精品解析：河南信阳市浉河中学2025-2026学年下学期5月阶段检测九年级数学

九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1. 如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作（ ） A. B. C. D. 2. 如图为一个3D打印的实体零件模型，该零件模型的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 2026年1月16日，太原卫星发射中心成功发射天启星座4颗卫星，这是我国低轨物联网卫星组网的重要一步．其中一颗卫星的运行轨道近似为圆形，轨道半径约为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则盖住的符号是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 7. 如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．正面印有吉祥物形象的四张卡片，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心，点，，均在圆弧上，经测量得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在等腰中，，点为的内心，动点从点出发沿的边运动，设点的运动路程为，为，关于函数的部分图象如图2所示，则的面积为（ ） 图1 图2 A. 15 B. 18 C. 20 D. 30 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式的次数是______． 12. 数学之美无处不在，如图是杨桃的横截面图，其形状呈“五角星”．将其放在平面直角坐标系中，若其横截面端点，两点的坐标分别为，，则点的坐标为________． 13. 如图，，，是正边形的三条边，在该正边形下方以为一边作正六边形．已知，则的值为_____． 14. 如图，在正方形中，，以为圆心，长为半径作，以中点为圆心，以为半径作弧与半圆交于点，则图中阴影部分的面积为_____. 15. 数学活动课上，老师让同学们用矩形纸片进行折叠探究活动：矩形中，，为边上一点，将翻折至，使点落在边上，为边上一点，再将翻折至，使点恰好落在上，作交于点，连接，当为直角三角形时，长为_____. 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算及化简． （1）计算：； （2）化简：． 17. 浉河中学积极响应人工智能赋能基础教育这一政策，聚焦两款备课辅助软件：“讯飞备课助手”（简称款）、“豆包教学辅助工具”（简称款），开展了教师对，两款备课辅助软件的使用满意度评分测验（一名教师仅对一款备课辅助软件进行评分），并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用整数表示，满分100分，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：（单位：分）抽取的对款备课辅助软件的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，87，88；抽取的对款备课辅助软件的评分数据：66，67，68，83，85，86，86，87，87，88，88，89，95，96，96，98，98，98，99，100； 抽取的对，款备课辅助软件的评分统计： 备课软件 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 88 96 88 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为哪款备课辅助软件更受教师喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）此次测验有300名教师对款备课辅助软件进行评分，有200名教师对款备课辅助软件进行评分，请估计对备课辅助软件不满意的共有多少人？ 18. 学完矩形和正方形的性质后，善于思考的小聪同学利用矩形和正方形的性质解决如下问题：如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，均为格点（网格线的交点），请用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图中，画出的角平分线； （2）在图中，在的边上找一点，连接，使得平分的面积； （3）在图中，点是上一点，请在上找一点，使得． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，，反比例函数 的图象经过正方形的中心 Q． （1）求反比例函数的表达式． （2）将边上一点E绕点 Q 逆时针旋转，若旋转后的点 恰好落在 的图象上，求点 E 的坐标． 20. 开封刺绣历史悠久，早在北宋时期就已闻名，民间多把开封刺绣称为“汴绣”，2008年入选中国非物质文化遗产，某网店老板小杰在开封某汴绣专营店选中，两款高端汴绣，决定从该店进货并销售，已知两款汴绣的进货价和销售价如下表： 类别价格 款汴绣 款汴绣 进货价（元/件） 180 85 销售价（元/件） 250 120 （1）第一次小杰用14200元购进了，两款汴绣共100件，求两款汴绣各购进多少件； （2）在（1）的条件下，该网店老板小杰在春节前夕，为了快速实现资金回流，计划开展打折促销活动，已知每件种汴绣产品打8折，若要使两种汴绣产品全部销售完的利润不低于3140元，求种汴绣产品最低打几折？ 21. 如图，为某物流中心，，，为三个驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在的南偏西方向.（参考数据：，，，）（结果精确到） （1）求驿站与驿站之间的距离； （2）购物节期间，派送员从物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途经，两个驿站时各停留存放快递，请通过计算说明派送员能否在内到达驿站. 22. 我们知道，对于平移前后的两个图形，连接对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离，已知点为平面直角坐标系内一点． （1）若将点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，则点的平移距离的长度为_____； （2）将直线平移得直线，设直线上任意一点平移后的对应点为．若直线的平移距离，且直线平行于第二、四象限的角平分线，求直线的函数表达式； （3）将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线当时，抛物线上的点到轴的距离都小于，直接写出抛物线的平移距离的取值范围_____． 23. 综合与实践：在凸四边形中，对角线平分，，过点作直线于， 【特例感知】 （1）如图，若，则的值为_____； 【深入探究】 （2）如图，当垂足不与点重合时，请判断（）中的结论是否成立？并说明理由； 【拓展延伸】 （3）连接并延长交直线于点，请根据题意补全图形，当，时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1. 如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵水位升高时水位变化记作，即规定升高记为正，下降记为负， ∴水位下降时水位变化记作． 2. 如图为一个3D打印的实体零件模型，该零件模型的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图是从上往下看得到的图形，进行判断即可. 【详解】解：该零件模型的俯视图为： 3. 2026年1月16日，太原卫星发射中心成功发射天启星座4颗卫星，这是我国低轨物联网卫星组网的重要一步．其中一颗卫星的运行轨道近似为圆形，轨道半径约为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于选项A，，，∴A错误． 对于选项B，，∴B正确． 对于选项C，，，∴C错误． 对于选项D，，，∴D错误． 5. 不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则盖住的符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用数轴表示不等式的解集，根据数轴，确定不等式的解集，再根据不等式的性质即可得出结果．熟练掌握用数轴表示不等式的方法，是解题的关键． 【详解】解：由题意得：不等式的解集为：， ， ， 则盖住的符号是． 故选：B． 6. 关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵ 是方程的根， 设另一根为， ∴， 解得：， ∴方程的另一个根为． 7. 如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过E作，得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 8. 2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．正面印有吉祥物形象的四张卡片，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用列表法得到所有等可能的抽取结果，再找出符合题意的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四张卡片分别记为． A B C D A —— A,B A,C A,D B B,A —— B,C B,D C C,A C,B —— C,D D D,A D,B D,C —— ∵从四张卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果共12种，其中恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的结果有2种． ∴恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为． 故选：C． 9. 如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心，点，，均在圆弧上，经测量得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】补全整个圆，进而根据圆周角定理作答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ， ∴． 10. 如图1，在等腰中，，点为的内心，动点从点出发沿的边运动，设点的运动路程为，为，关于函数的部分图象如图2所示，则的面积为（ ） 图1 图2 A. 15 B. 18 C. 20 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，利用函数图象得出的长是解题的关键． 设点的运动路程为，根据图象可得当时，点与点重合，由此求出，再利用函数图象当取最小值时，取最小值，，可得，进而求出点到三角形三边的距离，再根据等腰三角形性质和三角形的内心求出，，最后勾股定理列方程求出，由此即可利用三角形面积公式解答即可． 【详解】解： 如图：过点作，垂足为，延长交于， 当时，点与点重合，此时，∴， 当时，即，最小，此时，即如图点与点重合，∴， 即：， 又∵， ∴， ∵， ∵点为的内心， ∴， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 又∵，即， ∴，即， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式的次数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了单项式的次数，字母的指数之和为单项式的次数，据此即可作答． 【详解】解：依题意，， 则单项式的次数是3， 故答案为：3． 12. 数学之美无处不在，如图是杨桃的横截面图，其形状呈“五角星”．将其放在平面直角坐标系中，若其横截面端点，两点的坐标分别为，，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据端点，两点的坐标确定坐标原点的位置和单位长度，建立直角坐标系，即可求解出点的坐标． 【详解】解：∵端点，两点的坐标分别为，， ∴小方格的边长为1个单位长度，且点A在x轴负半轴1个单位，y轴正半轴2个单位， 点C在x轴正半轴3个单位，y轴正半轴1个单位， 由此建立坐标系如图： ∴点B的坐标为． 13. 如图，，，是正边形的三条边，在该正边形下方以为一边作正六边形．已知，则的值为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】先根据正多边形内角和公式求出正六边形的一个内角度数，再根据点处的三个角之和为求出正边形的一个内角度数，最后利用正边形内角公式列方程求解的值． 【详解】解：正六边形的一个内角为． 由图可知，正边形的一个内角、正六边形的一个内角与构成一个周角． 设正边形的一个内角为， 则． 解得． 根据正边形内角公式，得． 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 14. 如图，在正方形中，，以为圆心，长为半径作，以中点为圆心，以为半径作弧与半圆交于点，则图中阴影部分的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形和圆的性质，连接、，证明四边形是正方形，得出扇形与扇形的面积相等，再通过割补法，用扇形的面积减去正方形的面积，求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接、． ∵四边形是正方形，， ∴，． ∵是的中点， ∴． ∵为圆心，为半径作弧， ∴． ∵为圆心，为半径作弧， ∴． ∵以为半径作弧与半圆交于点， ∴ ∴四边形是菱形． 又∵， ∴四边形是正方形． ∴ ∴， ∴扇形的面积扇形的面积． 阴影部分面积． 15. 数学活动课上，老师让同学们用矩形纸片进行折叠探究活动：矩形中，，为边上一点，将翻折至，使点落在边上，为边上一点，再将翻折至，使点恰好落在上，作交于点，连接，当为直角三角形时，长为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】延长交于点，证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，分和两种情况讨论即可． 【详解】解：延长交于点， 矩形中，，， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， 由折叠得， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴，即， 设，则，， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴； 当时，如图， ∵， ∴三点共线，即两点重合， ∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴， ∴，即为的中点， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算及化简． （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）分别计算绝对值，有理数的乘方，负整数指数幂、零指数幂，再进行加减计算即可； （）根据完全平方公式、平方差公式分别化简，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 浉河中学积极响应人工智能赋能基础教育这一政策，聚焦两款备课辅助软件：“讯飞备课助手”（简称款）、“豆包教学辅助工具”（简称款），开展了教师对，两款备课辅助软件的使用满意度评分测验（一名教师仅对一款备课辅助软件进行评分），并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用整数表示，满分100分，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：（单位：分）抽取的对款备课辅助软件的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，87，88；抽取的对款备课辅助软件的评分数据：66，67，68，83，85，86，86，87，87，88，88，89，95，96，96，98，98，98，99，100； 抽取的对，款备课辅助软件的评分统计： 备课软件 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 88 96 88 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为哪款备课辅助软件更受教师喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）此次测验有300名教师对款备课辅助软件进行评分，有200名教师对款备课辅助软件进行评分，请估计对备课辅助软件不满意的共有多少人？ 【答案】（1），， （2）款，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图百分比之和为求；先确定款各等级数据个数，再排序求中位数；找出款评分数据中出现次数最多的数即为众数； （2）对比两款软件的平均数、中位数、众数、“非常满意”占比即可； （3）用总人数对应不满意的百分比，求和得到总不满意人数． 【小问1详解】 解：款 “不满意”占，“非常满意”占，“满意” 的有6个，抽取总份数为20， “满意”占比：， ； 款共20个数据，中位数为第10、11个数的平均数， 不满意：个； 比较满意：个； 满意：6个； 非常满意：个． 前个包含不满意、比较满意、满意数据， 第10、11个数据为满意等级：87、88， ； 款评分数据：66，67，68，83，85，86，86，87，87，88，88，89，95，96，96，98，98，98，99，100， 其中98出现3次，出现次数最多， ． 【小问2详解】 解：选款， 理由：款和款平均数相同，但款“非常满意”所占百分比（）高于款（），说明款更受教师喜爱． 【小问3详解】 解：款不满意占比， 款不满意占比：， 总不满意人数： (人)． 18. 学完矩形和正方形的性质后，善于思考的小聪同学利用矩形和正方形的性质解决如下问题：如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，均为格点（网格线的交点），请用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图中，画出的角平分线； （2）在图中，在的边上找一点，连接，使得平分的面积； （3）在图中，点是上一点，请在上找一点，使得． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】（）在网格上画正方形，然后连接即可； （）根据网格特征，通过矩形的性质找出中点即可； （）根据网格特征，通过正方形的性质即可找出点． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 理由：由网格可知，，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴平分， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求， 理由：由（）可得：，四边形是正方形， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，，反比例函数 的图象经过正方形的中心 Q． （1）求反比例函数的表达式． （2）将边上一点E绕点 Q 逆时针旋转，若旋转后的点 恰好落在 的图象上，求点 E 的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质求出点C的坐标，根据中点坐标公式求出点Q的坐标，最后根据待定系数法求解即可； （2）连接，，，，，设，则，证明，可得出，，求出，把代入求出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵正方形的顶点，， ∴，轴， ∴， 又Q是正方形的中心， ∴，即， ∵反比例函数 的图象经过正方形的中心 Q ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：连接，，，，， 设，则 ∵Q是正方形的中心， ∴，，， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵恰好落在 的图象上， ∴， ∴． 20. 开封刺绣历史悠久，早在北宋时期就已闻名，民间多把开封刺绣称为“汴绣”，2008年入选中国非物质文化遗产，某网店老板小杰在开封某汴绣专营店选中，两款高端汴绣，决定从该店进货并销售，已知两款汴绣的进货价和销售价如下表： 类别价格 款汴绣 款汴绣 进货价（元/件） 180 85 销售价（元/件） 250 120 （1）第一次小杰用14200元购进了，两款汴绣共100件，求两款汴绣各购进多少件； （2）在（1）的条件下，该网店老板小杰在春节前夕，为了快速实现资金回流，计划开展打折促销活动，已知每件种汴绣产品打8折，若要使两种汴绣产品全部销售完的利润不低于3140元，求种汴绣产品最低打几折？ 【答案】（1）A款汴绣购进60件，B款汴绣购进40件 （2）A种汴绣产品最低打9折 【解析】 【分析】（1）根据总件数和总进价两个等量关系列二元一次方程组求解； （2）根据总利润不低于3140元的不等关系列一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：设A款汴绣购进件，B款汴绣购进件． 根据题意可得： 解得 答：A款汴绣购进60件，B款汴绣购进40件． 【小问2详解】 解：设A种汴绣产品打折． 根据题意，总利润不低于3140元， 列不等式得： 解得： 答：A种汴绣产品最低打9折． 21. 如图，为某物流中心，，，为三个驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在的南偏西方向.（参考数据：，，，）（结果精确到） （1）求驿站与驿站之间的距离； （2）购物节期间，派送员从物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途经，两个驿站时各停留存放快递，请通过计算说明派送员能否在内到达驿站. 【答案】（1） （2）派送员不能在内到达驿站Q 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线之后结合题目所给的参考数据用三角函数求出对应线段长度即可， （2）算出线段长，用路程除以速度算出时间，将总时间与比较大小即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，于点， 由题意得，，，， ， ， 由题意可得：， ， ， ， 答：驿站P与驿站N之间的距离约为． 【小问2详解】 解：根据题意可得， ， ， 派送员不能在内到达驿站Q． 22. 我们知道，对于平移前后的两个图形，连接对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离，已知点为平面直角坐标系内一点． （1）若将点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，则点的平移距离的长度为_____； （2）将直线平移得直线，设直线上任意一点平移后的对应点为．若直线的平移距离，且直线平行于第二、四象限的角平分线，求直线的函数表达式； （3）将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线当时，抛物线上的点到轴的距离都小于，直接写出抛物线的平移距离的取值范围_____． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了点的平移规律，坐标系中两点的距离公式，一次函数图像的平移变化，二次函数图象的平移变换． （1）根据平移的规律求出平移后点的坐标，再根据距离公式求解即可； （2）先确定平移方向，再结合平移距离求出平移的单位长度，最后根据直线平移规律求函数表达式； （3）设沿射线平移的距离为，可看成沿轴向右平移个单位，沿轴向上平移个单位，确定平移后抛物线的顶点，进而得到平移后抛物线的解析式，最后利用抛物线的点到轴的距离都小于，列不等式求解． 【小问1详解】 解：点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ， ， 故答案为． 【小问2详解】 解：直线平行于第二、四象限的角平分线， 点的平移方向平行于直线， 设点沿轴平移个单位，沿轴平移个单位， ， ， 直线沿直线方向平移个单位，相当于向左平移个单位，向上平移个单位，或向右平移个单位，向下平移个单位， 直线的函数表达式：或， 直线的函数表达式为：或． 【小问3详解】 解： 平移前顶点， 设沿射线平移的距离为，可看成沿轴向右平移个单位，沿轴向上平移个单位， ， 解得：， 平移后顶点为， 平移后解析式为， 当时，， 当时，， 当时，抛物线的点到轴的距离都小于， 解得 ， ， ， ， 综上：． 23. 综合与实践：在凸四边形中，对角线平分，，过点作直线于， 【特例感知】 （1）如图，若，则的值为_____； 【深入探究】 （2）如图，当垂足不与点重合时，请判断（）中的结论是否成立？并说明理由； 【拓展延伸】 （3）连接并延长交直线于点，请根据题意补全图形，当，时，直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）结论仍然成立，理由见解析； （3）线段的长为． 【解析】 【分析】（）延长交直线于点，证明是的中位线，则有，从而求解； （）延长交直线于点，由平分，得，证明，所以，再证明，所以，故，从而有是中位线，再由中位线性质可得； （）根据“连接并延长交直线于点”且，符合题意只有当垂足在点右侧时，延长交直线于点，过作于点，则，然后证明，则，又，可得，证明，所以，，由（）得 ，，故有 ，设，则，通过勾股定理得，即，求出即可． 【小问1详解】 解：如图，延长交直线于点， ∵，， ∴，，垂足与点重合， ∴， ∴，， ∴是的中位线， ∴， ∴，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（）中的结论仍然成立，理由： 如图，延长交直线于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是中位线， ∴， 【小问3详解】 解：如图，根据“连接并延长交直线于点”且，符合题意只有当垂足在点右侧时，延长交直线于点，过作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴，， 由（）得 ，， ∴ ， 设，则 ∵， ∴ ， ∴ ， 在中，， ∴，解得：， ∴， 综上可得：线段的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $