广东省中山市第一中学2025-2026学年高二上学期期末模拟训练数学试卷三

《大湾区2025-2026高二上学期期末模拟训练数学试卷三》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A A B C B D ABD AC 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】将数据从小到大排序：，数据个数． 下四分位数的位置， 由于是整数，下四分位数是第项与第项数据的平均值，即第2项和第3项数据的平均值：． 故选：B． 2．A 【详解】已知方程表示椭圆， 则，则或， 故实数m的范围是. 故选：A 3．A 【详解】由题知，为的中点，设 则，解得，即 故选：A 4．A 【详解】由是直线的一个法向量，得直线的一个方向向量为，其斜率为， 所以直线的方程为，即. 故选：A 5．B 【详解】设，中点， 则， 解得，所以. 故选：B． 6．C 【详解】依题意，在每组随机数中，至少有2个数字在3，4，5，6，7，8，9中， 即代表甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次， 经统计，20组中一共有15组符合要求， 有：759，143，345，257，704，066，186，037，624，616，045，366，959，742，428， 故甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为． 故选：C． 7．B 【详解】由题意知方程即表示圆，圆心为，半径为， 对于①，设，则只需直线与圆有公共点， 则，解得，    即的最大值为，①正确； 对于②，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离， 而上的点到原点距离的最大值为， 即t的最大值为，故的最大值为，②正确； 对于③，设，则，则直线和圆有公共点， 则，解得，即的最大值为，③错误； 对于④，设，则直线与圆有公共点， 则，解得， 即的最大值为，④错误； 故选：B. 8．D 【详解】解：如图，取中点，连接， 因为，所以，， 设，因为，则， 又，所以，， 所以，，则，所以，， 过点且倾斜角为的直线方程为，，所以，， 在中，由勾股定理可得，即，① 在中，，即，② 联立①②消去化简得，所以，双曲线的离心率． 故选：D. 9．ABD 【详解】对于A：因为，且， 所以，，三点共线，故A正确； 对于B：由空间向量共面定理可知，对于空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确； 对于C：例如满足，由，可知， 即共线同向，即与的夹角为，故C错误； 对于D：因，且， 根据空间向量共面的推论知，，，四点共面，故D正确. 故选：ABD 10．AC 【详解】对于A，对于事件A与事件B，可得， 且， 即事件A与事件B是相互独立事件，故A正确； 对于B，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生， 如第一次记录的数字为1，第二次记录的数字为4，故选项B错误； 对于C，与相互独立，所以，故C正确. 对于D，因为，，， 所以，而事件等价于事件， 即第一次记录的数字为奇数且第二次记录的数字为偶数， 可得，故D错误. 故选：AC. 11．ABD 【详解】 在上只存在2处点的位置，使得的面积为，则点必为椭圆的上下顶点， 即此时面积为：，由椭圆方程可知：， 所以，则，即，故A正确；‘ 是椭圆上一点，则， 由直线的斜率为， ， 又因为， 所以，故B正确； 举例，当，所以，，且取，利用等面积法来表示内切圆半径， 即，则圆心， 则此时的直线的斜率之积为, 而此时的，显然此时的直线的斜率之积不为，故C错误； 因为，所以，即准线方程为，， 根据椭圆的第二定义：， 焦点到准线的距离为， 作出椭圆的准线，再过点作准线的垂线，垂足分别为， 再过点作垂线，垂足为， 解直角梯形可得：， 又因为，所以解得， 同理可得：， 即，故D正确； 故选：ABD． 12． 【详解】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 13．4 【详解】设七个数分别为，所以，， 当加入一个新数据3时，此时这8个数的平均数为， 所以，这8个数的方差，解得， 所以，某七个数据的方差. 故答案为： 14． 【详解】由题意可知，点到直线的距离， 即，得或， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 15． 【详解】（1）根据相互独立事件的概率公式，可得两人均击中目标的概率为. （2）甲击中2次，乙击中1次的概率为， 甲击中1次，乙击中2次的概率为， 故在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率为. （3）由题意知，第三轮和第四轮甲均未击中目标，乙均击中目标， 若乙击中3次，甲击中2次，则前两轮乙击中1次，甲击中2次，概率为， 若乙击中2次，甲击中1次，则前两轮甲击中1次，乙均未击中，概率为 ， 故所求概率为. 16． 【详解】（1）将直线l方程变形得， 联立，解得，所以不论k取何值，直线l必过定点， 圆C：，圆心坐标为，半径， 因为，所以点P在圆C内部， 则直线l与圆C恒有两个交点． （2）直线l经过圆C内定点，圆心， 记圆心C到直线的距离为d，则， 所以，当取得最大值时，取得最小值， 由图可知，，所以直线时，取得最小值， 此时， 因为，所以直线l的斜率为， 又直线l过点， 所以当取得最小值时，直线l的方程为，即， 综上：最小值为，此时直线l方程为    17． 【详解】（1），得， ，得. （2）大理旅游满意度评分的平均数为： （分） （3）由分层抽样知，满意度在的两组中分别抽取人，人， 不妨设满意度在中抽取的3人为，满意度在中抽取的2人为， 从这5人中随机抽取2人所得基本事件为：，共10个， 其中选取的2人满意度分别在和内的基本事件为：，共6个， 所以. 18． 【详解】（1）证明：在图1中的等腰直角中，为的中点，可得， 所以在图2中，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，因为为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，. （2）解：以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. （3）解：假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 由（2）得， 设，则， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 19． 【详解】（1）因为的一条渐近线方程为， 到渐近线的距离为， 过得， 解得：， 所以的方程为①． （2）显然直线的斜率存在，设的方程为②， ①②联立得：． 则有③，④， 设， 则⑤，⑥， 把⑤⑥代入：， 所以， 得：，解得：． 满足③④式，则直线的方程为． （3）设，不妨设．则直线⑦， 联立①⑦得：， 则， 则； 同理：． 而，， 又三点共线，则有， 则， 得：， 所以的中点为定点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大湾区2025-2026高二上学期期末模拟训练数学试卷三 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题5分）一个数学小组的数学成绩为，则这组数据的下四分位数为（    ） A．90 B．90.5 C．94.5 D．94 2．（本题5分）已知方程表示椭圆，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）空间直角坐标系中，若点关于点的对称点为C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知是直线上一点，且是直线的一个法向量，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（本题5分）为加强学生身体健康，惠州一中对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.7，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算机产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2表示没有及格，3，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（　　） A．0.65 B．0.7 C．0.75 D．0.8 7．（本题5分）已知实数，满足方程，则下列说法不正确的个数（    ） ①的最大值为        ②的最大值为 ③的最大值为        ④的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4 8．（本题5分）设双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线分别交的左、右两支于、两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（本题6分）下列说法正确的有（    ） A．若空间中点，，，满足，则，，三点共线 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．，，若，则与的夹角为锐角 D．对空间任意一点O和不共线三点，，，若，则，，，共面 10．（本题6分）在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（   ） A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是互斥事件 C． D． 11．（本题6分）已知椭圆 ，其左右顶点分别为，左右焦点分别为．是椭圆上一点，的离心率为，则（    ） A．若在上只存在2处点的位置，使得的面积为，那么 B．直线的斜率为，那么 C．若为内切圆圆心，那么直线的斜率之积为 D．延长交于，若，，那么 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（本题5分）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 13．（本题5分）已知某7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为．则 ． 14．（本题5分）若圆上到直线（为实数）的距离为1的点有且仅有2个，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一次.甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，假设甲、乙的射击相互独立. (1)求在一轮比赛中，两人均击中目标的概率； (2)求在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率； (3)若一人连续两轮未击中目标，对方这两轮均击中目标，则比赛结束，求比赛进行了四轮就结束，且乙比甲多击中目标1次的概率. 16．（本题15分）已知圆C：与直线l： (1)证明：直线l和圆C恒有两个交点； (2)若直线l和圆C交于两点，求的最小值及此时直线l的方程． 17．（本题15分）为进一步优化云南省旅游业，云南文旅针对来滇游客发起了关于大理、丽江的旅游满意度调查，满意度评分采用百分制，根据调查数据得到如图的频率分布直方图： (1)分别求出频率分布直方图中的； (2)求出大理旅游满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组数据的中点值来代表）； (3)若采用按比例分层随机抽样的方法从丽江旅游满意度在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人满意度分别在和内的概率． 18．（本题17分）如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． (1)证明：． (2)求平面和平面所成角的余弦值． (3)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 19．（本题17分）已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为．点在的渐近线上，过的直线与交于两点，直线分别与轴交于两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程； 试卷第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $