第4章因式分解精选练习-2025-2026学年数学七年级下册浙教版

**基本信息** 浙教版七年级下册第4章因式分解单元复习卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合基础巩固与实际应用，适配单元知识梳理与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|因式分解定义、公式应用、整除性判断|结合具体等式辨析定义，如第1题考查因式分解概念，体现抽象能力| |填空题|6题|提公因式法、公式法、配方法|第16题以密码生成情境考查因式分解应用，培养模型意识| |解答题|5题|综合因式分解、配方、面积问题|第21题通过图形面积验证乘法公式，发展几何直观与推理能力|

第4章因式分解精选练习-2025-2026学年数学七年级下册浙教版（2024） 一、单选题 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列与的乘积等于的代数式是（ ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 4．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 5．对于任意整数，多项式都能被（   ）整除． A． B． C． D． 6．若，且，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 7．下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 8．运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 9．计算的结果为（    ） A．2026 B．20260 C．202600 D．2026000 10．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 恩 爱 施 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽 二、填空题 11．因式分解：_____． 12．设，，，都是正整数，且，，，则______． 13．多项式可因式分解为，则A为___________． 14．已知，，则的值为______． 15．已知，若M可以转换成某数平方的形式，则n的取值为_______． 16．日常生活中如取款、上网等经常遇到登录密码的情况，我们可以用因式分解的方法产生密码，如多项式，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是___________（写出一个即可）． 三、解答题 17．因式分解： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中，． 19．已知实数m、n、p满足，，且n是正整数，请解答以下问题： (1)p是_____（填“奇数”或“偶数”）； (2)p是完全平方数吗？请判断并说明理由． 20．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：．因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：_______； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 21．问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正方形，如图2和图3．小明计算：图2中，当时，正方形的面积既可以表示为，也可以用1个较大正方形和一个小正方形及两个长方形的面积和表示为，也就是说，这个正方形的面积为可以用等式表示为：． (1)请用小明计算的方法，直接写出图3中，若时，表示的等式为______． (2)数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______． (3)数学思考：由图4可得到一个关于、的等量关系式是______． (4)在（3）的条件下，若，求的值． (5)知识迁移：如图5，长方形和正方形，其中，若，，求图中的阴影部分面积的和． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第4章因式分解精选练习-2025-2026学年数学七年级下册浙教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D A C A D C B 1．C 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式，不是乘积形式，不是因式分解； B、，等式右边是差的形式，不是整式乘积，不是因式分解； C、，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，是因式分解； D、，不是整式，等式右边不是整式乘积，不是因式分解． 2．B 【详解】解：设所求代数式为， 由题意得，， ∵， ∴， ， ∴与的乘积等于的代数式是． 3．B 【分析】把所求式子变形为，进一步可变形为，最后变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 4．D 【分析】根据因式分解的定义，即把多项式化为几个整式乘积的形式，结合提公因式法，平方差公式对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、因式分解的结果需为几个整式的乘积，选项结果是和差形式，且正确分解结果为，选项错误； C、因式分解要求每个因式都必须是整式，选项结果中是分式，不是整式，选项错误； D、，选项正确． 5．A 【分析】将多项式进行因式分解，再根据整除的性质即可得出答案． 【详解】解： ， ∵为整数， ∴也为整数， ∴能被整除， ∴多项式都能被整除． 6．C 【分析】本题利用平方差公式分解，代入已知的的值，即可求出的值． 【详解】∵， 已知 ，， ∴， ∴． 7．A 【分析】先将左边的式子提取公因式得，再通过对比即可求出被遮盖的式子． 【详解】解：， ∴被遮盖的式子为． 8．D 【分析】本题主要考查了利用平方差公式对整式进行变形，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式进行变形即可． 【详解】解： 故选：D． 9．C 【分析】通过提取公因数2026，简化表达式后计算完全平方公式，最后相乘得到结果． 本题主要考查了用公式法分解因式，能够将原式进行正确变形是解决此题的关键． 【详解】解：原式 = + + 故选：C． 10．B 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是熟练应用知识点解题；通过提取公因式法和平方差公式对密文进行因式分解，再对应密码手册得到明文． 【详解】解：∵原式= = = ∵根据密码手册：对应“我”，对应“施”，对应“爱”，对应“恩”， ∴组合后明文可能为“我爱恩施”， 故选：B． 11． 【详解】解： ． 12． 【分析】设，（，为正整数），则，，，，根据题意可得，则，然后由为质数，，，为正整数可得，解得，所以，然后求出，，最后代入即可求解． 【详解】解：设，（，为正整数）， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵为质数，，，为正整数， ∴，解得， ∴， ∴，， ∴． 13． 【分析】将因式分解后的结果展开，对比原式对应项即可求出． 【详解】解：多项式可因式分解为，， ． 14． 【分析】将因式分解，再把所给式子整体代入即可． 【详解】解：∵，， ∴． 15．5，14， 【分析】因为M是平方数，根据完全平方公式，分情况讨论哪一项是中间项． 【详解】解：完全平方公式，分情况讨论哪一项是中间项； 情况1：是中间项，此时两个平方项为和， ∴，即，得． 验证：，符合要求． 情况2：是中间项， 此时两个平方项为和， ∴ ，即，解得． 验证：，符合要求． 情况3：是中间项，此时两个平方项为和， ∴ ，即，解得， 验证：，符合要求． 综上，的取值为或或． 16．（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确分解因式是解答本题的关键． 先把因式分解，再把代入计算出各个因式的值，即可得到一个密码（各因式的排列顺序不同，得到的密码不同）． 【详解】解： ， 当时， ，，， 密码可以是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．， 【分析】首先把整体作为公因式，用提公因式法分解因式，可得：原式，再把，代入化简后的代数式计算求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 19．(1)奇数 (2)是，理由见解析 【分析】（1）根据是正整数，，可知是一个奇数、一个偶数，进而可判断出p的奇偶； （2）将代入中得，将看作一个整体，根据完全平方公式的结构变形，即可得证． 【详解】（1）解：是奇数，理由如下： ∵是正整数，， ∴是一个奇数、一个偶数， ∵奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数， ∴是奇数； （2）p是完全平方数，理由如下： ∵， ∴， ， 即是完全平方数． 20．(1)； (2)； 【分析】（）根据完全平方公式的特征求解； （）先配方，再求最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方公式：， ∵，一次项系数的一半为，平方为， ∴． （2）解： 根据完全平方的非负性，对任意都有， ∴当时，原式有最小值， 即：的最小值为． 21．(1) (2)； (3) (4) (5) 【分析】（1）仿照题意用两种方法表示较大的正方形的面积即可得到答案； （2）根据题意和（1）所求即可得到答案； （3）用两种不同的方法表示最大的正方形的面积即可得到答案； （4）根据求解即可； （5）根据用含a、b的式子表示出，设，则，，据此求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：图3中，当时，较大的正方形的面积既可以用表示，也可以用最大的正方形的面积减去两个长方形的面积，再加上一个小正方形的面积，即可表示为，也就是说， 较大的正方形的面积为可以用等式表示为：． （2）解：由题意得图2中有等式， 图3中有等式 （3）解：大正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上4个长为a，宽为b的长方形面积，其面积为， ∴； （4）解：∵， ∴； （5）解： ， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $