专题11 期末压轴题 4大高频考点（解答题部分）（期末真题汇编，江苏专用）八年级数学下学期

**基本信息** 八下数学期末压轴题汇编，聚焦四边形证明与计算、网格尺规作图、分式材料阅读、二次根式推理4大高频考点，精选江苏多地期末真题，以综合解答题为主，突出几何动态探究与代数模型应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|57题/压轴题|四边形（正方形旋转、菱形折叠）、网格作图（中心对称图形绘制）、分式（欧拉公式应用）、二次根式（整数小数部分分析）|几何题设探究情境（如折叠操作），代数题融生活模型（糖水浓度），多问分层设计（从证明到拓展应用）|

专题11 八下数学期末压轴题（解答题部分） 4大高频考点概览 考点01 四边形计算与推理证明 考点02 网格作图与尺规作图 考点03 有关分式与分式方程材料阅读问题 考点04 二次根式的化简计算与推理 ( 江苏 考点01 四边形计算与推理证明 ) 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究． 动手操作： 第一步，画出等腰，使得． 第二步，作出关于对称的． 第三步，过点作的平行线，交直线于点． 第四步，分别以，为边作． 根据以上操作，甲，乙，丙三位同学各自作出了如下图所示的三个图形，并共同进行了探究．请你根据三位同学作出的图形解决下列问题． (1)直接写出图1中的度数； (2)图2，图3中均有．请就图2给出证明； (3)图3中．求出的长． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求正方形的边长； (3)点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为， ①求的长为_______； ②正方形的面积的最小值为_______． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图1，正方形的边长为4，连接，点为线段上任意一点（点不与，重合），过点作分别交于点．点为的中点，连接． (1)若，则________，________； (2)如图2，连接，．求证：且； (3)如图3，在（2）的条件下，设交于点，延长交于点，连接． ①探究之间的数量关系，并说明理由； ②若，则________． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）我们规定：如果一个四边形的对角线长度相等，则称该四边形为“等角线四边形”． (1)下列一定是“等角线四边形”的有_____（填写序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形； (2)如图①，四边形为“等角线四边形”，是的中点，若它的对角线可绕点旋转与重合，证明：； (3)如图②，四边形为“等角线四边形”，则它的对角线可绕点旋转与重合，请用无刻度的直尺和圆规作出满足条件的一个点（保留作图痕迹，并写出简要的作图步骤） 6．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在菱形中，，，连接，交于点． (1)求菱形的面积； (2)如图2，将菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形，点，，，的对应点分别为，，，． ①当点落在上时，判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，当平行于菱形ABCD一边时，求出的值； (3)在（2）的条件下，连接，当垂直于菱形的一边时，直接写出的长． 7．（24-25八年级下·江苏南京·期末）对于平面直角坐标系中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P、Q两点间距离的最小值为图形M、N间的“最近距离”，记作在中，点，，，． (1)点O，______． (2)若点P在y轴正半轴上，点P，，求点P的坐标； (3)若已知点，，，，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形 ①当时，直接写出的值； ②若，直接写出a的取值范围． 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H．求证：； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段AH的长______． 9．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 10．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）（1）问题发现 如图1，在正方形中，点P在边上，点Q在边上，且于点M．求证：； （2）类比探究 如图2，在矩形中，点P在边上，点Q在边上，且于点M．求证：； （3）拓展延伸 如图3，在中，，点P在边上，点Q在边上，，，连接交于点M，且．求的值． 11．（24-25八年级下·江苏南通·期末）综合与实践：八年级某学习小组围绕“菱形中的等线转化”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，在菱形中，交的延长线于点E，F为线段上的动点（不与点E重合），过的中点O作，交于点G，过点F作交的延长线于点H，连接． 【初步探索】 （1）小明发现：四边形是菱形．请证明小明发现的这个结论； 【猜想再探】 （2）如图2，当点F与点C重合时，小丽提出新问题：连接，能求的长吗？学习小组中的三位同学分别给出了思路： 小明：可以延长交于点M，得到，分别求出和的长，即可求出的长： 小华：可以延长交于点N，得到，分别求出和的长，即可求出的长； 小红：图2中有两个点之间的距离恰好与相等，把这两个点连起来，也能求出结果． 请判断小明和小华的思路能否求出的长，并尝试用小红所说的方法解决问题． 【综合应用】 （3）请解决小强提出的新问题：连接，在点F运动过程中，是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图1，正方形的边长为5，点E是边上一点，连接，将四边形沿直线折叠，点A、B的对应点分别为点N、M，的延长线与交于点F，与的延长线交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 13．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）综合与实践：数学老师带领学生探究矩形的旋转，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．如图1，四边形是一张矩形纸片，．先将边向上翻折，使与重合，折痕为（如图2），沿裁开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为． （1）如图3，小聪将矩形的顶点旋转至边上，连接交于点． ①则的长为______； ②求证：． （2）如图4，小明继续旋转矩形，他发现，当点落在的延长线上时，点C、A、在同一条直线上，小明的发现正确吗？请说明理由； （3）如图5，小红在小明的基础上继续探究，连接交于点，延长交的延长线与点，小红说她可以计算出的长，则______． 14．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是 ； A．平行四边形      B．矩形     C．正方形    D．菱形 (2)如图1，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，求三角形的周长． 15．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在三角形纸片中，．将三角形纸片沿过点的直线折叠，使翻折至处，折痕为交于点． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的长； (2)如图2，连接，四边形能否为菱形？若能，试确定点的位置；若不能，请说明理由； (3)如图3，当时，仅用圆规在图3中作出点（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值． 16．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）（1）如图1，在四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点． 请从①，②，③中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，构造出一个真命题并进行证明． 条件：___________，结论：___________．（填序号） 证明： （2）如图2，在矩形中，点为的中点，连接，，仅使用无刻度的直尺在右侧作出一点，并连接，使得四边形为平行四边形．（不写作法，保留作图痕迹） 17．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）综合与实践课中，小林同学以矩形中的对称性主题开展了研究性学习．已知在矩形中，点在对角线上，点在线段上，连接． 【问题探究】 当点、关于直线对称时． （1）如图1，当点落在线段上，且，则与满足的数量关系为______ （2）如图2，当点落在线段上． ①若，，且点恰好为的中点时，则______； ②当时，求证：四边形为菱形； （3）如图3，点落在延长线上时，平分，若，，则______； 【变式探究】 （4）小明同学也加入了此研究性学习，他将沿翻折得到，当点落在线段上时，若，则______ 18．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边上，且．将该纸片沿折叠，点A，B分别落在点G，H处，与边相交于点M，连接． (1)面积的最小值为______； (2)求证：； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的长． 19．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在矩形中，，点是边上一点． (1)如图1，当，时，求长； (2)如图2，连接，当，垂足为，点恰好是的中点时，求的值及的长． 20．（24-25八年级下·江苏南京·期末）（1）如图①，在中，，是边上的高．将，分别沿，翻折得到，．延长，交于点F． ①求证：四边形是正方形； ②若，则的周长为________． （2）已知正方形，直线与正方形相邻的两边都相交，且所截得的直角三角形的周长等于正方形周长的一半．求作：经过点P的一条直线． ①如图②，当点P在正方形的边上时； ②如图③，当点P在正方形的外部时． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 21．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为，直线分别交于点关于直线l的对称点为，且点恰好在上． (1)当点是中点时，的长为_____； (2)连接，交于点，连接，交于点． ①连接，求证； ②已知的面积为，求的长． 22．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）综合与探究 【问题情境】：数学活动课上，小明同学对正方形作如下探究：如图1，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，连接，过点F作的垂线，交边于点G上，他发现之间的存在着一定的数量关系．小明将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 【尝试初探】： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】： （2）如图3，在正形中，点E在边上，M，N分别在边上，连接，若，求线段的长． 【拓展探究】： （3）如图4，在正方形中，点E，F分别在边上，过点F作于点H，交边于点G，连接．若，请直接写出的最小值． 23．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）【教材重现】以下是苏科版八（下）数学教材第94页第19题： 在正方形中： ①如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； ②如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 （1）如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交于．若正方形的边长为12，，则___________； 【继续探索】 （2）如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为19，则___________． 24．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）市一中某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请认真阅读下面的探究片段，完成提出的问题．四边形是边长为3的正方形，点E是射线上的动点，，且交正方形外角的平分线于点F． 【探究1】当点E是中点时，如图1，发现，这需要证明与所在的两个三角形全等，但与显然不全等，考虑到点E是的中点，取的中点H，连接，证明与全等即可．（无需证明） 【探究2】（1）如图2，如果把“点E是的中点”改成“点E是边上（不与点B、C重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． （2）如图3，如果点E是边延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图形，并判断“”是否成立？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． 【探究3】（3）连接交直线于点I，连接，试探究线段，，之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论． 【探究4】（4）当时，此时的面积为________． 25．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）在中，对角线交于点O．过点B作直线，E为l上的动点，连接，交于点F，连接． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，随着点E的运动，线段之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 26．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在中，为对角线的交点，点为上的一动点，将射线绕点逆时针旋转交于点． (1)如图1，在平面直角坐标系中，对角线、分别在轴、轴上，若，，，则点的坐标为________，的长为________； (2)如图2，若是矩形，连接，探究、与的数量关系，并证明； (3)如图3，若是正方形，连接，点O关于直线的对称点为P，连接，若的长为4，直接写出的最小值． 27．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，将矩形沿着过点的直线翻折，交于点，点的对应点为点． (1)如图1，当点F正好落在对角线和的交点O处时，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若点是的中点，点落在矩形的内部时，延长交边于点．若，请探究之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，，折痕与边交于点E，当是直角三角形时，求线段的长． 28．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）数学课上张老师出示了一个问题：如图1，在中， E为边上一点，连接， 求证： ①小芳同学说：不必添画辅助线，可以直接利用图1进行证明． ②小芮同学说：可以添画图2中的辅助线，然后进行证明． （1）请你选择一名同学的想法，写出证明过程． 【问题探究】 （2）小迪同学在此问题基础上，过点E作 ，交于点F，如图3，小琳根据小迪的作法，写出了线段之间的数量关系：请你判断这一结论是否成立，如果成立，请你写出证明过程；若不成立，请你写出关于这三条线段数量关系的新结论，并证明． 【类比拓展】 （3）小怡同学突发奇想，过点E作交于点 F，如图4，若的面积为12，，请你直接写出线段的长． 29．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）在中，点E为中点，连接，． (1)如图1，当时，下列说法正确的是________．（填序号） ①；②；③平分 (2)如图2，当时，求证：是矩形； (3)如图3，当且时，求的长及的度数． 30．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）（1）问题发现 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，过对称中心的直线平分平行四边形的面积．如图1，在中，点是对称中心，经过点，交于点，交于点，请证明：平分的面积； 我们还可以发现：若直线平分的面积，则经过的对称中心且． （2）结论应用 如图2，菱形的边长为，面积为，点是上一点，且，过点的直线与交于点．若平分菱形的面积，则四边形的周长为__________； （3）问题解决 旅游度假区在一块矩形草地上进行旅游功能区规划工作，如图3，在矩形草地中，，过点的直线将矩形的面积平分为两部分，左侧为休闲住宿区，右侧为活动娱乐区，现规划在左侧休闲住宿区域内搭建帐篷，顶点在矩形内，且到、的距离相等，直线过点，分别交、于点、，，求出此时的长，并直接写出的面积为__________． 31．（24-25八年级下·江苏南通·期末）综合与实践： 矩形中，点E在射线上，连接，过点O作，交直线于点F，连接． 【特例探究】（1）如图1，当E是线段中点时，，，则的长为______； 【一般情形】（2）当点E在线段的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； 【拓展运用】（3）如图（3），中，，点D在的延长线上，点E在的延长线上，连接，F是的中点，连接，若，且，求的最小值． 32．（24-25八年级下·江苏常州·期末）综合与实践 【问题情境】 类比三角形中位线的概念，连接四边形对边中点的线段叫作四边形的中位线．如图1，在四边形中，E、F分别是边的中点，连接，则是四边形的中位线．现探究中位线与边之间的数量关系． 【特例研究】 在四边形中，， E、F分别是边的中点． （1）如图2，若，则中位线与边有怎样的数量关系？请说明理由： （2）如图3，若与不平行，则中位线与边有怎样的数量关系？小明与小丽的思路如下： 小明的思路 小丽的思路 如图4，将四边形绕点 F 旋转，得到四边形，则点E、F、Q共线，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴点B、C、P共线． ∵， ∴． ∵E是边的中点，， ∴． ∴四边形是平行四边形 (依据∶ )． ∴． ∴ (用等式表示与边之间的数量关系)． 如图5，连接并延长，交的延长线于点 P． ①在横线上填写相应的内容，完成小明的证明过程； ②接着小丽的思路，请将她的证明过程补充完整． 【迁移提升】 （3）在四边形中， E、F分别是边的中点． 若， 则中位线的最大值是 (用含m、n的代数式表示)． 33．（24-25八年级下·江苏南京·期末）定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”． (1)在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是______；（填序号） (2)如图1，在菱形中，，，于点，点是菱形边上的一点，顺次连接、、、，若四边形为“等距四边形”，求线段的长； (3)如图2，在等边中，，点是内任意一点，在、、上是否分别存在点，使得这些点与点的连线将恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，请直接写出这三个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由． 34．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫作奇特线． (1)如图1，矩形的对角线，交于点，，，求证：四边形是奇特四边形； (2)如图2，四边形为矩形，，点在边上，点为对角线的中点，连接并延长，交于点，连接．若四边形是奇特四边形，且为奇特线，求证：四边形为菱形； (3)如图3，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线．若四边形的面积为，直接写出的长为________． 35．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图①，在四边形的四边上依次取点E，F，G，H（不与顶点重合），若四边形是正方形，则称正方形是四边形的内接正方形． (1)如图②，四边形是正方形，．求证：四边形是四边形的内接正方形． (2)如图③，四边形是平行四边形． （Ⅰ）求作的内接正方形； 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （Ⅱ）若，，，则内接正方形的边长为______． 36．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． (1)下列选项中一定是“奇妙四边形”的是________； A．正方形    B．平行四边形    C．菱形    D．矩形 (2)如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与，重合），交于点，过作交于点． 判断四边形是否为“奇妙四边形，”并说明理由； 若四边形是“奇妙四边形”，连接，请直接写出的面积． 37．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，矩形中，，点在边运动，连接、，以为一边向左下方作正方形，请探究以下问题： (1)如图1，当为中点时，求线段的长度； (2)如图2，连接，取线段的中点，在运动过程中，点经过的轨迹长为_________； (3)如图3，连接交于点， ①随着点在边运动，的面积变化吗？如果不变，请求出的面积；如果变化，请说明理由； ②设，，试用含的代数式表示_________． ( 江苏 考点0 2 网格作图与尺规作图 ) 1．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，每个小方格都是正方形，线段、、、的端点都是格点（每个小方格的顶点叫作格点）． (1)在图1中，以为一边，画一个面积为12的四边形，使其为中心对称图形； (2)在图2中，以为一边，画一个面积为10的四边形，使其为轴对称图形； (3)在图3中，线段绕点旋转得到线段，画出旋转中心． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作以点为对称中心的平行四边形． (2)在图②中，作四边形的边上的高． (3)在图③中，在四边形的边上找一点，连结，使． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图1，点P在内部，连接． (1)尺规作图：作菱形，使点Q落在上，且为菱形的对角线．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，延长交于点N，若，设，，求菱形的面积（用含m、n的代数式表示）．（如需画草图，请使用图2） 4．（24-25八年级下·江苏南京·期末）按要求完成下列尺规作图：（不写做法，保留作图痕迹） (1)如图1，已知，点、分别在射线、上，作点使得四边形为平行四边形； (2)如图2，已知，点、在边上，分别在边、上作点、，使得四边形为平行四边形． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在矩形中，点在上，，仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)如图1，画出的平分线； (2)如图2，画出的平分线； (3)如图3，以为边画出一个菱形． 6．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图，在正方形中，P是对角线上的点． (1)用无刻度的直尺和圆规，在边上作一点Q（不与B，C重合），使（不写作法，保留作图痕迹） (2)证明（1）中的作法是正确的； (3)若正方形的边长为2，一定存在（1）中的点Q，则的取值范围为______． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知，用无刻度的直尺和圆规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，若，在边上求作点D，连接，使得； (2)如图2，若，，在边上求作点E，连接，使得 (3)如图3，若，，，在边上求作点F，连接，使得 8．（24-25八年级下·江苏南京·期末）在平面内，线段绕点O按某个方向旋转一定角度得到线段，点A的对应点是，为旋转角． 提出问题 如图（1），求作一个点O和一条线段，使得． 分析问题 （1）如图（2），先画出需作线段和旋转中心O，尝试建立可作图形和需作图形关系：连接，，可知（______）（填推理依据）． 连接，根据，可作… 解决问题 （2）请按上述思路，在图（1）中完成需作图形． 问题拓展 （3）已知：如图（3），是一段不规则曲线，是以点M为圆心的圆．求作一点O和一条线段，使得点O在上，点在上． （要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 9．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，已知角，线段m，用直尺和圆规按下列要求分别作菱形保留作图痕迹，写出必要的文字说明 (1)，； (2)， 10．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知矩形，，，点是边上一点，连接． (1)在边上作出点，使得点到的距离等于线段的长度；（用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设点到的垂线段为，连接，若点刚好是的中点，补全图形（无需尺规作图），并求此时的长度． 11．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）小明在学习平行四边形时，知道可以利用图形的中心对称性巧妙地解决图形分割问题．已知，点在边上． 请仅用无刻度直尺完成下列作图，并保留必要的作图痕迹． (1)如图1，点，分别在，上，，，过点作两条直线，分别交边于点，，使得．（要求：用两种不同类型的方法作出、） (2)如图2，点、分别在、上，，，过点作两条直线、分别交于点、，使得．（要求：用两种不同类型的方法作出、） ( 江苏 考点0 3 有关分式与分式方程材料阅读问题 ) 1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）阅读理解 欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也到处留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式： 这个公式我们可以分情况进行研究，例如，当时的欧拉公式为： ， 证明如下： 左边 ____________ ______ (1)请将材料中时欧拉公式的证明过程补充完整； (2)写出当时的欧拉公式，并证明； (3)利用欧拉公式，______． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象． 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜； 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是，其中含有糖（），则糖水的浓度为． ①如果加入水，糖水的浓度变为________．因为糖水变淡，可以得到不等式________； ②如果加入糖，糖水的浓度变为________．因为糖水变甜，可以得到不等式________； 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有，糖水，分别含糖，．它们浓度相同，则有． …… 任务1：直接写出小明笔记当中的“________”处空缺的内容． 任务2：证明②中的不等式． 任务3：将现象2中的两杯糖水倒入一个大空杯中，则大杯糖水的浓度与原来各小杯糖水的浓度相同，请说明其中的道理． 任务4：请运用现象1中的结论证明： 设a，b，c是三边的长，则． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）我们把形如（m，n不为零） ，且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”．例如 为十字分式方程，可化为 再如为十字分式方程，可化为 ． ∴ 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则 ， ． (2)若十字分式方程的两个解分别为求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）数学探究是数学学习的重要方法之一，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：（为整数且）． 则： 照此规律，解答下列问题： (1)______； (2)______； (3)若，求的值； (4)当时，则的最大值为______． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 若，求代数式的值． 解：，，即，， ． (1)若，则________，________； (2)解分式方程组； (3)若，，，求的值． 6．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）数学思想、方法是数学的灵魂，若能灵活运用，会使得问题解决更简洁．“整体思想”就是一种非常重要的数学思想． 例如，已知，求的值．分析：多项式与在已知等式和待求式中反复出现，且差为常数2，因此，可以将与看作两个“整体”，设，，则，，． (1)已知a是一元二次方程的一个实数根，求的值； (2)解方程：． ( 江苏 考点0 4 二次 根式的化简计算与 推理 ) 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下列化简过程： 化简：． 解法一： 解法二： 请用其中一种方法完成下列问题： (1)化简： ①； ②； (2)计算：． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 请先完成第题的填空，填写推理的依据，再完成第题的证明． (1)已知实数x，y满足，求证：． 证明：， ①______， ②______， ， ，， ，， ， ， ． (2)在三边长分别为a，b，的三角形中，利用的结论，求证： 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）【问题提出】是无理数，而无理数是无限不循环小数，如何表示的小数部分呢？ 【问题解决】因为，即， 所以的整数部分是1， 所以用来表示的小数部分． 【类比应用】 （1）的整数部分是______；小数部分是______； （2）如果的小数部分为的整数部分为，则______； 【拓展应用】 （3）已知，其中是整数，且，求的值． 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)______________，______________，的小数部分＝______________； (2)设的小数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)______________； (2)化简； (3)若，求的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 八下数学期末压轴题（解答题部分） 4大高频考点概览 考点01 四边形计算与推理证明 考点02 网格作图与尺规作图 考点03 有关分式与分式方程材料阅读问题 考点04 二次根式的化简计算与推理 ( 江苏 考点01 四边形计算与推理证明 ) 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究． 动手操作： 第一步，画出等腰，使得． 第二步，作出关于对称的． 第三步，过点作的平行线，交直线于点． 第四步，分别以，为边作． 根据以上操作，甲，乙，丙三位同学各自作出了如下图所示的三个图形，并共同进行了探究．请你根据三位同学作出的图形解决下列问题． (1)直接写出图1中的度数； (2)图2，图3中均有．请就图2给出证明； (3)图3中．求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，则，，根据对称的性质，等边对等角，则，根据平行线的性质，即可； （2）根据平行四边形的性质，则，，根据对称的性质，可得，，等量代换，则，，最后根据全等三角形的判定定理即可证明； （3）过点作，垂足为点，根据勾股定理，求出，根据平行四边形的性质，对称的性质，可得，，根据等边对等角，求出，根据矩形的判定和性质，可得四边形是矩形，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，四边形是平行四边形， ，， ，， ，关于对称的， ，， ， ， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， 由对称可得，，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：过点作，垂足为点， ，， ，， ， 由对称可得，，， ， ， ， ， 过点作交的延长线于点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 设， ，， ， ， ， 即． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形，等腰三角形，勾股定理，矩形，全等三角形，对称的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，对称的性质． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求正方形的边长； (3)点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为， ①求的长为_______； ②正方形的面积的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）过E作于M，于N，证明四边形是矩形，得到，进而得到，证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）先证明得到，过G作于H，则是等腰三角形，进而可得，，在中，利用勾股定理求得即可求解； （3）①作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接，此时值最小，最小值为的长，则，由轴对称性质得到，则，利用勾股定理求解即可；在中，由得， ②利用垂线段最短知，当时，取得最小值，此时正方形的面积最小，进而求解的最小值即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作于M，于N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，则， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； （2）解：如图，过G作于H， ∵四边形为正方形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过G作于H，则是等腰三角形，又， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的边长为； （3）解：①∵， ∴点E关于的对称点P在上，， 作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接， 此时值最小，最小值为的长，则， 由轴对称性质得，则， 在中，由得， 解得（负值已舍去）， 故答案为：； ②在中，，则， ∵点E为上一点， ∴当时，取得最小值， ∵，， ∴的最小值为， ∵是正方形的边长， ∴正方形的面积的最小为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、轴对称性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、角平分线的性质等知识，综合性强，涉及知识点较多，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加适当的辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解答的关键． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图1，正方形的边长为4，连接，点为线段上任意一点（点不与，重合），过点作分别交于点．点为的中点，连接． (1)若，则________，________； (2)如图2，连接，．求证：且； (3)如图3，在（2）的条件下，设交于点，延长交于点，连接． ①探究之间的数量关系，并说明理由； ②若，则________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①，理由见解析；② 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 根据等腰直角三角形的性质得出； 可证得，从而，进而得出结论； 连接，延长至，使，可证得，从而，进而证得，从而，进一步得出结论； 设，则，，在中，由勾股定理得方程，求得的值，可证得． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ∴， ， 四边形是矩形，， ， ， 为的中点， ， ， 故答案为：； （2）证明：在正方形和矩形中， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）解：：如图， ，理由如下： 连接，延长至，使， 由知，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， 由知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质以及旋转的性质证明△和△全等即可； （2）根据（1）以及角直角三角形三边的关系求解即可； （3）根据直角的不同分类讨论，根据角三角形三边关系以及全等三角形，先求出和的数量关系，然后根据勾股定理求解，即可得到和的比值． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， 由旋转的性质可知，， 在△和△中， ， ， ； （2）解：如图： ，四边形为菱形， ，， ，， 又， ， ∴， ， 同理可得，， ，，， ，，； （3）解：①当时，如图： ，， ， ， ， ∴， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②当时，如图： 同理可得，， ， ， 延长交于， ， △为等边三角形， ， ， ， 在线段上， ， △不存在， 故不符合题意； ③当时，连接延长交于，如图： 设， ， ， ， 在上截取， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ，， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ，，， ，， ， ； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，含角的直角三角形三边关系，等腰三角形的性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）我们规定：如果一个四边形的对角线长度相等，则称该四边形为“等角线四边形”． (1)下列一定是“等角线四边形”的有_____（填写序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形； (2)如图①，四边形为“等角线四边形”，是的中点，若它的对角线可绕点旋转与重合，证明：； (3)如图②，四边形为“等角线四边形”，则它的对角线可绕点旋转与重合，请用无刻度的直尺和圆规作出满足条件的一个点（保留作图痕迹，并写出简要的作图步骤） 【答案】(1)②④ (2)见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）结合平行四边形、矩形、菱形、正方形性质即可判断； （2）由题意得出、、、，由等边对等角可推得，， 由可得，即可得证； （3）作，的垂直平分线，，与交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：矩形，正方形的对角线相等，平行四边形、菱形的对角线不相等， 矩形，正方形为“等角线四边形”． 故答案为：②④． （2）证明：连接，，如图， 四边形为“等角线四边形”， ， 是的中点， ， 四边形的对角线可绕点旋转与重合， ，， ， ，， ， ， ． （3）分别作，的垂直平分线，，与交于点，如图， 则点满足条件的一个点． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形、矩形、菱形、正方形性质，等边对等角，三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，作线段垂直平分线，解题关键是正确理解题中“等角线四边形”的定义． 6．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在菱形中，，，连接，交于点． (1)求菱形的面积； (2)如图2，将菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形，点，，，的对应点分别为，，，． ①当点落在上时，判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，当平行于菱形ABCD一边时，求出的值； (3)在（2）的条件下，连接，当垂直于菱形的一边时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①垂直，见解析；②或 (3)或 【分析】（1）由菱形的性质可得：，，，，，进而得到：，推出，，即可求解； （2）①可得出，从而得出，从而，进一步得出结论； ②当时，可得出，从而得出，，当时，，从而； （3）当时，点在的上方时，设延长线交于，则，可得出，，，根据勾股定理得出的值，从而得出的值，当点在下方时，同样得出结果；当时，根据勾股定理得出结果． 【详解】（1）解：四边形是菱形，， ，，，，， ， ，， ， ； （2）①，理由如下： 如图1，由（1）知，， 菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形， ， ， ， 四边形和四边形是菱形， ，， ； ②如图2， 当时， ， 由旋转性质得，， ， ，， 当时图中)， 同理可得，， ， 综上所述：或； （3）如图2， 当时，设延长线交于， 则， ，， ， ， ， 当时， 则， 当时， ， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，解决问题的关键是分类讨论． 7．（24-25八年级下·江苏南京·期末）对于平面直角坐标系中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P、Q两点间距离的最小值为图形M、N间的“最近距离”，记作在中，点，，，． (1)点O，______． (2)若点P在y轴正半轴上，点P，，求点P的坐标； (3)若已知点，，，，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形 ①当时，直接写出的值； ②若，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)点P坐标为或 (3)①的值为； ②或或 【分析】（1）由A，B，C，D的点坐标可知O为对角线的交点，可知点O到的距离相等且为6；点O到的距离相等；如图1，记与y轴的交点为M，，在中，由勾股定理得，设O到的距离为h，根据，求出h的值，然后与6比较取最小值即可； 作于Q，分为点P在点M的上方和下方，两种情况讨论，由点P，，可知，且，在中，由勾股定理得，求出的值，进而可得P点坐标； ①由，可得、、、，在坐标系中描点，依次连接，即为图形W，过点H作，垂足为K，延长，交于N，由E、F、G、H点坐标可知，进而得到，可知，根据勾股定理求出，即可求解； ②过点E，G作直线，分别交于点P，L，由E，F，H，G的点坐标可知，，四边形是一个大小不变的平行四边形，且E点沿着直线运动，分情况求解：当在x轴下方和上方，即当和，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由A，B，C，D的点坐标可知O为对角线的交点， 点O到的距离相等且为6；点O到的距离相等； 如图1，记与y轴的交点为M， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 设O到的距离为h， ， ， 解得， ， 点O,的值为， 故答案为：； （2）解：作于Q， 如图1，当点P在点M的上方时， 点P,， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ∴点P坐标为； 如图2，当点P在点M的下方时， 同理可得：， ， 点P坐标为； 综上，点P坐标为或； （3）解：①， ， 在坐标系中描点，依次连接如图3所示，即为图形W，过点H作，垂足为K，延长，交于N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ， ， ， 的值为； ②如图，将向左向右各平移1个单位距离，向上或向下各移动个单位距离，如图： 当在内或外时，符合题意， 点， 直线：，直线：，直线：，直线：， 直线，直线，直线，直线， 直线，直线，直线，直线， 点， 、G在直线上，F、H在直线上， ， 或或， 解得：或或 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，点到直线的距离，新定义下的实数运算等知识，解题的关键在于理解题意，分情况求解． 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H．求证：； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段AH的长______． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）12或． 【分析】（1）根据折叠的性质，得，证出，再根据，和，得出，即可证明； （2）根据正方形性质得出，，证明．得出，即可证明； （3）根据题意，分两种情况讨论．①当点在线段上时，如图1所示．②当点在的延长线上时，如图2所示． 【详解】（1）证明：由折叠的性质，得， ∵在正方形中，， ∴． ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴． ∴． ∴； （2）证明：在正方形中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， 即； （3）根据题意，分两种情况讨论． ①当点在线段上时，如图1所示．    ∵，， ∴，． ∴． 由（1）知， ∴． 由（2）知， ∴； ②当点在的延长线上时，如图所示．      同①可得，． ∴． ∴． ∴． 综上所述，线段的长为12或， 故答案为：12或． 【点睛】该题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 9．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 【答案】(1)7 (2)①，理由见解析；②；③ 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，过点C作于点D，根据，可得，可得，由旋转的性质得：，从而得到，即可求解； （2）①由旋转的性质得：，从而得到，进而得到，再由，可得，即可解答；②根据勾股定理可得，再由旋转的性质得：，即可求解；③延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，结合旋转的性质可得，，从而得到，再证明，可得，从而得到，进而得到当最大时，最大，再由的最大值为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图，过点C作于点D， ∴， ∴， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴ ，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； ③如图，延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，如图， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴当最大时，最大， 而的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为∶． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转的问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 10．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）（1）问题发现 如图1，在正方形中，点P在边上，点Q在边上，且于点M．求证：； （2）类比探究 如图2，在矩形中，点P在边上，点Q在边上，且于点M．求证：； （3）拓展延伸 如图3，在中，，点P在边上，点Q在边上，，，连接交于点M，且．求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质以及已知条件证明，然后由全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据矩形的性质以及已知条件证明，然后由相似三角形的性质即可证明结论； （3）以点为圆心，以为半径画弧交于E，则，证明，即可得到． 【详解】证明：（1）∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 以点为圆心，以为半径画弧交于E， 则， ∴， ∴ ∴， ∴ 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 11．（24-25八年级下·江苏南通·期末）综合与实践：八年级某学习小组围绕“菱形中的等线转化”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，在菱形中，交的延长线于点E，F为线段上的动点（不与点E重合），过的中点O作，交于点G，过点F作交的延长线于点H，连接． 【初步探索】 （1）小明发现：四边形是菱形．请证明小明发现的这个结论； 【猜想再探】 （2）如图2，当点F与点C重合时，小丽提出新问题：连接，能求的长吗？学习小组中的三位同学分别给出了思路： 小明：可以延长交于点M，得到，分别求出和的长，即可求出的长： 小华：可以延长交于点N，得到，分别求出和的长，即可求出的长； 小红：图2中有两个点之间的距离恰好与相等，把这两个点连起来，也能求出结果． 请判断小明和小华的思路能否求出的长，并尝试用小红所说的方法解决问题． 【综合应用】 （3）请解决小强提出的新问题：连接，在点F运动过程中，是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）见解析，（3）存在， 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）可证得，从而，从而四边形是平行四边形，进而证得四边形是菱形； （2）小明的思路：可得出，，，从而得出，从而，可求得的长，可得出，从而得出可求得和的长，从而得出的长，进而根据勾股定理得出的长；小明的思路：可得出，在中，由可求得，从而求得的长，在中，已知和可求得，从而求得，进而得出的长；小红的方法：连接，可证得，从而，可求得的长，进而得出的长； （3）作射线于W，延长，交于V，可得出，从而，从而得出当点F在C点处，最小，此时，故，进而得出结果． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）如图1， 小明和小华的思路能求出的长，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，可求得的长， ∴， ∴可求得和的长 从而得出的长，进而根据勾股定理得出的长， ∴小明的思路能求得的长， ∵， ∴， ∴， 在中，由可求得， 从而求得的长， 在中，已知和可求得，从而求得， ∴小华的思路能求得的长， 小红的方法： 如图1，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），如图2， 作射线于W，延长，交于V， ∵， ∴， ∴， ∴当点F在C点处，最小， 此时， ∴， ∴最小值为． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图1，正方形的边长为5，点E是边上一点，连接，将四边形沿直线折叠，点A、B的对应点分别为点N、M，的延长线与交于点F，与的延长线交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或． 【分析】（1）如图1，连接，根据四边形是正方形，得出，，，根据翻折得出，，从而得出，．证明，即可证明． （2）如图，证明，得出．设，，则，在中，勾股定理列方程求解即可． （3）分为①，②，画图解答即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 四边形是正方形， ，， ， 翻折四边形， ，， ，． 又， ． ． （2）解：如图， ，， ， ． 设，， ， ， 在中，； 化简得：； （舍去），； ． （3）解：①如图，若，则， ，， ， ； 设，则， ，， 在中，， 化简得：， （舍去），． ②如图，若，则． 设，则， ， 在中，， 化简得：， ． 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或． 【点睛】该题考查了正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 13．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）综合与实践：数学老师带领学生探究矩形的旋转，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．如图1，四边形是一张矩形纸片，．先将边向上翻折，使与重合，折痕为（如图2），沿裁开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为． （1）如图3，小聪将矩形的顶点旋转至边上，连接交于点． ①则的长为______； ②求证：． （2）如图4，小明继续旋转矩形，他发现，当点落在的延长线上时，点C、A、在同一条直线上，小明的发现正确吗？请说明理由； （3）如图5，小红在小明的基础上继续探究，连接交于点，延长交的延长线与点，小红说她可以计算出的长，则______． 【答案】（1）①2；②见解析；（2）小明的发现正确，理由见解析；（3） 【分析】（1）①先由折叠得：，，由勾股定理得，可得的长； ②连接，过点F作于点G，利用面积法可得，证明，可得结论； （2）如图4，连接，由折叠得：四边形和四边形是全等的矩形，先证明，则，，再证明四边形是平行四边形，，即可解答； （3）如图5，连接，先证明，由面积法可得，设，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）①解：∵四边形是矩形， ∴， 由图1和图2可得：，， ∴， ∴； 故答案为：2； ②证明：如图3，连接，过点F作于点G， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：小明的发现正确，理由如下： 如图4，连接， 由折叠得：四边形和四边形是全等的矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴C，A，B三点共线； （3）解：如图5，连接， 由（2）知：C，A，B三点共线， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及了矩形的性质，折叠的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 14．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是 ； A．平行四边形      B．矩形     C．正方形    D．菱形 (2)如图1，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，求三角形的周长． 【答案】(1) (2)①四边形为“等补四边形”，理由见解析；② 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键． （1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）①连接，，推出，，得到，证明，得到，最后利用“等补四边形”的定义即可证明； ②将围绕点逆时针旋转到的位置，点对应点，则，，证明，再证，得出，即可求出的周长． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故答案为：D； （2）解：①四边形为“等补四边形”，理由： 如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴四边形是“等补四边形”． ②连接，由①知，为等腰直角三角形，则， 将围绕点逆时针旋转到的位置，点对应点，则，， 则， ，， ， ， 则的周长． 15．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在三角形纸片中，．将三角形纸片沿过点的直线折叠，使翻折至处，折痕为交于点． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的长； (2)如图2，连接，四边形能否为菱形？若能，试确定点的位置；若不能，请说明理由； (3)如图3，当时，仅用圆规在图3中作出点（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值． 【答案】(1)①详见解析；②3 (2)不能，理由见解析 (3)图见解析， 【分析】（1）①如图1，由折叠得：，由平行线的性质得：，再由直角三角形的性质即可解答； ②先由勾股定理得，由三角形的面积法可得的长，设，则，由勾股定理列方程即可解答； （2）根据菱形的判定，结合（1）可知：当时，，四边形不可能是菱形； （3）如图3，过点C作于P，再作，即可得点F；如图4，设，证明，即可得和的长，即可解答． 【详解】（1）解：①：如图1，由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵ ∴由勾股定理得： 由①得 则， ∴ ∴， ∴ 由折叠得：， ∴ 设， 则， ∴ 在中，， ∴ ∴， ∴； （2）解：如图2，四边形不可能是菱形，理由如下： 若四边形为菱形，则，， 由（1）可知：，， ∴， ∴四边形不可能是菱形； （3）解：如图3，过点C作于P，以P为圆心，以为半径画弧，交于点F，则点F即为所求； 如图4，设， 由折叠得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定，尺规作图，三角形外角的性质等知识，解题的关键是正确运用折叠的性质和勾股定理解决问题． 16．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）（1）如图1，在四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点． 请从①，②，③中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，构造出一个真命题并进行证明． 条件：___________，结论：___________．（填序号） 证明： （2）如图2，在矩形中，点为的中点，连接，，仅使用无刻度的直尺在右侧作出一点，并连接，使得四边形为平行四边形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，矩形的性质， 对于（1），分三种情况：条件①②，结论③，先说明四边形为平行四边形，再证明，可得答案； 若选条件①③，结论②，先证明，再证明，可得答案； 若选条件②③，结论①，先证明，再证明，可得答案； 对于（2），延长，交的延长线于点G，H，连接，交于点O，连接，并延长交于点F，连接，则四边形即为所求作． 【详解】解：条件①②，结论③． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 若选条件①③，结论②． 证明：∵， ∴． ∴，又，， ∴， ∴． 若选条件②③，结论①． 证明：∵， ∴． ∴，又，， ∴， ∴； （2）如图，四边形即为所求作． 17．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）综合与实践课中，小林同学以矩形中的对称性主题开展了研究性学习．已知在矩形中，点在对角线上，点在线段上，连接． 【问题探究】 当点、关于直线对称时． （1）如图1，当点落在线段上，且，则与满足的数量关系为______ （2）如图2，当点落在线段上． ①若，，且点恰好为的中点时，则______； ②当时，求证：四边形为菱形； （3）如图3，点落在延长线上时，平分，若，，则______； 【变式探究】 （4）小明同学也加入了此研究性学习，他将沿翻折得到，当点落在线段上时，若，则______ 【答案】（1）（2）①；②见解析；（3）；（4）． 【分析】（1）可得，由折叠知，得； （2）①由中点定义得,由折叠知，得，由，得，解得；②可得，得，可得，得,得四边形是平行四边形，由，得是菱形； （3）由折叠知，，可得，，得，得，由，得，可得，即得; （4）由，得，可得，得,设，得，由，得，解得，即得． 【详解】解（1）∵点落在线段上，且， ∴， 由折叠知， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵，点恰好为的中点， ∴， 由折叠知，， ∵， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， 解得； 故答案为：； ②当时，∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； （3）由折叠知，， ∵平分， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （4）∵矩形中，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形折叠．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，菱形判定，勾股定理，为解题的关键． 18．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边上，且．将该纸片沿折叠，点A，B分别落在点G，H处，与边相交于点M，连接． (1)面积的最小值为______； (2)求证：； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的长为或． 【分析】本题考查了等腰三角形性质，矩形性质和判定，折叠的性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）过点作于点，证明四边形为矩形，得到，利用折叠和等腰三角形性质得到，根据的面积，推出当最小时，即， 时，的面积最小，即可解题； （2）由（1）知，，，由折叠的性质可知，，结合线段的和差关系，即可解题； （3）根据是以为腰的等腰三角形，分两种情况①当时，，②当时，结合等腰三角形性质，矩形性质和判定求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点作于点， ， 矩形纸片中，，，， 四边形为矩形，， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 的面积， 当最小时，的面积最小， 即， 时，的面积最小值为； 故答案为：； （2）证明：由（1）知，，， 由折叠的性质可知，， ， 又，， ； （3）解：是以为腰的等腰三角形， ①当时，， 由（1）知，， 重合， 由折叠的性质可知，， 则， ， ， 重合， 设，则， ，， ， 解得； ②当时， 由折叠的性质可知，， ， 过点作于点， ， 四边形为矩形， ， ， ； 综上所述，的长为或． 19．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在矩形中，，点是边上一点． (1)如图1，当，时，求长； (2)如图2，连接，当，垂足为，点恰好是的中点时，求的值及的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题的四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，，设则根据勾股定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，得到，根据三角形的面积公式得到；设则根据勾股定理得到，，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， ， ，，， ， 设， 则 ， 解得， ； （2）四边形是矩形， ，， 点是的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； 设则 ，，， ， （负值舍去）， ． 20．（24-25八年级下·江苏南京·期末）（1）如图①，在中，，是边上的高．将，分别沿，翻折得到，．延长，交于点F． ①求证：四边形是正方形； ②若，则的周长为________． （2）已知正方形，直线与正方形相邻的两边都相交，且所截得的直角三角形的周长等于正方形周长的一半．求作：经过点P的一条直线． ①如图②，当点P在正方形的边上时； ②如图③，当点P在正方形的外部时． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1）①见解析；②12．（2）①见解析②见解析 【分析】（1）①根据折叠的全等性质，结合有一组邻边相等的矩形是正方形解答即可； ②根据三角形全等的性质，结合三角形的周长解答即可． （2）①根据（1）的证明，得到的周长为正方形周长的一半，以此作图即可； ②（a）以A为圆心，以为半径作；（b）连接，作的垂直平分线交于点O；（c）以O为圆心，以为半径作与交于点Q；作直线即可． 【详解】（1）①证明：根据折叠的性质，得， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． ②解：根据折叠的性质，得， ∴， ∴， ∵， ∴正方形的边长为6， ∴的周长为， 故答案为：12． （2）①解：当点P在正方形的边上时 根据（1）的证明，得到的周长为正方形周长的一半， 连接，再作，最后作的平分线， 作直线， 则直线即为所求的直线； ②解：当点P在正方形的外部时 （a）以A为圆心，以为半径作； （b）连接，作的垂直平分线交于点O； （c）以O为圆心，以为半径作与交于点Q； 作直线， 则直线即为所求直线．理由如下： 设直线与交于点G，交于点H， 根据作图，得， ∵， ∴， ∴， 同理可证，， 于是可得， 符合了问题1的条件，结论自然成立， 则即为所求． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的基本作图，角的平分线的基本作图，熟练掌握判定和性质，基本作图是解题的关键． 21．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为，直线分别交于点关于直线l的对称点为，且点恰好在上． (1)当点是中点时，的长为_____； (2)连接，交于点，连接，交于点． ①连接，求证； ②已知的面积为，求的长． 【答案】(1) (2)①证明过程见详解；② 【分析】（1）如图所示，过点作，交于点，可得四边形是平行四边形，，，由正方形，折叠的性质得到，得到，则，由勾股定理即可求解； （2）①如图所示，过点作于点，可证，得，，再证，得，由，即可求解； ②根据题意得到，设，则，，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 在正方形中，， ∵折叠， ∴，垂足为点， ∴，垂足为点， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：； （2）解：①如图所示，过点作于点， ∴， ∵折叠， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，，， ∴，， 在中， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②根据上述证明得到， ∴， 设，则， ∴， ∵的面积为， ∴，则， 在中，， ∴，整理得，， 设， ∴，整理得，， 解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质等知识的综合，掌握正方形的性质，折叠的性质，数形结合分析，合理作出辅助线是关键． 22．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）综合与探究 【问题情境】：数学活动课上，小明同学对正方形作如下探究：如图1，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，连接，过点F作的垂线，交边于点G上，他发现之间的存在着一定的数量关系．小明将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 【尝试初探】： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】： （2）如图3，在正形中，点E在边上，M，N分别在边上，连接，若，求线段的长． 【拓展探究】： （3）如图4，在正方形中，点E，F分别在边上，过点F作于点H，交边于点G，连接．若，请直接写出的最小值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接， 则．设与交于点．证明为等边三角形．得．，进而证明．得．从而即可得解； （2）过D作交于Q，连接；过D作交延长线于P；由平行线性质得，从而；由正方形性质证明，则有；再证明，则；由已知易得四边形是平行四边形，则有，从而求得；设，则，在中由勾股定理建立方程可求得x的值，再由勾股定理即可求得． （3）线段沿方向平移得到线段，则，，连接交于点，则，即．当，，三点共线时（即点在点的位置时），取得最小值．过点作的垂线，分别交，的延长线于点，，则．由问题情境可得，则．，证是等腰直角三角形．进而得从而即可得解． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接， 则．设与交于点． ． ． ∵四边形为菱形， ． ， 为等边三角形． ．， ． ． ∵， ． ． ； （2）解：如图，过D作交于Q，连接；过D作交延长线于P； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，； ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴； 设，则； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 在中，由勾股定理得； （）解：的最小值为． 如图，线段沿方向平移得到线段，则，，连接交于点，则，即．当，，三点共线时（即点在点的位置时），取得最小值．过点作的垂线，分别交，的延长线于点，，则． 由问题情境可得， ∴． ， ． 由勾股定理，得 ∵，， 是等腰直角三角形． ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，平移的性质，等边三角形的判定及性质，两点之间线段最短，正方形的判定及性质，菱形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 23．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）【教材重现】以下是苏科版八（下）数学教材第94页第19题： 在正方形中： ①如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； ②如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 （1）如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交于．若正方形的边长为12，，则___________； 【继续探索】 （2）如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为19，则___________． 【答案】教材重现①见详解；②见详解（1）5；（2），理由见解析；（3） 【分析】教材重现：①由题意易得，则有，然后可知，进而问题可求解；②过点A作，则有四边形是平行四边形，然后同理可得，进而问题可求解； （1）连接，交于点K，由折叠的性质可知，同理可得，进而根据勾股定理可进行求解； （2）延长，交的延长线于点I，同理①可得：，然后通过证明，进而根据全等三角形的性质及直角三角形斜边中线定理可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后根据完全平方公式及线段的和差关系可进行求解． 【详解】教材重现：解：①，证明如下， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②，证明如下： 过点A作，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 同理①可得：， ∴； （1）连接，交于点K，如图所示： 由折叠的性质可知：， 同理②可得：， 在正方形中，， ∴； 故答案为5； （2）延长，交的延长线于点I，如图所示： 同理①可得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点D为的中点， ∵， ∴， ∴； （3）同理①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：（负根舍去）； 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理及轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理及轴对称的性质是解题的关键． 24．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）市一中某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请认真阅读下面的探究片段，完成提出的问题．四边形是边长为3的正方形，点E是射线上的动点，，且交正方形外角的平分线于点F． 【探究1】当点E是中点时，如图1，发现，这需要证明与所在的两个三角形全等，但与显然不全等，考虑到点E是的中点，取的中点H，连接，证明与全等即可．（无需证明）          【探究2】（1）如图2，如果把“点E是的中点”改成“点E是边上（不与点B、C重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． （2）如图3，如果点E是边延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图形，并判断“”是否成立？如果成立，写出证明过程，如果不成立，也请说明理由． 【探究3】（3）连接交直线于点I，连接，试探究线段，，之间的数量关系，请在备用图中作出图形并直接写出结论． 【探究4】（4）当时，此时的面积为________． 【答案】（1）成立，见解析 （2）成立，见解析 （3）或 （4）或 【分析】（1）在截取，使得，证明即可． （2）延长到点M，使得，证明即可． （3）延长到T，使得，连接，证明，接着再证明 即可得证；当点E在的延长线上时，在截取，使得，连接，利用勾股定理证明即可． （4）当点E在上，或当点E在的延长线上时，解答即可． 【详解】解：（1）在截取，使得， ∵正方形中， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵与正方形外角的平分线交于点． ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． （2）解：延长到点M，使得， ∵正方形中， ∴， ∴即， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵与正方形外角的平分线交于点． ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． （3）解：当点E在上时， 延长到T，使得，连接 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 当点E在的延长线上时， 在截取，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：当点E在上时， ∵，， ∴，， ， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点E在的延长线上时， ∵，， ∴，， ， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，分类思想的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 25．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）在中，对角线交于点O．过点B作直线，E为l上的动点，连接，交于点F，连接． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，随着点E的运动，线段之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)当点E在点B的上方时，；当点E在点B的下方时，，理由见解析． 【分析】题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）连接，先证明四边形是平行四边形，得到．再由平行四边形的性质得到．则可证明四边形是平行四边形，得到． （2）分点E在点B的上方和点E在点B的下方，两种情况过点E作，与直线交于点M，连接．证明四边形是平行四边形．得到，，再证明四边形是平行四边形，得到．据此根据线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ，， 四边形是平行四边形． ． 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ． （2）解：如图，当点E在点B的上方时，，理由如下： 过点E作，与交于点M，连接． ， 四边形是平行四边形． ，． 在中，，． ，． 四边形是平行四边形． ． ， ． 如图，当点E在点B的下方时，，理由如下： 过点E作，与延长线交于点M，连接． ，四边形是平行四边形． ，． 在中，，， ，． 四边形是平行四边形． ． ， ． 26．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在中，为对角线的交点，点为上的一动点，将射线绕点逆时针旋转交于点． (1)如图1，在平面直角坐标系中，对角线、分别在轴、轴上，若，，，则点的坐标为________，的长为________； (2)如图2，若是矩形，连接，探究、与的数量关系，并证明； (3)如图3，若是正方形，连接，点O关于直线的对称点为P，连接，若的长为4，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）可判定是菱形和是等边三角形，进而求得的长，从而得出点坐标；可证得，从而得出结果； （2）连接，延长，交于，连接，可证得，从而，，进而垂直平分线的性质得出，进一步得出结果； （3）作于H，于W，作于G，可证得，从而得出，进而证得矩形是正方形，从而得出，可证得，从而，，进而得出，从而得出点P在与成的直线上运动，延长至R，使，作于V，连接，交直线于，当点P在处时，最小，最小值是的长度，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解： 四边形是平行四边形， ， 对角线、分别在轴、轴上， ， 是菱形， ，， ， 是等边三角形， ， ， 射线绕点逆时针旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． （2）， 证明：如图，连接，延长，交于，连接， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ，， ， ， ， ； （3）解：如图， 作于H，于W，作于G，连接 ∴， ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴，四边形是矩形， ∴矩形正方形，， ∴ ∵射线绕点O逆时针旋转交于点F， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵O和P关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点P在与成的直线上运动， 延长至R，使，作于V，连接，交直线于， 当点P在处时，最小， ∵ ∴最小，最小值是的长度， 可得， ∵ ∴ ∴ ∴（负值已舍去） 解得 在中， ∴最小值为． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查平行四边形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 27．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，将矩形沿着过点的直线翻折，交于点，点的对应点为点． (1)如图1，当点F正好落在对角线和的交点O处时，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若点是的中点，点落在矩形的内部时，延长交边于点．若，请探究之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，，折痕与边交于点E，当是直角三角形时，求线段的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据矩形的性质和折叠的性质证明是等边三角形，在中，设为a，则，利用勾股定理即可得解； （2）连接，证明得到，求出，设，则，求出，即可得解； （3）设，在中，利用勾股定理求解即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下， 四边形是矩形， ，，，， ， 由折叠的性质可得：，，， ， 是等边三角形， ， ，， 在中，设OE为a，则， ， ， ， ∴； （2）解：如图，连接， ， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （3）解：是直角三角形，如图， ， ∵四边形是矩形， ∴，，， 设，由折叠可得：，，， ∴，， ∴，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 28．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）数学课上张老师出示了一个问题：如图1，在中， E为边上一点，连接， 求证： ①小芳同学说：不必添画辅助线，可以直接利用图1进行证明． ②小芮同学说：可以添画图2中的辅助线，然后进行证明． （1）请你选择一名同学的想法，写出证明过程． 【问题探究】 （2）小迪同学在此问题基础上，过点E作 ，交于点F，如图3，小琳根据小迪的作法，写出了线段之间的数量关系：请你判断这一结论是否成立，如果成立，请你写出证明过程；若不成立，请你写出关于这三条线段数量关系的新结论，并证明． 【类比拓展】 （3）小怡同学突发奇想，过点E作交于点 F，如图4，若的面积为12，，请你直接写出线段的长． 【答案】（1）任选一种，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，即可证明； （2）连接，可得，利用勾股定理，即可证明； （3）过点作，取的中点，连接，可得，设，利用勾股定理列方程，即可解得． 【详解】解：（1）①小芳同学的解法 证明：如图1， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②小芮同学的解法： 证明：如图2，延长与的延长线相较于点 G ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形 ， ， ， ， ； （2）成立，理由如下： 证明: 如图，连接 ， ， 由(1) 得， ∴在中, ∵四边形是平行四边形        ； （3）如图，过点作，取的中点，连接， ， ， ，， ， ，， 的面积为12，， , ， 是的中点， ，， ， 根据勾股定理可得， ， 设， 根据勾股定理可得， ， 即 解得， 29．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）在中，点E为中点，连接，． (1)如图1，当时，下列说法正确的是________．（填序号） ①；②；③平分 (2)如图2，当时，求证：是矩形； (3)如图3，当且时，求的长及的度数． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3)， 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形是菱形，，即可得到结论； （2）延长交于点F，证明，则．得到，则，再证明，即可得到结论； （3）延长交于点F，过点F作交延长线于点H，连接．证明，得到，则，求出，得到，得到°． 【详解】（1）解：取的中点，连接， 当时， ， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形， ∴， ∴, ∴，即平分， 故①③正确； 无法证明；故②错误， 故答案为：①③ （2）延长交于点F， 在中，， ∴． ∵点E为中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． 在中，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴即， ∴是矩形． （3）延长交于点F，过点F作交延长线于点H，连接． 由（2）可得． ∵， ∴，， ∴． 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴°． 综上，． 【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是关键． 30．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）（1）问题发现 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，过对称中心的直线平分平行四边形的面积．如图1，在中，点是对称中心，经过点，交于点，交于点，请证明：平分的面积； 我们还可以发现：若直线平分的面积，则经过的对称中心且． （2）结论应用 如图2，菱形的边长为，面积为，点是上一点，且，过点的直线与交于点．若平分菱形的面积，则四边形的周长为__________； （3）问题解决 旅游度假区在一块矩形草地上进行旅游功能区规划工作，如图3，在矩形草地中，，过点的直线将矩形的面积平分为两部分，左侧为休闲住宿区，右侧为活动娱乐区，现规划在左侧休闲住宿区域内搭建帐篷，顶点在矩形内，且到、的距离相等，直线过点，分别交、于点、，，求出此时的长，并直接写出的面积为__________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），平方米． 【分析】（）由四边形是平行四边形 则，故有，，证明，所以，然后通过面积和差即可； （）过作于点，过作于点，则，证明四边形是矩形，则有，又菱形的边长为，面积为，即，所以，然后通过勾股定理分别求出，，从而求解； （）连接交于点，取中点，连接，交于点，延长交于点，则，由、为、的中点，故有，， ，由勾股定理得，，通过，则，证明，所以，，，的面积为平方米． 【详解】解：（）∵四边形是平行四边形 ， ∴， ∴，， ∵、交于点，为对称中心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ，即平分的面积； （）过作于点，过作于点，则， ∵平分菱形的面积， ∴经过菱形的对称中心且， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵菱形的边长为，面积为， ∴， ∴， 在中由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴四边形的周长为 ， 故答案为：； （）连接交于点， 由题意可知，， 取中点，连接，交于点，延长交于点， 则， ∵、为、的中点， ∴，， ∴， ∵点到、的距离相等 ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平方米）， ∴的面积为平方米． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，中心对称，全等三角形的判定与性质，中位线定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 31．（24-25八年级下·江苏南通·期末）综合与实践： 矩形中，点E在射线上，连接，过点O作，交直线于点F，连接． 【特例探究】（1）如图1，当E是线段中点时，，，则的长为______； 【一般情形】（2）当点E在线段的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； 【拓展运用】（3）如图（3），中，，点D在的延长线上，点E在的延长线上，连接，F是的中点，连接，若，且，求的最小值． 【答案】（1）5；（2）；证明见解析；（3）的最小值为2 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，，证明四边形为矩形，得出，根据等腰三角形的性质得出，最后根据勾股定理求出结果即可； （2）延长，交于点G，连接，根据矩形的性质得出，，，证明，得出，，证明，得出，根据勾股定理即可得出答案； （3）过点A作，过点B作，与交于点G，连接交于点O，连接，并延长交的延长线于点H，连接，，证明四边形为矩形，得出，，，，证明，得出，，证明，得出，求出，根据直角三角形性质得出，根据三角形三边关系可得，且当、A、F三点共线时，等号成立，求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴， ， ∵E是线段中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：； （2）；理由如下： 延长，交于点G，连接，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得：， 即． （3）过点A作，过点B作，与交于点G，连接交于点O，连接，并延长交的延长线于点H，连接，，如图所示： 则， ∴四边形为矩形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∵，且当、A、F三点共线时，等号成立， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为2． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形三边关系应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 32．（24-25八年级下·江苏常州·期末）综合与实践 【问题情境】 类比三角形中位线的概念，连接四边形对边中点的线段叫作四边形的中位线．如图1，在四边形中，E、F分别是边的中点，连接，则是四边形的中位线．现探究中位线与边之间的数量关系． 【特例研究】 在四边形中，， E、F分别是边的中点． （1）如图2，若，则中位线与边有怎样的数量关系？请说明理由： （2）如图3，若与不平行，则中位线与边有怎样的数量关系？小明与小丽的思路如下： 小明的思路 小丽的思路 如图4，将四边形绕点 F 旋转，得到四边形，则点E、F、Q共线，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴点B、C、P共线． ∵， ∴． ∵E是边的中点，， ∴． ∴四边形是平行四边形 (依据∶ )． ∴． ∴ (用等式表示与边之间的数量关系)． 如图5，连接并延长，交的延长线于点 P． ①在横线上填写相应的内容，完成小明的证明过程； ②接着小丽的思路，请将她的证明过程补充完整． 【迁移提升】 （3）在四边形中， E、F分别是边的中点． 若， 则中位线的最大值是 (用含m、n的代数式表示)． 【答案】（1）， 理由见解析；（2）①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，；②见解析；（3） 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键： （1）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）①根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形和线段的和差关系，进行作答即可； ②证明，得到，根据三角形的中位线定理，即可得出结论； （3）由（1）（2）可知，当时，；当与不平行时，作，交的延长线与点，连接，根据三角形的中位线定理和三角形的三边关系推出，即可得出结果． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵E、F分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）①如图4，将四边形绕点 F 旋转，得到四边形，则点E、F、Q共线，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴点B、C、P共线． ∵， ∴． ∵E是边的中点，， ∴． ∴四边形是平行四边形 (依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)． ∴． ∴， ∴ (用等式表示与边之间的数量关系)． ②如图5，连接并延长，交的延长线于点 P． ∵E、F分别是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴； （3）由（1）（2）可知：当时，； 当与不平行时，如图： 作，交的延长线与点，连接， 同（2）法可得：， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； 故中位线的最大值是． 33．（24-25八年级下·江苏南京·期末）定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”． (1)在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是______；（填序号） (2)如图1，在菱形中，，，于点，点是菱形边上的一点，顺次连接、、、，若四边形为“等距四边形”，求线段的长； (3)如图2，在等边中，，点是内任意一点，在、、上是否分别存在点，使得这些点与点的连线将恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，请直接写出这三个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)② (2)或 (3)存在，周长和为 【分析】（1）根据等距四边形的定义即可得出结论； （2）根据等距四边形的定义，分两种情况，利用菱形的性质和含30度的直角三角形，即可得出结论； （3）先判断出四边形，四边形，四边形是等距四边形，再利用三角形的面积求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：①平行四边形对角线互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线长的一半，不符合题意； ②矩形的对角线相等且互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离等于这条对角线的一半，符合题意； ③菱形的对角线互相平分，对角线不一定相等，因此一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线的一半，不符合题意； 故答案为：②； （2）解：根据等距四边形的定义， 当点在上且时，四边形是等距四边形，如图1， 取的中点，连接，，， ，， ， ， 四边形是等距四边形， 在菱形中，，，， ，， ， ， 根据菱形的对称性得，， 是等边三角形， 在中，， ， 根据勾股定理得，， ， 当点在上且时，四边形是等距四边形，如图2， 连接，，交于点， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，在菱形中，，， ， ； （3）解：存在； 过点分别作于，于，于，连接、、如图3， 同（2）的方法得，四边形，四边形，四边形是等距四边形，过点作于， 在中，，， ， ， 根据勾股定理得，， ， ， ， ， 四边形，四边形，四边形的周长的和为． 【点睛】本题考查了新定义，菱形判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定的性质，三角形的面积公式，理解和运用新定义是解本题的关键． 34．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫作奇特线． (1)如图1，矩形的对角线，交于点，，，求证：四边形是奇特四边形； (2)如图2，四边形为矩形，，点在边上，点为对角线的中点，连接并延长，交于点，连接．若四边形是奇特四边形，且为奇特线，求证：四边形为菱形； (3)如图3，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线．若四边形的面积为，直接写出的长为________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或或． 【分析】（1）证得且，判定为奇特四边形； （2）由可证四边形为平行四边形，由奇特四边形可得可证四边形为菱形 （3）分情况讨论，当，，时，分别求长度即可 【详解】（1）证明：在矩形中， 为直角三角形， 由矩形的性质可知 是等腰三角形 四边形是奇特四边形 （2）证明：在矩形中， , 四边形为平行四边形 是奇特四边形， 是直角三角形，是等腰三角形， 四边形是菱形 （3）解：在菱形中， 为直角三角形 ①当时，如图作交于点， 为等腰三角形 ②如图，设底边的高为，当时， 解得 为底边的高 ③如图设底边的高为，时 解得 即为的高 故答案为：或或 【点睛】本题考查了矩形与菱形的性质、奇特四边形的定义、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质及三角形面积公式、勾股定理，熟练运用特殊四边形性质、分类讨论是解题关键． 35．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图①，在四边形的四边上依次取点E，F，G，H（不与顶点重合），若四边形是正方形，则称正方形是四边形的内接正方形． (1)如图②，四边形是正方形，．求证：四边形是四边形的内接正方形． (2)如图③，四边形是平行四边形． （Ⅰ）求作的内接正方形； 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （Ⅱ）若，，，则内接正方形的边长为______． 【答案】(1)详见解析 (2)（Ⅰ）图见解析（答案不唯一）；（Ⅱ） 【分析】（1）利用正方形性质证明，同理，可得，推出四边形是菱形，再利用全等三角形性质推出，即可证明四边形是四边形的内接正方形． （2）（Ⅰ）利用正方形判定定理，以及全等三角形性质和判定作图即可； （Ⅱ）根据题意证明，得到，，设，连接，过点作于点，证明四边形为矩形，进而证明四边形为矩形，结合勾股定理，以及等腰三角形性质求出，进而得到，，再根据建立方程求出，最后结合勾股定理即可解题。 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． ， ，即． ， ． 同理，可得， 四边形是菱形． ， ． 在中，， ， ， 菱形是正方形， 即四边形是四边形的内接正方形． （2）解：（Ⅰ）如图③，正方形即为所求． 方法一：                                            方法二：                  文字说明： 方法一：1．连接，交于点O；构造与共中心的正方形，顶点分别在直线，上，，分别与，交于点E，G； 2．在，上分别截取F，H，使，； 3．连接，，，即为正方形． 方法二：1．连接，交于点O； 2．过O作，垂足为P； 3．过O作，且； 4．过Q作，交于点E； 5．在上截取； 6．连接，并延长，分别交，于点G，F，连接，，，．（方法不唯一，也可在上适当位置取点P，作图依次按，，，确定点E，H后，作出正方形即可．） （Ⅱ）解：的内接正方形为， ，， ， ， ， ，， 由作图过程可知，， 设， 连接，过点作于点， ， 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ，，， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得， 则正方形边长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形性质和判定，复杂作图，矩形的性质与判定，平行四边形的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 36．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． (1)下列选项中一定是“奇妙四边形”的是________； A．正方形    B．平行四边形    C．菱形    D．矩形 (2)如图，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与，重合），交于点，过作交于点． 判断四边形是否为“奇妙四边形，”并说明理由； 若四边形是“奇妙四边形”，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)A； (2)四边形是“奇妙四边形”，理由见解析； 或． 【分析】根据“奇妙四边形”的定义进行判断即可； 根据正方形的性质和垂直的定义可得：，根据四边形内角和定理和邻补角定义可证，根据正方形的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，等量代换可证，根据等角对等边可证，所以可证结论成立； 因为，所以四边形有一组对角互补，根据“奇妙四边形”的定义还需要有一组邻边相等，所以应分、、、四情况求解． 【详解】（1）解：正方形、矩形的四个角都是直角， 正方形、矩形都满足有一组对角互补， 只有正方形的四条边都相等， 正方形是“奇妙四边形”， 故选：A； （2）解：四边形是“奇妙四边形”， 理由如下： 如下图所示， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 四边形内角和为， ， 又， ， 四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 四边形是“奇妙四边形”； 解：四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形内角和为， ， 若四边形是“奇妙四边形”， 则需要有一组邻边相等， 当时， 如下图所示，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ， 由可知， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 如下图所示，过点作于M， 设， 由可知， ， ， 在中，， 是正方形的对角线， ， ， ， 解得：， ， ， ； 当时，则点是的中点， 则只有当点与点重合时成立， 故不符合题意； 当时， 如下图所示，连接， 在和中，， ， ， 同上； 如下图所示， 当时，则有是等腰直角三角形， ，， 在和中，， ， ， 把绕点顺时针旋转到的位置， ， 由可知， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是理解“奇妙四边形”的定义，根据“奇妙四边形”找出边和角的关系，分情况求解即可． 37．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，矩形中，，点在边运动，连接、，以为一边向左下方作正方形，请探究以下问题： (1)如图1，当为中点时，求线段的长度； (2)如图2，连接，取线段的中点，在运动过程中，点经过的轨迹长为_________； (3)如图3，连接交于点， ①随着点在边运动，的面积变化吗？如果不变，请求出的面积；如果变化，请说明理由； ②设，，试用含的代数式表示_________． 【答案】(1) (2) (3)①随着点在边运动，的面积；的面积为；② 【分析】（1）延长，过点F作于点M，证明，得出，，根据勾股定理求出； （2）取的中点N，连接、，，证明，说明平分，得出点M在的平分线上，当点E与点D重合时，点M在点，当点E与点A重合时，点M在点，分别求出，，根据勾股定理求出，即可得出答案； （3）①延长，过点G作于点M，证明，得出，求出三角形面积即可； ②根据，得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：延长，过点F作于点M，如图所示： 则， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点E为的中点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：取的中点N，连接、，，如图所示： ∵点M为的中点，正方形中，， ∴，， ∴， ∴， ∵点N为的中点，和为直角三角形， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴平分， ∴点M在的平分线上， 当点E与点D重合时，点M在点，当点E与点A重合时，点M在点，如图所示： ∵四边形为正方形，且此时正方形的边长为3， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴正方形的边长为5，对角线的长为， ∵点为正方形对角线的中点， ∴， 根据勾股定理得：， ∴在运动过程中，点经过的轨迹长为； （3）解：①随着点在边运动，的面积不变； 延长，过点G作于点M，如图所示： 则， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ( 江苏 考点0 2 网格作图与尺规作图 ) 1．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，每个小方格都是正方形，线段、、、的端点都是格点（每个小方格的顶点叫作格点）． (1)在图1中，以为一边，画一个面积为12的四边形，使其为中心对称图形； (2)在图2中，以为一边，画一个面积为10的四边形，使其为轴对称图形； (3)在图3中，线段绕点旋转得到线段，画出旋转中心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查格点作平行四边形，正方形，画出旋转中心，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据题意，作出面积为12的平行四边形，即可； （2）画出边长为的正方形，即可解答； （3）根据旋转中心是两组对应点的连线的垂直平分线的交点，再分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：作图如图 该平行四边形为中心对称图形，面积为． （2）作图如图，有 ， ， ∴四边形是菱形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． （3）如图3，可得为一组对应点的垂直平分线，平分，， ∴是的垂直平分线， ∴点旋转中心． 如图，可得是的垂直平分线，，， ∴是的垂直平分线， ∴的交点，即为． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作以点为对称中心的平行四边形． (2)在图②中，作四边形的边上的高． (3)在图③中，在四边形的边上找一点，连结，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用网格特征连接，并延长，即可作以点为对称中心的平行四边形； （2）取格点，连接交于点，即可作四边形的边上的高； （3）取格点，，，连接，，，与交于点，连接并延长交于点即可． 【详解】（1）如图①中，平行四边形即为所求； （2）如图②中，高即为所求； 根据网格与勾股定理得出 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴即为所求； （3）如图③中，点即为所求． 如图所示，找到格点， ，， 则是等腰直角三角形， 找到格点，则是矩形， ∴是的中点， ∴垂直平分， 即． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图1，点P在内部，连接． (1)尺规作图：作菱形，使点Q落在上，且为菱形的对角线．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，延长交于点N，若，设，，求菱形的面积（用含m、n的代数式表示）．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，线段的尺规作图，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）以点P为圆心，的长为半径画弧交射线于Q，再分别以O、Q为圆心，的长为半径画弧，二者交于点M，连接，则四边形即为所求； （2）设交于点H，设，由菱形的性质可得，由勾股定理得，，解得，再求出的长，进而求出的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半计算求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：设交于点H，设， ∵四边形是菱形， ∴，   ∵， ∴，   ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期末）按要求完成下列尺规作图：（不写做法，保留作图痕迹） (1)如图1，已知，点、分别在射线、上，作点使得四边形为平行四边形； (2)如图2，已知，点、在边上，分别在边、上作点、，使得四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图． （1）以为圆心，长为半径画弧；以为圆心，长为半径画弧；两弧交点即为所求； （2）以为圆心，长为半径画弧，交于点；在边上任取点，类比第（1）问，找到点，使四边形为平行四边形；连接并延长，交于点；作交于点；点、即为所求． 【详解】（1）解：①以为圆心，长为半径画弧； ②以为圆心，长为半径画弧； ③两弧交点即为所求． 证明：如图， 在四边形中，，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：①以为圆心，长为半径画弧，交于点； ②在边上任取点，类比第（1）问，找到点，使四边形为平行四边形； ③连接并延长，交于点； ④作交于点； ⑤点、即为所求． 证明：如图，连接，， 由作图可知，，四边形为平行四边形， ∴ ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形. 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在矩形中，点在上，，仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)如图1，画出的平分线； (2)如图2，画出的平分线； (3)如图3，以为边画出一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，等边对等角，三线合一定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）射线即为所求； （2）连接交于O，作射线，则射线即为所求； （3）连接交于O，作射线交于F，连接，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求； 由矩形的性质可得， 由等边对等角和平行线的性质可得， 即是的平分线； （2）解；如图所示，连接交于O，作射线，则射线即为所求； 由矩形的性质可得为的中点，则由三线合一可得平分； （3）解：如图所示，连接交于O，作射线交于F，连接，则四边形即为所求． 由（2）可得垂直平分，则， 可证明，得到， 则四边形是菱形． 6．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图，在正方形中，P是对角线上的点． (1)用无刻度的直尺和圆规，在边上作一点Q（不与B，C重合），使（不写作法，保留作图痕迹） (2)证明（1）中的作法是正确的； (3)若正方形的边长为2，一定存在（1）中的点Q，则的取值范围为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点P作的垂线，交于点Q即可； （2）连接，先证明，推出，，利用四边形内角和求出，结合，得到，进而推出，得到，易证是等腰直角三角形，即可证明； （3）连接交于点O，根据正方形的性质可得当点P与点O重合时，有最小值，此时点Q与点B重合，当点P与点D重合时，有最大值，此时点Q与点B重合，再结合点Q不与B，C重合，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，点Q为所求 （2）证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）解：连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 当点P与点O重合时，有最小值，此时点Q与点B重合， 则， ∴， 当点P与点D重合时，有最大值，此时点Q与点B重合， ∴， ∵点Q不与B，C重合， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查尺规作图，作垂线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四边形内角和，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知，用无刻度的直尺和圆规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，若，在边上求作点D，连接，使得； (2)如图2，若，，在边上求作点E，连接，使得 (3)如图3，若，，，在边上求作点F，连接，使得 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了基本的尺规作图，角平分线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． （1）作的垂直平分线即可； （2）作的平分线即可； （3）作即可． 【详解】（1）如图，点D就是求作的点； 证明：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴； （2）如图，点就是求作的点， 证明：过点作于点，于点，如图所示， 由作图可得，是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴； （3）如图，点就是求作的点， 证明：由作图可知，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得：． 8．（24-25八年级下·江苏南京·期末）在平面内，线段绕点O按某个方向旋转一定角度得到线段，点A的对应点是，为旋转角． 提出问题 如图（1），求作一个点O和一条线段，使得． 分析问题 （1）如图（2），先画出需作线段和旋转中心O，尝试建立可作图形和需作图形关系：连接，，可知（______）（填推理依据）． 连接，根据，可作… 解决问题 （2）请按上述思路，在图（1）中完成需作图形． 问题拓展 （3）已知：如图（3），是一段不规则曲线，是以点M为圆心的圆．求作一点O和一条线段，使得点O在上，点在上． （要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题主要考查了作旋转图形，熟练掌握旋转和等腰三角形性质是解题的关键． （1）根据旋转性质分析即可； （2）以为底边、为顶角，构造等腰，即可得出，再根据旋转作图作出点B的对应点是，即可完成作图； （3）以为底边、的半径为腰构造等腰，根据旋转中心在对应点的垂直平分线可知作的垂直平分线交于点O，故以点为旋转中心，旋转到位置时，线段旋转到对应位置，再根据对应点到旋转中心的距离相等； 在上找到对应的点，，即可解题． 【详解】（1）连接，，可知，理由是：对应点到旋转中心的距离相等； （2）如图，点O和线段为所求， ①作射线，以为顶点作， ②作的角平分线，得，则 ③作，交于，则，即点为旋转中心，旋转角为； ④作，， ⑤连接，即得所求线段． （3）解∶如图，点O和线段为所求 ，    ①以为底边、的半径为腰构造等腰， ②作的垂直平分线交于点O，即点为旋转中心； ③以为圆心，分别以、为半径作画弧，交得对应的点，， ④连接，即得所求线段． 9．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，已知角，线段m，用直尺和圆规按下列要求分别作菱形保留作图痕迹，写出必要的文字说明 (1)，； (2)， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作，作射线平分，在射线上截取线段，使得，作线段的垂直平分线交于点A，交于点C，连接，即可； （2）作，作射线平分，在射线上截取线段，使得，作线段的垂直平分线交于点B，交于点D连接，即可． 【详解】（1）解：如图1中，菱形即为所求； （2）解：如图2中，菱形即为所求． 10．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知矩形，，，点是边上一点，连接． (1)在边上作出点，使得点到的距离等于线段的长度；（用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设点到的垂线段为，连接，若点刚好是的中点，补全图形（无需尺规作图），并求此时的长度． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解答；的长度为 【分析】（1）作的角平分线，交于点，根据角平分线的性质得点到的距离等于． （2）根据四边形为矩形，，，，证明，即可得出，再证，设，则，，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，作的平分线，交于点， 则点即为所求． （2）如图所示， 由题意得，，． 四边形为矩形， ，，． 在和中， ， ， ． 点为的中点， ， ． 在和中， ， ， ． 设，则，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 的长度为． 11．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）小明在学习平行四边形时，知道可以利用图形的中心对称性巧妙地解决图形分割问题．已知，点在边上． 请仅用无刻度直尺完成下列作图，并保留必要的作图痕迹． (1)如图1，点，分别在，上，，，过点作两条直线，分别交边于点，，使得．（要求：用两种不同类型的方法作出、） (2)如图2，点、分别在、上，，，过点作两条直线、分别交于点、，使得．（要求：用两种不同类型的方法作出、） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、中心对称性质，熟练掌握平行四边形是中心对称图形是解答的关键． （1）在中，设，边上的高为h，先根据平行四边形的性质和三角形的面积公式得到要使得，只需即可； 方法一：当M、N分别与E、D重合时满足条件； 方法二：连接、相交于O，连接并延长交于N，利用是中心对称图形，O为对称中心得到，则，当M与点A重合时，满足条件； （2）在中，设，边上的高为h，根据平行四边形的性质和三角形的面积公式得到要使得，只需即可， 方法一：连接、相交于O，连接交于N，利用是中心对称图形，O为对称中心得到，则，当M与点E重合时满足条件； 方法二：作图证明：连接、相交于O，连接交于K，先根据是中心对称图形，O为对称中心得到，则，再证明四边形是平行四边形，连接、相交于，连接并延长交于S，则，连接并延长交于N，则，进而得到，当M与点A重合时，满足条件． 【详解】（1）解：在中，设，边上的高为h， ∵，， ∴，则， ∵点，在上，点在边上， ∴，， ∴要使得，只需即可； 方法一：如图，、即为所求作： 作图证明：当M、N分别与E、D重合时，，此时， 故、即为所求； 方法二：如图，、即为所求作： 作图证明：连接、相交于O，连接并延长交于N， ∵是中心对称图形，O为对称中心， ∴， ∴， 当M与点A重合时，，此时， 故、即为所求； （2）解：在中，设，边上的高为h， ∵，， ∴，则， ∵点，在上，点在边上， ∴，， ∴要使得，只需即可； 方法一：如图，、即为所求作： 作图证明：连接、相交于O，连接交于N， ∵是中心对称图形，O为对称中心， ∴， ∴， 当M与点E重合时，，此时， 故、即为所求； 方法二：如图，、即为所求作： 作图证明：连接、相交于O，连接交于K， ∵是中心对称图形，O为对称中心， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 连接、相交于，则为的对称中心， 连接并延长交于S，则， 连接并延长交于N，则， ∴， 当M与点A重合时，，此时， 故、即为所求． ( 江苏 考点0 3 有关分式与分式方程材料阅读问题 ) 1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）阅读理解 欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也到处留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式： 这个公式我们可以分情况进行研究，例如，当时的欧拉公式为： ， 证明如下： 左边 ____________ ______ (1)请将材料中时欧拉公式的证明过程补充完整； (2)写出当时的欧拉公式，并证明； (3)利用欧拉公式，______． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析； (3)． 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． （）当时，然后通分，再化简运算即可； （）当时，然后通分，再化简运算即可； （）当时，令，，，然后通分，再化简运算即可． 【详解】（1）证明：左边 ； （2）解：时， 证明： ； （3）解：当时， 令，，，则 ， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象． 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜； 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是，其中含有糖（），则糖水的浓度为． ①如果加入水，糖水的浓度变为________．因为糖水变淡，可以得到不等式________； ②如果加入糖，糖水的浓度变为________．因为糖水变甜，可以得到不等式________； 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有，糖水，分别含糖，．它们浓度相同，则有． …… 任务1：直接写出小明笔记当中的“________”处空缺的内容． 任务2：证明②中的不等式． 任务3：将现象2中的两杯糖水倒入一个大空杯中，则大杯糖水的浓度与原来各小杯糖水的浓度相同，请说明其中的道理． 任务4：请运用现象1中的结论证明： 设a，b，c是三边的长，则． 【答案】任务1：①，；②，；任务2：见解析；任务3：见解析；任务4：见解析 【分析】本题考查不等式的应用，本题根据糖水浓度变化的规律，完成填空、证明及应用． 任务1直接应用现象1的结论； 任务2需通过分式变形证明不等式； 任务3需利用浓度相同的条件推导混合后的浓度； 任务4则需综合运用糖水不等式及三角形三边关系进行证明． 【详解】解：任务1：①，． ②，． 任务2：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 任务3：∵， ∴，， ∴． 任务4：由现象1得：① ② ③ 则①＋②＋③得， 即． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）我们把形如（m，n不为零） ，且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”．例如 为十字分式方程，可化为 再如为十字分式方程，可化为 ． ∴ 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则 ， ． (2)若十字分式方程的两个解分别为求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3)2 【分析】本题考查了利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． （1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义即可得； （2）先根据十字分式方程的定义求出的值，再化简代入计算即可得； （3）先根据十字分式方程的定义求出，，从而可得，，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为， ， 故答案为：，． （2）解：十字分式方程的两个解分别为，， ， ． （3）解：方程是十字分式方程，可化， 当时，， 关于的十字分式方程的两个解分别为， ，， ，， ． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）数学探究是数学学习的重要方法之一，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：（为整数且）． 则： 照此规律，解答下列问题： (1)______； (2)______； (3)若，求的值； (4)当时，则的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3)2 (4)4 【分析】本题考查新定义，分式的运算，解一元一次方程，解题的关键是得到的结果以，5个为一组进行循环； （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据前面的几个等式，推出规律，进行求解即可； （3）根据规律，列出方程进行求解即可； （4）根据规律求出，再根据的取值范围求出最大值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）∵， ，， ∴， ∴， ∴的结果以，5个为一组进行循环， ∵， ∴； （3）由（2）可知： ∴， 解得：； ∴； （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，，最小， 此时最大为； 故答案为：4． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 若，求代数式的值． 解：，，即，， ． (1)若，则________，________； (2)解分式方程组； (3)若，，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题干中所给的倒数法即可求解； （2）先结合倒数法得出新的方程组，再结合二元一次方程组的加减消元法即可求解，注意最后需进行检验； （3）结合倒数法求出，，，三式相加再除以可推出，则根据倒数法即可得解． 【详解】（1）解：， ， 即， ， ， 则， 即， ， ． 故答案为：，． （2）解： 由得，， 由得，, 得，， 得，， 得，， ， ， ， ， 将代入得，， 解得， 经检验是分式方程组的解， 该分式方程组的解为． （3）解：， ， 即， ， ， 即， ， ， 即， ， ， 即， ． 6．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）数学思想、方法是数学的灵魂，若能灵活运用，会使得问题解决更简洁．“整体思想”就是一种非常重要的数学思想． 例如，已知，求的值．分析：多项式与在已知等式和待求式中反复出现，且差为常数2，因此，可以将与看作两个“整体”，设，，则，，． (1)已知a是一元二次方程的一个实数根，求的值； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，换元法解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）根据一元二次方程的解的意义可得，则，，将其代入原式并通分计算后再约分即可； （2）设，将原方程化为，解分式方程并检验后代入中解得x的值即可． 【详解】（1）解：是一元二次方程的一个实数根， ， ∴， ∴， 原式 ； （2）解：设， 原方程化为， 整理得：， 解得：，， 经检验，，均为方程的解， 当时，， 即， ， 该方程没有实数根， 当时，， 即， 解得：，， 故原方程的解为，． ( 江苏 考点0 4 二次 根式的化简计算与 推理 ) 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下列化简过程： 化简：． 解法一： 解法二： 请用其中一种方法完成下列问题： (1)化简： ①； ②； (2)计算：． 【答案】(1)①；②； (2)9． 【分析】（1）根据阅读材料中的解法计算即可求解； （2）直接利用分母有理化化简二次根式，再合并得出答案． 【详解】（1）解：①； ② ； 或①； ② ； （2）解： 2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 请先完成第题的填空，填写推理的依据，再完成第题的证明． (1)已知实数x，y满足，求证：． 证明：， ①______， ②______， ， ，， ，， ， ， ． (2)在三边长分别为a，b，的三角形中，利用的结论，求证： 【答案】(1)①不等式的基本性质1，②平方差公式 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、非负数的性质、三角形的三边关系、算术平方根、实数大小比较、不等式的性质，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，根据不等式的性质，及平方差公式即可判断得解； （2）依据题意，根据所给信息即可计算判断得解． 【详解】（1）解：由题意，， （①不等式的基本性质1）， （②平方差公式）， 故答案为：①不等式的基本性质1，②平方差公式． （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）【问题提出】是无理数，而无理数是无限不循环小数，如何表示的小数部分呢？ 【问题解决】因为，即， 所以的整数部分是1， 所以用来表示的小数部分． 【类比应用】 （1）的整数部分是______；小数部分是______； （2）如果的小数部分为的整数部分为，则______； 【拓展应用】 （3）已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】（1）2， （2）7 （3） 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分的理解与应用，以及代数式的化简分母有理化的运用． （1）找到最接近7的平方数，确定的范围即可知道整数部分和小数部分； （2）分别确定的小数部分和的整数部分，然后代入式子即可； （3）先确定的范围，再同时加4即可得出的整数部分和小数部分，代入代数式，最后进行化简即可． 【详解】解：（1）∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是， 故答案为：2，； （2）∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分是， ∵，即， ∴的整数部分是3，小数部分是， ∴，， ∴， 故答案为：7； （3）∵， ∴， ∴的整数分是6，小数部分， ∵，其中x是整数且， ∴，， ∴． 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)______________，______________，的小数部分＝______________； (2)设的小数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点即可求得和；已知，则可求得的小数部分； （2）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点可求得的整数部分和小数部分，进而可求得，遵循同样步骤可求得，将和代入原式即可得解； （3）利用有理数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，不等式的性质等知识点可求得的取值范围，进而根据已知条件可求得和，于是可求得，并最终求得的相反数． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 的小数部分为， 故答案为：，，； （2）解：， ， ， 的小数部分为， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ，是整数，且， ，， ， 的相反数为． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)______________； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)12 (3)4 【分析】（1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先利用a＝＋2得到a−2＝，两边平方得到a2−4a＝1，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1） 故答案为： （2）解：原式＝ ； （3）， a−2＝， ∴（a−2）2＝5，即a2−4a＋4＝5． ∴a2−4a＝1． ∴a4−4a3−4a＋3＝a2（a2−4a）−4a＋3 ＝a2×1−4a＋3 ＝a2−4a＋3 ＝1＋3 ＝4． 1 / 160 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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