根式的性质化简，再进行二次根的加减运算． （2）先计算二次根式的乘除法，再计算二次根的加减运算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 10．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)5． 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，二次根式的乘法，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘法，然后再从左到右进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查二次根式的性质及其混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再加减运算即可求解； （2）先利用完全平方公式去括号，再加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的加减乘除混合运算，灵活运用二次根式的性质是解题的关键． （1）先计算零指数幂，再根据二次根式的性质化简为最简二次根式，再合并即可； （2）根据二次根式的乘除法则运算，最后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）计算: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的混合运算，解题关键是掌握二次根式的运算法则． （1）先计算零指数幂，化简二次根式，再加减即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式结合二次根式的混合运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简各数，然后根据二次根式的加减运算法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘除法，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ， ． 16．（24-25八年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查二次根式加减法和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别化简各二次根式，再合并即可； （2）原式先化简括号内的，再进行二次根式的乘法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，合并后，再进行乘法运算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 18．（24-25八年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再计算二次根式加法即可得到答案； （2）先利用乘法公式去括号，再计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则，结合二次根式性质进行计算即可； （2）根据完全平方公式和二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ( 江苏 考点0 5 二次根式的综合运用 ) 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，该数列相邻前后两数，后一项与前一项的比值逐渐接近于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，计算相邻两项的比值，发现斐波那契数列相邻两项的比值逐渐趋近于黄金分割比例．黄金分割比例的具体值为，即可得出结果． 【详解】解：计算相邻两项的比值：，，，，，，，，． 观察可知，比值逐渐趋近于一个固定值， ∵， ∴相邻两数的比值趋近于， 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，此时点E落在上，，下列关于与描述正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】如图，过点A作于M，过点E作于N，则，证明四边形是矩形，可得，结合旋转可得，可得，，设，则，可得，结合，可得，再进一步分两种情况解答即可. 【详解】解：如图，过点A作于M，过点E作于N，则 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 而 ∴四边形是矩形， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转到的位置， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴，即，， ∴，故A，B错误； 当时， ∴，即，， ∴，故C正确，D错误； 故选：C． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线，分别交，于点E，F，连接和，若，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令交于，证明，证明，，，，可得，，可得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：令交于， 由作图可得：垂直平分， ，，，， 四边形为矩形， ，，，， ， ， ， ，， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图：为正方形的对角线上一点，四边形为矩形，若正方形的对角线的长为，则的长为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 先由勾股定理求出，根据矩形性质得，再证明是等腰直角三角形得，进而即可得出的长． 【详解】解：在正方形中，，，， 在中，由勾股定理得：， 正方形的对角线， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是_______； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)当，时，令，，，，，且，求T的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查二次根式的运算中的规律探究，解题的关键是得到： （1）根据题意，抽象概括出面积记为的正方形边长即可； （2）根据已有等式，推导出的结果，利用平方差公式法因式分解计算求证即可； （3）利用（2）中点的结论，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是； 故答案为： （2）解：猜想：， 证明： ； （3）解：当，时， 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 请先完成第题的填空，填写推理的依据，再完成第题的证明． (1)已知实数x，y满足，求证：． 证明：， ①______， ②______， ， ，， ，， ， ， ． (2)在三边长分别为a，b，的三角形中，利用的结论，求证： 【答案】(1)①不等式的基本性质1，②平方差公式 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、非负数的性质、三角形的三边关系、算术平方根、实数大小比较、不等式的性质，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，根据不等式的性质，及平方差公式即可判断得解； （2）依据题意，根据所给信息即可计算判断得解． 【详解】（1）解：由题意，， （①不等式的基本性质1）， （②平方差公式）， 故答案为：①不等式的基本性质1，②平方差公式． （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下面材料： ①计算：． ②化简：． 解：设，； ，； ，，且； ，； ； ． 完成下列问题： (1)计算： ； ； (2)解方程：； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的应用，完全平方公式的应用； （1）直接分母有理化化简，把化为再进一步化简即可； （2）设，，可得，，可得，再进一步求解即可； （3）设，可得，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：∵， 设，， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根． （3）解：∵①， 设②， ∴①②得，①②得， ∴③，④， ∴③④得， ③④得， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25八年级下·江苏南京·期末）海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 ____ 140 (1)根据海啸的行进速度公式，完成上表： (2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？ (3)下列关于海啸行进速度的描述： ①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大； ②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是； ③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小． 其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 【答案】(1)填表见解析 (2)60米 (3)①③ 【分析】本题主要考查二次根式的计算，解题的关键是根据题中的公式列式求解． （1）直接将代入速度公式，计算，完成表格填空． （2）设两处深度为、，根据公式，分别将和代入，通过列方程，解得、，作差得深度差值． （2）①分析速度公式是算术平方根函数，因被开方数增大时递增，故随增大而增大，判断正确；②设深度，代入公式化简得，与题目表述对比，发现计算和单位错误，判断错误；③将公式变形为，利用算术平方根函数“增速变缓”的性质，结合具体数值验证（越大，相同增量下增量越小），判断正确． 【详解】（1）解：当时： ， 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 70 140 （2）解：设两处海水深度为、，由得： 当时，， ， ； 当时，， ， ； 深度差值为米， （3）①：“随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大” 海啸速度公式为（，是常数）． 从函数角度看，是关于的算术平方根函数，形式为（，是正数）． 根据算术平方根函数的性质：当被开方数增大时，递增，因此也递增．． ∴随着海水深度增加，海啸速度必然逐渐增大，描述①正确． ②：“当海水的深度是的倍时，海啸的行进速度是” 设海水深度，代入速度公式： 化简： 而题目中表述为“”，描述②错误； ③：速度公式可变形为，其中是常数（记为），即． 从“函数的变化率”角度理解：算术平方根函数的增速趋势是逐渐变缓的．当较小时，增加，的增量较大；当很大时，同样增加，的增量会变小， 当时，； 当时，，增量； 当时，； 当时，，增量； 可见，越大，相同增量下的增量越小）． ∴描述③正确． 故答案为①③． 9．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）如图，已知，点A是射线上一点，点B，C在射线上，且，以为邻边在的内部作矩形． (1)请只用无刻度的直尺作的角平分线； (2)射线相交于点E，连接． ①求证：四边形是菱形； ②若，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了矩形的性质，三线合一定理，勾股定理，菱形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接交于P，作射线，则射线即为所求； （2）①由矩形的性质得到，由平行线的性质和角平分线的定义得到，则，再证明四边形是平行四边形，即可证明平行四边形是菱形；②由菱形的性质得到；由勾股定理得，则，设，则，，根据，得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接交于P，作射线，则射线即为所求； 由矩形的性质可得，由结合三线合一定理可得平分； （2）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴平行四边形是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 10．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则___________； (2)化简：___________；___________； (3)计算： 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（）根据阅读材料的方法进行求解即可； （）分母有理化即可得答案； （）将每个加数分母有理化后相加，再进行乘法运算即可； 本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，运用“对偶式”进行分母有理化． 【详解】（1）解：因为， 所以， 故答案为：； （2）解：； ； 故答案为：；； （3）解：原式 ． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二次根式 5大高频考点概览 考点01 二次根式有意义的条件 考点02 根据二次根式的性质化简 考点03 二次根式的运算（小题） 考点04 二次根式的计算与化简（解答题） 考点05 二次根式的综合运用 ( 江苏江苏 考点0 1 二次根式有意义的条件 ) 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若代数式有意义，则a的取值范围应是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）当时，下列式子没有意义的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若式子有意义，则实数x的值可能是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）已知，则的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）要使二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 6．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）若二次根式有意义，则x的取值范围为________． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若，则的值为________． ( 江苏 考点0 2 根据二次根式的性质化简 ) 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）实数x在数轴上对应点的位置如图所示，则可化简为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为_______． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）化简：____． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，化简：__________． 5．（24-25八年级下·江苏南京·期末）______． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）下列选项中，正确的是（  ） A． B．是最简二次根式 C． D． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·江苏常州·期末）下列各式中，最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算的结果是______． 14．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）化简：__________． 15．（24-25八年级下·江苏常州·期末）计算，则中的数是______． ( 江苏 考点0 3 二次根式的运算（小题） ) 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏常州·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）下列各式中，与为同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·江苏常州·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则_____ ． 13．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则______． 14．（24-25八年级下·江苏南京·期末）计算的结果是______． 15．（24-25八年级下·江苏常州·期末）计算：的结果是______． 16．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知与最简二次根式是同类二次根式，则___________． 17．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如果与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是_________． 18．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则__________． ( 江苏 考点0 4 二次根式的 计算与化简 （ 解答 题） ) 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）计算或化简： (1)； (2)． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算 (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 4．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）计算： (1)； (2)． 5．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）计算： (1) (2) 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 7．（24-25八年级下·江苏南京·期末）计算： (1)． (2)． 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2) 9．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 10．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 11．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）计算： (1)； (2)； 13．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）计算: (1) (2) 14．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 15．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）计算：． 16．（24-25八年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 17．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2)． 18．（24-25八年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 19．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）计算： (1) (2) ( 江苏 考点0 5 二次根式的综合运用 ) 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，该数列相邻前后两数，后一项与前一项的比值逐渐接近于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，此时点E落在上，，下列关于与描述正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线，分别交，于点E，F，连接和，若，则边的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图：为正方形的对角线上一点，四边形为矩形，若正方形的对角线的长为，则的长为______． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是_______； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)当，时，令，，，，，且，求T的值． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 请先完成第题的填空，填写推理的依据，再完成第题的证明． (1)已知实数x，y满足，求证：． 证明：， ①______， ②______， ， ，， ，， ， ， ． (2)在三边长分别为a，b，的三角形中，利用的结论，求证： 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下面材料： ①计算：． ②化简：． 解：设，； ，； ，，且； ，； ； ． 完成下列问题： (1)计算： ； ； (2)解方程：； (3)若，求的值． 8．（24-25八年级下·江苏南京·期末）海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 ____ 140 (1)根据海啸的行进速度公式，完成上表： (2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？ (3)下列关于海啸行进速度的描述： ①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大； ②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是； ③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小． 其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 9．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）如图，已知，点A是射线上一点，点B，C在射线上，且，以为邻边在的内部作矩形． (1)请只用无刻度的直尺作的角平分线； (2)射线相交于点E，连接． ①求证：四边形是菱形； ②若，则的长为________． 10．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则___________； (2)化简：___________；___________； (3)计算： 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $