第五章 特殊平行四边形（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材浙教版八年级下册

**基本信息** 新教材浙教版八年级下特殊平行四边形单元培优卷，24题覆盖矩形、菱形、正方形等核心知识，通过基础与提升题梯度设计，考查几何直观与推理能力，适配单元复习学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/30|矩形性质（1）、菱形判定（2）、正方形综合（3）|结合折叠（7）、动态变换（6）考查空间观念| |填空|6/18|正方形判定（11）、菱形与坐标系（14）|翻折面积计算（15）体现几何直观| |解答|8/72|矩形证明（17）、菱形探究（21）、网格作图（19）|“对角互补”模型（24）发展推理能力，木棍滑动问题（22）关联实际应用|

第五章 特殊平行四边形·培优卷 【新教材浙教版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据矩形性质可得，然后根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形中，对角线相交于点O， ，， ， ， ， 故选：D． 2．（3分）（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，要使成为菱形，则需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键． 利用对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证． 【详解】解：对角线垂直的平行四边形为菱形，邻边相等的平行四边形为菱形． 要使成为菱形，则需添加的一个条件是，其余选项的条件均不能使为菱形，不符合题意； 故选：C． 3．（3分）（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，可得，从而得到，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 4．（3分）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（    ） A．72 B．24 C．48 D．96 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得． 根据菱形的性质得为的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得的长度，最后由菱形的面积公式求得面积． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 菱形的面积． 故选：C． 5．（3分）（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】题目主要考查平移的性质及矩形的判定，理解题意，熟练掌握平移的性质是解题关键． 连接，根据 题意得出，，确定四边形是矩形，再由平移的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵平移， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．（3分）小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握特殊四边形的性质是关键．连接、，由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形，进而证明是等边三角形，得出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 故选：C． 7．（3分）（2025·河南平顶山·模拟预测）如图所示，在正方形纸片的与边上分别取，两点，将纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，若，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，勾股定理，设的长度为．利用正方形的性质推导出，，在中，，代入数据解答即可． 【详解】解：设的长度为． 四边形是正方形， ． 是的中点， ． ， ． 在中，， ． ． ． 故选：D． 8．（3分）（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，一元二次方程的应用，作，作，根据题意说明四边形是平行四边形，再根据面积相等说明四边形是菱形，然后根据勾股定理求出边长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点C作，过点B作，分别交于点E，F， 根据题意，得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴四边形的周长为． 故选：C． 9．（3分）如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】过点E作于点P，证明四边形和四边形为矩形，得出，，根据证明，得出，又垂直平分，得出，令，则，进而，，，在中，，进行求解即可． 【详解】解：过点E作于点P， 在矩形中 ，， ∴四边形和四边形为矩形， 又，， ∴，， ∵G是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 令，则， 又∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴ 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形求边长． 10．（3分）（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知：如图，在正方形外取一点，连接、、过点作的垂线交于点若，下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④，其中正确结论的序号是（    ） A．①④ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键． ①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过作，交的延长线于，利用③中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 即， 在和中， ， ， 故结论正确； 过点作，交的延长线于点，如图所示： 则，即为点到直线的距离， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 是直角三角形， 在中，， 由勾股定理得：， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 点到直线的距离为， 故结论不正确； ， ， 故结论正确； ， 是直角三角形， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 故结论正确， 综上所述：正确的结论是． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）在矩形中，，，对角线与相交于点，要使得矩形是正方形，则还需要增加的一个条件是 （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了添一个条件使四边形是正方形，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定方法即可直接作答． 【详解】解：由正方形的判定方法可知： 要使得矩形是正方形，则还需要增加的一个条件是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（3分）（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，菱形的对角线与相交于O点，，过点A作交的延长线于点E，连接，则线段的长度是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，熟掌握以上性质是解题的关键；根据菱形的性质可得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：3． 13．（3分）（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，已知的四个内角的平分线相交组成四边形，连结，，如果，那么的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，构造辅助线． 利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出直角，证明四边形是矩形，然后再利用矩形的性质得出的长，即可作答． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，连接, ∵四边形是平行四边形， ， ， 又∵平分，平分，平分， ∴，， ∴， ∴ 同理 ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：5． 14．（3分）（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，菱形的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A的坐标为，顶点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点A作于点D，过点B作于点E，利用矩形的性质，菱形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点D，过点B作于点E， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴, ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点． 故答案为：． 15．（3分）如图，将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形．若，则四边形的面积为 ．    【答案】4 【分析】直接利用翻折变换的性质再结合等边三角形的判定方法得出的长，再证明出四边形是正方形，进而求出答案． 【详解】解：∵将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形，   ∴，，， ， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得：， ∵四边形，是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题考查菱形的性质，翻折变换的性质等知识，准确判断四边形是正方形是解题关键． 16．（3分）（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图是一张四边形纸片ABCD，其中，，．现将其分割为4块，再拼成两个正方形，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识．准确识图，构造辅助线，利用矩形的性质是解决问题的关键．过点D作于点M，证明四边形是矩形得，，进而得，在中，由勾股定理得，设所拼成的正方形的边长为a，则，根据拼图可知，则，进而得，据此可得所拼成的正方形的边长． 【详解】解：过点D作于点M，如图所示： ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 设所拼成的正方形的边长为a， 则， 根据拼图可知：， ， ， ， ， ∴所拼成的正方形的边长为． 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理， （1）由平行四边形的性质推出，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 18．（6分）如图，在等腰中，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)菱形，见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握萎形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，，再证，可得，进而可得四边形是平行四边形，结，即可解答； （2）先利用角平分线的定义可得，再利用菱形的性质可得是等边三角形，进而可得，然后利用垂直角三角形的性质可得，再利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：∵平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵平分，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（8分）（24-25八年级下·吉林·期末）图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中，分别找到格点，使四边形为正方形． (2)在图2中，分别找到格点，使四边形为菱形，但不是正方形． (3)在图3中，分别找到格点，使四边形为平行四边形，但不是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格作图，平行四边形、菱形、正方形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键． （1）取格点，并依次连接，得，，则，得出四边形为正方形； （2）取格点，并依次连接，得，，得出四边形为菱形，但不是正方形； （3）取格点，并依次连接，得，得出四边形为平行四边形，但不是菱形． 【详解】（1）解：四边形即为所求作； （2）解：四边形即为所求作； （3）解：四边形即为所求作． 20．（8分）如图所示，点是矩形的边的中点，点是边上一动点，，，垂足分别为点，． (1)当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形为矩形？猜想并说明理由． (2)在（1）中，当点运动到什么位置时，矩形为正方形，为什么？ 【答案】(1)矩形的长与宽满足时，四边形为矩形．理由见详解 (2)当点运动到的中点时，矩形变为正方形．理由见详解 【分析】（1）若，加上点为的中点， 则，于是可判断和为全等的等腰直角三角形， 易得，然后利用可判断四边形为矩形； （2） 若点为的中点， 则为等腰三角形的顶角的平分线， 根据角平分线的性质得，然后根据正方形的判定方法可判断矩形变为正方形 ． 本题考查了正方形的判定： 先判定四边形是矩形， 再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形， 再判定这个矩形有一个角为直角 ． 也考查了矩形的判定于性质 ． 【详解】（1）解：矩形的长与宽满足时，四边形为矩形．理由如下： ，点为的中点， ， 和为全等的等腰直角三角形， ，， ， ，， ， 四边形为矩形； （2）解：当点运动到的中点时，矩形变为正方形．理由如下： 点为的中点， 为等腰三角形的顶角的平分线， ， 矩形变为正方形 ． 21．（10分）如图，在菱形中，是对角线上一点，点在的延长线上，，交边于点． （1）求证：； 【问题探究】 （2）当时，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2） 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由菱形性质得出，，再证明，结合边的等量代换，即可作答． （2）由全等三角形的性质得出以及等边对等角，得出，结合菱形性质，则，即可证明是等边三角形，则． 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 22．（10分）（24-25八年级下·广西贵港·期中）教材呈现：直角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你用不同于教材的方法去证明这个命题成立． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线．求证：．（证法提示：延长至点E，使，连接，则……） (1)请根据提示，结合图1，写出完整的证明过程． (2)结论运用： ①如图2，一根长度固定的木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，B端随之沿地面向右滑行，在此滑动过程中，点P到点O的距离______．（填变大，变小或不变） ②如图3，点O为菱形的对角线的交点，过点C作于点E，连接．若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①不变；② 【分析】本题主要考查直角三角斜边中线等于斜边的一半，矩形的判定和性质，菱形的性质求面积，掌握矩形的判定和性质，菱形的性质求线段长即面积的计算是关键． （1）延长到点E，使，连接，则，可证四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解； （2）①根据（1）的证明，由的值不变得到点P到点O的距离也不变；②根据菱形的性质得到，根据是斜边上的中线，得到，根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：延长到点E，使，连接，则， 是斜边上的中线， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， ； （2）解：①根据题意，，是中点，结合（1）的证明，， ∵在移动过程中的值保持不变， ∴点P到点O的距离也不变， 故答案为：不变； ②四边形是菱形， ，且， ， 又， 是斜边上的中线， ， ， ， 菱形的面积． 23．（12分）（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图1，点E、F分别在正方形边、上，沿直线将正方形折叠．使点B的对应点G落在边上（点G不与点A、D重合），点C落在点H处，与交于点M，分别连接， (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若，点M为的中点，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质及角的等量代换，得到，根据正方形的性质即可得证； （2）过点B作于K，根据题意及正方形的性质，证明，，求出，即可解答； （3）根据题意及正方形的性质，求得，过点B作于K，设，则，根据勾股定理，列方程求出x，进而求出HF，设，，列方程求出y，即可解答． 【详解】（1）证明：沿直线将正方形折叠， ，， ， ， 即， 正方形， ， ， ． （2）解：如图，过点B作于K， 则， 正方形ABCD， ，， ，， 由（1）得， 又， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， ； （3）解：正方形， ， 点M为的中点， ， 如图，过点B作于K， 由(2)可知， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， 设，， 在中，， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 24．（12分）（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等方法是构造旋转全等，如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考查． (1)【问题解决】如图①，，，小明同学从点分别向，作垂线，，请你按照小明同学的思路证明； (2)【问题探究】如图②，若，，，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点是正方形外一点，，对角线，交于点，连接，且，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据矩形的性质得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，过点作于，于，先判定，得到，，再判断，根据全等三角形的性质得到，求得，设，则，，求得，得到，在中，由含的直角三角形性质求解即可得到结论； （3）如图，延长到，使，连接，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ； （2）解：过点作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 设，则，， ，解得， ， 在中，，，则， ； （3）解：延长到，使，连接，如图所示： 在四边形中，，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形． 四边形的面积的面积． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、含的直角三角形性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大，熟记相关几何性质及判定，根据问题正确地作出辅助线是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 特殊平行四边形·培优卷 【新教材浙教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，要使成为菱形，则需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（3分）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（    ） A．72 B．24 C．48 D．96 5．（3分）（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（3分）小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 7．（3分）（2025·河南平顶山·模拟预测）如图所示，在正方形纸片的与边上分别取，两点，将纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，若，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 9．（3分）如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．（3分）（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知：如图，在正方形外取一点，连接、、过点作的垂线交于点若，下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④，其中正确结论的序号是（    ） A．①④ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）在矩形中，，，对角线与相交于点，要使得矩形是正方形，则还需要增加的一个条件是 （填一个即可）． 12．（3分）（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，菱形的对角线与相交于O点，，过点A作交的延长线于点E，连接，则线段的长度是 ． 13．（3分）（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，已知的四个内角的平分线相交组成四边形，连结，，如果，那么的长为 ． 14．（3分）（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，菱形的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A的坐标为，顶点B的坐标为 ． 15．（3分）如图，将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形．若，则四边形的面积为 ．    16．（3分）（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图是一张四边形纸片ABCD，其中，，．现将其分割为4块，再拼成两个正方形，则正方形的边长为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求证：． 18．（6分）如图，在等腰中，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 19．（8分）（24-25八年级下·吉林·期末）图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中，分别找到格点，使四边形为正方形． (2)在图2中，分别找到格点，使四边形为菱形，但不是正方形． (3)在图3中，分别找到格点，使四边形为平行四边形，但不是菱形． 20．（8分）如图所示，点是矩形的边的中点，点是边上一动点，，，垂足分别为点，． (1)当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形为矩形？猜想并说明理由． (2)在（1）中，当点运动到什么位置时，矩形为正方形，为什么？ 21．（10分）如图，在菱形中，是对角线上一点，点在的延长线上，，交边于点． （1）求证：； 【问题探究】 （2）当时，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 22．（10分）（24-25八年级下·广西贵港·期中）教材呈现：直角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你用不同于教材的方法去证明这个命题成立． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线．求证：．（证法提示：延长至点E，使，连接，则……） (1)请根据提示，结合图1，写出完整的证明过程． (2)结论运用： ①如图2，一根长度固定的木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，B端随之沿地面向右滑行，在此滑动过程中，点P到点O的距离______．（填变大，变小或不变） ②如图3，点O为菱形的对角线的交点，过点C作于点E，连接．若，求菱形的面积． 23．（12分）（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图1，点E、F分别在正方形边、上，沿直线将正方形折叠．使点B的对应点G落在边上（点G不与点A、D重合），点C落在点H处，与交于点M，分别连接， (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若，点M为的中点，求的长． 24．（12分）（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等方法是构造旋转全等，如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考查． (1)【问题解决】如图①，，，小明同学从点分别向，作垂线，，请你按照小明同学的思路证明； (2)【问题探究】如图②，若，，，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点是正方形外一点，，对角线，交于点，连接，且，求四边形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $