第10章 分式—— 分式性质与加减--综合训练 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 以分式性质与加减运算为核心，通过分离常数法等方法提炼，构建从概念到应用的递进式知识逻辑，培养运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式性质|选择1-8、填空10-12|分式值变化规律、值为零条件|从基本性质到变形应用| |分式运算|填空13-16、解答24-25|通分约分、最简分式判断|从加减法则到化简技巧| |综合应用|例题3-9、解答19-23|分离常数法、作差比较法|从数学建模到逻辑推理|

八下数学10.2 10.3分式性质与加减综合训练 1．下列分式中，与相等的是（　　） A． B． C． D． 2．如果把分式中的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 3．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（　　） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 4．把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值（　　） A．不变B．扩大2倍 C．缩小为原来的 D．扩大4倍 5．分式与的最简公分母是（　　） A．4m2 B．4m3 C．8m2 D．8m3 6．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 无意义 * 无意义 * … A． B． C． D． 7．若分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（　　） A．3 B．3x+3 C．xy D．x+y 8．下列说法正确的是（　　） A．根据分式的基本性质，可化为 B．分式是最简分式 C．若分式有意义，则x＞0 D．若，则x＝±3 9．计算：　 　 ． 10．当x＝　 　 时，分式值为零． 11．已知3，则的值是 　 　 ． 12．，求的值 　 　 ． 13．与的最简公分母是 　 　 ． 14．下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有　 　 个． 15．定义：若两个分式A与B满足：|A﹣B|＝3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式　 　 ． 16．不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 　 　 ． 17．已知，则代数式的值为 　 　 ． 18．照相机成像应用了一个重要原理，用公式（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝　 　 ． 19．将下列分式约分 （1）； （2）； （3）； （4）． 【例题】 1.化简：①1． ② ． ③． 2.已知，x取哪些值时： （1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分式无意义． 3.已知：P＝x+2，． （1）当x＝1时，计算P﹣Q的值； （2）当x＞0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由； （3）设，若x、y均为非零整数，求xy的值． （4）设y，求当x为非负整数时，y的整数值． 4．在一条河里，甲、乙两船从A港口同时同向逆流出发，分别航行1小时后立即原路返航，若甲船在静水中的速度为v1，乙船在静水中的速度为v2，水流速度为v0（v1＞v2＞v0＞0），甲、乙两船是否同时返回A港？为什么？ 5．已知a＞b＞0． （1）若m＞0，求证：； （2）若，，判断M与N的大小并证明． 6．已知a＜b＜0，试比较与的大小． 7．计算：． 8．对于正数x，规定f（x）＝． 例如：f（1）＝＝，f（2）＝＝，f（）＝＝． （1）求值：f（3）+f（）＝　 　；f（4）+f（）＝　 　． （2）猜想：f（x）+f（）＝　 　，并证明你的结论； （3）求f（2022）+f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…+f（）+f（）+f（）的值． 9．阅读材料： 在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行， 如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题： （1）将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式： ①　 　 ；②　 　 ； （2）利用分离常数法，求分式的最大值． （3）已知：P＝x+2，Q，设，若x，y均为非零整数，求xy的值． 【解答】解：与的最简公分母是4m2， 故选：A． 6．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 无意义 * 无意义 * … A． B． C． D． 【解答】解：观察表格可知，当x＝﹣2时，y＝0， 所以选项A、B、D符合题意， 当x＝±1时，y无意义，即分母为0， 所以只有选项D符合题意． 故选：D． 7．若分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（　　） A．3 B．3x+3 C．xy D．x+y 【解答】解：A、当A＝3时，， ∴分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变， 故A不符合题意； B、当A＝3x+3时，， ∴分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变， 故B不符合题意； C、当A＝xy时，， ∴分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变， 故C不符合题意； D、当A＝x+y时，， ∴分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变， 故D符合题意； 故选：D． 8．下列说法正确的是（　　） A．根据分式的基本性质，可化为 B．分式是最简分式 C．若分式有意义，则x＞0 D．若，则x＝±3 【解答】解：A．当m＝0时，由不能推出，故本选项不符合题意； B．分式是最简根式，故本选项符合题意； C．要使分式有意义，必须x﹣3≠0，即x≠3，故本选项不符合题意； D．∵0， ∴x2﹣9＝0且x+3≠0， ∴x＝3，故本选项不符合题意． 故选：B． 二．填空题（共10小题） 9．计算：　　 ． 【解答】解：原式， 故答案为：． 10．当x＝　﹣1　 时，分式值为零． 【解答】解：根据题意，得2x2﹣2＝0且3x﹣3≠0， 解得x＝﹣1， 故答案为：﹣1． 11．已知3，则的值是 　3　 ． 【解答】解：∵3， ∴b+a＝3ab． ∴ ＝3． 故答案为：3． 12．，求的值 　　 ． 【解答】解：∵， ∴x≠0， ∴ ； 故答案为：． 13．与的最简公分母是 　12x2y2 ． 【解答】解：与的最简公分母为12x2y2． 故答案为：12x2y2． 14．下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有　2　 个． 【解答】解：①是最简分式； ②，不是最简分式； ③，不是最简分式； ④是最简分式； 最简分式有①④，共2个； 故答案为：2． 15．定义：若两个分式A与B满足：|A﹣B|＝3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式　或　 ． 【解答】解：∵与互为“美妙分式”， ∴， ∵， ∴或， ∴3a2+ab＝3（a2﹣b2）或3a2+ab＝﹣3（a2﹣b2）， ∵a、b均为不等于0的实数， ∴①a＝﹣3b，②ab＝3b2﹣6a2， 把①代入， 把②代入， 综上：分式的值为或． 故答案为：或． 16．不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 　　 ． 【解答】解： 故答案为：． 17．已知，则代数式的值为 　　 ． 【解答】解：由条件可知n﹣m＝mn， ∴ ． 故答案为：． 18．照相机成像应用了一个重要原理，用公式（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝　　 ． 【解答】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 19．已知：P＝x+2，． （1）当x＝1时，计算P﹣Q的值； （2）当x＞0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由； （3）设，若x、y均为非零整数，求xy的值． 【解答】解：（1）当x＝1时， ， ∴P﹣Q的值为； （2）当x＞0时，P≥Q，理由如下： ∵ ， ∵•x＞0， ∴或 ， ∴当 x＞0且x≠2时，P＞Q， 当x＝2时，P＝Q， ∴当x＞0时，P≥Q； （3）∵，P＝x+2， ∴， ∵x、y均为非零整数， ∵x＝﹣1时，y＝3，则xy＝﹣3； x＝﹣3时，y＝﹣7，则xy＝21； x＝﹣7时，y＝﹣3，则xy＝21； x＝3时，y＝﹣1，则xy＝﹣3； 综上所述：xy的值为﹣3或21． 20．已知：P＝x+2，Q． （1）当x＝1时，P﹣Q的值为 　　 ； （2）当x＞0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由； （3）设y，求当x为非负整数时，y的整数值． 【解答】解：（1）当x＝1时，P＝1+2＝3，， ∴， 故答案为：； （2）x＞0时，P≥Q，理由如下： ∵P＝x+2，Q， ∴P﹣Q＝x+2 ， ∵x＞0， ∴x+2＞0，（x﹣2）2≥0， ∴P﹣Q0， ∴P≥Q； （3）∵P＝x+2，Q，y， ∴y ， ∵当x为非负整数时，y的值是整数， ∴当x＝0时，y2，当x＝6时，y0， 答：当x为非负整数时，y的整数值为0或2． 21．在一条河里，甲、乙两船从A港口同时同向逆流出发，分别航行1小时后立即原路返航，若甲船在静水中的速度为v1，乙船在静水中的速度为v2，水流速度为v0（v1＞v2＞v0＞0），甲、乙两船是否同时返回A港？为什么？ 【解答】解：甲、乙两船不同时返回A港． 理由：由题意得，甲船的返航时间为t1，乙船的返航时间为t2， ∴t1﹣t2， ∵v1＞v2＞v0＞0， ∴v1﹣v2＞0，v1+v0＞0，v2+v0＞0， ∴t1﹣t2＞0， ∴t1＞t2， ∴乙船先返回A港． 22．已知a＞b＞0． （1）若m＞0，求证：； （2）若，，判断M与N的大小并证明． 【解答】（1）证明：∵a＞b＞0，m＞0， ∴ 0， ∴； （2）M＜N． 证明：∵a＞b＞0， ∴0＜a+1＜a+b+1，0＜b+1＜a+b+1， ∴，， ∴， ∴M＜N． 23．已知a＜b＜0，试比较与的大小． 【解答】解：∵a＜b＜0，即|a|＞|b|， ∴a2＞b2＞0， ∴，， ∵a2＞b2＞0， ∴， ∴． 24．将下列分式约分 （1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 25．计算：． 【解答】解：原式 ． 26．阅读材料： 在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行， 第1页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $