第四章 因式分解重难点检测卷-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 本卷为初中数学因式分解单元重难点检测卷，覆盖全章内容，通过情境化问题、分层设计及跨学科融合，适配单元复习，提升学生抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|因式分解概念、公因式、应用|结合密码解码情境（第4题），考查数学眼光| |填空题|8/24|公因式确定、整数解问题|设置“阶数”新定义（第13题），体现数学语言| |解答题|10/66|分解因式、几何与代数结合|阅读材料题（第21、24题）融合姬曼定理，发展推理能力；几何图形与公式应用（第26、28题）强化数学思维|

第四章 因式分解重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：因式分解全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024·七年级下 河北沧州）若，则下列结论正确的是（    ） A．等式从左到右的变形是乘法公式， B．等式从左到右的变形是因式分解， C．等式从左到右的变形是乘法公式， D．等式从左到右的变形是因式分解， 2．（25-26七年级下·河南信阳·月考）若，则的值等于（    ） A． B．0 C．2 D．3 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳市）下列各式从左到右的变形，是彻底的因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 江 爱 阴 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．我爱江阴 B．美丽江阴 C．我爱美丽 D．我爱丽江 5．（23-24七年级下·广东广州·期中）下列各题中，正确的是（   ） ①﹣[5a﹣(3a﹣4)]＝2a+4 ②a﹣3b+c﹣3d＝(a+c)﹣3(b+d) ③a﹣3(b﹣c)＝a﹣3b+c ④(x﹣y+z)(x+y﹣z)＝[x﹣(y﹣z)][x+(y﹣z)]． A．①② B．②④ C．①②④ D．①③④ 6．（25-26七年级下·山东德州·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 8．（23-24七年级下·重庆长寿·期中）已知正整数a，b，c，d，e，f满足，且，关于这个六元方程下列说法正确的个数是（    ） ①，，，，，是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解； ③若，则该六元方程有21组解； ④若，则该六元方程有28组解． A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24七年级下·重庆万州·期末）已知满足，，则的值为（   ） A．4 B．1 C．0 D．-8 10．（24-25七年级下·重庆·期中）有一组正整数，满足，令，例如：，，则下列说法： ①，是方程的一组解， ②连续四个正整数一定是方程的一组解， ③若，则方程共有21组解， 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（23-24七年级下·全国·课堂例题）（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 12．（25-26七年级下·上海·期末）已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 13．（24-25七年级下·重庆·期中）若一个四位自然数能被表示为（是整数且），则称为阶数，例如，因为，所以是阶数．若是阶数，则的值为_____；若是阶数，则的值为_______． 14．（25-26七年级下·上海·期中）如果正整数，，满足，这样的正整数对共有______个 15．（24-25七年级下·上海·月考）分解因式：______． 16．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，为自然数，且，若，则______， ______． 17．（25-26七年级下·山东东营·月考）可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是______． 18．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若满足，，，，则的值为______． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（23-24七年级下·全国·假期作业）观察下列各式：（1）﹣a＋b＝﹣（a﹣b）；（2）2﹣3x＝﹣（3x﹣2）；（3）5x＋30＝5（x＋6）；（4）﹣x﹣6＝﹣（x＋6）．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你的探索出来的规律，解答下面的题目： 已知a2＋b2＝5，1﹣b＝﹣2，求1＋a2＋b＋b2的值． 20．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 21．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决问题： ①将多项式因式分解： （变形依据_____） ． ②求多项式的最小值． 由①，得，因为， 所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 【问题】 (1)①中第四步变形依据是__________； (2)把多项式分解因式并求出最小值； (3)已知，求代数式的最大值． 22．（2023七年级下·甘肃平凉）分解因式：． 23．（25-26七年级下·河南郑州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．（25-26七年级下·山东济南·期中）在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：____________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 25．（25-26七年级下·湖北孝感·月考）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，化简的结果是_____． (2)已知，求的值． 26．（24-25七年级下·四川成都·期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 27．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知可以因式分解为，求的值． 28.（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正方形，如图2和图3．小明计算：图2中，当时，正方形的面积既可以表示为，也可以用1个较大正方形和一个小正方形及两个长方形的面积和表示为，也就是说，这个正方形的面积为可以用等式表示为：． (1)请用小明计算的方法，直接写出图3中，若时，表示的等式为______． (2)数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______． (3)数学思考：由图4可得到一个关于、的等量关系式是______． (4)在（3）的条件下，若，求的值． (5)知识迁移：如图5，长方形和正方形，其中，若，，求图中的阴影部分面积的和． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 因式分解重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：因式分解全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024·七年级下 河北沧州）若，则下列结论正确的是（    ） A．等式从左到右的变形是乘法公式， B．等式从左到右的变形是因式分解， C．等式从左到右的变形是乘法公式， D．等式从左到右的变形是因式分解， 【答案】D 【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可． 本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ， 则， 原等式从左到右的变形是因式分解，从右到左的变形是乘法公式． 故选：D． 2．（25-26七年级下·河南信阳·月考）若，则的值等于（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用非负数的性质求解，算术平方根和完全平方都是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此求出a，b的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， 解得 ，， ∴． 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳市）下列各式从左到右的变形，是彻底的因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐项判断即可． 【详解】解：A、，原式是因式分解，但分解的不彻底，选项A不符合题意； B、等式右边，不是几个整式乘积的形式，则选项B不符合题意； C、该变形是将几个整式的积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，则选项C不符合题意； D、等式左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且分解彻底，符合因式分解的定义，则选项D符合题意． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 江 爱 阴 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．我爱江阴 B．美丽江阴 C．我爱美丽 D．我爱丽江 【答案】A 【分析】先对密文用提取公因式法和平方差公式因式分解，再对应密码表得到明文即可． 【详解】解：∵ ， ∵8对应明文“我”，对应明文“阴”，对应明文“爱”，对应明文“江”， ∴组合后明文可为“我爱江阴”． 5．（23-24七年级下·广东广州·期中）下列各题中，正确的是（   ） ①﹣[5a﹣(3a﹣4)]＝2a+4 ②a﹣3b+c﹣3d＝(a+c)﹣3(b+d) ③a﹣3(b﹣c)＝a﹣3b+c ④(x﹣y+z)(x+y﹣z)＝[x﹣(y﹣z)][x+(y﹣z)]． A．①② B．②④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据去括号法则及合并同类项法则逐一求解分析即可。 【详解】解：①﹣[5a﹣（3a﹣4）]＝﹣（5a﹣3a+4）＝﹣（2a+4）＝﹣2a﹣4，故错误； ②因为(a+c)﹣3(b+d)=a+c-3b-3d=a﹣3b+c﹣3d，所以②正确； ③a﹣3（b﹣c）＝a﹣3b+3c，故错误； ④因为[x﹣(y﹣z)][x+(y﹣z)]= (x﹣y+z)(x+y﹣z)，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了去括号法则及合并同类项法则，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键。 6．（25-26七年级下·山东德州·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的混合运算，利用负数的奇偶次幂的性质化简表达式，再提取公因式计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 8．（23-24七年级下·重庆长寿·期中）已知正整数a，b，c，d，e，f满足，且，关于这个六元方程下列说法正确的个数是（    ） ①，，，，，是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解； ③若，则该六元方程有21组解； ④若，则该六元方程有28组解． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，解题的关键在于能够正确理解题意，以及方程的解得含义．把，，，，，分别代入方程的左边和右边，可判断①；设最小的数为n，分别计算方程的左边和右边，可判断②；原方程变形为，由正整数a，b，c，d，e，f满足，可得，据此可判断③；根据③的结论可得，据此可判断④． 【详解】解：当，，，，，时， 左边， 右边， ∴左边右边， ∴，，，，，是该六元方程的一组解，故①正确； 设最小的数为n， 左边， 右边， ∴左边右边， ∴连续的六个正整数一定是该六元方程的解，故②正确； ∵正整数a，b，c，d，e，f满足， ∴根据②可得4组连续整数123456，234567，345678，456789是方程的解， ∵， ∴ ∴， ∵正整数a，b，c，d，e，f满足， ∴， ∴， ∴， 即a，b和c，d和e，f分别是三对连续正整数， ∴若， 当时，此时或或或，4组； 当时，此时或或，3组； 当时，此时或，2组； 当时，此时，1组； 即，有组； 同理若，有6组；若，有3组；若，有1组； ∴共有组， 即若，则该六元方程有21组解，故③不正确； ∵， 由③得：， ∴ ∴， ∵a，c，e均为正整数，且， ∴若， 当时，， 当时，， ……， 当时，，有12组， ……， 共有组， 即若，则该六元方程有30组解，故④不正确． 故选：B 9．（23-24七年级下·重庆万州·期末）已知满足，，则的值为（   ） A．4 B．1 C．0 D．-8 【答案】C 【分析】根据题目条件可用x来表示z，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得，再根据平方数的非负性可分别求出x，z的值，最后运算即可． 【详解】解：，， 又， ， ，， ， ， ， 代入得，=0． 故选：C． 【点睛】本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本题的关键． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）有一组正整数，满足，令，例如：，，则下列说法： ①，是方程的一组解， ②连续四个正整数一定是方程的一组解， ③若，则方程共有21组解， 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，涉及平方差公式的应用、方程的解，先利用平方差公式可得，再根据题意，得到为连续正整数时，是方程的解，再逐一判断即可得到答案．正确地找出规律是解题的关键． 【详解】解：， 当，时，代入， ，是方程的一组解， 故①正确； ，， 当时，， 则， ， 正整数，满足， ，则， 即， 是四个连续的正整数，则连续四个正整数一定是方程的一组解， 故②正确； ③由②知和为连续的整数时，一定是方程的一组解， ∴和和为连续的整数时，一定是方程， ∵， ∴， ∴， 当时，则或或或： 当时，则或或或， 当时，则或或， 当时，则或， 当时，则，共10组解； 当时，则或， 当时，则或或， 当时，则，共6组解； 当时，则或， 当时，则，共3组解； 当时，则，共1组解； ∴若，则方程共有组解， 故③错误； 综上所述，正确的说法是①②，共2个， 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（23-24七年级下·全国·课堂例题）（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 12．（25-26七年级下·上海·期末）已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解的意义，设另一个因式为一次式，通过比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·重庆·期中）若一个四位自然数能被表示为（是整数且），则称为阶数，例如，因为，所以是阶数．若是阶数，则的值为_____；若是阶数，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，数的特征，熟练掌握枚举法和数的特征是解题的关键．利用定义得出，再进行一一枚举即可求解；利用定义得出，即，因式分解得，得出是两个连续整数的乘积，且这两个连续整数的乘积是的倍数，且是四位数，先利用是的倍数得出或或或，再利用是必有因数，，，，分别讨论即可． 【详解】解：∵是阶数， ∴， 当和时，是三位数，不合题意； 当时，，，十位与个位数分别对应相同，符合题意； 当时，，，十位数不对应相等，不合题意； 当时，，，十位数不对应相等，不合题意； 当时，，，十位数不对应相等，不合题意； 当时，，，十位数不对应相等，不合题意； 当时，，，十位数不对应相等，不合题意； 当时，，，十位数不对应相等，不合题意； 当时，，是五位数，不合题意； 综上，； ∵是阶数， ∴， 即， ∴， ∴， 由题意可得，，，是整数， ∴是两个连续整数的乘积，且这两个连续整数的乘积是的倍数，且是四位数， ∴，两个连续整数个位数的积为的倍数， ∴或，或，或，， ∵是的倍数， ∴必有因数，，，， ①当时，中，不含因数，，，，不能含全部的因数，，，， 则不符合题意； ②当时，中，不含因数，，，，不能含全部的因数，，，， 则不符合题意； ③当时，中，不含因数，，不含因数，， 则要使符合题意需含因数，，含因数，， 则或或， 当时， 则，含因数，， 则是三位数， 则不符合题意； 当时，个位数不对应相等， 则不符合题意； 当时， 则，不能含全部的因数，， 则不符合题意； ④当时，中，不含因数，，不含因数，， 则要使符合题意需含因数，，含因数，， 则或或， 当时， 则，不含全部因数，， 则不符合题意； 当时，个位数不对应相等， 则不符合题意； 当时， 则，含因数，， 则， 则符合题意； 综上所述，， 故答案为；． 14．（25-26七年级下·上海·期中）如果正整数，，满足，这样的正整数对共有______个 【答案】2 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，解二元一次方程组，利用平方差公式分解因式得到，根据题意可得是正整数，是正整数，再把64分解成两个正整数的乘积，进而建立关于x、y的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴是正整数， ∵， ∴或或或， 解得（舍去）或或或（舍去）， ∴这样的正整数对有和，共2个， 故答案为：2． 15．（24-25七年级下·上海·月考）分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内因式分解，利用完全平方公式与平方差公式是解题的关键；先把前两项凑成完全平方式，再利用平方差公式分解，再对每一个因式继续利用平方差公式分解；把一个二次根式表示成一个实数的平方是解题的关键． 【详解】解： ． 16．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，为自然数，且，若，则______， ______． 【答案】 8 2 【分析】化简原式可得：，设，则，再根据可求，． 【详解】， ， ， ． 设，则， ，为自然数， ，， ，或 ，， 不合题意，舍去或，， ． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了分式的加减，因式分解的应用，熟记完全平方公式是解决本题的关键． 17．（25-26七年级下·山东东营·月考）可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是______． 【答案】65，63 【分析】利用平方差公式分解，整理即可确定出这两个数． 本题考查了公式法分解因式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ∴这两个数为65，63． 故答案为：65，63． 18．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若满足，，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是整体代换的思想． 由得到，，代入中得，同理由得到，，代入中得，再联立方程组求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．① ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．② 得． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（23-24七年级下·全国·假期作业）观察下列各式：（1）﹣a＋b＝﹣（a﹣b）；（2）2﹣3x＝﹣（3x﹣2）；（3）5x＋30＝5（x＋6）；（4）﹣x﹣6＝﹣（x＋6）．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你的探索出来的规律，解答下面的题目： 已知a2＋b2＝5，1﹣b＝﹣2，求1＋a2＋b＋b2的值． 【答案】添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；9 【分析】注意观察等号两边的变化，等号右边添加了括号，然后观察符号的变化即可；根据已知条件计算出b的值，然后再代入求值即可． 【详解】解：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． ∵1﹣b＝﹣2， ∴b＝3， ∴1＋a2＋b＋b2＝（a2＋b2）＋b＋1＝5＋3＋1＝9． 【点睛】此题主要考查了添括号，以及求代数式的值，关键是注意符号问题． 20．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，对比二次三项式的系数列方程求解即可； （2）将展开，对比二次三项式的系数列方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 解得． 21．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决问题： ①将多项式因式分解： （变形依据_____） ． ②求多项式的最小值． 由①，得，因为， 所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 【问题】 (1)①中第四步变形依据是__________； (2)把多项式分解因式并求出最小值； (3)已知，求代数式的最大值． 【答案】(1)平方差公式 (2)因式分解为；最小值为 (3) 【分析】（1）观察式子结构即可解答； （2）根据材料，结合完全平方和平方差公式即可求解； （3）由已知得到，代入中，再利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：①中第四步变形依据是平方差公式； （2）解：将多项式因式分解： ； 求多项式的最小值： ， ∵， ∴， ∴当时，，的值最小，且最小值为． （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，，的值最大，且最大值为． 22．（2023七年级下·甘肃平凉）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．把作为一组，作为一组，分别展开，再把作为一个整体，继续展开，然后进行因式分解即可． 【详解】解： ． 23．（25-26七年级下·河南郑州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解的常用方法，解题的关键是根据多项式的结构特征，灵活运用提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）进行分解，并确保分解彻底． （1） 提取公因式； （2） 先提公因式，再用平方差公式分解； （3） 把看作整体，用完全平方公式分解； （4） 先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）原式 ． 24．（25-26七年级下·山东济南·期中）在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：____________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则原式变形为，把展开，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：设， ∴ ； （2）解： ； （3）解： ． 25．（25-26七年级下·湖北孝感·月考）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，化简的结果是_____． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，解决问题的关键是运用整体思想；给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． （1）把看成一个整体，运用合并同类项法则进行计算即可； （2）把变形，得到，再根据整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：把看成一个整体， 则 ； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 26．（24-25七年级下·四川成都·期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式分别表示出，，，即可得到答案； （2）根据（1）所求求出，进而可求出S的值，再由长方形面积计算公式可得答案； （3）根据题意可得，则；再证明，据此代值计算即可． 【详解】解：（1）由题意得，， ∴，， ∴； （2）∵，，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴； ∵ ， ∴． 27．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知可以因式分解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值． 根据多项式乘多项式计算法则将化成，再进行比较得到m、n的值，再代入计算即可. 【详解】解：因为可以因式分解为， 所以， 所以， 所以， 所以． 28.（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正方形，如图2和图3．小明计算：图2中，当时，正方形的面积既可以表示为，也可以用1个较大正方形和一个小正方形及两个长方形的面积和表示为，也就是说，这个正方形的面积为可以用等式表示为：． (1)请用小明计算的方法，直接写出图3中，若时，表示的等式为______． (2)数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______． (3)数学思考：由图4可得到一个关于、的等量关系式是______． (4)在（3）的条件下，若，求的值． (5)知识迁移：如图5，长方形和正方形，其中，若，，求图中的阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5) 【分析】（1）仿照题意用两种方法表示较大的正方形的面积即可得到答案； （2）根据题意和（1）所求即可得到答案； （3）用两种不同的方法表示最大的正方形的面积即可得到答案； （4）根据求解即可； （5）根据用含a、b的式子表示出，设，则，，据此求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：图3中，当时，较大的正方形的面积既可以用表示，也可以用最大的正方形的面积减去两个长方形的面积，再加上一个小正方形的面积，即可表示为，也就是说， 较大的正方形的面积为可以用等式表示为：． （2）解：由题意得图2中有等式， 图3中有等式 （3）解：大正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上4个长为a，宽为b的长方形面积，其面积为， ∴； （4）解：∵， ∴； （5）解： ， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $