第4章 专题特训7 因式分解的方法、技巧及应用-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（浙教版）

(4)原式=2m(m2-6m+9)= 2m(m-3)2」 (5)原式=(y2-1)(x2+2x+1)= (y+1)(y-1)(x+1)2. 7.D解析：16-8x+x2=(4一x)2. 因为x>4,所以(4一x)2的算术平方 根为x一4.所以正方形的边长为(x 4)cm.所以正方形的周长是4(.x 4)=(4.x-16)cm. 8.D解析：a4-2a2+1=(a2 1)2=[(a+1)(a-1)]2=(a+1)2· (a-1)2. 9.B解析：由题意，得2a+2b=14, ab=10,所以a+b=7.所以a3b+ ab3+2a262=ab (a2+b2+2ab)= ab(a+b)2=10X72=490. 10.(1)0.36解析：因为x+y 0.2,x+3y=1,所以2x+4y=1.2, 即x+2y=0.6.所以原式=(x+ 2y)2=0.36: (2)-2026解析：因为a与b互为 相反数，所以a十b=0.所以a2+ 2ab+b2-2026=(a+b)2-2026= 0-2026=-2026. 11.<解析：-a3b3-2a2b2-b= -ab(a262+2ab +1)=-ab (ab+ 1)2.因为a<0,b<0,所以ab>0. 所以-ab<0,ab+1>0.所以(ab+ 1)2>0.所以-ab(ab+1)2<0. 12.(1)原式=2[(x2+4)2 16.x2]=2(x2+4+4x)(x2+4 4x)=2(.x+2)2(.x-2)2」 (2)原式=-m[(a2+2)2-6(a2+ 2)+9]=-m(a2+2-3)2=-m· (a2-1)2=-m(a+1)2(a-1)2. (3)原式=(x+y)2+2×(x+y)× 6(x+2y)+[6(x+2y)]2=[(x+ y)+6(x+2y)]=(x+y+6.x+ 12y)2=(7x+13y)2. 一方法归纳 因式分解的一般步骤 (1)提，指多项式中若含有公 因式，一般先用提取公因式法分解 (2)套，指提取公因式后，若符 合完全平方公式或平方差公式特 征的多项式，均可套用公式进行因 式分解. (3)查，一查括号，即因式分解 的结果只能出现小括号，若过程中 出现中括号、大括号，则需要转化 成小括号的形式，同时化简括号内 的多项式；二查各项是否分解彻 底，即要分解到不能再分解为止， 13.将x2-y2分解因式 原式=(x+y)2+4(x-y)2-4(x+ y)(x-y)=[(x+y)-2(x-y)]= (x+y-2x+2y)2=(3y-x)2. 14.(1)原式=m2-14m+49-49+ 24=(m2-14m+49)-25=(m 7)2-52=(m-7+5)(m-7-5)= (m-2)(m-12). (2)原式=-(m2-12m+36-36) 18=-(m-6)2+18. 因为无论m取何值时，一(m一6)2都 小于或等于0， 所以-(m-6)2+18≤18，则-(m 6)2+18有最大值，为18. 专题特训七因式分解的 方法、技巧及应用 1.C2.(1)(a-2)(2a+1) (2)5a(x-y)(x-2y) 3.B解析：x2+2xy+y2=(x+ y)2,故①不正确.一x2十2xy- y2=-(.x2-2xy+y2)=-(x y)2,故②正确.x2一6.xy+9y2= -3y),故③不正确-x2+} 子-=（分+x)(号-小，故④正 确.综上所述，正确的有②④，共2个 4.(1)原式=(x+3+4)(x+3 4)=(x+7)(x-1). (2)原式=[2(x+y)-5]=(2x+ 34 2y-5)2. 5.D解析：a2b-9ab2=ab(a- 9b),故选项A错误.2a2-4b2= 2(a2-2b2),故选项B错误.a3 2ab十ab2=a(a2一2b+b2),故选项C 错误.a2b2-4a2b+4a2=a2(b-2)2, 故选项D正确 6.(1)原式=m2(n-3)-4(n-3)= (n-3)(m2-4)=(n-3)(m- 2)(m+2). (2)原式=-8a(2.xy+x2+y2)= -8a(x+y)2. 7.(1)原式=[(x+y+之)+(x y+x)](z+y+)-(x-y+z)]= (x+y+之+x一y+之)(x+y+之 x+y-x)=2y(2x+2x)=4y(x+). (2)原式=[(a+2b)+3(a一2b)]2= [4(a-b)]2=16(a-b)2. 8.(1)原式=x4y4一16=(x2y2+ 4)(x2y2-4)=(x2y2+4)(xy+ 2)(xy-2). (2)原式=(x2+6.x+9)2=[(x+ 3)2]2=(x+3)4. (3)原式=[(a+b)2-1]=[(a+ b+1)(a+b-1)]=(a+b+1)2· (a+b-1)2. 9.(1)原式=a2一10a+25=(a-5)2, (2)原式=8.x2-16y2-7x2-xy+ xy=x2-16y2=(x+4y)(x-4y). 10.原式=(x+3)(x+4)+(x+3)· (x-3)=(x+3)[(x+4)+(x 3)]=(x+3)(2x+1). 11.(1)3(x-1)2. (2)①x2-xy+6.x-6y=(x2 xy)+(6.x-6y)=x(x-y)+6(x- y)=(x-y)(x+6). ②m2-n2+6m+9=(m2+6m+ 9)-n2=(m+3)2-n2=(m+3+ n)(m+3-n). (3)2a2-4a+4+2ab+b2=a2- 4a+4+a2+2ab+b2=(a-2)2+ (a+b)2=0, 所以a一2=0，a+b=0,即a=2, b=-2. 所以a-b=2-(-2)=2+2=4. 12.(2k十1)2-1能被8整除. 理由：(2k+1)2-1=(2k+1+1)· (2k+1-1)=(2k+2)·2k=4k(k+1). 因为k为正整数， 所以k,k十1为两个相邻的正整数. 所以其中必有一个数为偶数，即2的 倍数. 所以4k(k+1)为8的倍数，即(2k+ 1)2一1能被8整除。 1B.1)原式=-2ab(a2-2a6+ 62)=-1 ab(a-b)2. 当b一a=一3，ab=一2时，原式= 2×(-2)X32=9. (2)原式=(m+2n+3m-n)(m+ 2-3m+n）=(4m+n)(3n- 2m)=(4m+n)(2m-3). 当4m+n=40,2m-31=5时，原 式=-40×5=-200. 第4章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1D [变式]A 典例2(1)原式=-7x2[2x(x十 5)-y]=-7x2(2.x2+10x-y. (2)原式=1062(a-2)-5b(a 2)2=5b(a-2)[2b-(a-2)]= 5b(a-2)(2b-a+2). (3)原式=(m-n)-n(m-n)3十 m(m-n)3=(m-n)3 (m-n-n+ m)=(m-n)3(2m-21)=2(m-n). 易错警示 运用提公因式法分解因式的 几个常见注意点 运用提公因式法分解因式时， 需注意以下几点：1.必须将多项式 中每一项都含有的公因式全部提 出；2.当一个多项式的首项的系数 为负数时，一般要将“一”提出，使 括号内首项的系数为正数：3.当幂 的底数互为相反数时，要转化成同 底数幂：4.结果中若出现相同的因 式，则要写成幂的形式 [变式](1)原式=y(2a-b)- x(2a-b)=(2a-b)(y-x. (2)原式=-a”(3a2-a+1). (3)原式=(2x+3)2-(2x+3)= (2x+3)(2.x+3-1)=2(2x+3)· (x+1). 典例3(1)原式=(a十b)2+2× 合a+o+(份)》-(a+6+2）月 (2)原式=[(y十2x)+(x+2y)]· [(y+2x)-(x+2y)]=(y+2x+ x+2y)(y+2x-x-2y)=(3x+ 3y)(x-y)=3(x+y)(x-y). (3)原式=(2x+y)2-2(2x十y)· 3y+(3y)2=[(2x+y)-3y]= (2x+y-3y)2=(2x-2y)2=[2(x y)]=4(x-y)2. 一方法归纳一 遇到底数为多项式的幂时进行 因式分解的方法 分解因式时，若遇到底数为多 项式的幂，一般不必用乘法公式展 开，而是把底数看作一个整体来分 解，如第(1)小题的a十b.第(2)(3) 小题也可以先通过整式运算展开， 然后分解因式，不过运算量较大， 不可取， [变式](1)原式= [3(2m-3m) 3]‘=(m--3) (2)原式=[2(a+2b)-3a]2=(4b a)2 (3)原式=[5(a+b)-3(a-b]· [5(a+b)+3(a-b]=(2a+8b)· (8a+2b)=2(a+4b)×2(4a+b)= 4(a+4b)(4a+b). 典例4(1)原式=a(x4一8.x2y2十 16y)=a(x2-4y2)2=a[(x+2y)· (x-2y)]2=a(x+2y)2(x-2y)2. (2)原式=m2(m-81n4)=m2· (m2+9n2)(m2-9n2)=m2(m2+ 35 9n2)(m+3n)(m-3). (3)原式=x[16ab2一(a2+ 4b2)2]=x[4ab+(a2+4b2)][4ab (a2+4b2)]=-x(a2+4ab+4b2)· (a2-4ab+4b2)=-x(a+2b)2(a- 2b)2 [变式](1)原式=(x2-4)2= [(x+2)(x-2)]=(x+2)2(x-2)2. (2)原式=[(a2+4)+4a][(a2 4)-4a]=(a2+4+4a)(a2+4 4a)=(a+2)2(a-2)2 (3)原式=2x3(a-1)-8x(a-1)= 2x(a-1)(x2-4)=2x(a-1)(x+ 2)(x-2). (4)原式=[(x2-3)-6]=(x2 9)2=[(x+3)(x-3)]2=(x+3)2· (x-3)2 典例5所得的差一定能被9整除 理由：设该两位数个位上的数字是b, 十位上的数字是a,且a>b,b≠0，则 这个两位数是10a+b. 所以将十位上的数字与个位上的数字 对调后得到的数是10b+a. 所以较大的数减去较小的数的差是 (10a+b)-(10b+a)=9a-9b= 9(a-b). 因为9(a-b)是9的倍数， 所以所得的差一定能被9整除 [变式]8解析：(4m十5)2-9= (4m+5+3)(4m+5-3)=(4m+ 8)(4m+2)=8(m+2)(2m+1),所以 (4m+5)2-9一定能被8整除。 典例612解析：因为m2十n2十 m2n2+8m+9=m2+2mn+n2+ m2n2+6m1+9=(m+n)2+(mn+ 3)2,所以(m十n)2+(m十3)2=0.因 为(m十n)2≥0，(mm+3)2≥0，所以 m+n=0,m1+3=0.所以mn=-3. 所以(m-n)2=m2+n2-2mn= m2+n2+2m1-4m1=(m+n)2 4m=02-4×(-3)=0+12=12.拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 第2课时用完全 基础进阶 1.(2025·义鸟段考)下列各式中，可以用完全 平方公式进行因式分解的是 A.a2-1 B.a2+2a-1 C.x3+x2+x D.a2-6a+9 2.下列因式分解中，正确的是 A.a2-8a+16=(a-8)2 B.4a2+2ab+b2=(2a+b)2 C.a2-6ab-9b2=(a-3b)2 D.a2+8ab+16b2=(a+4b) 3.把代数式3x3一6x2y十3xy2分解因式，结果 正确的是 A.x(3x+y)(x-3y) B.3x(x2-2xy+y2) C.x(3x-y) D.3.x(x-y)2 4.(2024·上海期中)若x2一mx+25可以用完 全平方公式进行因式分解，则m的值是 5.简便计算：132+13×14+7= 6.分解因式： (1)4x2-12x+9. (②m+号m+. 1 88 拍照批改 平方公式分解因式 “答案与解析”见P33 (3)(x-y)2+10(x-y)+25. (4)(2025·东营)2m3-12m2+18m. (5)x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1). 幻素能攀升 7.已知正方形的面积是(16一8.x+x2)cm(x> 4),则正方形的周长是 () A.(4-x)cm B.(x-4)cm C.(16-4.x)cm D.(4x-16)cm 8.(2025·杭州期中)a4一2a2+1分解因式的 结果是 ( A.(a2+1)2 B.(a2-1)2 C.a2(a2-2) D.(a+1)2(a-1)2 9.如图，长和宽分别为a,b的长方形 的周长为14，面积为10，则a3b+ ab3+2a2b的值为 ( )答案讲解 6 (第9题) A.2560B.490C.70 D.49 10.(1)已知x+y=0.2,x+3y=1,则代数式 x2+4xy+4y2的值为 (2)已知a与b互为相反数，则代数式a2+ 2ab+b2-2026的值为 11.已知a<0,b<0,则-a3b3-2ab2-ab 0(填“>”“<”或“=”). 12.*把下列各式分解因式： (1)2(x2+4)2-32x2. (2)-m(a2+2)2+6m(a2+2)-9m. (3)(x+y)2+12(x+y)(x+2y)+36(x+ 2y)2. 13.快放学时，数学老师布置了一道因式分解 题：(x+y)2+4(x-y)2-4(x2-y2).小明 想了半天，也没有得出答案，就打电话给好 朋友小王，小王只是在电话里说了一句话， 小明就恍然大悟了.你知道小王说了什么 吗？请将多项式分解因式 第4章因式分解 思维拓展 14.(2025·浙江期中)阅读材料： 在一次数学课上，老师提出问 题：如何将代数式x2一8x十7进行答案讲解 因式分解呢？ 小季同学经过思考后作如下解答： x2-8.x+7=x2-8.x+16-16+7=(.x2 8x+16)-9=(x-4)2-32=(x-4+3)· (x-4-3)=(x-1)(x-7) 小戴同学在仔细研读上述解答过程后，获得 如下结论：x2一8x十7=(x一4)2一9，在代 数式(x一4)2-9中，(x一4)≥0，即无论x 取何值，(x一4)2都大于或等于0，所以 (x一4)2一9≥一9，则x2一8x+7有最小 值，为一9. 请回答下列问题： (1)仿照小季的解答过程，将代数式m2一 14m+24分解因式. (2)求代数式-m2+12m一18的最大值. 89