精品解析：湖北武汉中学2025-2026学年高三下学期4月月考数学试卷

武汉中学高三数学月考试卷 考试时间：2026.4.19 一、单选题 1. 若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标后，列方程组求得得椭圆方程. 【详解】抛物线的焦点为， 双曲线的焦点为， 所以，又，则， 所以椭圆方程为. 2. 若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解. 【详解】， 当点在左支时，的最小值为， 当点在右支时，的最小值为， 因为，则点在双曲线的左支上， 由双曲线的定义，解得； 当，点在左支时，；在右支时，；推不出； 故为充分不必要条件， 故选：D. 3. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【详解】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 4. 已知动点满足，则点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆 【答案】A 【解析】 【分析】化简成,再根据点到点的距离与点到直线的距离公式分析几何意义求解即可. 【详解】,表示点到的距离等于到直线 的距离,因为在直线,故的轨迹为过且与直线垂直的直线上. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据距离公式分析轨迹问题的方法等,属于基础题型. 5. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内切圆的性质以及椭圆的定义，即可求出本题答案. 【详解】设，内切圆半径为， ，即， 所以，即， 又，. 故选：B. 6. 过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果. 【详解】由题设中圆心，半径， 中圆心，半径， 根据双曲线方程知其左右焦点为，连接， 所以， 所以 ， ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故的最小值为30. 故选：C. 7. 若斜率为（）的直线 l 与抛物线和圆M：分别交于A，B和C，D．且，则当面积最大时k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得的中点与的中点重合，设此点为，则，求出当面积最大时的长，结合此时列出不等式，解出，得出答案. 【详解】因为，则的中点与的中点重合，设此点为， 则 当，即，时，取最大值， 令，，， , 由,得， 由，得， . 故选：C． 8. 已知椭圆和双曲线有相同焦点与，设椭圆和双曲线的离心率分别为，为两曲线的一个公共点，且(其中O为坐标原点），则的最小值为（ ） A. B. 10 C. D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆、双曲线的定义，确定，利用离心率的定义，结合基本不等式，即可得出结论． 【详解】解：由题意设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，不妨令在双曲线的右支上 由双曲线的定义①， 由椭圆的定义②， 又，即，所以，即， 故③， ①②得④， 将④代入③得， ， 当且仅当，即时取等号； 故选：C 二、多选题 9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线和椭圆的方程，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，曲线为,此时表示圆，故A错误， 对于B，当时，，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 当时，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 故当或时，曲线C是双曲线，B正确， 对于C, 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则满足，解得，故C错误， 对于D，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，故，D正确， 故选：BD 10. 已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. ，直线的倾斜角为或 C. 若为抛物线上一点，则的最小值为 D. 的最小值为9 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先得到和抛物线方程，由焦半径公式得到；B选项，设直线，联立，得到两根之和，两根之积，根据，得到直线的斜率为；C选项，根据焦半径公式转化为，数形结合得到最小值，得到C错误；D选项，在B选项基础上得到，由基本不等式得到. 【详解】A选项，由题意得，故抛物线方程为， 由抛物线定义得，A正确； B选项，由于直线的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去， 设直线，联立，得， 设，由于，则 由韦达定理得， 故，解得， 故直线的斜率为，倾斜角不为或，B错误； C选项，由题意得，准线方程为，过点作垂直于直线于点， 由抛物线定义得，故， 要想求得的最小值，则过点作垂直于直线于点， 故的最小值为，最小值为，C错误； D选项，由题意得，由于，故， ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为9，D正确. 故选：AD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 11. 某数学兴趣小组的同学在探究“双”函数的图象和性质时，发现该函数的图象是双曲线，且存在实数，使得对恒成立．据此，下面的结论成立的是（ ） A. 实数的最大值为 B. 该双曲线的离心率为 C. 该双曲线的一个顶点是 D. 该双曲线的焦距为 【答案】ABD 【解析】 【分析】分离参数，结合二次函数性质可得参数范围，即可得双曲线渐近线，进而可得双曲线的几何性质，判断各选项. 【详解】 由，恒成立，即，则， 又当时，，所以，A选项正确； 双曲线的一条渐近线为，倾斜角为， 另一条渐近线为， 则两条渐近线的夹角为， 设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为， 则， 则双曲线离心率，B选项正确； 双曲线实轴所在直线为两条渐近线夹角的角分线， 即倾斜角为，即， 联立，解得，或， 所以双曲线的顶点为，，C选项错误； 则，即， 则，即焦距为，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点在抛物线上求出抛物线的标准方程，进而可求准线方程. 【详解】因为点在抛物线上， 所以，所以抛物线的方程为，即， 所以，则，所以抛物线的准线方程为， 故答案为: . 13. 已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线和椭圆的定义求解、的长，再结合余弦定理求出，进而得到，再根据面积公式求解即可. 【详解】设，分别为左、右焦点，根据椭圆以及双曲线定义可得 所以，， 所以， 由余弦定理可得， 所以， 故， 因此的面积为， 解得． 故答案为：. 14. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点．若的内切圆圆心为，则外接圆的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明双曲线焦点三角形内切圆圆心与对应顶点坐标的关系，再利用正切的和角公式及同角三角函数基本关系计算的正弦，利用正弦定理即可求出结果. 【详解】先补充一个结论：在双曲线中，点是右支上一点，则焦点三角形的内切圆圆心在过右顶点且与轴垂直的直线上，即． 证明：如图所示，不妨设的内切圆圆心为，对应切点依次，右顶点A， 根据切线长定理知：， 由双曲线定义可知， 又，则重合，即内切圆圆心C的横坐标为. 下面解决本题：如图，设内切圆圆心为，连接，记，， 由点的横坐标为3可得，又4，可得， 则，， 则． 于是，则，则， 设外接圆的半径为，则． 故答案为： 四、解答题 15. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． （1）求抛物线的方程； （2）求△的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式结合的横坐标可求解出的值，由此可求抛物线的方程； （2）先求解出，再计算出到的距离，结合三角形面积公式可求结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 因为，代入抛物线方程可得，且，所以， 又因为，所以，所以， 联立可得，所以， 所以， 又因为，所以到直线的距离为， 所以. 16. 已知斜率为的直线过点，且与椭圆相交于不同的两点，， （1）若，中点的纵坐标为，求直线的方程； （2）若弦长，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，联立椭圆方程并根据纵坐标可得，求出直线的方程； （2）利用弦长公式计算求得直线的方程，可得. 【小问1详解】 根据题意可设直线的方程为， 设的中点为，如下图所示： 联立，整理可得， 易知，解得或， 且，由，中点的纵坐标为，可得， 解得或（舍）， 因此直线的方程为. 【小问2详解】 由（1）可得； 又弦长，可得， 整理可得， 解得，即，满足题意， 因此直线的方程为，即， 可得. 17. 已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 【答案】(1)见详解；(2) 3或. 【解析】 【分析】（1）可设，，然后求出A，B两点处的切线方程，比如：，又因为也有类似的形式，从而求出带参数直线方程，最后求出它所过的定点. （2）由(1)得带参数的直线方程和抛物线方程联立，再通过为线段的中点，得出的值，从而求出坐标和的值，分别为点到直线的距离，则，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可. 【详解】(1)证明：设,,则． 又因为，所以.则切线DA的斜率为， 故，整理得. 设，同理得. ,都满足直线方程. 于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即， 当时等式恒成立．所以直线恒过定点. （2） [方法一]【最优解：利用公共边结合韦达定理求面积】 设的中点为G，,则，，． 由，得， 将代入上式并整理得， 因为，所以或． 由（1）知，所以轴， 则（设）． 当时，，即； 当时，， 即，． 综上，四边形的面积为3或． [方法二]【利用弦长公式结合面积公式求面积】 设，由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，准线方程为．由抛物线的定义， 得． 线段的中点为． 当时，轴，， ； 当时，，由，得，即． 所以，直线的方程为． 根据对称性考虑点和直线的方程即可． E到直线的距离为， D到直线的距离为． 所以． 综上，四边形的面积为3或． [方法三]【结合抛物线的光学性质求面积】 图5中，由抛物线的光学性质易得，又，所以． 因为，，所以， 所以． 同理，所以，即点D为中点． 图6中已去掉坐标系和抛物线，并延长于点H． 因为，所以． 又因为G，D分别为的中点，所以， 故为平行四边形，从而． 因为且，所以I为的中点， 从而．． 当直线平行于准线时，易得． 综上，四边形的面积为3或． [方法四]【结合弦长公式和向量的运算求面积】 由（1）得直线的方程为. 由，可得， 于是 . 设分别为点到直线的距离，则. 因此，四边形ADBE的面积. 设M为线段AB的中点，则， 由于，而，与向量平行，所以，解得或. 当时，；当时 因此，四边形的面积为3或. 【整体点评】(2)方法一：利用公共边将一个三角形的面积分割为两个三角形的面积进行计算是一种常用且有效的方法； 方法二：面积公式是计算三角形面积的最基本方法； 方法三：平稳的光学性质和相似、全等三角形的应用要求几何技巧比较高，计算量较少； 方法四：弦长公式结合向量体现了数学知识的综合运用. 18. 如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出的值后可求抛物线的方程. （2）方法一：设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围. 【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：. （2）[方法一]：通式通法 设，，， 所以直线，由题设可得且. 由可得，故， 因为，故，故. 又，由可得， 同理， 由可得， 所以， 整理得到， 故， 令，则且， 故， 故即， 解得或或. 故直线在轴上的截距的范围为或或. [方法二]：利用焦点弦性质 设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且． 由得，所以． 因为， ，． 由得． 同理． 由得． 因为， 所以即． 故． 令，则． 所以，解得或或． 故直线在x轴上的截距的范围为． [方法三]【最优解】： 设， 由三点共线得，即． 所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为． 设直线的方程为， 则． 所以． 故（其中）． 所以． 因此直线在x轴上的截距为． 【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标. 方法一：主要是用坐标表示直线，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 方法二：利用焦点弦的性质求得直线的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 方法三：利用点在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 19. 已知椭圆，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知． （1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”； （2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围； （3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论． 【答案】（1）是 （2） （3）是，证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，计算，根据二次函数的性质得到答案； （2）由（1）的方法判断，可得时，函数值达到最大，分别讨论二次项系数的正负是否满足条件得出的取值范围； （3）法一：设，则，计算直线方程得到，，根据得到答案.法二：设，计算直线方程得到，，再根据得到答案. 【小问1详解】 由题意得椭圆方程为，所以， 设，则 ， 二次函数开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递减， 所以时，函数取最大值，此时为椭圆的短轴的另一个端点， ∴椭圆是“圆椭圆”； 【小问2详解】 因为椭圆方程为，，设，， 则，， 由题意得，当且仅当时，函数值达到最大， ①当开口向上时，满足（与矛盾，舍去）； ②当开口向下时，满足， 综上可得的取值范围为． 【小问3详解】 法—：由（2）可得，则椭圆方程为， 由题意：设且， 则，则直线：，则， 则直线，则， 若为直径的圆过定点，由对称性知在轴上，∴设则，且, ∴，， 则，解得， 所以得定点． 法二：椭圆方程：，设， 则， 所以，， 若为直径的圆过定点，由对称性知在轴上， ∴设，则，又，， 所以， ∵，解得， 所以得定点. 【点睛】方法点睛：处理定点问题的三个常用策略： （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，通过等量关系代入化简变形，分析研究出变化的量与参数无关，从而找到定点； （2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明存在着动态变化中不受变量影响的该定点； （3）定位分析法：先根据几何性质（如：图形对称性、点线相对性、动态趋势等）探索出定点大致位置，从而确定证明方向再加以证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉中学高三数学月考试卷 考试时间：2026.4.19 一、单选题 1. 若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件 3. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知动点满足，则点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆 5. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 6. 过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 32 7. 若斜率为（）的直线 l 与抛物线和圆M：分别交于A，B和C，D．且，则当面积最大时k的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆和双曲线有相同焦点与，设椭圆和双曲线的离心率分别为，为两曲线的一个公共点，且(其中O为坐标原点），则的最小值为（ ） A. B. 10 C. D. 15 二、多选题 9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 10. 已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. ，直线的倾斜角为或 C. 若为抛物线上一点，则的最小值为 D. 的最小值为9 11. 某数学兴趣小组的同学在探究“双”函数的图象和性质时，发现该函数的图象是双曲线，且存在实数，使得对恒成立．据此，下面的结论成立的是（ ） A. 实数的最大值为 B. 该双曲线的离心率为 C. 该双曲线的一个顶点是 D. 该双曲线的焦距为 三、填空题 12. 已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为__________. 13. 已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为______． 14. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点．若的内切圆圆心为，则外接圆的半径为________． 四、解答题 15. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． （1）求抛物线的方程； （2）求△的面积． 16. 已知斜率为的直线过点，且与椭圆相交于不同的两点，， （1）若，中点的纵坐标为，求直线的方程； （2）若弦长，求的值. 17. 已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 18. 如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围. 19. 已知椭圆，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知． （1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”； （2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围； （3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $