第11讲 分式的意义与基本性质（知识详解+13典例分析+习题巩固）2025-2026学年浙教版七年级数学下册同步讲义与测试

第11讲 分式的意义与基本性质（知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的概念 1.分式：这些代数式都表示两个整式相除，且除式中含有字母。像这样的代数式叫作分式。 2.分式必须满足三个条件：①具备的形式；②A,B 都是整式；③分母中含有字母。三个条件缺一不可。 示例1 分式 辨析 分式与分数的区别与联系 分式 分数 区别 分式是两个整式相除的商式。 分数是整式。 分式的分母中含有字母。 分数的分子、分母中都不含有字母。 联系 由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。 说明：分式可看成两个整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号作用。例如 可表示为(x−y)÷(x+y),但(x−y)÷(x+y)是运算式，不符合的形式，不是分式。 【知识点02】分式有意义、无意义或分式的值为零的条件 分式中字母的取值不能使分母为零。当分母的值为零时，分式就没有意义。 分类 条件 分式 有意义 分母不等于零，即𝐵≠0 。 分式 无意义 分母等于零，即𝐵=0 。 分式的值为零 分子等于零，分母不等于零，即𝐴=0 ，𝐵≠0 （保证分式有意义。）。 示例2 分式有、无意义的条件 注意：（1）如果没有特别说明，分式的字母取值都不能使分母为零。 （2）分式有无意义，只与分式中分母的值是否为0有关，而与分式的值是否为零无关。 【知识点03】分式的基本性质 基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 字母表示 =,=（其中𝑀 是不等于零的整式）。 用途 进行分式化简和运算的依据。 注意（1）分子和分母要同时做“乘法（或除法）”运算； （2） 乘（或除以）的对象必须是同一个不等于零的整式。： 示例3 分式的基本性质 【知识点04】分式的符号法则 内容 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 字母表示 ===− 。 拓展：改变其中任何一个或三个后，新分式与原分式互为相反数，如分式与 互为相反数 【知识点05】分式的约分 1.分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分式的约分。 注意：不改变分式的值 约分要约去分子、分母所有的公因式。 2.最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫作最简分式。 3.约分的方法： （1）若分子、分母都是单项式，则约去分子、分母系数的最大公因数和相同字母的最低次幂（公因式）； （2）若分子或分母中含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式。 注意： 约分的最后结果是最简分式或整式。 示例4 分式的约分 【知识点06】多项式除以多项式 多项式除以多项式可转化为分式的约分，其依据是分式的意义和等式的基本性质。最后的结果要用整式（整除时）或最简分式（不整除时）表示。 【题型一】分式的判断 例1．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查的是分式的识别，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，根据定义求解即可. 【详解】解：A选项的分母是数字3，不含字母，属于整式； B选项的分母是字母，符合分式的定义； C选项是多项式，没有分母，属于整式； D选项的分母是数字7，不含字母，属于整式； 综上，只有B选项是分式； 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列各式：，，，，是分式的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查分式的概念，分母中含有字母（变量）的代数式就是分式，只需紧扣定义逐个核对，就能判断出有几个代数式是分式． 【详解】解：分母含有变量x，是分式； 分母为常数3，不含变量，不是分式； 分母为，含有变量b，是分式； 分母为常数（圆周率），不含变量，不是分式； 分母为，含有变量x，是分式． 因此，是分式的有，，，共3个． 故选：C． 变式2．（2024七年级下·浙江·期末）在代数式①，②，③，④，⑤，⑥中，分式有________． 【答案】①⑤⑥ 【知识点】分式的判断 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：①，⑤，⑥分母中含有字母，因此是分式， 故答案为：①⑤⑥． 【点睛】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数． 【题型二】分式无意义的条件 例2．（23-24七年级下·浙江·期中）对于分式，下列叙述正确的是（    ） A．当时，分式无意义 B．存在a的值，使分式的值为1 C．当时，分式值为0 D．当时分式有意义 【答案】D 【知识点】分式无意义的条件 【分析】分式有意义，分式的分母不等于零． 【详解】解：A、当时，分母，分式有意义．故本选项错误； B、当的值为1时，，不存在这样的值．故本选项错误； C、当时，分母，分式无意义．故本选项错误； D、当即时分式有意义．故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零． 变式1．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）当____时，分式无意义． 【答案】1 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查分式无意义的条件，掌握分式无意义的条件是解题的关键． 根据分式无意义的条件，即分母为0，即可解答． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得． 故答案为：1． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）若分式无意义，则x的值为 ___________． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式无意义的条件，理解分式无意义时分母为零是解题的关键． 根据分式的分母为零，分式无意义计算可求解． 【详解】解：， 解得， 故当时，分式无意义， 故答案为：． 【题型三】分式有意义的条件 例3．（23-24七年级下·浙江温州·期末）要使分式有意义，则的取值应满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以取任意实数 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件可知，解这个不等式得． 故答案为：C． 变式2．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）分式有意义的条件是______． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据分式分母不为0求解即可． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：． 【题型四】分式值为零的条件 例4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若分式的值为0，则实数（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为0，即分子为0，分母不为0，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选：A． 例5．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若分式的值为0，则x的值为_______． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为零即分子为0且分母不为0，由此计算即可． 【详解】解：若分式的值为0， 则且， 解得， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）当时，分式的值为0，则a的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】A 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，当分式的值为0时，分子必须为0且分母不为0．将代入分式，解方程并验证分母是否非零． 【详解】解：当时，原分式化为 由分式的值为0，则分子必须为0，解得，即或． 同时，分母不能为0．当时，分母，符合条件；当时，分母，分式无意义，故排除． 因此，的值为2， 故选A． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）当为何值时，分式的值为0？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式值为零的条件 【分析】（1）根据分式的值为零的条件可以求出的值； （2）根据分式的值为零的条件可以求出的值； （3）根据分式的值为零的条件可以求出的值． 【详解】（1）解：由题意可得：且， 解得：； （2）解：由题意可得：且， 解得：； （3）解：由题意可：得且， 解得：． 【点睛】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可． 【题型五】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 例6．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）若分式值为正数，则的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】根据题意列出不等式即可求出答案； 【详解】解：由题意得，，所以， 故选：D． 【点睛】本题考查分式的值，解题关键是列出正确的不等式． 变式1．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 【答案】且 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】由分式的值为正数，得到，，即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴，， 解得且， 即x的取值范围是且． 故答案为：且 【点睛】此题考查了分式的性质，熟练掌握两数相除，同号得正，异号得负是解题的关键． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）当的取值范围是多少时， (1)分式有意义； (2)分式值为负数． 【答案】(1) (2) 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、分式有意义的条件 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，进行计算即可得到答案； （2）分式值是负数的条件是分子分母异号，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 时，分式有意义； （2）解：，， ， ， 时，分式值为负数． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件以及分式值的符号的确定方法． 【题型六】判断分式变形是否正确 例7．（24-25七年级下·浙江金华·期末）分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的变形，将原分式通过符号变形转化为分母为的形式． 【详解】解：解：原式为，根据分式的基本性质，分式的负号可以调整到分母，即：， 因此，原式可变形为选项B的． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以或除以同一个非零整式，分式的值不变；将原分式的分子和分母同时乘以，即可变形为选项C的形式. 【详解】解：分子和分母同时乘以： ； 故选：C 变式2．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 【题型七】将分式的分子分母各项系数化为整数 例8．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_____． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质，将分子、分母同乘10即可． 【详解】解： 故答案为：． 变式2．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】（1）根据分式的基本性质即可解答； （2）根据分式的基本性质即可解答 【详解】（1）解： ； （2）解： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【题型八】约分 例9．（2024七年级下·浙江·专题练习）对下列分式约分，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】约分 【分析】本题考查了约分，掌握约分的方法是解题的关键．对分子、分母进行因式分解，约去公因式，再逐一判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、不能约分，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 变式1．（23-24七年级下·浙江金华·月考）如图，一个长宽高分别为，，的长方体纸箱装满了一层高为的圆柱形易拉罐，则纸箱空间的利用率=________．（易拉罐总体积与纸箱容积的比，结果精确到0.1%） 【答案】 【知识点】约分 【分析】根据题意分别算出纸箱的体积和易拉罐的体积，根据易拉罐总体积与纸箱容积的比求得利用率． 【详解】设沿长边摆放了个易拉罐，沿宽摆放了个易拉罐， 则， 每个易拉罐的体积=， 所以长方体纸箱中圆柱形易拉罐所占的总体积， 又因为长方体纸盒的体积= ， 所以纸箱空间的利用率为 故答案为： 【点睛】本题考查了分式的应用，掌握分式的计算是解题的关键． 变式2．约分： 【答案】 【知识点】约分 【分析】根据分式的性质约分即可求解． 【详解】解：. 【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 【题型九】最简分式 例10．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简分式 【分析】利用最简分式定义进行分析即可； 【详解】解：、该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意； B、该分式的分子、分母中含有公因数，不是最简分式，故此选项不符合题意； C、该分式是最简分式，故此选项符合题意； D、该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫做最简分式，解题关键掌握最简分式的定义． 变式1．（23-24七年级下·浙江金华·月考）分式，，，中，最简分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】最简分式 【分析】根据最简分式的定义，即可求得，最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【详解】，． ，不是最简分式． ，是最简分式，最简分式有2个． 故选B 【点睛】本题考查了最简分式，掌握最简分式的定义是解题的关键． 变式2．有分别写有的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有 __的卡片． 【答案】x 【知识点】最简分式 【分析】本题主要考查了最简分式，正确掌握分式的基本性质及最简分式定义是解题关键．直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义分析得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，都不是最简分式， 而无法化简，故是最简分式， 故使得分式为最简分式，则应选择写有x的卡片． 故答案为：x． 【题型十】分式的求值 例11．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知，则分式的值是（   ） A．10 B． C． D．4 【答案】C 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查分式的求值，由已知条件，可将分式转化为关于的表达式，代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故选C． 例12．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知，求的值． 【答案】 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由可得，再整体代入计算即可 【详解】解：∵， ∴，即， 原式 变式1．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）若，则分式的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】分式的求值 【分析】本题主要考查了分式求值，将代入分式，然后化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 变式2．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知，则分式的值为________． 【答案】 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查非负数的性质，分式的求值，根据非负性求出的值，代入分式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 变式3．（23-24七年级下·浙江金华·月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，灵活的运用倒数法是解本题的关键． （1）由，可得，从而可得答案； （2）由，可得，再进一步可得答案； （3）由条件结合题干信息可得，，再代入，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 代入， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【题型十一】利用分式的基本性质判断分式值的变化 例13．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）分式的值为，将，都扩大倍，则变化后分式的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式性质，将原分式中的变量扩大倍后，代入计算新分式的值，并与原值比较即可得到答案，熟记分式性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 当和均扩大2倍时，新分式， 则变化后的分式值为， 故选：D． 例14．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）分式的值为m，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为_______________． 【答案】 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子，分母变化的倍数．解此类题目首先把字母变化后的值带入式子中，然后约分，再与原式比较最终得出结论．将原分式中的x、y用、代替，化简，再与原分式进行比较即可． 【详解】解：将分式中x、y都扩大2倍后所得式子为： ， 若分式的值为m， 则所得分式的值是m． 故答案为：m． 变式1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）把分式分子加10，要使分式的值不变，分母应该加上（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时扩大相同的倍数，分式的值不变，原分式分子加10后变为原来的3倍，因此分母也需扩大3倍，从而确定需要加上的量． 【详解】解：原分式为，分子加10后变为，即分子变为原来的3倍，根据分式的基本性质，分母也需变为原来的3倍，即，原分母为，因此需要加上． 故选：D． 变式2．（22-23七年级下·浙江·期中）根据分式的基本性质填空．括号内填________． 【答案】 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】根据分式的基本性质进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 【题型十二】将分式的分子分母的最高次项化为正数 例15．（23-24七年级下·浙江宁波·月考）不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据分式的基本性质计算即可． 【详解】解：． 变式1．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）对分式的分子分母均乘以即可； （2）将分式的分子部分提取即可． 【详解】（1）解：原式 ; （2）解: 原式 ． 变式2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】对于一个分式有三个符号，分式本身，分子，分母，由分式的基本性质可得：这三个符号同时改变两个，分式的值不变，根据此原理逐一解答各题： （1）把的分子，分母的符号都改为“+”，可得答案； （2）把的分子的符号改为“+”，分数本身的符号都改为“-”，可得答案； （3）把的分母的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案； （4）的分子的符号改为“+”，分数本身的符号都改为“-”，可得答案． 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变.”是解题的关键. 【题型十三】求使分式值为整数时未知数的整数值 例16．若x是整数，且的值也是整数，则所有符合条件的x的值有（    ）个 A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】由原式为整数可得出或或或，解之即可得出结论． 【详解】解：∵x是整数，且的值也是整数， ∴或或或， ∴或或0或．共有4个， 故选：C 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式化简与求值的方法并明确数的整除性是解题的关键． 变式1．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）若表示一个整数，则整数x可取的个数有______个． 【答案】4 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】由原式为整数，x为整数确定出x可取的值个数即可． 【详解】解：∵为整数， ∴2x+3为1，3， 当2x+3=1，即x=-1时，原式=-2； 当2x+3=-1，即x=-2时，原式=4； 当2x+3=3，即x=0时，原式=0； 当2x+3=-3，即x=-3时，原式=2． ∴x的值可取0，-1，-2，-3． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了分式的值，把原式化成是解题的关键． 变式2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)的可能整数值为． 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、约分 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将各式进行正确地变形是解题的关键． （1）根据题干中的定义进行判断即可； （2）将原式变形后进行化简即可； （3）将原式变形后化为代分式，然后结合已知条件确定整数x的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得为真分式， 故答案为：真分式； （2）； （3）， 当为整数时，也为整数， 可取得的整数值为，， 的可能整数值为． 一、单选题 1．若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≠﹣3 B．x＝﹣3 C．x＞﹣3 D．x≥﹣3 【答案】A 【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得x＋3≠0， 解得x≠−3， 故选：A． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 2．在 中，分式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】考查分式的定义，解题的关键在于能够熟练掌握分式的定义，注意不是字母，是常数． 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：在中，分式有共计2个． 故选：． 3．若当时，分式的值为0，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接将，代入式子中计算即可判断． 【详解】解：A、时，分母为0，没有意义，不符合题意； B、时，分母为0，没有意义，不符合题意； C、原式，符合题意； D原式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式求值，解题的关键掌握分式代值的计算方法． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质．将分子或分母利用平方差公式分解因式，约分得到结果，即可判断选项A、B、D；分子和分母同时提出负号并添上括号再化简，即可判断选项C．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：A． 5．若将中的x与y都扩大为原来的2倍，则这个代数式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的2倍 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，利用已知条件进行化解，再与原式对比即可得出结论，利用分式基本性质化解是解题的关键． 【详解】解：x与y都扩大为原来的2倍，原式变为． 故选：B． 6．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 7．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分母因式分解，再约分即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的约分，解题关键是把多项式因式分解，然后熟练运用分式基本性质进行约分． 8．若分式的值为0，则x的值是(    )． A．1或 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0，再建立方程与不等式解题即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∵， ∴，解得：， 当时，，舍去， 当时，，符合题意， ∴， 故选C 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，利用平方根的含义解方程，熟记分式的值为0的条件是解本题的关键． 9．下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质与平方差公式的应用．依据分式基本性质（分子分母同乘或除以不为0的整式，分式的值不变）及平方差公式对各选项逐一判断． 【详解】解：∵分式的分子、分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变， A选项：的分子、分母是加1，并非同乘除不为0的整式，无法约分为，例如取，时，，，故A错误，该选项不符合题意； B选项：∵， ∴，变形符合分式基本性质，故B正确，该选项符合题意； C选项：仅当或，时等于，一般情况不成立，例如取，时，，故C错误，该选项不符合题意； D选项：∵（平方差公式），且分式有意义时 ∴，故D错误，该选项不符合题意； 故选：B． 10．下面是佳佳将分式A做出的正确的变形运算过程：，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．A为整数值时， 【答案】C 【分析】根据分式的性质逐项求解即可． 【详解】解：A、当时，，故选项错误，不符合题意； B、当时，即，无解，故选项错误，不符合题意； C、当时， ∴，故选项正确，符合题意； D、A为整数值时，为整数值， ∴为整数值， ∴或或3或 ∴解得或0或4或，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】题目主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题关键． 二、填空题 11．若分式的值为0，则x=______． 【答案】2021 【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴x-2021=0且x+2020≠0， 解得：x=2021． 故答案是：2021． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少． 12．当__时，代数式有意义． 【答案】且 【分析】令分母不为0即可求出x的范围． 【详解】解：， ，， 且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，注意：分式中分母B≠0． 13．根据分式的基本性质填空：，括号内应填______． 【答案】x-1/ -1+x 【分析】先把分式的分子分解因式，再根据分式的基本性质进行计算，最后得出答案即可． 【详解】解：， 即括号内应填x-1， 故答案为：x-1． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行计算是解此题的关键． 14．已知分式（为常数）满足如下表格中的信息： x的取值 2 分式的值 无意义 0 q 则表中的q值为___________． 【答案】2 【分析】根据表格信息可得当时，分式无意义，当时，分式的值为0，可得到，再把代入，即可求解． 【详解】解：根据题意得到：当时，分式无意义，当时，分式的值为0， ∴且， ∴， ∴原分式为， ∴当时，． 故答案为：2 【点睛】题目主要考查分式有意义的条件与分式的值为0的条件，熟练掌握分式有意义的条件与分式的值为0的条件是解题关键． 15．已知，则的值是___________． 【答案】 【分析】根据分式等于0的条件可得，再代入分式求值即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且， ∴， ∴ = = = =， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式等于0的条件，分式有意义的条件，分式求值，根据题意求出是关键． 三、解答题 16．求证：无论取何值，分式一定有意义． 【答案】见解析 【分析】根据因式分解将分母化为，根据非负数的性质结合分式有意义的条件即可求解． 【详解】证明：， 无论取何值，分式一定有意义． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，分式有意义的条件，熟练掌握因式分解的应用，分式有意义的条件是解题的关键． 17．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）改变分子的符号和整个分式的符号，分式的值不变计算即可； （2）改变分子的符号和整个分式的符号，分式的值不变计算即可； （3）同时改变分子，分母的符号，分式的值不变． 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）． （2）． （3）． 18．不改变分式的值，把下列各式的分式与分母中各项的系数都化为整数． ①；②；③；④． 【答案】①；②；③；④ 【分析】分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，根据分式的基本性质：①分式的分子分母都乘以 可得答案；②分式的分子分母都乘以可得答案；③分式的分子分母都乘以 可得答案；④分式的分子分母都乘以 可得答案； 【详解】解：①， ②， ③， ④ 【点睛】本题考查的是利用分式的基本性质把分子分母的各项系数化为整数，掌握变形的方法是解题的关键. 19．（1）取何值时，分式的值为零？无意义？ （2）当等于什么时，分式的值为零． 【答案】（1）、3，（2）3 【分析】（1）根据分式的值为零的条件，分式无意义的条件，进行计算即可得到答案； （2）根据分式的值为零的条件，进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）要使分式的值为0，则 ， 解得：， 要使分式无意义，则， 解得：； （2）要使分式的值为0，则 ， 解得：． 【点睛】此题考查了分式值为0的条件和分式无意义的条件，特别分式的值为0时，注意分子为0，分母不为0． 20．对于分式： (1)如果，那么y取何值时，分式无意义？ (2)如果，那么x取何值时，分式无意义？ (3)使分式无意义的x，y有多少对？ (4)要使得分式有意义，x，y应有什么关系？ (5)如果，那么y取什么值时，分式的值为零？ 【答案】(1) (2) (3)无数对 (4) (5) 【分析】（1）根据分式无意义的条件可得，再把代入可得的值； （2）根据分式无意义的条件可得，再把代入可得的值； （3）根据分式值为零的条件可得当； （4）时，即时，分式有意义； （5）且，即时，分式的值为零． 【详解】（1）解：当时，分式无意义，把代入可得，分式无意义； （2）当时，分式无意义，把代入可得当，即时，分式无意义； （3）当，即时，分式无意义，分式无意义的，有无数对； （4）当时，即时，分式有意义； （5）且时，分式值为0，把代入，当且，即时，分式的值为零． 【点睛】此题主要考查了分式无意义，分式值为零，分式的值的条件，关键是注意分式有意义，分母． 21．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 【答案】(1)①③ (2)， 【分析】（1）逐一判断是否符合“巧分式”的定义即可； （2）根据定义可知，计算的值，进而作答即可． 【详解】（1）解：①；②无法进一步约分；③， ∴是“巧分式”的有①③； （2）解：由题意，得， ∵ ， ∴， ∴，， ∴，． 22．定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【分析】（1）直接把，代入所求式子中约分即可得到答案； （2）根据题意可证明，把式子变形为，再把代入化简即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴ ， ∴不论t取何值，分式化简后都为一个定值，且； 23．阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ (1)已知实数满足，求分式的值． (2)已知实数满足，求分式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）先求出，再根据求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∴． 24．（2023七年级下·浙江·专题练习）求当取何值时，分式： (1)有意义？ (2)无意义？ (3)分式的值为零？ 【答案】(1)且 (2)或 (3) 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件、分式无意义的条件 【分析】（1）分式有意义，分母不能等于零； （2）分式无意义，分母等于零； （3）分式的值为等于零：分子等于零，且分母不等于零． 【详解】（1）解：依题意得： ， 解得：且； （2）解：依题意得： ， 解得：或； （3）解：依题意得： 且， 解得：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 分式的意义与基本性质（知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的概念 1.分式：这些代数式都表示两个整式相除，且除式中含有字母。像这样的代数式叫作分式。 2.分式必须满足三个条件：①具备的形式；②A,B 都是整式；③分母中含有字母。三个条件缺一不可。 示例1 分式 辨析 分式与分数的区别与联系 分式 分数 区别 分式是两个整式相除的商式。 分数是整式。 分式的分母中含有字母。 分数的分子、分母中都不含有字母。 联系 由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。 说明：分式可看成两个整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号作用。例如 可表示为(x−y)÷(x+y),但(x−y)÷(x+y)是运算式，不符合的形式，不是分式。 【知识点02】分式有意义、无意义或分式的值为零的条件 分式中字母的取值不能使分母为零。当分母的值为零时，分式就没有意义。 分类 条件 分式 有意义 分母不等于零，即𝐵≠0 。 分式 无意义 分母等于零，即𝐵=0 。 分式的值为零 分子等于零，分母不等于零，即𝐴=0 ，𝐵≠0 （保证分式有意义。）。 示例2 分式有、无意义的条件 注意：（1）如果没有特别说明，分式的字母取值都不能使分母为零。 （2）分式有无意义，只与分式中分母的值是否为0有关，而与分式的值是否为零无关。 【知识点03】分式的基本性质 基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 字母表示 =,=（其中𝑀 是不等于零的整式）。 用途 进行分式化简和运算的依据。 注意（1）分子和分母要同时做“乘法（或除法）”运算； （2） 乘（或除以）的对象必须是同一个不等于零的整式。： 示例3 分式的基本性质 【知识点04】分式的符号法则 内容 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 字母表示 ===− 。 拓展：改变其中任何一个或三个后，新分式与原分式互为相反数，如分式与 互为相反数 【知识点05】分式的约分 1.分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分式的约分。 注意：不改变分式的值 约分要约去分子、分母所有的公因式。 2.最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫作最简分式。 3.约分的方法： （1）若分子、分母都是单项式，则约去分子、分母系数的最大公因数和相同字母的最低次幂（公因式）； （2）若分子或分母中含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式。 注意： 约分的最后结果是最简分式或整式。 示例4 分式的约分 【知识点06】多项式除以多项式 多项式除以多项式可转化为分式的约分，其依据是分式的意义和等式的基本性质。最后的结果要用整式（整除时）或最简分式（不整除时）表示。 【题型一】分式的判断 例1．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列各式：，，，，是分式的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（2024七年级下·浙江·期末）在代数式①，②，③，④，⑤，⑥中，分式有________． 【题型二】分式无意义的条件 例2．（23-24七年级下·浙江·期中）对于分式，下列叙述正确的是（    ） A．当时，分式无意义 B．存在a的值，使分式的值为1 C．当时，分式值为0 D．当时分式有意义 变式1．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）当____时，分式无意义． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）若分式无意义，则x的值为 ___________． 【题型三】分式有意义的条件 例3．（23-24七年级下·浙江温州·期末）要使分式有意义，则的取值应满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以取任意实数 变式1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式2．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）分式有意义的条件是______． 【题型四】分式值为零的条件 例4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若分式的值为0，则实数（　　） A． B．1 C． D．3 例5．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若分式的值为0，则x的值为_______． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）当时，分式的值为0，则a的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．4 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）当为何值时，分式的值为0？ (1)； (2)； (3)． 【题型五】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 例6．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）若分式值为正数，则的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式1．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）当的取值范围是多少时， (1)分式有意义； (2)分式值为负数． 【题型六】判断分式变形是否正确 例7．（24-25七年级下·浙江金华·期末）分式可变形为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 变式2．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【题型七】将分式的分子分母各项系数化为整数 例8．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_____． 变式2．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数． (1) (2)． 【题型八】约分 例9．（2024七年级下·浙江·专题练习）对下列分式约分，正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·浙江金华·月考）如图，一个长宽高分别为，，的长方体纸箱装满了一层高为的圆柱形易拉罐，则纸箱空间的利用率=________．（易拉罐总体积与纸箱容积的比，结果精确到0.1%） 变式2．约分： 【题型九】最简分式 例10．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·浙江金华·月考）分式，，，中，最简分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．有分别写有的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有 __的卡片． 【题型十】分式的求值 例11．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知，则分式的值是（   ） A．10 B． C． D．4 例12．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知，求的值． 变式1．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）若，则分式的值是（   ） A． B． C．1 D． 变式2．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知，则分式的值为________． 变式3．（23-24七年级下·浙江金华·月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 【题型十一】利用分式的基本性质判断分式值的变化 例13．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）分式的值为，将，都扩大倍，则变化后分式的值为（ ） A． B． C． D． 例14．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）分式的值为m，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为_______________． 变式1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）把分式分子加10，要使分式的值不变，分母应该加上（   ） A．5 B．10 C． D． 变式2．（22-23七年级下·浙江·期中）根据分式的基本性质填空．括号内填________． 【题型十二】将分式的分子分母的最高次项化为正数 例15．（23-24七年级下·浙江宁波·月考）不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 变式1．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． (1) (2)． 变式2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号． （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型十三】求使分式值为整数时未知数的整数值 例16．若x是整数，且的值也是整数，则所有符合条件的x的值有（    ）个 A．8 B．6 C．4 D．2 变式1．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）若表示一个整数，则整数x可取的个数有______个． 变式2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 一、单选题 1．若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≠﹣3 B．x＝﹣3 C．x＞﹣3 D．x≥﹣3 2．在 中，分式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．若当时，分式的值为0，则可以是（    ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若将中的x与y都扩大为原来的2倍，则这个代数式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的2倍 6．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 7．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 8．若分式的值为0，则x的值是(    )． A．1或 B．1 C． D． 9．下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下面是佳佳将分式A做出的正确的变形运算过程：，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．A为整数值时， 二、填空题 11．若分式的值为0，则x=______． 12．当__时，代数式有意义． 13．根据分式的基本性质填空：，括号内应填______． 14．已知分式（为常数）满足如下表格中的信息： x的取值 2 分式的值 无意义 0 q 则表中的q值为___________． 15．已知，则的值是___________． 三、解答题 16．求证：无论取何值，分式一定有意义． 17．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数． (1)； (2)； (3)． 18．不改变分式的值，把下列各式的分式与分母中各项的系数都化为整数． ①；②；③；④． 19．（1）取何值时，分式的值为零？无意义？ （2）当等于什么时，分式的值为零． 20．对于分式： (1)如果，那么y取何值时，分式无意义？ (2)如果，那么x取何值时，分式无意义？ (3)使分式无意义的x，y有多少对？ (4)要使得分式有意义，x，y应有什么关系？ (5)如果，那么y取什么值时，分式的值为零？ 21．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 22．定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 23．阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ (1)已知实数满足，求分式的值． (2)已知实数满足，求分式的值． 24．（2023七年级下·浙江·专题练习）求当取何值时，分式： (1)有意义？ (2)无意义？ (3)分式的值为零？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $