广东省大湾区2025-2026学年高二上学期期末模拟训练数学试卷一

大湾区2025-2026高二上学期期末模拟训练数学试卷一 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 一、单选题 1．一组数据28，39，12，23，17，43，50，34的上四分位数为（    ） A．17 B．20 C．39 D．41 2．某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（    ） A．至少有名女生 B．至少两名男生 C．至多一名女生 D．全是男生 3．已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，则点M到直线的距离为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 5．如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知点，，直线与线段AB总有交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．5 D． 8．已知点P是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若是空间向量的一组基底，则下列各组中能构成空间向量的一组基底的有（    ） A． B． C． D． 10．下列各对事件中，互为相互独立事件的有（   ） A．掷一枚骰子一次，事件“出现偶数点”，“出现3点或6点” B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两次球，事件“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．一个家庭中有两个小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件“一个家庭中既有男孩又有女孩”，“一个家庭中最多有一个女孩” D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加比赛，事件“从甲组中选出1名男生”，“从乙组中选出1名女生” 11．已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为 （以下摘自随机数表第7行）． 39832776    39918535    32591131     40469235     04982212    20671263 13．设，，向量，，，且，，则等于 . 14．若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某校环保社团组织高二年级所有学生参加一项环保知识竞赛初赛，从所有成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示． (1)求出成绩在的频率并将频率分布直方图补充完整； (2)若规定，成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (3)现有甲乙两同学入围决赛，均需回答两道考题，已知甲同学答对每道题目的概率均为，乙同学答对每道题目的概率均为，且两人各道题答对与否互不影响，求甲、乙两人共计答对三道题目的概率． 16．（15分）已知圆的圆心是直线与直线的交点，又圆与圆：相外切．点 (1)求过点与垂直的直线方程； (2)求圆的标准方程； (3)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 17．（15分）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，．平面平面为的中点，点为线段上的动点（点不与点重合）． (1)求证：平面． (2)当时，求证：平面． (3)是否存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18．（17分）已知抛物线过其中两点，为的焦点. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且的面积为4，求直线的方程. 19．（17分）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《大湾区2025-2026高二上学期期末模拟训练数学试卷一》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C A A B A D ABC AD 题号 11 答案 ABD 1．D 【详解】j将数据从小到大排列为，，，，，，，， 又，所以上四分位数为. 故选：D 2．D 【详解】A选项：事件“至少有名女生”与事件“至多一名男生”可以同时发生，不满足互斥事件的概念，A选项错误； B选项：事件“至少两名男生”与事件“至多一名男生”互为对立事件，B选项错误； C选项："至多一名女生"即为“至少二名男生”，与事件“至多一名男生”为对立事件， ，C选项错误； D选项：事件“全是男生”与事件“至多一名男生”，不能同时发生，满足互斥事件概念， 又除两事件外还有可能发生事件“恰好两名男生”，所以两事件不对立，D选项正确； 故选：D. 3．C 【详解】当，直线，此时，故“”是“”的充分条件， 由，得，解得，故“”是“”的必要条件， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 4．A 【详解】因为点在上，，所以点到的准线的距离为5， 所以点到直线的距离为7． 故选：A． 5．A 【详解】由，则，由为的中点，则. 所以 . 故选：A. 6．B 【详解】直线过定点， 所以，如图，    由图可知实数k的取值范围是. 故选：B 7．A 【详解】圆的圆心，半径，圆圆心， 半径，圆的圆心，半径， ，因此圆与圆相交，将两圆方程相减得公共弦所在直线方程：， 圆心到直线的距离， 因此所求弦长为. 故选：A 8．D 【详解】由椭圆方程可知，， 故为椭圆的下焦点，则椭圆的上焦点为，如图，    根据椭圆的定义，有， 根据三角形两边的差小于第三边可知， 故的最大值为 . 故选：D 9．ABC 【详解】对于A，因为是空间向量的一组基底，所以不共面，所以也不共面， 所以能构成空间向量的一组基底，故A正确； 对于B，假设存在实数，使得， 则，所以，此方程无解， 所以向量不共面，所以能构成空间向量的一组基底，故B正确； 对于C，显然不存在实数，使得， 所以不共面，所以能构成空间向量的一组基底，故C正确； 对于D，因为， 所以共面，所以不能构成空间向量的一组基底，故D错误. 故选：ABC. 10．AD 【详解】对于A：事件MN=“出现6点”，因为， 所以，相互独立，A正确； 对于B：，，不相互独立，B错误； 对于C：，，不相互独立，C错误； 对于D：，所以，相互独立，D正确； 故选：AD. 11．ABD 【详解】设双曲线半焦距为，则，由双曲线经过点，得， 而，解得，因此双曲线的方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，即，A正确； 对于B，由对称性不妨令，设，由， 得，整理得， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由， 消去得，，因此动点的轨迹与无公共点，B正确； 对于C，点到圆心的距离，因此的最大值为，C错误； 对于D，设双曲线上任一点，则，到圆心的距离为： ， 当且仅当时取等号，因此的最小值为，D正确. 故选：ABD 12．11 【详解】从随机数表第9个数字开始向右读，，（舍去），（舍去），，，（舍去），11……， 则第4支水笔的编号为． 故答案为：11． 13．3 【详解】因为，，，所以， 因为，所以，得， 故，故. 故答案为： 14． 【详解】因为，可知直线过定点， 由曲线，两边平方得， 则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点）， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点， 此时，解得， 当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此， 故答案为：. 15． 【详解】（1）频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1， 成绩在的频率为， 则，补全频率分布直方图，如下： （2） 的频率为，的频率和为， 排名前的同学的成绩位于内，且设为x，则，解得， 进入决赛的同学成绩应不低于分． （3）甲、乙两人共计答对三道题目的情况有： 甲对一道题，乙对两道题，或甲对两道题，乙对一道题， 设甲对一道题，乙对两道题为事件，甲对两道题，乙对一道题为事件， ； ； 两人各道题答对与否互不影响，则． 甲、乙两人共计答对三道题目的概率为． 16． 【详解】（1）联立直线方程 ，解得 ，所以圆心 ， 圆 化为圆的标准方程： ，所以圆心 ， 而直线   的斜率 . 设所求直线斜率为 ， 则 ，即 ，解得 ， 所求直线过点 ，所求直线方程为 ，整理得 ， 因此，过点 与 C D 垂直的直线方程为 . （2）由（1）知圆心 ，圆心 ，， 因为圆 与圆 相外切，所以圆 的半径 ， 因此，圆 的标准方程为 . （3）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时圆心 到直线 的距离 ，根据弦长公式可得弦长为 ，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，即， 已知圆心 ，半径 ，弦长为 ，则圆心到直线的距离 . 根据点到直线的距离公式可得 ，即 2， 两边平方可得 ，展开得 ，解得 . 所以直线 的方程为 ，整理得 0 . 因此，直线 的方程为 或 .    17． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接. 因为四边形是矩形，所以为的中点． 又因为为的中点，所以在中，. 因为平面平面，所以平面. （2）证明：因为，所以． 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以． 因为，所以两两垂直． 以点为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 因为，所以． 因为 ， 所以，即. 又因为平面平面， 所以平面. （3）解：设， 则． 设平面的法向量为， 则 即 令，则， 所以， 取平面的法向量， 则 ， 化简得，解得或． 所以或． 18． 【详解】（1）若点在上，则，解得， 此时，点B不在E上； 若点在E上，则，无解； 若点在E上，则，无解. 综上，E的方程为. （2）如图，可知直线的斜率可能不存在，但不为0， 设 联立l及E的方程得，则 此时，，解得. 故直线的方程为或. 19． 【详解】（1）对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. （2）因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. （3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $