专题06 正方形 4大高频考点（期末真题汇编，江苏专用）八年级数学下学期

**基本信息** 江苏多地八年级下期末正方形专题汇编，聚焦性质应用、判定及中位线定理，整合选择、填空、解答题，适配期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|题量丰富|性质应用（如南京折叠求最小值）、中位线（如南通四边形中点连线）|结合地方期末真题，注重动态几何与最值| |解答题|占比高|证明推理（如扬州动点探究）、判定（如镇江平行四边形证正方形）|多问分层设计，含跨考点综合题（如南通3问几何探究）|

专题06 正方形 4大高频考点概览 考点01 利用正方形的性质求解 考点02根据正方形的性质证明与推理 考点03 正方形的判定方法 考点04 中位线定理 ( 江苏江苏 考点0 1 利用正方形的性质求解 ) 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（    ） A．60° B．70° C．75° D．80° 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及直角三角形的角关系；掌握利用边相等转化为角相等，结合外角性质与直角三角形内角和进行角度推导是解题的关键．解题时通过正方形与等边三角形的边、角性质，结合等腰三角形判定及直角三角形角的关系，逐步推导即可得出所求角的度数． 【详解】如图，延长过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：． 2．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在边长为6的正方形中，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、交于点，由正方形的性质得，，，求得，，，则，作点关于直线的对称点，连接，由旋转得，，因为垂直平分，所以，则，所以，可证明，得，作于点，作交的延长线于点，可证明，得，因为四边形是矩形，所以，由，得，则线段的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、交于点， 四边形是边长为的正方形， ，，， ，，， ， 作点关于直线的对称点，连接， 把线段绕点逆时针旋转到线段， ，， 垂直平分， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 作于点，作交的延长线于点，则， 在和中， ， ， ， 点在经过点且与垂直的直线上运动， ， 四边形是矩形， ， ， ， 线段的最小值为， 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知，如图，在中，，以为边在异侧作正方形，过点E作，垂足为F，交于G，连接，则的周长等于（       ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握正方形的性质，以及全等三角形的判定方法和性质． 过点A作于点H，则四边形为矩形，通过证明，推出，进而得出，，再证明，得出，最后根据的周长，即可解答． 【详解】解：过点A作于点H， ∵在中， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：B． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正方形和正方形，点F，B，C在同一直线上，连接，M是的中点，连接，若，，则正方形的边长为（　　） A．1 B． C．1.5 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 延长交于点H，证明和全等得， ，则，在中，由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：延长交于点H，如图所示： ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴， ∵点M是的中点， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴， 在中， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴． ∴正方形的边长为． 故选：B． 5．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可． 【详解】解：连接， 由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3， 根据题意，得阴影部分的面积是， 故选：A． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，点在正方形的边上，延长至点，使，连接和，取的中点，连接并延长，与交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，先证明，得到是的垂直平分线，则，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵的中点为， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 设，则，， ∴在中，由勾股定理得 ∴， 解得：， ∴， 故答案为：。 7．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形纸片的边长为4，E是边的中点，F是边上一动点．将正方形纸片沿折叠，点C落在处，连接．当的长最小时，的长为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形三边关系， 根据可知点三点共线时，的长最小，再根据勾股定理求出，进而得出，设，可知，然后分别在和根据勾股定理可得，接下来代入数值可解． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴当点三点共线时，的长最小， ∵四边形是正方形，且点E是的中点， ∴，． 根据勾股定理，得， ∴． 根据折叠可得， 设，可知， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，已知正方形的对角线交于O，G是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是______． 【答案】 【分析】取的中点，则与关于对称，过点作，，交于点，连接，则四边形是平行四边形，，根据轴对称的性质可以得出，利用三角形三边关系可以得出，根据两点间的距离最短进一步得出，在中，根据勾股定理即可解此题． 本题主要考查了正方形的性质、勾股定理以及利用平移和对称求最值问题，关键在于通过平移和对称将所求线段和转化为两点之间的距离． 【详解】，解：四边形是正方形，， ， ， 是的中点， ， 取的中点，则与关于对称， ， 过点作，，交于点，连接， 四边形是平行四边形， ，， 在中，， 又点是上的动线段， ， 当点在一条直线上时，取最小值， ， , 在中，，，根据勾股定理， 最小值为， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，矩形的四个顶点恰好落在正方形的四条边上，且与正方形的对角线平行，若，则矩形的周长等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，设，则，证明是等腰直角三角形得，，再证明是等腰直角三角形得，由此即可得出矩形的周长． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴矩形的周长为：． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在轴负半轴、轴正半轴上，两点在第二象限内，过点作轴于点，交对角线于点，连接，若要求出的周长，则只需要知道的条件是______．从①点A的坐标；②点B的坐标；③点A，B的坐标这3个条件中，选一个填入填序号即可 【答案】② 【分析】此题主要考查了正方形的性质，点的坐标，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 过点C作轴于点H，设点A的坐标为，点B的坐标为，其中，，证明四边形是矩形得，，再证明和全等得，则，再证明和全等得，，则，，进而得，，继而得的周长为，由此即可得出答案． 【详解】解：过点C作轴于点H，如图所示： 设点A的坐标为，点B的坐标为，其中，， ，， 轴， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， 的周长为：， 若要求出的周长，则只需要知道的点B的坐标即可． 故答案为：②． 11．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为6，的面积为6，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形面积计算，过点E作于点H，先求出，得出，根据，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点E作于点H，如图所示： ∵正方形的边长为6， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，在正方形中，点是对角线上一点（点不与、重合），连接并延长交于点，过点作交于点，连接、，交于点，如果，，则__________． 【答案】3 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．连接，过点作于，于，则四边形为矩形，易证是等腰直角三角形，求出，证明，推出，，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于，于，如图所示： 则四边形为矩形， ，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ， ， ， 四边形为正方形， ，， 在和中，， ， ，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 故答案为：． ( 江苏 考点0 2 根据正方形的性质证明与推理 ) 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于点，过作于，连结．在下面四个结论中：；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①③ B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 连接，延长交于点，证明即可证明，由，即可证明①正确；如图，连接交于，可得 ，，证明，可得③正确，是动点，则是动点，的长度的变化的，可得的长度是变化的，可得④错误． 【详解】解：①连接，延长交于点，连接， 为正方形的对角线， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴，故②错误； ，， ，故①正确； ③如图，连接交于， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵是动点，则是动点，的长度的变化的， ∴的长度是变化的，故④错误； 综上：①③正确； 故选A． 2．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在正方形中，等边三角形的顶点、分别在和上，下列结论：①；②；③，其中正确的序号是______．(填写所有正确结论的序号) 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点．根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为判断②的正误；利用勾股定理解三角形求正方形的边长和面积可以判断③的正误． 【详解】解：①四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， 故结论①正确； ②，， ， 由①可知：， ， 在中，， 故结论②正确； ③过点作于点，设，如图所示： 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ， ， ， 故结论③正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图1，正方形的边长为4，连接，点为线段上任意一点（点不与，重合），过点作分别交于点．点为的中点，连接． (1)若，则________，________； (2)如图2，连接，．求证：且； (3)如图3，在（2）的条件下，设交于点，延长交于点，连接． ①探究之间的数量关系，并说明理由； ②若，则________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①，理由见解析；② 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 根据等腰直角三角形的性质得出； 可证得，从而，进而得出结论； 连接，延长至，使，可证得，从而，进而证得，从而，进一步得出结论； 设，则，，在中，由勾股定理得方程，求得的值，可证得． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ∴， ， 四边形是矩形，， ， ， 为的中点， ， ， 故答案为：； （2）证明：在正方形和矩形中， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）解：：如图， ，理由如下： 连接，延长至，使， 由知，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， 由知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，将正方形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）连接，交于点，根据正方形的性质得到，，，求得，根据菱形的判定定理得到平行四边形是菱形； （2）根据正方形的性质得到，设，根据勾股定理得到，解得，（舍，求得，，根据菱形的面积公式得到． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：连接，交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是正方形， ，， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得，（舍）， ， ，， 由（1）知四边形是菱形， ． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是 ； A．平行四边形      B．矩形     C．正方形    D．菱形 (2)如图1，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，求三角形的周长． 【答案】(1) (2)①四边形为“等补四边形”，理由见解析；② 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键． （1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）①连接，，推出，，得到，证明，得到，最后利用“等补四边形”的定义即可证明； ②将围绕点逆时针旋转到的位置，点对应点，则，，证明，再证，得出，即可求出的周长． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故答案为：D； （2）解：①四边形为“等补四边形”，理由： 如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴四边形是“等补四边形”． ②连接，由①知，为等腰直角三角形，则， 将围绕点逆时针旋转到的位置，点对应点，则，， 则， ，， ， ， 则的周长． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）（1）如图①，在中，，是边上的高．将，分别沿，翻折得到，．延长，交于点F． ①求证：四边形是正方形； ②若，则的周长为________． （2）已知正方形，直线与正方形相邻的两边都相交，且所截得的直角三角形的周长等于正方形周长的一半．求作：经过点P的一条直线． ①如图②，当点P在正方形的边上时； ②如图③，当点P在正方形的外部时． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1）①见解析；②12．（2）①见解析②见解析 【分析】（1）①根据折叠的全等性质，结合有一组邻边相等的矩形是正方形解答即可； ②根据三角形全等的性质，结合三角形的周长解答即可． （2）①根据（1）的证明，得到的周长为正方形周长的一半，以此作图即可； ②（a）以A为圆心，以为半径作；（b）连接，作的垂直平分线交于点O；（c）以O为圆心，以为半径作与交于点Q；作直线即可． 【详解】（1）①证明：根据折叠的性质，得， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． ②解：根据折叠的性质，得， ∴， ∴， ∵， ∴正方形的边长为6， ∴的周长为， 故答案为：12． （2）①解：当点P在正方形的边上时 根据（1）的证明，得到的周长为正方形周长的一半， 连接，再作，最后作的平分线， 作直线， 则直线即为所求的直线； ②解：当点P在正方形的外部时 （a）以A为圆心，以为半径作； （b）连接，作的垂直平分线交于点O； （c）以O为圆心，以为半径作与交于点Q； 作直线， 则直线即为所求直线．理由如下： 设直线与交于点G，交于点H， 根据作图，得， ∵， ∴， ∴， 同理可证，， 于是可得， 符合了问题1的条件，结论自然成立， 则即为所求． 7．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在正方形中，E为边上一点，以为边作正方形．过点B作，垂足为P，交于点H．连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再证明，即可． （2）先证明，得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）综合与探究 【问题情境】：数学活动课上，小明同学对正方形作如下探究：如图1，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，连接，过点F作的垂线，交边于点G上，他发现之间的存在着一定的数量关系．小明将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 【尝试初探】： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】： （2）如图3，在正形中，点E在边上，M，N分别在边上，连接，若，求线段的长． 【拓展探究】： （3）如图4，在正方形中，点E，F分别在边上，过点F作于点H，交边于点G，连接．若，请直接写出的最小值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接， 则．设与交于点．证明为等边三角形．得．，进而证明．得．从而即可得解； （2）过D作交于Q，连接；过D作交延长线于P；由平行线性质得，从而；由正方形性质证明，则有；再证明，则；由已知易得四边形是平行四边形，则有，从而求得；设，则，在中由勾股定理建立方程可求得x的值，再由勾股定理即可求得． （3）线段沿方向平移得到线段，则，，连接交于点，则，即．当，，三点共线时（即点在点的位置时），取得最小值．过点作的垂线，分别交，的延长线于点，，则．由问题情境可得，则．，证是等腰直角三角形．进而得从而即可得解． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接， 则．设与交于点． ． ． ∵四边形为菱形， ． ， 为等边三角形． ．， ． ． ∵， ． ． ； （2）解：如图，过D作交于Q，连接；过D作交延长线于P； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，； ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴； 设，则； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 在中，由勾股定理得； （）解：的最小值为． 如图，线段沿方向平移得到线段，则，，连接交于点，则，即．当，，三点共线时（即点在点的位置时），取得最小值．过点作的垂线，分别交，的延长线于点，，则． 由问题情境可得， ∴． ， ． 由勾股定理，得 ∵，， 是等腰直角三角形． ． 的最小值为． 9．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）市一中某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请认真阅读下面的探究片段，完成提出的问题．四边形是边长为3的正方形，点E是射线上的动点，，且交正方形外角的平分线于点F． 【探究1】当点E是中点时，如图1，发现，这需要证明与所在的两个三角形全等，但与显然不全等，考虑到点E是的中点，取的中点H，连接，证明与全等即可．（无需证明）          【探究2】（1）如图2，如果把“点E是的中点”改成“点E是边上（不与点B、C重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． （2）如图3，如果点E是边延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图形，并判断“”是否成立？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． 【探究3】（3）连接交直线于点I，连接，试探究线段，，之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论． 【探究4】（4）当时，此时的面积为________． 【答案】（1）成立，见解析 （2）成立，见解析 （3）或 （4）或 【分析】（1）在截取，使得，证明即可． （2）延长到点M，使得，证明即可． （3）延长到T，使得，连接，证明，接着再证明 即可得证；当点E在的延长线上时，在截取，使得，连接，利用勾股定理证明即可． （4）当点E在上，或当点E在的延长线上时，解答即可． 【详解】解：（1）在截取，使得， ∵正方形中， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵与正方形外角的平分线交于点． ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． （2）解：延长到点M，使得， ∵正方形中， ∴， ∴即， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵与正方形外角的平分线交于点． ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． （3）解：当点E在上时， 延长到T，使得，连接 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 当点E在的延长线上时， 在截取，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：当点E在上时， ∵，， ∴，， ， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点E在的延长线上时， ∵，， ∴，， ， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或． 10．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图，在正方形中，P是对角线上的点． (1)用无刻度的直尺和圆规，在边上作一点Q（不与B，C重合），使（不写作法，保留作图痕迹） (2)证明（1）中的作法是正确的； (3)若正方形的边长为2，一定存在（1）中的点Q，则的取值范围为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点P作的垂线，交于点Q即可； （2）连接，先证明，推出，，利用四边形内角和求出，结合，得到，进而推出，得到，易证是等腰直角三角形，即可证明； （3）连接交于点O，根据正方形的性质可得当点P与点O重合时，有最小值，此时点Q与点B重合，当点P与点D重合时，有最大值，此时点Q与点B重合，再结合点Q不与B，C重合，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，点Q为所求 （2）证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）解：连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 当点P与点O重合时，有最小值，此时点Q与点B重合， 则， ∴， 当点P与点D重合时，有最大值，此时点Q与点B重合， ∴， ∵点Q不与B，C重合， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． (1)下列选项中一定是“奇妙四边形”的是________； A．正方形    B．平行四边形    C．菱形    D．矩形 (2)如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与，重合），交于点，过作交于点． 判断四边形是否为“奇妙四边形，”并说明理由； 若四边形是“奇妙四边形”，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)A； (2)四边形是“奇妙四边形”，理由见解析； 或． 【分析】根据“奇妙四边形”的定义进行判断即可； 根据正方形的性质和垂直的定义可得：，根据四边形内角和定理和邻补角定义可证，根据正方形的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，等量代换可证，根据等角对等边可证，所以可证结论成立； 因为，所以四边形有一组对角互补，根据“奇妙四边形”的定义还需要有一组邻边相等，所以应分、、、四情况求解． 【详解】（1）解：正方形、矩形的四个角都是直角， 正方形、矩形都满足有一组对角互补， 只有正方形的四条边都相等， 正方形是“奇妙四边形”， 故选：A； （2）解：四边形是“奇妙四边形”， 理由如下： 如下图所示， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 四边形内角和为， ， 又， ， 四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 四边形是“奇妙四边形”； 解：四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形内角和为， ， 若四边形是“奇妙四边形”， 则需要有一组邻边相等， 当时， 如下图所示，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ， 由可知， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 如下图所示，过点作于M， 设， 由可知， ， ， 在中，， 是正方形的对角线， ， ， ， 解得：， ， ， ； 当时，则点是的中点， 则只有当点与点重合时成立， 故不符合题意； 当时， 如下图所示，连接， 在和中，， ， ， 同上； 如下图所示， 当时，则有是等腰直角三角形， ，， 在和中，， ， ， 把绕点顺时针旋转到的位置， ， 由可知， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ； 综上所述，的面积为或． 12．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，矩形中，，点在边运动，连接、，以为一边向左下方作正方形，请探究以下问题： (1)如图1，当为中点时，求线段的长度； (2)如图2，连接，取线段的中点，在运动过程中，点经过的轨迹长为_________； (3)如图3，连接交于点， ①随着点在边运动，的面积变化吗？如果不变，请求出的面积；如果变化，请说明理由； ②设，，试用含的代数式表示_________． 【答案】(1) (2) (3)①随着点在边运动，的面积；的面积为；② 【分析】（1）延长，过点F作于点M，证明，得出，，根据勾股定理求出； （2）取的中点N，连接、，，证明，说明平分，得出点M在的平分线上，当点E与点D重合时，点M在点，当点E与点A重合时，点M在点，分别求出，，根据勾股定理求出，即可得出答案； （3）①延长，过点G作于点M，证明，得出，求出三角形面积即可； ②根据，得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：延长，过点F作于点M，如图所示： 则， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点E为的中点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：取的中点N，连接、，，如图所示： ∵点M为的中点，正方形中，， ∴，， ∴， ∴， ∵点N为的中点，和为直角三角形， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴平分， ∴点M在的平分线上， 当点E与点D重合时，点M在点，当点E与点A重合时，点M在点，如图所示： ∵四边形为正方形，且此时正方形的边长为3， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴正方形的边长为5，对角线的长为， ∵点为正方形对角线的中点， ∴， 根据勾股定理得：， ∴在运动过程中，点经过的轨迹长为； （3）解：①随着点在边运动，的面积不变； 延长，过点G作于点M，如图所示： 则， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）【教材重现】以下是苏科版八（下）数学教材第94页第19题： 在正方形中： ①如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； ②如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 （1）如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交于．若正方形的边长为12，，则___________； 【继续探索】 （2）如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为19，则___________． 【答案】教材重现①见详解；②见详解（1）5；（2），理由见解析；（3） 【分析】教材重现：①由题意易得，则有，然后可知，进而问题可求解；②过点A作，则有四边形是平行四边形，然后同理可得，进而问题可求解； （1）连接，交于点K，由折叠的性质可知，同理可得，进而根据勾股定理可进行求解； （2）延长，交的延长线于点I，同理①可得：，然后通过证明，进而根据全等三角形的性质及直角三角形斜边中线定理可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后根据完全平方公式及线段的和差关系可进行求解． 【详解】教材重现：解：①，证明如下， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②，证明如下： 过点A作，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 同理①可得：， ∴； （1）连接，交于点K，如图所示： 由折叠的性质可知：， 同理②可得：， 在正方形中，， ∴； 故答案为5； （2）延长，交的延长线于点I，如图所示： 同理①可得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点D为的中点， ∵， ∴， ∴； （3）同理①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：（负根舍去）； 故答案为． ( 江苏 考点0 3 正方形的判定方法 ) 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．当时，它是矩形 B．当时，它是正方形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊四边形的判定方法，根据矩形、菱形、正方形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边是菱形，故不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是菱形 C．当时，平行四边形是矩形 D．当时，平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握各种特殊的平行四边形的判定方法是解题关键． 根据菱形、矩形、正方形的判定条件逐一分析选项即可． 【详解】解：如图， A. 当时，平行四边形邻边相等，符合菱形的定义，即有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此选项正确； B. 当时，平行四边形的对角线互相垂直，符合菱形的判定，即对角线垂直的平行四边形是菱形，此选项正确； C. 当时，平行四边形的对角线相等，符合矩形的判定，即对角线相等的平行四边形是矩形，此选项正确； D. 当时，平行四边形有一个角为直角，仅能判定为矩形，判定为正方形需同时满足邻边相等且一个角为直角，或对角线相等且垂直，此处条件不足，此选项错误，但符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求正方形的边长； (3)点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为， ①求的长为_______； ②正方形的面积的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）过E作于M，于N，证明四边形是矩形，得到，进而得到，证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）先证明得到，过G作于H，则是等腰三角形，进而可得，，在中，利用勾股定理求得即可求解； （3）①作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接，此时值最小，最小值为的长，则，由轴对称性质得到，则，利用勾股定理求解即可；在中，由得， ②利用垂线段最短知，当时，取得最小值，此时正方形的面积最小，进而求解的最小值即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作于M，于N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，则， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； （2）解：如图，过G作于H， ∵四边形为正方形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过G作于H，则是等腰三角形，又， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的边长为； （3）解：①∵， ∴点E关于的对称点P在上，， 作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接， 此时值最小，最小值为的长，则， 由轴对称性质得，则， 在中，由得， 解得（负值已舍去）， 故答案为：； ②在中，，则， ∵点E为上一点， ∴当时，取得最小值， ∵，， ∴的最小值为， ∵是正方形的边长， ∴正方形的面积的最小为， 故答案为：4． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在中，为对角线的交点，点为上的一动点，将射线绕点逆时针旋转交于点． (1)如图1，在平面直角坐标系中，对角线、分别在轴、轴上，若，，，则点的坐标为________，的长为________； (2)如图2，若是矩形，连接，探究、与的数量关系，并证明； (3)如图3，若是正方形，连接，点O关于直线的对称点为P，连接，若的长为4，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）可判定是菱形和是等边三角形，进而求得的长，从而得出点坐标；可证得，从而得出结果； （2）连接，延长，交于，连接，可证得，从而，，进而垂直平分线的性质得出，进一步得出结果； （3）作于H，于W，作于G，可证得，从而得出，进而证得矩形是正方形，从而得出，可证得，从而，，进而得出，从而得出点P在与成的直线上运动，延长至R，使，作于V，连接，交直线于，当点P在处时，最小，最小值是的长度，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解： 四边形是平行四边形， ， 对角线、分别在轴、轴上， ， 是菱形， ，， ， 是等边三角形， ， ， 射线绕点逆时针旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． （2）， 证明：如图，连接，延长，交于，连接， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ，， ， ， ， ； （3）解：如图， 作于H，于W，作于G，连接 ∴， ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴，四边形是矩形， ∴矩形正方形，， ∴ ∵射线绕点O逆时针旋转交于点F， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵O和P关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点P在与成的直线上运动， 延长至R，使，作于V，连接，交直线于， 当点P在处时，最小， ∵ ∴最小，最小值是的长度， 可得， ∵ ∴ ∴ ∴（负值已舍去） 解得 在中， ∴最小值为． 5．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图①，在四边形的四边上依次取点E，F，G，H（不与顶点重合），若四边形是正方形，则称正方形是四边形的内接正方形． (1)如图②，四边形是正方形，．求证：四边形是四边形的内接正方形． (2)如图③，四边形是平行四边形． （Ⅰ）求作的内接正方形； 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （Ⅱ）若，，，则内接正方形的边长为______． 【答案】(1)详见解析 (2)（Ⅰ）图见解析（答案不唯一）；（Ⅱ） 【分析】（1）利用正方形性质证明，同理，可得，推出四边形是菱形，再利用全等三角形性质推出，即可证明四边形是四边形的内接正方形． （2）（Ⅰ）利用正方形判定定理，以及全等三角形性质和判定作图即可； （Ⅱ）根据题意证明，得到，，设，连接，过点作于点，证明四边形为矩形，进而证明四边形为矩形，结合勾股定理，以及等腰三角形性质求出，进而得到，，再根据建立方程求出，最后结合勾股定理即可解题。 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． ， ，即． ， ． 同理，可得， 四边形是菱形． ， ． 在中，， ， ， 菱形是正方形， 即四边形是四边形的内接正方形． （2）解：（Ⅰ）如图③，正方形即为所求． 方法一：                                            方法二：                  文字说明： 方法一：1．连接，交于点O；构造与共中心的正方形，顶点分别在直线，上，，分别与，交于点E，G； 2．在，上分别截取F，H，使，； 3．连接，，，即为正方形． 方法二：1．连接，交于点O； 2．过O作，垂足为P； 3．过O作，且； 4．过Q作，交于点E； 5．在上截取； 6．连接，并延长，分别交，于点G，F，连接，，，．（方法不唯一，也可在上适当位置取点P，作图依次按，，，确定点E，H后，作出正方形即可．） （Ⅱ）解：的内接正方形为， ，， ， ， ， ，， 由作图过程可知，， 设， 连接，过点作于点， ， 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ，，， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得， 则正方形边长为． 故答案为：． ( 江苏 考点0 4 中位线定理 ) 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形中，，连接，，取的中点，的中点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、三角形中位线定理，熟记三角形中位线平行于第三边是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，根据等边三角形的性质得到，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：在中，， 则， 在中，点是的中点， 则， 为等边三角形， ， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，菱形中，E，F分别是边上的动点（E，F不与菱形的顶点重合），连接，G，H分别为的中点，连接．若，的最小值是，则菱形的边长是（　　） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，垂线段最短，三角形中位线定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 根据三角形中位线定理得，当时，有最小值，此时也是最小，利用菱形的性质求出，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵G，H分别为的中点， ∴， ∴当时，有最小值，此时有最小值， ∴此时， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平行四边形中，，，，点F在边上运动，连接，若H是的中点，E为边的中点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】作点A关于直线的对称点L，连接交于点P，连接，则，由平行四边形的性质得，因为，所以，则，求得，则，所以，由，得，因为H是的中点，E为边的中点，所以，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作点A关于直线的对称点L，连接交于点P，连接， 由对称性质得垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵H是的中点，E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，已知不共线三点A，B，C，点D是平面内的动点，线段，，，的中点分别为M，N，P，Q．下列关于四边形的说法正确的是：（   ） ①存在无数个平行四边形；    ②存在无数个菱形； ③存在无数个矩形；    ④存在两个正方形． A．① B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，由此即可判断，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：平面内任意取一点D，与点A，点B，点C构成四边形，连接，，如图， ∵M、N、P、Q分别是，，，的中点， ，，，，，，，， ，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴存在无数个四边形是平行四边形，故①正确； 当时，即以点B为圆心，的长为半径画圆，在圆弧上任取一点D（不与三点A，B，C中两点共线），如图， 同上得，， 则有， ∴四边形是菱形， ∴存在无数个四边形是菱形，故②正确； 当时，即过点作垂线，为垂线上任一点（不与三点A，B，C中两点共线）时，如图， 同上得，， ∴， 即， ∴四边形是矩形， ∴存在无数个四边形是矩形，故③正确； d当且仅当，时，即，时，中点四边形才是正方形，即点必须在以点B为圆心，的长为半径的圆上，且在过点作的垂线上，这样的点D在左侧，右侧各一个共有2个，如图， 故存在两个四边形是正方形， 故④正确． 故选：D． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，，，D，E分别是，的中点，平分，交于点F，则的长是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线定理，角平分线定义，等腰直角三角形，关键是由三角形中位线定理推出，由等角对等边得到． 由等腰直角三角形的性质求出，由三角形中位线定理推出，，由角平分线定义和平行线的性质推出，求出，即可得到EF的长． 【详解】解：∵中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，是的边上的动点，，，分别是，，的中点，连接．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线定理，勾股定理，解题的关键是正确画出辅助线，掌握三角形的中位线等于第三边的一半．连接，过作，根据，分别是，的中点得到，由平行四边形性质可得，，，可得，得到，即可得到，则根据勾股定理可得的长度，进而可得，即可解答． 【详解】解：连接，过作， ∵，分别是，的中点， ∴， ∵在中，，，， ∴，，， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在四边形中，，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，平行四边形和矩形的定义等知识点，画出图形、利用三角形的中位线推理证明是解题的关键． 连接、、、的中点、、、，根据三角形的中位线定理，得出，，，，求出、的长，推出，，根据平行四边形和矩形的定义证明四边形是矩形，根据矩形的面积，计算得出答案即可． 【详解】解：如图，、、、分别为、、、的中点，连接点、、、， ∴，，，，，（三角形的中位线定理）， ∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， ∴矩形的面积． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在正方形中，，O、E、F、分别为、、、的中点，则的长等于______． 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 本题考查的是正方形的性质，三角形中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，掌握勾股定理、三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 四边形为正方形， ，， 是的中点， ， 由勾股定理得：， 在中，F是的中点， 则， 、M分别为、的中点， 是的中位线， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图，已知点、、、分别是四边形四边的中点，当对角线、满足条件______时，四边形是正方形． 【答案】， 【分析】本题考查了中位线定理，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定得到四边形为平行四边形，再根据菱形的判定、正方形的判定解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点、、、分别是四边形四边的中点， ∴、、分别为、、的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 当时，， ∴平行四边形为菱形， 当时，， ∴菱形为正方形， 故答案为：，． 10．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，点G在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，M、N分别是的中点，连接．若，则_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形中位线的定义及性质、勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解答本题的关键． 如图：连接，在中利用勾股定理求出的长，然后在中利用三角形中位线定理求出的长即可． 【详解】解：如图：连接，    ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在中，， ∵M、N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在菱形中，，为边上一点，．点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若最小值为，则菱形的边长为___________． 【答案】 【分析】连接，延长交于点，连接．证明是的中位线，再利用垂线段最短解决问题． 【详解】解：连接，延长交于点，连接。 四边形是菱形，， ，， ，都是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， 当时，的值最小，此时， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在锐角中，，分别以和为边向外作等边和等边、分别为和的中点．当时，______． 【答案】5 【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，等边三角形的性质，连接，根据等边三角形的性质证明，利用勾股定理求出，再根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵等边和等边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵F、G分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：5． 13．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在矩形中，E、F分别为的中点，若，则________． 【答案】8 【分析】根据三角形中位线定理，得，根据矩形的性质，得，故，解答即可． 本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵E、F分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 14．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，对称的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，确定为最大值时点C的位置是解题的关键．作点A关于x轴的对称点，连接，根据中位线的性质得到，当点在延长线时，有最大值，求出，即可的出的最大值，进而得到结果． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接， 则点B是的中点， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，最大， ∵点C为坐标平面内一点，且， 当点在延长线时，有最大值， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形中，，，E，F，分别为的中点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，根据三角形中位线定理求出、是解题的关键．连接，取的中点H，连接、，根据三角形中位线定理求出、，根据三角形的三边关系计算即可． 【详解】解：连接，取的中点H，连接、， ∵，，，， ∴， 同理，， 在中，，即， 当时，在上，此时； 当在直线时，在上，此时 故答案为：． 16．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，、分别是、的中点．若，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线及勾股定理，连接，由分别是的中点，可知，再证明，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又 ∵， ，即， ∴在中，由勾股定理得， ， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）如图，在四边形中，，分别是各边中点，则四边形的周长是________． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线的性质． 根据三角形中位线定理可知，所求四边形的边长，等于的一半，，等于的一半，从而求得四边形的周长． 【详解】解：∵四边形中，分别是边的中点， ∴， ∵，， ∴四边形的周长为：． 故答案为：． 18．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在菱形中，、分别是边、上的动点（点、均不与点重合），连接分别是的中点，连接．若，则的最小值是_____ 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，连接，由菱形的性质可得，由三角形中位线定理可得，当时，最小，也最小，则，再求出 ，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当时，最小，也最小，则， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 19．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，顺次连接“垂美四边形”各边中点所得的四边形是________． 【答案】矩形 【分析】本题考查了矩形的判定方法、三角形中位线定理，由三角形中位线的性质得出四边形是平行四边形，证明出四边形是矩形，得出，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，，点、、、分别为各边的中点，连接、、、， ， ∵点、、、分别为各边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， 故答案为：矩形． 20．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在四边形中，，点分别为的中点，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．根据已知条件推出是直角三角形是解题的关键．如图，取边的中点，连接、．根据三角形中位线定理易求、的长度，并且，所以在直角中，利用勾股定理来求的长度． 【详解】解：如图，取边的中点，连接、． ，分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， 又，， ，，， 在直角中，由用勾股定理，得 ． 故答案为：． 21．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，将△绕点逆时针旋转． (1)画出旋转后的三角形，并写出点的对应点的坐标； (2)连接的中点与旋转后的对应点，求的长． 【答案】(1)，图见解析 (2) 【分析】本题考查作图旋转变换、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、三角形中位线定理是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）连接，由题意得为的中位线，则，利用勾股定理求出的长，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的对应点的坐标为． （2）连接， 点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ． 由勾股定理得，， ． 22．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在矩形中，与交于点，点是的中点，连接交于点，延长至G，使，连接，，． (1)求证：； (2)当点E是的中点，时，判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质与定理是解答本题的关键． （1）利用矩形性质得到，结合，可得到为的中位线，即可得到结论； （2）利用平行线的性质先证明，可证得四边形是平行四边形，结合且，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， 又， 为的中位线， 即； （2）由（1）可知，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 且， ， ∵为的中点， 四边形是矩形． 23．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）（1）问题发现 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，过对称中心的直线平分平行四边形的面积．如图1，在中，点是对称中心，经过点，交于点，交于点，请证明：平分的面积； 我们还可以发现：若直线平分的面积，则经过的对称中心且． （2）结论应用 如图2，菱形的边长为，面积为，点是上一点，且，过点的直线与交于点．若平分菱形的面积，则四边形的周长为__________； （3）问题解决 旅游度假区在一块矩形草地上进行旅游功能区规划工作，如图3，在矩形草地中，，过点的直线将矩形的面积平分为两部分，左侧为休闲住宿区，右侧为活动娱乐区，现规划在左侧休闲住宿区域内搭建帐篷，顶点在矩形内，且到、的距离相等，直线过点，分别交、于点、，，求出此时的长，并直接写出的面积为__________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），平方米． 【分析】（）由四边形是平行四边形 则，故有，，证明，所以，然后通过面积和差即可； （）过作于点，过作于点，则，证明四边形是矩形，则有，又菱形的边长为，面积为，即，所以，然后通过勾股定理分别求出，，从而求解； （）连接交于点，取中点，连接，交于点，延长交于点，则，由、为、的中点，故有，， ，由勾股定理得，，通过，则，证明，所以，，，的面积为平方米． 【详解】解：（）∵四边形是平行四边形 ， ∴， ∴，， ∵、交于点，为对称中心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ，即平分的面积； （）过作于点，过作于点，则， ∵平分菱形的面积， ∴经过菱形的对称中心且， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵菱形的边长为，面积为， ∴， ∴， 在中由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴四边形的周长为 ， 故答案为：； （）连接交于点， 由题意可知，， 取中点，连接，交于点，延长交于点， 则， ∵、为、的中点， ∴，， ∴， ∵点到、的距离相等 ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平方米）， ∴的面积为平方米． 24．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在直角三角形纸片中，，，．点是射线上的动点（点不与点重合）.现将三角形纸片进行以下操作： 第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕； 第二步：将△沿折痕展开，连接，然后将△沿直线翻折得到△，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点． (1)折痕的长为 ； (2)△沿直线翻折至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)△翻折至图2所示位置，直线经过点时，求的长． (4)在点的运动过程中，连接，则的取值范围是 ． 【答案】(1)6 (2)相等，见解析 (3) (4) 【分析】（1）由折叠可知，，再证是的中位线，即可得出结论； （2）连接，由折叠知，，，再证，即可得出结论； （3）由折叠的性质和等腰三角形的性质得，则，设，然后在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题； （4）连接，则，当、、三点共线，且点F在线段上时，，此时最小，由直角三角形的性质得，即可求得最小值为4；当、、三点共线，且点F在延长线上时，，此时最大，即可求得最大值为16；即可解决问题． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：，， ， ， 又，， ， ， ， 是的中位线， （2）解：，证明如下： 如图，连接， 由折叠的性质得：，， 在和中， ， ∴， ； （3）解：如图，连接， 由折叠知：，， ， ， 又， ， ， ， 设， 在中，， 即， 解得：， ； （4）解：∵，，， ∴ 如图， 则， 当、、三点共线，且点F在线段上时，， 此时的值最小，最小， ，， ， ， 的最小值， 当、、三点共线，且点F在延长线上时， ， 此时，最大， ∴， ∴． 1 / 98 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 正方形 4大高频考点概览 考点01 利用正方形的性质求解 考点02根据正方形的性质证明与推理 考点03 正方形的判定方法 考点04 中位线定理 ( 江苏江苏 考点0 1 利用正方形的性质求解 ) 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（    ） A．60° B．70° C．75° D．80° 2．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在边长为6的正方形中，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知，如图，在中，，以为边在异侧作正方形，过点E作，垂足为F，交于G，连接，则的周长等于（       ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正方形和正方形，点F，B，C在同一直线上，连接，M是的中点，连接，若，，则正方形的边长为（　　） A．1 B． C．1.5 D． 5．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，点在正方形的边上，延长至点，使，连接和，取的中点，连接并延长，与交于点．若，，则的长为______． 7．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形纸片的边长为4，E是边的中点，F是边上一动点．将正方形纸片沿折叠，点C落在处，连接．当的长最小时，的长为______． 8．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，已知正方形的对角线交于O，G是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是______． 9．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，矩形的四个顶点恰好落在正方形的四条边上，且与正方形的对角线平行，若，则矩形的周长等于______． 10．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在轴负半轴、轴正半轴上，两点在第二象限内，过点作轴于点，交对角线于点，连接，若要求出的周长，则只需要知道的条件是______．从①点A的坐标；②点B的坐标；③点A，B的坐标这3个条件中，选一个填入填序号即可 11．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为6，的面积为6，则的长为_______． 12．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，在正方形中，点是对角线上一点（点不与、重合），连接并延长交于点，过点作交于点，连接、，交于点，如果，，则__________． ( 江苏 考点0 2 根据正方形的性质证明与推理 ) 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于点，过作于，连结．在下面四个结论中：；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①③ B．③④ C．②③ D．②④ 第1题 第2题 2．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在正方形中，等边三角形的顶点、分别在和上，下列结论：①；②；③，其中正确的序号是______．(填写所有正确结论的序号) 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图1，正方形的边长为4，连接，点为线段上任意一点（点不与，重合），过点作分别交于点．点为的中点，连接． (1)若，则________，________； (2)如图2，连接，．求证：且； (3)如图3，在（2）的条件下，设交于点，延长交于点，连接． ①探究之间的数量关系，并说明理由； ②若，则________． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，将正方形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求四边形的面积． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是 ； A．平行四边形      B．矩形     C．正方形    D．菱形 (2)如图1，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，求三角形的周长． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）（1）如图①，在中，，是边上的高．将，分别沿，翻折得到，．延长，交于点F． ①求证：四边形是正方形； ②若，则的周长为________． （2）已知正方形，直线与正方形相邻的两边都相交，且所截得的直角三角形的周长等于正方形周长的一半．求作：经过点P的一条直线． ①如图②，当点P在正方形的边上时； ②如图③，当点P在正方形的外部时． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 7．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在正方形中，E为边上一点，以为边作正方形．过点B作，垂足为P，交于点H．连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，则________． 8．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）综合与探究 【问题情境】：数学活动课上，小明同学对正方形作如下探究：如图1，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，连接，过点F作的垂线，交边于点G上，他发现之间的存在着一定的数量关系．小明将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 【尝试初探】： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】： （2）如图3，在正形中，点E在边上，M，N分别在边上，连接，若，求线段的长． 【拓展探究】： （3）如图4，在正方形中，点E，F分别在边上，过点F作于点H，交边于点G，连接．若，请直接写出的最小值． 9．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）市一中某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请认真阅读下面的探究片段，完成提出的问题．四边形是边长为3的正方形，点E是射线上的动点，，且交正方形外角的平分线于点F． 【探究1】当点E是中点时，如图1，发现，这需要证明与所在的两个三角形全等，但与显然不全等，考虑到点E是的中点，取的中点H，连接，证明与全等即可．（无需证明） 【探究2】（1）如图2，如果把“点E是的中点”改成“点E是边上（不与点B、C重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． （2）如图3，如果点E是边延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图形，并判断“”是否成立？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． 【探究3】（3）连接交直线于点I，连接，试探究线段，，之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论． 【探究4】（4）当时，此时的面积为________． 10．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图，在正方形中，P是对角线上的点． (1)用无刻度的直尺和圆规，在边上作一点Q（不与B，C重合），使（不写作法，保留作图痕迹） (2)证明（1）中的作法是正确的； (3)若正方形的边长为2，一定存在（1）中的点Q，则的取值范围为______． 11．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． (1)下列选项中一定是“奇妙四边形”的是________； A．正方形    B．平行四边形    C．菱形    D．矩形 (2)如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与，重合），交于点，过作交于点． 判断四边形是否为“奇妙四边形，”并说明理由； 若四边形是“奇妙四边形”，连接，请直接写出的面积． 12．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，矩形中，，点在边运动，连接、，以为一边向左下方作正方形，请探究以下问题： (1)如图1，当为中点时，求线段的长度； (2)如图2，连接，取线段的中点，在运动过程中，点经过的轨迹长为_________； (3)如图3，连接交于点， ①随着点在边运动，的面积变化吗？如果不变，请求出的面积；如果变化，请说明理由； ②设，，试用含的代数式表示_________． 13．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）【教材重现】以下是苏科版八（下）数学教材第94页第19题： 在正方形中： ①如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； ②如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 （1）如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交于．若正方形的边长为12，，则___________； 【继续探索】 （2）如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为19，则___________． ( 江苏 考点0 3 正方形的判定方法 ) 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．当时，它是矩形 B．当时，它是正方形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是菱形 C．当时，平行四边形是矩形 D．当时，平行四边形是正方形 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求正方形的边长； (3)点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为， ①求的长为_______； ②正方形的面积的最小值为_______． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在中，为对角线的交点，点为上的一动点，将射线绕点逆时针旋转交于点． (1)如图1，在平面直角坐标系中，对角线、分别在轴、轴上，若，，，则点的坐标为________，的长为________； (2)如图2，若是矩形，连接，探究、与的数量关系，并证明； (3)如图3，若是正方形，连接，点O关于直线的对称点为P，连接，若的长为4，直接写出的最小值． 5．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图①，在四边形的四边上依次取点E，F，G，H（不与顶点重合），若四边形是正方形，则称正方形是四边形的内接正方形． (1)如图②，四边形是正方形，．求证：四边形是四边形的内接正方形． (2)如图③，四边形是平行四边形． （Ⅰ）求作的内接正方形； 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （Ⅱ）若，，，则内接正方形的边长为______． ( 江苏 考点0 4 中位线定理 ) 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形中，，连接，，取的中点，的中点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，菱形中，E，F分别是边上的动点（E，F不与菱形的顶点重合），连接，G，H分别为的中点，连接．若，的最小值是，则菱形的边长是（　　） A． B． C．6 D．3 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平行四边形中，，，，点F在边上运动，连接，若H是的中点，E为边的中点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 4．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，已知不共线三点A，B，C，点D是平面内的动点，线段，，，的中点分别为M，N，P，Q．下列关于四边形的说法正确的是：（   ） ①存在无数个平行四边形；    ②存在无数个菱形； ③存在无数个矩形；    ④存在两个正方形． A．① B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 5．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，，，D，E分别是，的中点，平分，交于点F，则的长是（   ） A．2 B． C． D． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，是的边上的动点，，，分别是，，的中点，连接．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在四边形中，，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在正方形中，，O、E、F、分别为、、、的中点，则的长等于______． 9．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图，已知点、、、分别是四边形四边的中点，当对角线、满足条件______时，四边形是正方形． 10．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，点G在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，M、N分别是的中点，连接．若，则_______． 11．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在菱形中，，为边上一点，．点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若最小值为，则菱形的边长为___________． 12．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在锐角中，，分别以和为边向外作等边和等边、分别为和的中点．当时，______． 13．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在矩形中，E、F分别为的中点，若，则________． 14．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最大值为_________． 15．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形中，，，E，F，分别为的中点，则的取值范围是_______． 16．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，、分别是、的中点．若，，，则的长为__________． 17．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）如图，在四边形中，，分别是各边中点，则四边形的周长是________． 18．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在菱形中，、分别是边、上的动点（点、均不与点重合），连接分别是的中点，连接．若，则的最小值是_____ 19．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，顺次连接“垂美四边形”各边中点所得的四边形是________． 20．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在四边形中，，点分别为的中点，则___________． 21．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，将△绕点逆时针旋转． (1)画出旋转后的三角形，并写出点的对应点的坐标； (2)连接的中点与旋转后的对应点，求的长． 22．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在矩形中，与交于点，点是的中点，连接交于点，延长至G，使，连接，，． (1)求证：； (2)当点E是的中点，时，判断四边形的形状，并证明． 23．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）（1）问题发现 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，过对称中心的直线平分平行四边形的面积．如图1，在中，点是对称中心，经过点，交于点，交于点，请证明：平分的面积； 我们还可以发现：若直线平分的面积，则经过的对称中心且． （2）结论应用 如图2，菱形的边长为，面积为，点是上一点，且，过点的直线与交于点．若平分菱形的面积，则四边形的周长为__________； （3）问题解决 旅游度假区在一块矩形草地上进行旅游功能区规划工作，如图3，在矩形草地中，，过点的直线将矩形的面积平分为两部分，左侧为休闲住宿区，右侧为活动娱乐区，现规划在左侧休闲住宿区域内搭建帐篷，顶点在矩形内，且到、的距离相等，直线过点，分别交、于点、，，求出此时的长，并直接写出的面积为__________． 24．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在直角三角形纸片中，，，．点是射线上的动点（点不与点重合）.现将三角形纸片进行以下操作： 第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕； 第二步：将△沿折痕展开，连接，然后将△沿直线翻折得到△，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点． (1)折痕的长为 ； (2)△沿直线翻折至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)△翻折至图2所示位置，直线经过点时，求的长． (4)在点的运动过程中，连接，则的取值范围是 ． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $