2026年山东省济宁市中考数学仿真卷

**基本信息** 2026年济宁中考数学仿真卷以科技（AI、可再生能源）、文化（孔子周游列国）、生活（消防车云梯）为情境，通过黄金函数新定义、倍长中线探究等题，考查抽象能力、推理能力与模型意识，适配中考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|算术平方根、科学记数法、图形对称等|AI图标考对称（第3题），孔子行程考方程（第6题）| |填空题|5/15|因式分解、圆锥侧面展开、反比例函数等|动点函数图象分析（第15题），综合几何与代数| |解答题|8/75|解直角三角形、统计处理、二次函数综合等|云梯计算（第18题）考几何直观，倍长中线探究（第22题）培养推理能力|

2026年山东省济宁市中考数学仿真卷 （总分：120分 时间：120分钟） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 的算术平方根是（ ） A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4 【答案】A 【详解】因为， 可知4的算术平方根是2． 2. 中国是全球可再生能源领域的引领者，近年来在风能、太阳能、水电、储能技术等方面取得显著进展，为全球可持续发展提供了“中国方案”．2026年全国可再生能源新增装机亿千瓦，将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：． 3. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：A，不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； B，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； D，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故本选项运算错误； B、，故本选项运算错误； C、，故本选项运算错误； D、，故本选项运算正确； 5. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 6. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子坐牛车的速度为每小时里， 由题意得，， 7. 如图，直线与相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：， ∴， ∴， 由图象可知：的解集为：； 8. 如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形． ∴，从①，②，③， 这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为． 9. 如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：作于H，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【详解】解：∵点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴点关于原点对称， ∴， ∴， 将代入中，， 解得：， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴，即， ∴， 故④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴③错误，不符合题意， 综上所述：正确的是①②④， 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 分解因式：______． 【答案】 【详解】解： ． 故答案：． 12. 用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为______________． 【答案】5 【详解】解：半径为10的半圆的弧长为：， 围成的圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得， 故答案为：5 13. 如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例的图象交于点，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：作轴，轴， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：． 14. 已知a、b满足，，，且，则__________． 【答案】 【详解】解：∵，，且， ∴a、b是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根， 解方程得或， 不妨设， ∴， 故答案为：． 15. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，；其中正确的结论是_______（填序号）． 【答案】①③④ 【详解】 根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒， ∴BC=BE=5， ∴AD=BE=5，故①小题正确； 又∵从M到N的变化是2， ∴ED=2， ∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3， 在Rt△ABE中，AB= =4， ∴cos∠ABE==，故②小题错误； 过点P作PF⊥BC于点F， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠PBF， ∴sin∠PBF=sin∠AEB==， ∴PF=PBsin∠PBF=t， ∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=t2，故③小题正确； 当t=秒时，点P在CD上，此时，PD=﹣BE﹣ED=﹣5﹣2=， PQ=CD﹣PD=4﹣=， ∴， ∴， 又∵∠A=∠Q=90°， ∴△ABE∽△QBP，故④小题正确． 综上所述，正确的有①③④． 三、解答题（本题共8小题，16-18，每题8分，19题9分, 20-21，每题10分，22-23题11分，共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 16.（8分）（1）计算： ． （2）先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】（1）； （2），6 【详解】解：（1） （2）， ， ∴或， 当时，原式分母为0，无意义； 当时，原式． 17.（8分）如图1，在纸片中，，将该纸片折叠，使得点C的对应点P落在边上且，折痕为． 　 （1）若，求的长； （2）请在图2中探究思考，用无刻度的直尺和圆规作出符合题意的折痕．（不需要写出作法，但要保留作图痕迹） 【答案】（1） （2）画图见解析 【小问1详解】 解：如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∵ ∴ ∴ 设点M到的距离为，点O到的距离为， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 解得： 【小问2详解】 能，理由如下： 由（1）可得： 而 可得： 是的垂直平分线， ∴ ∴作的角平分线交于点P，作线段的垂直平分线交于点O，交于点M，则直线即为所求折痕， 如图所示： 18. （8分）图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，．（参考数据：，，，，，） （1）求的长； （2）如图3，消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度到，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯的旋转角的度数． 【答案】（1）4m （2） 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E， 在直角三角形中，∵， ∴， 在直角三角形中，∵m，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，m，m， ∴， ∴， ∴， 即云梯大约旋转了． 19. （9分）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）点A的注意力指标数是_________； （2）当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于 【小问1详解】 解：设的解析式为：， 由得， ∴， 由图可知：点A的注意力指标数是． 【小问2详解】 解：当时，设的解析式为， ∴， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 理由：当时，，解得； 当时，反比例函数解析为， 当时，，解得． ∴当时，注意力指标数都不低于． 而， ∴张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 20.（10分）为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动·健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践．现随机抽取九年级名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如图所示，根据以上信息，解决下列问题． （1）补全频数分布直方图； （2）墨汁盖住的数字共________个，若第四组学生的平均运动时间为，求第四组中被盖住的数字； （3）扇形统计图中第四组的圆心角的度数是________； （4）若该校共有学生人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于分钟． 【答案】（1）见解析 （2）； （3） （4）该校约有人每天运动时间不少于分钟 【小问1详解】 解：由统计表可知第一组有人， 由扇形统计图可知，第二组人数占总人数的， 第二组的人数有人， 由频数分布直方图可知第三组有人， 第四组的人数为人， 补全频数分布直方图如图所示： 【小问2详解】 解：由可知第二组共有个数字， 第二组被墨汁盖住了个， 第三组共有个数， 第三组被墨汁盖住了个数， 第四组共有个数， 第四组被墨汁盖住了个数， 墨汁一共盖住了个数字； 第四组中被盖住的有一个数设这个数为， ， 解得：； 被盖住的数字为； 故答案为： 【小问3详解】 解：一共调查了名学生，第四组中有名学生， 第四组中学生的人数占总人数的4÷20×100%=20%， 扇形统计图中第四组的圆心角的度数是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：由统计表可知第二、三、四组的学生每日运动时间不少于分钟， 利用样本估计总体，可得：， 该校约有人每天运动时间不少于分钟． 21.（10分）如图，是△ABE的外接圆，为直径，点是△ABE的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2） 【小问1详解】 证明：连接，交于点， ， ， 又为△ABE的内心， ， ， ∴， 又为的直径， ， 又为的切线且为的半径， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 22.（11分）（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（2），证明见解析 （3），证明见解析 【详解】解：（2）， 证明：延长至点，使，连接，，如图所示． 同（1）得：， ， ∵DE⊥DF ,DM=DF ， 在中，由三角形的三边关系得： ， ． （3）． 证明：如图，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 23.（11分）已知二次函数，经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）已知点，，连接，将向上平移3个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求m的取值范围； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的值． 【答案】（1） （2） （3）的值为或 【小问1详解】 解：∵二次函数，经过点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点，，连接，将向上平移3个单位长度，向右平移个单位长度， ∴平移后点对应的坐标为，点对应的坐标为， ∵平移后，恰好与的图象有交点， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴m的取值范围为； 【小问3详解】 解：∵， ∴二次函数的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为， ∴当，即时，此时在上，随着的增大而减小， 当时，取得最大值为， 当时，取得最小值为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，当时， 二次函数的最大值为或，最小值为， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去），或（不符合题意，舍去） 当时，此时在上，随着的增大而增大， 当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述，的值为或． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省济宁市中考数学仿真卷 （总分：120分 时间：120分钟） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 的算术平方根是（ ） A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4 2. 中国是全球可再生能源领域的引领者，近年来在风能、太阳能、水电、储能技术等方面取得显著进展，为全球可持续发展提供了“中国方案”．2026年全国可再生能源新增装机亿千瓦，将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线与相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为( ) A. B. C. D. 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 分解因式：______． 12. 用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为______________． 13. 如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例的图象交于点，则的值为___________． 14. 已知a、b满足，，，且，则__________． 15. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，；其中正确的结论是_______（填序号）． 三、解答题（本题共8小题，16-18，每题8分，19题9分, 20-21，每题10分，22-23题11分，共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 16.（8分）（1）计算： ． （2）先化简，再求值：，其中a满足． 17.（8分）如图1，在纸片中，，将该纸片折叠，使得点C的对应点P落在边上且，折痕为． 　 （1）若，求的长； （2）请在图2中探究思考，用无刻度的直尺和圆规作出符合题意的折痕．（不需要写出作法，但要保留作图痕迹） 18. （8分）图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，．（参考数据：，，，，，） （1）求的长； （2）如图3，消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度到，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯的旋转角的度数． 19. （9分）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）点A的注意力指标数是_________； （2）当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 20.（10分）为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动·健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践．现随机抽取九年级名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如图所示，根据以上信息，解决下列问题． （1）补全频数分布直方图； （2）墨汁盖住的数字共________个，若第四组学生的平均运动时间为，求第四组中被盖住的数字； （3）扇形统计图中第四组的圆心角的度数是________； （4）若该校共有学生人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于分钟． 21.（10分）如图，是△ABE的外接圆，为直径，点是△ABE的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 22.（11分）（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 23.（11分）已知二次函数，经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）已知点，，连接，将向上平移3个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求m的取值范围； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $