精品解析：湖北武汉四中2026届高三下学期3月月考数学试题

武汉四中2026届高三月考 数学试卷 考试时间：2026年3月1日 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把对应题目所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法、指数函数的单调性，结合交集的定义进行求解即可. 【详解】由， 所以， 由， 所以， 故. 故选：C 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数乘方及除法求出复数，再求出对应点的坐标作答. 【详解】，由复数的几何意义可知对应的点位于第四象限. 故选：D. 3. 已知实数，则“”是“”的（    ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由作差法结合不等式的性质即可判断. 【详解】不等式，等价于， 因为，所以，显然，得出； ，得或，未必. 故选：A. 4. 已知抛物线的焦点为，过点作倾斜角为的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，则的面积为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先写出直线方程，然后跟抛物线联立，应用韦达定理，然后把弦长和原点到直线的距离都算出来，最后用三角形面积. 【详解】抛物线的焦点为. 直线的倾斜角为，斜率， 由点斜式得直线方程：， 联立抛物线与直线方程：， 消去得：， 设，，由韦达定理有， 根据弦长公式， 将，，代入可得： ， 原点到直线的距离 ，距离公式， 所以 ， 这里以为底，为高，则的面积为： . 故选：B 5. 已知函数为偶函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性定义确定函数的奇偶性，进而得到函数的奇偶性，再借助余弦型函数的奇偶性求出参数值. 【详解】函数的定义域为，令函数， ，即函数是奇函数， 而函数是偶函数，则函数是奇函数， 因此，解得，又， 所以当时，取得最小值. 故选：C 6. 在中，，，直线与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由向量三点共线，以及由基底的不同表示，由此能求出，． 【详解】解： 因为，所以 设 所以， 由、、共线，所以 ，． 故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用，属于基础题. 7. 已知椭圆：（）左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的任意一点，为椭圆的左焦点，则以为直径的圆与以为直径的圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 内切 C. 内含 D. 外切 【答案】B 【解析】 【分析】设的中点为，椭圆的右焦点为，连接、，根据椭圆的定义及三角形中位线的性质得到，即可判断. 【详解】设的中点为，椭圆的右焦点为，连接、， 所以，又， 因此， 又以为直径的圆的半径，圆心为， 以为直径的圆的半径，圆心为， 即，所以以为直径的圆与以为直径的圆的位置关系为内切. 故选：B 8. 设是两个随机事件，已知，，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用相互独立事件的概率与条件概率计算即可. 【详解】由已知得， 注意到，所以相互独立， 故， ， 又因，故， 所以. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，若直线与右支有且仅有一个公共点，则可能的值有（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，求得直线恒过点，且双曲线的渐近线方程为，要使得直线与的右支有且仅有一个公共点，分和，结合双曲线的几何性质，列出不等关系式，结合选项，即可求解. 【详解】由直线，可化为， 联立方程组，解得，即直线恒过点， 又由双曲线，可得其渐近线方程为， 要使得直线与的右支有且仅有一个公共点，如图所示， 当时，此时直线的方程为，此时直线与双曲线相切于点，符合题意； 当时，直线的斜率为，则满足，即， 结合选项，当时，，满足不等式，符合题意； 当时，，不满足不等式，不符合题意； 当时，，满足不等式，符合题意. 故选：ABD. 10. 下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用的展开式与赋值法可判断A，利用组合数的性质可判断B，利用阶乘的裂项法可判断C，构造求其含的项的系数可判断D. 【详解】对于A，因为， 令，得，则，故A错误； 对于B，因为， 所以 ，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C正确. 对于D，， 对于，其含有的项的系数为， 对于，要得到含有的项的系数， 须从第一个式子取出个，再从第二个式子取出个， 它们对应的系数为， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，利用组合的思想，从多项式中得到含有的项的系数，从而得解. 11. 已知正方体的棱长为2，为棱的中点，点满足，则（ ） A. 任意，三棱锥的体积是定值 B. 当时，与所成角的余弦值为 C. 存在，使得二面角的大小为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由不与平面平行，即点到面的距离不为定值，由此判断即可；对于BCD，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可. 【详解】对于A，不与平面平行， 到平面的距离不为定值， 三棱锥体积不为定值，故A错误； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 当时，，则，， 所以， 则与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，由B知，， 则，即，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 若二面角的大小为， 则， 则，由于， 且函数开口向上，对称轴为， 则， 不存在，使得二面角的大小为，故C错误； 对于D，由C知，平面的一个法向量为， 因为，则， 而正方体的外接球的球心，则， 则到平面的距离， 而外接球半径， 截面圆半径的平方为， 则截面的面积为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 现有5名志愿者被派往三个小区参加志愿者活动，每个志愿者只能选其中一个小区，小区安排1人，小区安排2人，小区安排2人.则不同的安排方案共有__________种.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列组合即可求解. 【详解】首先从5名志愿者中选出1人去小区，共有种情况， 再从剩下的4名志愿者中选出2人去小区，共有种情况， 剩下的2个人安排到小区， 因此不同的安排方法共有种， 故答案为： 13. 已知，函数在区间上单调递增，则的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用辅助角公式将化成，由在区间上单调递增，利用正弦函数的图象与性质可得，从而得到的最大值. 【详解】， ，， ，，的最大值为. 故答案：. 14. 在三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面平面，由和的外接圆圆心位置即半径确定外接球的球心位置，再利用勾股定理求得外接球的半径即可求出表面积. 【详解】中，易知，可得； 在中，易知，可得； 易知和的外接圆半径分别为； 取的中点为，设和的外接圆圆心分别为，三棱锥的外接球的球心为，如下图所示： 易知，且，又平面平面，所以平面； 同理可得，平面； 由球心性质可知平面，平面； 因此可知，所以四边形为平行四边形，可得； 所以三棱锥的外接球的半径为； 因此外接球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，已知，． （1）求角； （2）若边上的中线长为5，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，由角化边，求出三边的数量关系，进而根据余弦定理求出，求出结果. （2）根据三角形中线的向量表示，求出三边的关系，进而求出的值，再根据正弦面积公式，求出结果即可. 【小问1详解】 由题意可得，因为，所以， 化简得， 则，所以. 【小问2详解】 设中点为，可得，， 所以，化简得， 即， 由（1）可知，即， 所以，所以. 16. 已知数列满足． （1）记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式； （2）求数列的前2n项和； 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证，进而求解； （2）由（1）得，进而得，即可求，又得，进而求，利用分组求和即可求解. 【小问1详解】 由题意得： ， 又，所以， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）有，所以， 所以， 又，所以 所以 ， 所以 . 17. 已知是椭圆的右顶点，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，且，求弦的长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆右顶点以及经过点的坐标解方程即可求得椭圆的方程； （2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式直接计算即可得出结果. 【小问1详解】 由题意知， 代入点，即，解得， 可得椭圆的方程为； 【小问2详解】 联立与， 化简得， 可得， 由可得， 即解得， 所以， 可得， 即弦的长为. 18. 已知函数（其中a为参数）． （1）求函数的单调区间； （2）若对，恒成立，求实数a的取值集合： （3）证明：（其中，为自然对数的底数） 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对分类求得函数的单调区间； （2）对任意，都有，转化为，分类求出，通过构造函数求解不等式即可得实数的取值范围； （3）借助于（2）中的函数，，分别取和，代入即可通过变形证明. 【小问1详解】 ，， 当时，，在单调递增， 当时，令，得， 时，，单调递减， 时，单调递增； 综上：时，在上递增，无减区间， 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 由题意得， 当时，在单调递增，又，故当时，，故不符合题意， 当时，在单调递减，在单调递增， 故， 对，恒成立，则需满足， 记，则， 当时，，当时，， 故在上递减，在上递增， 所以的解只有， 实数的取值集合为 【小问3详解】 由（2）知： 令，则，即，即， 所以， 由（2）知： 令，则，即， 即，所以， 综上可知：. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，含参数分类讨论的思想，考查了恒成立问题，利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，利用已有函数的单调性证明函数不等式. 19. 图1由矩形和一个半圆组成，点E是圆弧的中点，，将半圆沿着直径向下翻折（如图2），使点到达点的位置，且． （1）证明：； （2）点是线段上一点，记四棱锥体积为，三棱锥的体积为，若，求点到平面的距离； （3）现有一个蚂蚁窝可近似看成四棱锥，一只蚂蚁第一次在该蚁窝5个顶点中随机地选择一个点休息，之后每满一分钟它都可以选择留在原处继续休息，或者随机地选择一条棱爬行至相邻顶点处休息，爬行时间忽略不计，假设每次选择互不影响，蚂蚁每次选择留在原处继续休息的概率都是，记蚂蚁第（）次做选择后在点处休息的概率为，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意结合勾股定理可得，由矩形性质可得，则可由线面垂直判定定理得到平面，再用线面垂直性质定理即可得证； （2）取中点，可得，结合线面垂直性质定理与判定定理可得为四棱锥的高，则可由锥体体积公式求出，再计算出的面积后，即可利用及锥体体积公式得到点到平面的距离； （3）由题意可得与的关系，再利用待定系数法与等比数列定义即可得数列通项公式，再分、与，结合数列单调性即可得解. 【小问1详解】 由，点E是圆弧的中点，则， 由四边形为矩形，则， 又，则，又， 则，故， 矩形中，，， 、平面，故平面， 又平面，故； 【小问2详解】 取中点，连接，由，则， 由平面，平面，则， 又，、平面，故平面， 故即为四棱锥的高，且， 由，平面，故平面， 由平面，故，则， 则，故为等边三角形，故， 设点到平面的距离为，由， 则，即， 即点到平面的距离为； 【小问3详解】 由蚂蚁第（）次做选择后在点处休息的概率为，则由对称性可知， 蚂蚁第（）次做选择后在点、、、处休息的概率均为， 若蚂蚁第（）次做选择后在点、、、中任意一处， 则第（）次做选择后在点处休息的概率为， 则可得，且， 设，化简得， 令，则， 故，， ①当时，数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，即， 当时，， 若为奇数，则，且随的增大而减小， 若为偶数，则，且随的增大而增大， 故，，即有； 当时，，则随的增大而增大， 故，，即有； ②当时，，即， 此时满足； 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉四中2026届高三月考 数学试卷 考试时间：2026年3月1日 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把对应题目所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知实数，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知抛物线的焦点为，过点作倾斜角为的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，则的面积为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 5. 已知函数为偶函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，直线与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆：（）左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的任意一点，为椭圆的左焦点，则以为直径的圆与以为直径的圆的位置关系为（ ） A 相交 B. 内切 C. 内含 D. 外切 8. 设是两个随机事件，已知，，，记，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，若直线与的右支有且仅有一个公共点，则可能的值有（ ） A. 0 B. C. D. 10. 下列等式中正确的是（ ） A B. C D. 11. 已知正方体的棱长为2，为棱的中点，点满足，则（ ） A. 任意，三棱锥体积是定值 B. 当时，与所成角余弦值为 C. 存在，使得二面角的大小为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 现有5名志愿者被派往三个小区参加志愿者活动，每个志愿者只能选其中一个小区，小区安排1人，小区安排2人，小区安排2人.则不同的安排方案共有__________种.（用数字作答） 13. 已知，函数在区间上单调递增，则的最大值为______. 14. 在三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，已知，． （1）求角； （2）若边上的中线长为5，求的面积． 16. 已知数列满足． （1）记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式； （2）求数列的前2n项和； 17. 已知是椭圆的右顶点，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，且，求弦的长. 18. 已知函数（其中a为参数）． （1）求函数的单调区间； （2）若对，恒成立，求实数a的取值集合： （3）证明：（其中，为自然对数的底数） 19. 图1由矩形和一个半圆组成，点E是圆弧的中点，，将半圆沿着直径向下翻折（如图2），使点到达点的位置，且． （1）证明：； （2）点是线段上一点，记四棱锥体积为，三棱锥的体积为，若，求点到平面的距离； （3）现有一个蚂蚁窝可近似看成四棱锥，一只蚂蚁第一次在该蚁窝5个顶点中随机地选择一个点休息，之后每满一分钟它都可以选择留在原处继续休息，或者随机地选择一条棱爬行至相邻顶点处休息，爬行时间忽略不计，假设每次选择互不影响，蚂蚁每次选择留在原处继续休息的概率都是，记蚂蚁第（）次做选择后在点处休息的概率为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $