考点01 平行四边形的性质与判定（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 以“概念-性质-判定-应用”为主线，融合方法提炼与易错警示，系统构建平行四边形知识体系与解题框架，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点梳理|5大考点（含三角形中位线）|性质分类表、判定条件选择策略|从定义推导性质，以性质逆向构建判定定理，关联平行线间距离形成知识网络| |题型突破|11类题型（选择/填空/解答）|角度计算倒角技巧、等积变形模型、折叠问题方程法|基础题型（求角度边长）→综合应用（判定证明、坐标与折叠）→拓展迁移（中位线联动），层层递进|

考点01 平行四边形的性质与判定 考点一：平行四边形的概念 ·定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 考点二：平行四边形的性质 性质 类别 定理内容与几何表述 边 平行四边形的对边平行、对边相等 几何表述：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD、AD∥BC，AB=CD、AD=BC 角 平行四边形的对角相等、邻角互补 几何表述：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，∠ADC=∠ABC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 几何表述：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=CO，BO=DO 对称性 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 周长 ①等于两邻边和的2倍，即2(AB＋BC)； ②对角线分得的4个小三角形中： 相邻两个小三角形的周长之差＝平行四边形两邻边之差，即|AB－AD| 面积 ①边长×该边上的高，即S▱ABCD＝BC·h(h为BC边上的高)； ②过平行四边形对称中心的直线平分该平行四边形的面积 考点三：平行四边形的判定 判定 类别 判定方法 几何表述 边 ①定义法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD、AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD为平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD、AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形 对角线 ④对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO，BO=DO， ∴四边形ABCD为平行四边形 *角 *⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ADC=∠ABC，∴四边形ABCD为平行四边形 考点四：平行线间的距离 平行线间的距离定义 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. （注：距离是指垂线段的长度，是正值） 平行线间的距离性质及推论 ①夹在两条平行线间的平行线段相等 ②夹在两条平行线间的垂线段相等 ∵l1∥l2，AB∥CD，∴AB=CD ∵l1∥l2，EF⊥l2 ，GH⊥l2，∴EF=GH 考点五：三角形的中位线 三角形的中位线 类别 位置与数量关系 中位线 性质定理 三角形有三条中位线，每一条与第三边平行，并且等于第三边的一半 几何表述：∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点， ∴DE∥AC、DE=AC，DF∥BC、DF=BC，EF∥AB、EF=AB 推论1 三角形的三条中位线把原三角形分成全等的4个小三角形 几何表述：≌≌≌ 推论2 每个小三角形的面积为原三角形面积的 几何表述：S△ADF = S△DBE = S△FEC = S△EFD = S△ABC 题型一：根据平行四边形的性质求角度 1. 活用对角相等、邻角互补、对边平行倒角； 2. 结合平行线内错角、同位角关系推算； 3. 叠加三角形内角和、外角性质综合计算。 1. 混淆邻角、对角关系，误算角度数值 2. 结合平行线、三角形外角时角度推导出错 3. 忽略平行四边形邻角互补、对角相等核心关系 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，若，，，则______． 题型二：根据平行四边形的性质求边长 1. 记错对边相等性质，边长等量代换失误 2. 周长计算时分段长度统计遗漏 3. 对角线平分线段，易混淆线段对应关系 ①将平行四边形与三角形结合，大多数问题是在平行四边形中解三角形（联系全等和勾股定理）； ②利用等面积法求一边上的高； ③在不能直接求边长的三角形里，可运用方程思想. 1．如图，在中，点、分别在、的延长线上，，．若，，则的长是（      ） A． B．4 C． D． 2．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，若平行四边形的周长为，，相交于点O且为，则的周长为______． 3．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在等腰中，，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是_______． 题型三：平行四边形的对称性 1. 误判为轴对称图形，混淆中心对称与轴对称 2. 对称点、对称线段对应关系找错 明确为中心对称图形，对角线交点是对称中心； 1．下列图形中不是轴对称图形，只是中心对称图形的是（    ） A．等边三角形 B．圆 C．平行四边形 D．线段 2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）关于平行四边形的对称性的描述，错误的是（   ） A．平行四边形一定是中心对称图形 B．平行四边形一定是轴对称图形 C．平行四边形的对称中心是两条对角线的交点 D．平行四边形的对称中心只有一个 题型四：判定平行四边形 1. 判定定理混用，误用一组对边平行判定 2. 条件拼凑不全，凭直观判定图形形状 判定平行四边形的具体方法 已知 判定方法 一组对边平行 ①定义法：说明另一组对边平行（两组对边分别平行） ②说明这组对边相等（一组对边平行且相等） 一组对边相等 ①说明另一组对边相等（两组对边分别相等） ②说明这组对边平行（一组对边平行且相等） 一条对角线有中点O 说明O是另一条对角线的中点 其它条件 转化为可直接用平行四边形判定定理的条件 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．设四边形的对角线与相交于点O,下列条件中,不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了其中的两块碎玻璃到商店配了一块与原先相同的平行四边形玻璃，他带的两块碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 5．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 题型五：根据平行四边形的性质进行证明 1. 性质运用混乱，推理逻辑断层 2. 边角等量关系书写不规范 1. 提取对边平行相等、对角相等、对角线互相平分等量关系； 2. 结合全等、平行线性质作为推理依据； 3. 层层推导，完成线段、角度等量证明。 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 2．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 题型六：证明一个四边形为平行四边形 1. 证明条件不充分，缺少关键等量、平行条件 2. 定理选用不当，增加解题复杂度 ·优先证边的平行、相等关系，其次证对角线关系； ·条件不足时，借助全等、平行线推导所需边角条件。 1．如图，在平行四边形中，，分别是边和上的点，且，连接，，求证：四边形是平行四边形． 2．已知：如图，在中，E，F分别为和上的点，和相交于点O，且．求证：四边形为平行四边形． 3．如图，在中，是上一点，和关于点对称，连接，求证：四边形是平行四边形． 4．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期末）如图，的对角线、相交于点O，E、F是的对角线上的两点，且，连接、、、．求证：． 5．（20-21八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形．求证：四边形是平行四边形．    题型七：根据三角形的中位线求边长 1. 中位线与中线概念混淆 2. 记错中位线长度比例，倍数关系颠倒 1. 牢记中位线定理：平行第三边，长度等于第三边一半； 2. 找准中位线与对应底边，直接换算边长； 3. 结合平行四边形边长关系联动计算。 1．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，求的度数_____． 4．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，求的度数． 题型八：平行四边形的判定与性质综合 1. 判定和性质交替使用时思路混乱 2. 图形拆分不当，找不到基础边角关系 ·平行四边形的判定思路 ·应用平行四边形的性质转化边角关系 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 2．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，E、F、G、H分别为、、、的中点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求四边形的周长． 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，是一条中位线，连接，过点D作的平行线交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 4．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在与中，点，，，在同一条直线上，连接，，且，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 5．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． (1)证明：是等腰三角形； (2)连接，若，．求的面积． 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 7．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，于点D，点E，F分别是的中点，点O是的中点，的延长线交线段于点G，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的长． 题型九：平行四边形的性质与等积变形 1. 误认为形状改变面积随之改变 2. 高与底边对应匹配错误，面积计算出错 ·主要方法： 1.同底等高平行四边形面积相等； 2. 平行线间距离恒定，图形平移面积不变； 3. 分割拼接转化图形，简化面积计算与比较。 ·等分面积模型 对于平行四边形、矩形、菱形和正方形，过其对称中心的任意一条直线，均可将它们的面积和周长分成相等的两部分。如图，AE＝CF，DE＝BF，△AOE≌△COF，S四边形AEFB＝S四边形DEFC； 两条对角线将平行四边形的面积四等分，S△AOB＝S△COB＝S△COD＝S△AOD． 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，分别是和的中点，是上的一个动点，从点运动到点在点的运动过程中，与的面积之和（  ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大再变小 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 3．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为_______________． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期末）【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 题型十：坐标与平行四边形——根据对称性求平行四边形的顶点坐标 1. 中心对称坐标换算符号出错 2. 多情况顶点位置分类讨论遗漏 1. 依托中心对称、对角线中点坐标、勾股定理求两点间距离公式解题； 2. 利用对边平行且相等，通过平移规律算坐标； 3. 分类讨论不同顶点排布情况，避免漏解。 1．（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为______． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知四边形是平行四边形，，，，点M是上一动点，N为的中点，连接，，当时，点M的坐标为 ____________ ． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为_____． 题型十一：平行四边形的折叠问题 1. 折叠前后对应边、对应角识别错误 2. 忽略折叠全等，不会利用等量关系列等式 1. 折叠前后图形全等，对应边、角保持相等； 2. 结合平行四边形原有性质，梳理等量关系； 3. 设未知线段，借助勾股定理和方程求解长度、角度。 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，将平行四边形沿对角线翻折，点B落在点E处，交于点F．若，，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中，，是边上的中点，连接，把沿翻折至所在的平面内，得．若，，则点到的距离是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，四边形中，，，，边上一点E满足，连接D，E．现将沿折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则点E到边的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在中，，，D为的中点，E为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点为顶点的四边形为平行四边形，则此平行四边形的面积为________． 6．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，点是对角线的中点，沿过点的直线将折叠，使点，分别落在、处，交与点，若点是的中点，，，则________． 1．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，平行四边形的两条对角线，相交于点，点E，F分别是，上的点，连接，，，，添加下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图,在中,,将绕点顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），连接,与线段交于点．若,则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点H、F分别是边上的点，连接，点P是右侧一点，连接与交于点D，且，，如果，那么的面积与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上， 且，， 若直线以每秒1个单位长度的速度向下平移，则经过（    ）秒该直线可将平行四边形的面积平分？ A．6秒 B．秒 C．5秒 D．3秒 5．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，的周长为1，点，，分别是边，，的中点；点，，分别是边，，的中点；；依此类推，则的周长是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 8．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，平分交于点．且，连接，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，把放在直角坐标系中，其中，，点，的坐标分别是和，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为______． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为_______． 11．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在平行四边形中，点E为边上一点，将沿翻折，点B的对应点F恰好落在的延长线上，且．若，则的长度为____． 12．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，点分别在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，连接，取的中点，连接．若，则线段的长为________． 13．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，分别是、上的点，且，和的交点为，和的交点为，求证：，． 14．（24-25八年级下·河北承德·期末）【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F，G，．求证：． 15．（25-26八年级上·山东淄博·期末）（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 16．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，和的平分线，交于边上的点．求证：为的中点； 【问题解决】 （2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园，点是上一点，连接、，沿和修建景观步道，平分，平分，为花卉区，是休憩草坪区，为健身活动区．为方便游客，在中点设休息驿站，并修建一条连接驿站与大门的观景小道，与交于点，规划师需确定与的数量关系，请你帮忙解答并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 平行四边形的性质与判定 考点一：平行四边形的概念 ·定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 考点二：平行四边形的性质 性质 类别 定理内容与几何表述 边 平行四边形的对边平行、对边相等 几何表述：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD、AD∥BC，AB=CD、AD=BC 角 平行四边形的对角相等、邻角互补 几何表述：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，∠ADC=∠ABC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 几何表述：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=CO，BO=DO 对称性 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 周长 ①等于两邻边和的2倍，即2(AB＋BC)； ②对角线分得的4个小三角形中： 相邻两个小三角形的周长之差＝平行四边形两邻边之差，即|AB－AD| 面积 ①边长×该边上的高，即S▱ABCD＝BC·h(h为BC边上的高)； ②过平行四边形对称中心的直线平分该平行四边形的面积 考点三：平行四边形的判定 判定 类别 判定方法 几何表述 边 ①定义法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD、AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD为平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD、AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形 对角线 ④对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO，BO=DO， ∴四边形ABCD为平行四边形 *角 *⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ADC=∠ABC，∴四边形ABCD为平行四边形 考点四：平行线间的距离 平行线间的距离定义 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. （注：距离是指垂线段的长度，是正值） 平行线间的距离性质及推论 ①夹在两条平行线间的平行线段相等 ②夹在两条平行线间的垂线段相等 ∵l1∥l2，AB∥CD，∴AB=CD ∵l1∥l2，EF⊥l2 ，GH⊥l2，∴EF=GH 考点五：三角形的中位线 三角形的中位线 类别 位置与数量关系 中位线 性质定理 三角形有三条中位线，每一条与第三边平行，并且等于第三边的一半 几何表述：∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点， ∴DE∥AC、DE=AC，DF∥BC、DF=BC，EF∥AB、EF=AB 推论1 三角形的三条中位线把原三角形分成全等的4个小三角形 几何表述：≌≌≌ 推论2 每个小三角形的面积为原三角形面积的 几何表述：S△ADF = S△DBE = S△FEC = S△EFD = S△ABC 题型一：根据平行四边形的性质求角度 1. 活用对角相等、邻角互补、对边平行倒角； 2. 结合平行线内错角、同位角关系推算； 3. 叠加三角形内角和、外角性质综合计算。 1. 混淆邻角、对角关系，误算角度数值 2. 结合平行线、三角形外角时角度推导出错 3. 忽略平行四边形邻角互补、对角相等核心关系 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】利用平行四边形“对角相等”的性质，得出，再根据“邻角互补”的性质，计算出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 2．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，若，，，则______． 【答案】/23度 【难度】0.85 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由平行四边形的性质得，即得，进而根据等腰三角形的性质得，再根据三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二：根据平行四边形的性质求边长 1. 记错对边相等性质，边长等量代换失误 2. 周长计算时分段长度统计遗漏 3. 对角线平分线段，易混淆线段对应关系 ①将平行四边形与三角形结合，大多数问题是在平行四边形中解三角形（联系全等和勾股定理）； ②利用等面积法求一边上的高； ③在不能直接求边长的三角形里，可运用方程思想. 1．如图，在中，点、分别在、的延长线上，，．若，，则的长是（      ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查了平行线性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质．根据平行四边形的判定和性质得到四边形是平行四边形，求得，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴， 即, 故选：D． 2．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，若平行四边形的周长为，，相交于点O且为，则的周长为______． 【答案】 【难度】0.85 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴，，， ∴， ∵，相交于点O且为， ∴的周长为：， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在等腰中，，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是_______． 【答案】26 【难度】0.85 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ∴平行四边形的周长为， 故答案为：26． 题型三：平行四边形的对称性 1. 误判为轴对称图形，混淆中心对称与轴对称 2. 对称点、对称线段对应关系找错 明确为中心对称图形，对角线交点是对称中心； 1．下列图形中不是轴对称图形，只是中心对称图形的是（    ） A．等边三角形 B．圆 C．平行四边形 D．线段 【答案】C 【难度】0.85 【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形、不是中心对称图形，不符合题意； B、圆既是轴对称图形、又是中心对称图形，不符合题意； C、平行四边形不是轴对称图形、是中心对称图形，符合题意； D、线段既是轴对称图形、又是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）关于平行四边形的对称性的描述，错误的是（   ） A．平行四边形一定是中心对称图形 B．平行四边形一定是轴对称图形 C．平行四边形的对称中心是两条对角线的交点 D．平行四边形的对称中心只有一个 【答案】B 【难度】0.85 【详解】解：∵平行四边形绕两条对角线的交点旋转后能与自身重合， ∴它是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，且只有一个（选项A、C、D正确），但一般的平行四边形没有对称轴， ∴不一定是轴对称图形， 故选：B． 题型四：判定平行四边形 1. 判定定理混用，误用一组对边平行判定 2. 条件拼凑不全，凭直观判定图形形状 判定平行四边形的具体方法 已知 判定方法 一组对边平行 ①定义法：说明另一组对边平行（两组对边分别平行） ②说明这组对边相等（一组对边平行且相等） 一组对边相等 ①说明另一组对边相等（两组对边分别相等） ②说明这组对边平行（一组对边平行且相等） 一条对角线有中点O 说明O是另一条对角线的中点 其它条件 转化为可直接用平行四边形判定定理的条件 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定、平行线的判定与性质分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：如图所示， ①∵， ∴ ∵， ∴ ∴不能得到四边形是平行四边形； ②由，，不能得到四边形是平行四边形； ③∵ ∴， ∴不能得到四边形是平行四边形； ④∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． 综上所述，能断定四边形是平行四边形的选法共有1种． 故选：A． 2．设四边形的对角线与相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.85 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：如图， A项：∵，，即四边形两组对边分别平行，符合平行四边形判定定理， ∴四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B项：∵，，即四边形两组对边分别相等，符合平行四边形判定定理， ∴四边形是平行四边形，本选项不符合题意； C项：∵，，即四边形对角线互相平分，符合平行四边形判定定理， ∴四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D项：当，时，四边形可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，不能判定一定是平行四边形，本选项符合题意． 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据平行四边形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、当，时，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故不符合题意； B、当，时，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当，时，则有，所以，所以，同理可得，所以根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、当，时，无法判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了其中的两块碎玻璃到商店配了一块与原先相同的平行四边形玻璃，他带的两块碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【难度】0.85 【详解】解：如图，将②号玻璃和④号玻璃拼在一起，延长交于点A，延长交于点C， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴他带的两块碎玻璃编号是②④， 故选：D． 5．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、由两组内错角相等，可得两组对边分别平行，根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 题型五：根据平行四边形的性质进行证明 1. 性质运用混乱，推理逻辑断层 2. 边角等量关系书写不规范 1. 提取对边平行相等、对角相等、对角线互相平分等量关系； 2. 结合全等、平行线性质作为推理依据； 3. 层层推导，完成线段、角度等量证明。 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.85 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质，证明是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，根据平行四边形的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． 题型六：证明一个四边形为平行四边形 1. 证明条件不充分，缺少关键等量、平行条件 2. 定理选用不当，增加解题复杂度 ·优先证边的平行、相等关系，其次证对角线关系； ·条件不足时，借助全等、平行线推导所需边角条件。 1．如图，在平行四边形中，，分别是边和上的点，且，连接，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【难度】0.85 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 2．已知：如图，在中，E，F分别为和上的点，和相交于点O，且．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【难度】0.84 【分析】先证明，然后根据全等三角形的性质得到，再由证明即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，     ∴， 即， ∵           ∴四边形为平行四边形． 3．如图，在中，是上一点，和关于点对称，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【难度】0.85 【详解】证明：和关于点O对称， ， 四边形是平行四边形． 4．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期末）如图，的对角线、相交于点O，E、F是的对角线上的两点，且，连接、、、．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【详解】∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴． 5．（20-21八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形．求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【难度】0.85 【详解】证明：连接．   是的中点，H是的中点， ∴，且， 同理可知，且， ∴，且， 四边形是平行四边形． 题型七：根据三角形的中位线求边长 1. 中位线与中线概念混淆 2. 记错中位线长度比例，倍数关系颠倒 1. 牢记中位线定理：平行第三边，长度等于第三边一半； 2. 找准中位线与对应底边，直接换算边长； 3. 结合平行四边形边长关系联动计算。 1．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 【答案】B 【难度】0.85 【详解】解：点、、分别为三边、、的中点， ，，， 的周长为5， ， ， 即的周长为. 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________． 【答案】3 【难度】0.85 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，点F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，求的度数_____． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查三角形的中位线定理，等边对等角，根据题意，易得分别为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，即可． 【详解】解：∵是对角线的中点，、分别是、的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，求的度数． 【答案】 【难度】0.85 【分析】此题考查三角形的中位线的性质，等边对等角，熟记三角形的中位线的定义及定理是解题的关键． 根据中位线定理推出，，然后由，得到，然后根据等边对等角求解即可． 【详解】∵在四边形中，是对角线BD的中点，，分别是， 的中点， ，分别是与的中位线， ，， ， ， ． 题型八：平行四边形的判定与性质综合 1. 判定和性质交替使用时思路混乱 2. 图形拆分不当，找不到基础边角关系 ·平行四边形的判定思路 ·应用平行四边形的性质转化边角关系 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.85 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 对于，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进而得证； 对于，首先推导出，在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， 是的中位线， ， ， ， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由知，是的中位线，四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得： 2．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，E、F、G、H分别为、、、的中点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质； （1）由平行四边形的性质得出，，再由中点的定义得出是的中位线，是的中位线，即可得到，，然后证出四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知， ∵，， ，， ∴平行四边形的周长是； 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，是一条中位线，连接，过点D作的平行线交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，熟知三角形中位线定理和平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，再由即可证明结论； （2）由平行四边形对边相等得到，再由三角形中位线定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵是的中位线， ∴． 4．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在与中，点，，，在同一条直线上，连接，，且，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键． （1）根据得出，则，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 5．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． (1)证明：是等腰三角形； (2)连接，若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由平分，可得，再由四边形是平行四边形，可得，故，从而，则，故可判断得解； （2）依据题意，由（1），结合，则，从而，又四边形是平行四边形，可得，进而是的中位线，故可得的长度，求出，进而计算可以得解． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：由（1）知是等腰三角形， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， 点E为的中点，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 是的中位线，， ，， ， ， 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识． （1）证明，则，又由即可证明结论； （2）过点C作于点G，求出，  由勾股定理得到，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，．           ∵F是AC的中点， ∴， ∴，           ∴， 又∵， ∴四边形ADCE是平行四边形． （2）解：过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，           ∴， ∵， ∴，           ∴． 7．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，于点D，点E，F分别是的中点，点O是的中点，的延长线交线段于点G，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】（1）由三角形中位线定理得，则，再证，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，进而由平行四边形的性质即可得出结论． 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵点E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴． 题型九：平行四边形的性质与等积变形 1. 误认为形状改变面积随之改变 2. 高与底边对应匹配错误，面积计算出错 ·主要方法： 1.同底等高平行四边形面积相等； 2. 平行线间距离恒定，图形平移面积不变； 3. 分割拼接转化图形，简化面积计算与比较。 ·等分面积模型 对于平行四边形、矩形、菱形和正方形，过其对称中心的任意一条直线，均可将它们的面积和周长分成相等的两部分。如图，AE＝CF，DE＝BF，△AOE≌△COF，S四边形AEFB＝S四边形DEFC； 两条对角线将平行四边形的面积四等分，S△AOB＝S△COB＝S△COD＝S△AOD． 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，分别是和的中点，是上的一个动点，从点运动到点在点的运动过程中，与的面积之和（  ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大再变小 【答案】A 【难度】0.65 【分析】由三角形的面积公式得到，而，即可得到，即可得到答案． 本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，关键是由三角形和平行四边形的面积公式得到． 【详解】解：，分别是和的中点， ，， ， ， ， ， 与的面积之和不变． 故选：A． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 【答案】3 【难度】0.65 【分析】作于点E，则，先求出，得出，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，即可解答． 【详解】解：作于点E，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为_______________． 【答案】20 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，平行线之间的距离（利用平行线间距离解决问题）等知识点，由平行线间距离处处相等得出是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质可得，由平行线间距离处处相等可得和同高且等底，由三角形的面积公式可得，进而可得，即，同理可得，则图中阴影部分的面积，于是得解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 和等底同高， ， ， ， 同理可得：， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为：20． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期末）【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)3，12 【难度】0.65 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，证得，进而得到； （2）根据题意易得，进而得到，由（1）知，则，同理可得，再利用解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形 、 在和中 ； （2）解：、 由（1）知 同理可得 故答案为：3；12． 题型十：坐标与平行四边形——根据对称性求平行四边形的顶点坐标 1. 中心对称坐标换算符号出错 2. 多情况顶点位置分类讨论遗漏 1. 依托中心对称、对角线中点坐标、勾股定理求两点间距离公式解题； 2. 利用对边平行且相等，通过平移规律算坐标； 3. 分类讨论不同顶点排布情况，避免漏解。 1．（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为______． 【答案】4 【难度】0.85 【分析】本题考查了平行四边形的性质、中心对称的性质，根据平行四边形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（两个点的横坐标与纵坐标互为相反数）可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且对角线交于原点O， ∴点与点关于原点成中心对称， ， ． 故答案为：4． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知四边形是平行四边形，，，，点M是上一动点，N为的中点，连接，，当时，点M的坐标为 ____________ ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、中点坐标公式及两点间距离公式，先根据平行四边形性质确定点B坐标，进而得出中点N坐标，设出点M坐标，利用，结合两点间距离公式列方程求解． 【详解】解：∵平行四边形中，，，，且（O为坐标原点）， ∴，， ∵N为中点，，， ∴， 设， ∵， ∴， 解方程得， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为_____． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查坐标与图形性质、平行四边形的性质等知识，掌握中点坐标公式是解题的关键；连接、交于点，设，，由平行四边形的性质可知点是▱的对称中心，进而根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接、交于点， 设，， 四边形是平行四边形， 点是的对称中心， ，， ，， ， ，， ， 故答案为：． 题型十一：平行四边形的折叠问题 1. 折叠前后对应边、对应角识别错误 2. 忽略折叠全等，不会利用等量关系列等式 1. 折叠前后图形全等，对应边、角保持相等； 2. 结合平行四边形原有性质，梳理等量关系； 3. 设未知线段，借助勾股定理和方程求解长度、角度。 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，将平行四边形沿对角线翻折，点B落在点E处，交于点F．若，，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.59 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解四边形是平行四边形，且，得，，，，设，，再结合折叠性质得，运用平行线的性质以及三角形的内角和性质，全等三角形的判定与性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴，，，， ∴， 设， ∴， 由翻折性质得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵ ∴， 在和中， ， ，故选项C正确，不符合题意； ∵， 与不垂直，故选项D不正确，符合题意， 故选：D． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】由翻折得出，，求出，根据勾股定理求出，进而求出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，， ， ， ， 3．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中，，是边上的中点，连接，把沿翻折至所在的平面内，得．若，，则点到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质，先由勾股定理得到，由折叠的性质得到，，，进而根据面积法求出，利用是的中位线即可求出点到的距离是． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作于点， ∵是的中点，， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质得：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 即点到的距离是， 故选：B． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，四边形中，，，，边上一点E满足，连接D，E．现将沿折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则点E到边的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】本题考查四边形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，平行四边形的判定与性质，三角形面积等，解题的关键是掌握翻折的性质． 过D作于F，证明四边形是平行四边形，可得，，即可得，求出，，故，设点E到边的距离为h，即可得，解得． 【详解】解：过D作于F，如图： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点C恰好落在边上的点处， ∴， 设点E到边的距离为h，由可知点到边的距离为h， ∴， ∴， 解得， ∴点E到边的距离为； 故选：B． 5．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在中，，，D为的中点，E为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点为顶点的四边形为平行四边形，则此平行四边形的面积为________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】过点作于点，利用勾股定理得出，再利用平行四边形的性质、折叠的性质可知，再求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于点H， 在中，，， ，， 四边形是平行四边形，D为的中点， ，， 将沿折叠得到， ，， ， ， 则此平行四边形的面积为． 6．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，点是对角线的中点，沿过点的直线将折叠，使点，分别落在、处，交与点，若点是的中点，，，则________． 【答案】2 【难度】0.65 【分析】连接，由题意可得，根据平行线的性质与三角形中位线的性质可得，，再由折叠的性质可得，，由此证得为等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ， 又点O是的中点，点是的中点， ， ，， 由折叠可得：，， ， 为等腰三角形， ， ， 故答案为：2． 1．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，平行四边形的两条对角线，相交于点，点E，F分别是，上的点，连接，，，，添加下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A不符合题意； ， ， ， ∵， ， ∴四边形是平行四边形，故C不符合题意； ∵， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形，故D不符合题意； 当，此时不能判定四边形是平行四边形，故B符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），连接，与线段交于点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【详解】解：∵， ∴，， 由旋转的性质可知：，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 故选：D． 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点H、F分别是边上的点，连接，点P是右侧一点，连接与交于点D，且，，如果，那么的面积与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴（同底等高） ∵ ∴ ∴；即 ∴ 故选：A. 4．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上， 且，， 若直线以每秒1个单位长度的速度向下平移，则经过（    ）秒该直线可将平行四边形的面积平分？ A．6秒 B．秒 C．5秒 D．3秒 【答案】A 【难度】0.65 【详解】解：连接、，交于点D，当经过D点时，该直线可将的面积平分， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 设平移后的直线解析式为，且平移后的直线平行于， ∴， ∵平移后的直线经过点， ∴平移后的直线的解析式为， 把代入得，， ∴平移后的直线与轴交点坐标为， 同理：与轴交点坐标为， ∵， ∴直线要向下平移6个单位， ∴经过6秒该直线可将平行四边形的面积平分， 故选：A． 5．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，的周长为1，点，，分别是边，，的中点；点，，分别是边，，的中点；；依此类推，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【详解】解：∵的周长是1， ∴ 点，，，分别是边，，的中点， 、、， 的周长， 同理可得：的周长为， …， 以此类推，可知的周长是， 的周长是， 故选：A． 6．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【难度】0.65 【详解】∵，但不一定等于， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵中点为F， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴是的中位线，故③正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，所有正确的结论为②③④． 故选：D． 8．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，平分交于点．且，连接，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.65 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确， ，， ，故②正确， ， ，故④错误， 假设，则垂直平分线段，推出，推出，与题目条件矛盾，故③错误． 故选：B． 9．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，把放在直角坐标系中，其中，，点，的坐标分别是和，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为______． 【答案】 【难度】0.65 【详解】 解：，的坐标分别是和， ，， ∴， ，， ∴， 将沿轴向右平移到，点落在直线上的， ∴， 当时，， ， ∴， ∴， ∴ 由平移的性质得到，， 四边形是平行四边形， 线段扫过的图形是， 线段扫过的面积． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为_______． 【答案】4 【难度】0.65 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质定理与判定定理， 过点F作交于点G，利用全等三角形的判定定理与性质定理证明得到，，再根据平行四边形的性质定理与判定定理证明四边形为平行四边形，得到即可得解．添加平行线构造全等三角形是解答的关键． 【详解】解：过点F作交于点G， ∴，又， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 11．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在平行四边形中，点E为边上一点，将沿翻折，点B的对应点F恰好落在的延长线上，且．若，则的长度为____． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠问题，勾股定理，折叠结合平行四边形的性质，得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴， ∵将沿翻折，点B的对应点F恰好落在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为： 12．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，点分别在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，连接，取的中点，连接．若，则线段的长为________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】过点作于点M，过点作于点N，延长到点K，使得，连接，求出，证明，则，，证明，由，根据三角形中位线定理得到． 【详解】解：如图，过点作于点M，过点作于点N，延长到点K，使得，连接， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴， 故答案为： 13．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，分别是、上的点，且，和的交点为，和的交点为，求证：，． 【答案】见解析 【难度】0.85 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，首先证明出四边形和四边形都是平行四边形，然后证明出是的中位线，进而证明即可． 【详解】证明：连接， 四边形是平行四边形， ，． ， ． 四边形和四边形都是平行四边形． ，． 是的中位线． ，． 14．（24-25八年级下·河北承德·期末）【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F，G，．求证：． 【答案】中位线定理：；应用：；拓展：证明见解析 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． 三角形中位线定理：根据三角形中位线定理即可得到结论； 应用：连接，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； 拓展：取的中点H，连接，则分别是的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【详解】解：【三角形中位线定理】； 理由：∵点D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴； 【应用】连接，如图所示， ∵E、F分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【拓展】证明：取的中点H，连接． ∵M、H分别是的中点， ∴是的中位线， ∴且， 同理可得且． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·山东淄博·期末）（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 【答案】（1）四边形的形状为平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；② 【难度】0.6 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可证，，结合对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求解； （2）①根据三角形中位线的性质可得，且，再结合平行四边形的判定即可证明；②由平行四边形的性质结合勾股定理先求出，再根据为中点即可求答案． 【详解】（1）解：四边形的形状为平行四边形，证明如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 同理：， ∴， 即对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形； （2）①证明：∵点D、E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∵点G、F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； ②解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∵点G为的中点， ∴． 16．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，和的平分线，交于边上的点．求证：为的中点； 【问题解决】 （2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园，点是上一点，连接、，沿和修建景观步道，平分，平分，为花卉区，是休憩草坪区，为健身活动区．为方便游客，在中点设休息驿站，并修建一条连接驿站与大门的观景小道，与交于点，规划师需确定与的数量关系，请你帮忙解答并说明理由． 【答案】 （1）见解析； （2），见解析． 【难度】0.65 【分析】（1）由平行四边形的性质，结合平行线的性质，可得，，由角平分线的定义，等量代换可得，，等角对等边，等量代换可得，即可证得结论； （2）取的中点，连接，可得，，证明，可得，可得，即可得与的数量关系． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， 为的中点． （2）解：，理由如下： 如图2，取的中点，连接， 点为的中点， ，， 同（1）可得，点为中点，即， ，且， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $