第15讲 平移 （知识详解+6典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版七年级数学下册同步讲义与测试

本讲义聚焦初中数学“平移”核心知识点，系统梳理平移的定义（含对应元素、方向与距离两要素）、性质（对应线段平行且相等、不改变图形形状大小）及作图步骤（定方向距离、找关键点、移对应点、连图形），构建从概念理解到性质应用再到作图实践的完整学习支架。 资料特色在于结合生活实例（如抽屉平移、草地小路面积计算）培养数学眼光，通过典例分析（图形平移判断、利用性质求角度面积）发展推理意识，习题涵盖实际问题（地毯面积、荷塘小桥总长）提升应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，强化知识掌握。

第15讲 平移 （知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】平移的定义 1. 平移 在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫作平移 . 2. 平移中的对应元素 如图 10.4-1， 把三角形 ABC 平移到三角形 A′B′C′. 对应点：点 A 与点 A′，点 B 与点 B′，点 C 与点 C′； 对应线段： AB 与 A′B′， AC 与 A′C′， BC 与 B′C′； 对应角：∠ A 与∠ A′， ∠ B 与∠ B′， ∠ C 与∠ C′. 3. 平移的“两要素” (1)平移的方向；(2)平移的距离 . 特别提醒： 在图形平移中，原图形上的点到它的对应点的方向就是平移的方向；任意一对对应点所连线段的长度就是平移的距离. 【知识点02】平移的性质 1. 平移的性质 (1)一个图形和它经过平移后所得的图形中，连接各组对应点的线段互相平行(或在同一条直线上)且相等； (2)平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小 . 2. 示图     如图 10.4-2，三角形ABC 平移到三角形 A′B′C′ 的位置，则 (1) AB ∥ A′B′， AC ∥ A′C′， BC ∥ B′C′， AA′ ∥ BB′∥ CC′； (2) AB=A′B′， AC=A′C′， BC=B′C′， AA′=BB′=CC′； (3) ∠ BAC= ∠ B′A′C′， ∠ ABC= ∠ A′B′C′， ∠ ACB=∠ A′C′B′. 【知识点03】平移作图 平移作图的一般步骤 平移作图是平移性质的基本应用，利用平移可以得到许多美丽的图案，在具体作图时，应抓住作图的四个步骤——定、找、移、连 . (1)定： 确定平移的方向和距离； (2) 找： 找出表示图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接点)； (3) 移： 过关键点作与平移方向一致且与平移距离相等的线段，得到关键点的对应点； (4) 连： 按原图顺次连接各对应点 . 【题型一】生活中的平移现象 例1．（25-26七年级下·安徽·期中）下列运动属于平移的是（   ） A．拉出抽屉 B．放飞风筝 C．转动方向盘 D．荡秋千 例2．如图，在一块长为20米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的纵、横相交的小路，则这块草地的绿地面积为_____平方米． 变式1．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）下列生活现象中是平移的是（   ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 变式2．如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草． （1）求种花草的面积； （2）若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？ 【题型二】图形的平移 例3．（25-26七年级下·安徽黄山·期中）下列图案中，可以看成是由图案自身一部分经过平移后得到的是（   ） A． B． C． D． 例4．如图是一组密码的一部分，为了保密，许多情况下会采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“密钥”．目前已破译出“守初心”的对应口令是“担使命”．根据你发现的“密钥”，破译出“找差距”的对应口令是_____． 例5．如图，在方格纸中，将风筝平移、使得风筝的点移到了点处，画出平移后的风筝． 变式1．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）玉壶春瓶是中国瓷器中经典的器形之一，相传语出北宋大文学家苏轼“玉壶先春、冰心可鉴”之句．在安徽博物院藏品中就有一件无论器形、纹饰和釉色都近乎完美的明龙泉窑玉壶春瓶．下列“明龙泉窑玉壶春瓶”的图形中，可以由如图所示的图形只经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 变式2．决定平移的条件是平移的________和平移的________．如图，三角形沿射线的方向移动长可得到三角形，三角形的这个位置变换就是平移．点平移到点，点是点的对应点，原来的三角形是原像，三角形________是三角形在平移下的像． 变式3．如图，将直角三角形沿方向平移距离得到直角三角形．已知，，，求图中阴影部分的面积． 【题型三】利用平移的性质求解 例6．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 例7．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，若是由平移后得到的，已知点A、D之间的距离为2，，则______． 例8．（25-26七年级下·安徽铜陵·阶段检测）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，寓意是同心吉祥，其图案由两个相同的正方形相叠组成．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，且E是的三等分点，若平移距离为3，求点A与点G的距离． 变式1．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点M，以下说法①当时，B到的距离为线段的长；②当，时，则；③四边形与四边形的周长差为；④四边形与四边形的面积相等．正确的是（        ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 变式2．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在长为10，宽为8的长方形内部，沿平行于长方形各边的方向分割出三个小长方形，则三个小长方形的周长之和是_____． 变式3．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图，将三角形沿边所在的直线向右平移，得到三角形，与相交于点，且平移距离为3，．    (1)与的关系是_______________；的长为____________； (2)若四边形的面积为15，求的长． 【题型四】利用平移解决实际问题 例9．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 例10．（23-24七年级下·安徽淮南·月考）“友谊宾馆”在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米50元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需______元. 例11．某宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价50元，主楼梯道宽2m，其侧面如图所示，求买地毯至少需要多少元？ 变式1．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）圭和璋，均为玉器之珍品，因此我们用成语“圭璋之质”比喻人品之高尚．中国的汉字中有些具有平移现象，此成语中的汉字可以看成由平移构成的是（  ） A．圭 B．璋 C．之 D．质 变式2．（2024七年级下·安徽马鞍山·期末）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥（图中虚线），若荷塘周长为900m，且桥宽忽略不计，则小桥的总长为_______m． 变式3．如图，在一块长为20m，宽为14m的草地上有一条宽为2m的曲折的小路，你能运用所学的平移知识求出这块草地的绿地面积吗？ 【题型五】平移(作图) 例12．（25-26七年级下·安徽·期中）将如图图案剪成若干小块，再分别平移后能够得到①，②，③中的（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例13．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在由小正方形组成的的网格中，，，均在格点上，按下列要求画图． (1)若线段是由线段平移得到的，且点的对应点为点，在图1中画出线段． (2)若三角形是由三角形平移得到的，且点的对应点为点，在图2中画出三角形． 变式1．如图所示的四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（　　） A． B． C． D． 变式2．如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的整点个数为______； ②当时，区域内的整点个数为______． 变式3．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，在的网格中，点A，B，C均在格点上，分别按下列要求作出经平移所得的图形． (1)把向右平移3格； (2)把第（1）题中平移所得的图形再向上平移2格． 【题型六】平移综合题(几何变换) 例14．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形A1B1C1的位置，BC与A1C1相交于点O，若∠C的度数为x，则∠A1OC的度数为（    ） A．x B．90°﹣x C．180°﹣x D．90°＋x 例15．（24-25七年级下·安徽·期中）如图，，，．将向右平移个单位长度，然后再向上平移个单位长度，可以得到． （1）的顶点的坐标为______，顶点的坐标为______． （2）的面积为______． （3）已知点在轴上，以、、为顶点的三角形面积为，则点的坐标为______． 变式1．原来是重叠的两个直角三角形，将其中的一个三角形沿着BC方向平移4个单位长度，就得到如图所示的图形，下列结论：①AC∥DF ②HE＝5 ③CF＝4 ④阴影部分面积为，正确的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形ABC沿点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，已知AB=12，DH=5，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为________． 变式3．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　 　）． (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 一、单选题 1．下列关于平坝的图标中，通过平移可以和左图重合的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形A1B1C1的位置，BC与A1C1相交于点O，若∠C的度数为x，则∠A1OC的度数为（    ） A．x B．90°﹣x C．180°﹣x D．90°＋x 3．如图，直角△ABC沿射线BC的方向平移3个单位长度，得到△DEF，线段DE交AC于点H，已知AB＝5，DH＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．12 B．24 C．48 D．不能确定 4．如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 5．如图，将直角三角形沿直角边所在的直线向下平移得到三角形，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，将周长为12的沿直线向右平移n个单位长度，得到，交于点G，连接．给出下列结论∶①，；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，长方形中，，第一次平移长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形，第次平移将长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形，第次平移将长方形沿的方向平移个单位，得到长方形，若的长度为，则的值为（    ） A．403 B．404 C．405 D．406 二、填空题 8．已知学校有一块边长为20m的正方形空地准备在空地上种草，草坪上有横、竖各3条，宽度为2m的小路，则草坪的面积是_______m2． 9．在一块长，宽的草坪上修筑宽的小路（如图），则草地的面积是__________． 10．如图所示的方格纸中，正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形，则正方形与重叠部分面积为______．（每小方格的边长为） 11．某宾馆重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺设一种红地毯（地毯厚度忽略不计），已知这种地毯每平方米售价65元，楼梯宽2米，楼梯侧面示意图及相关数据如图所示，则购买地毯至少需要_______元． 12．如图，的边，将向右平移得到．则的长为________． 13．如图，将沿所在直线向右平移，得到，点为延长线上一点，交于点，平分，，则____． 三、解答题 14．如图，将向右平移，得到． (1)若，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并加以证明． 15．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，桥宽忽略不计． (1)若荷塘的长为90米，宽为50米，则小桥总长为 米； (2)若荷塘周长为米，则小桥总长为 米． 16．如图，在边长为1的小正方形的网格纸中，三角形的三个顶点如图所示，现将三角形平移，使点平移至点． （1）在网格中，过点画的垂线，垂足为，则线段的长为__________； （2）在网格图中画出平移后的三角形（点、分别是、的对应点），连接、，则这两条线段的位置关系和数量关系是__________．（保留画图的痕迹） 17．如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 18．实验中学准备整理城北校区一块边长为的正方形空地． (1)方案一：如图1，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路．求此方案中草坪种植的面积（即阴影部分的面积）； (2)方案二：如图2，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线，求此方案中小路所占的面积（即阴影部分的面积）； (3)方案三：在这块空地上修建一个长与宽的比为，面积为的植物园．在这块空地上能否修建出符合要求的植物园？请说明理由． 19．如图，在四边形中，于点．     (1)如图，延长交的延长线于点，延长至点，连接，使得，求的度数； (2)如图，连接，，延长至点，使得平分．将三角形沿射线方向平移，使点的对应点在的延长线上，点，点的对应点分别为点，点，作于点． 若，请在图中找出一条线段的长度与相等，并说明理由； 当，，时，判断和的大小关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 平移 （知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】平移的定义 1. 平移 在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫作平移 . 2. 平移中的对应元素 如图 10.4-1， 把三角形 ABC 平移到三角形 A′B′C′. 对应点：点 A 与点 A′，点 B 与点 B′，点 C 与点 C′； 对应线段： AB 与 A′B′， AC 与 A′C′， BC 与 B′C′； 对应角：∠ A 与∠ A′， ∠ B 与∠ B′， ∠ C 与∠ C′. 3. 平移的“两要素” (1)平移的方向；(2)平移的距离 . 特别提醒： 在图形平移中，原图形上的点到它的对应点的方向就是平移的方向；任意一对对应点所连线段的长度就是平移的距离. 【知识点02】平移的性质 1. 平移的性质 (1)一个图形和它经过平移后所得的图形中，连接各组对应点的线段互相平行(或在同一条直线上)且相等； (2)平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小 . 2. 示图     如图 10.4-2，三角形ABC 平移到三角形 A′B′C′ 的位置，则 (1) AB ∥ A′B′， AC ∥ A′C′， BC ∥ B′C′， AA′ ∥ BB′∥ CC′； (2) AB=A′B′， AC=A′C′， BC=B′C′， AA′=BB′=CC′； (3) ∠ BAC= ∠ B′A′C′， ∠ ABC= ∠ A′B′C′， ∠ ACB=∠ A′C′B′. 【知识点03】平移作图 平移作图的一般步骤 平移作图是平移性质的基本应用，利用平移可以得到许多美丽的图案，在具体作图时，应抓住作图的四个步骤——定、找、移、连 . (1)定： 确定平移的方向和距离； (2) 找： 找出表示图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接点)； (3) 移： 过关键点作与平移方向一致且与平移距离相等的线段，得到关键点的对应点； (4) 连： 按原图顺次连接各对应点 . 【题型一】生活中的平移现象 例1．（25-26七年级下·安徽·期中）下列运动属于平移的是（   ） A．拉出抽屉 B．放飞风筝 C．转动方向盘 D．荡秋千 【答案】A 【知识点】生活中的平移现象 【分析】平移的定义是：物体沿直线方向移动，移动过程中物体本身方向不发生改变，无绕定点的转动． 【详解】解：A.拉出抽屉时，抽屉沿直线做方向不变的移动，符合平移的定义，属于平移； B.放飞风筝时，风筝运动中方向会不断变化、伴随转动，不属于平移； C.转动方向盘是绕中心点的旋转运动，不属于平移； D.荡秋千是绕悬挂点的摆动，属于旋转类运动，不属于平移． 例2．如图，在一块长为20米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的纵、横相交的小路，则这块草地的绿地面积为_____平方米． 【答案】171 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了生活中的平移现象，先由平移得出路的宽度，再求出绿地的面积． 利用平移道路的方法得出草地的绿地面积，进而得出答案． 【详解】解：由图形可得，这块草地的绿地面积为：（平方米）． 故答案为：171． 变式1．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）下列生活现象中是平移的是（   ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 【答案】C 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题主要考查了平移的定义， 平移是物体沿直线移动且方向不变的运动． 【详解】解：∵A钟摆运动是旋转，B汽车雨刷运动是旋转，D车轮转动是旋转，均不是平移；C传送带上行李箱运动是沿直线移动且方向不变，∴是平移. 故选：C． 变式2．如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草． （1）求种花草的面积； （2）若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？ 【答案】（1）种花草的面积为42平方米；（2）每平方米种植花草的费用是110元 【知识点】生活中的平移现象 【分析】（1）将道路直接平移到矩形的边上，进而根据长方形的面积公式得出答案； （2）根据（1）中所求，代入计算即可得出答案． 【详解】解：（1） （平方米） 答：种花草的面积为42平方米； （2）（元） 答：每平方米种植花草的费用是110元． 【点睛】此题考查了生活中的平移现象，解题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有道路平移到矩形的边上进行计算． 【题型二】图形的平移 例3．（25-26七年级下·安徽黄山·期中）下列图案中，可以看成是由图案自身一部分经过平移后得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形的平移 【分析】根据平移的定义，逐一判断即可． 【详解】解：选项A，B，C中的图形都不能由图案自身一部分经过平移后得到，选项D中的图形可以看成是由图案自身一部分经过平移后得到的. 例4．如图是一组密码的一部分，为了保密，许多情况下会采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“密钥”．目前已破译出“守初心”的对应口令是“担使命”．根据你发现的“密钥”，破译出“找差距”的对应口令是_____． 【答案】抓落实 【知识点】图形的平移 【分析】根据题意可以发现对应字之间的规律，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可知，“守初心”的对应口令为“担使命”，其中“担”是“守”字先向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到的，其他各个字对应也是这样得到的， ∴“找差距”对应口令是“抓落实”． 例5．如图，在方格纸中，将风筝平移、使得风筝的点移到了点处，画出平移后的风筝． 【答案】见解析 【知识点】图形的平移 【分析】根据点对应点作图即可． 【详解】解：由题意得；点向右平移个单位，向下平移个单位到点， 所作图形如下所示： 变式1．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）玉壶春瓶是中国瓷器中经典的器形之一，相传语出北宋大文学家苏轼“玉壶先春、冰心可鉴”之句．在安徽博物院藏品中就有一件无论器形、纹饰和釉色都近乎完美的明龙泉窑玉壶春瓶．下列“明龙泉窑玉壶春瓶”的图形中，可以由如图所示的图形只经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形的平移 【分析】根据平移的定义求解即可． 【详解】解：可以由如图所示的图形只经过平移得到的是D选项中的图形． 变式2．决定平移的条件是平移的________和平移的________．如图，三角形沿射线的方向移动长可得到三角形，三角形的这个位置变换就是平移．点平移到点，点是点的对应点，原来的三角形是原像，三角形________是三角形在平移下的像． 【答案】 方向 距离 【知识点】图形的平移 【分析】此题考查了平移的定义，根据平移是由平移的方向和平移的距离决定进行解答即可． 【详解】解：决定平移的条件是平移的方向和平移的距离．如图，三角形沿射线的方向移动长可得到三角形，三角形的这个位置变换就是平移．点平移到点，点是点的对应点，原来的三角形是原像，三角形是三角形在平移下的像． 故答案为：方向，距离， 变式3．如图，将直角三角形沿方向平移距离得到直角三角形．已知，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【知识点】图形的平移 【分析】本题主要考查了图形的平移以及梯形的面积计算公式，利用平移的性质可得出，又是和重合部分，可得出阴影部分的面积梯形的面积，根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质可知：， 又∵是和重合部分， ∴阴影部分的面积梯形的面积， ∴阴影部分的面积 故阴影部分的面积为． 【题型三】利用平移的性质求解 例6．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平移的性质求解、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， 故选：C． 例7．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，若是由平移后得到的，已知点A、D之间的距离为2，，则______． 【答案】5 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移的性质，关键在于利用平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．观察图形可知：是由沿向右移动的长度后得到的，根据对应点所连的线段平行且相等可得到平移距离，最后再根据题意求出最终结果． 【详解】解：由题意知，平移到的距离为， ∴， ∴， 即的值为5． 故答案为：5． 例8．（25-26七年级下·安徽铜陵·阶段检测）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，寓意是同心吉祥，其图案由两个相同的正方形相叠组成．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，且E是的三等分点，若平移距离为3，求点A与点G的距离． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查的是平移的性质，由平移的性质得到，然后根据E是的三等分点且得到，进而求解即可． 【详解】解：由平移可知，． ∵E是的三等分点且， ∴， ∴， 即点与点的距离为． 变式1．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点M，以下说法①当时，B到的距离为线段的长；②当，时，则；③四边形与四边形的周长差为；④四边形与四边形的面积相等．正确的是（        ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】D 【知识点】点到直线的距离、利用平移的性质求解 【分析】根据平移的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵平移， ∴，，， ∴，，即， 当，则，即， ∴B到的距离为线段的长；故①错误； ∵，， ∴， ∴， ∴；故②正确； 四边形与四边形的周长差为 ；故③正确； ∵， ∴，即四边形与四边形的面积相等；故④正确． 综上，正确的是②③④． 变式2．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在长为10，宽为8的长方形内部，沿平行于长方形各边的方向分割出三个小长方形，则三个小长方形的周长之和是_____． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，由题意结合图形可得出三个小长方形的周长之和为大长方形的周长，由此计算即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意结合图形可得，三个小长方形的周长之和是， 故答案为：． 变式3．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图，将三角形沿边所在的直线向右平移，得到三角形，与相交于点，且平移距离为3，．    (1)与的关系是_______________；的长为____________； (2)若四边形的面积为15，求的长． 【答案】(1)且；6 (2)2 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握平移的性质． （1）根据平移前后对应线段平行（或在同一直线上）且相等即可解答； （2）根据平移的性质得出，求出，得出，最后求出． 【详解】（1）解：∵三角形水平向右平移得到三角形，平移距离为3， ∴与的关系式为：且；，， ∴． （2）解：∵三角形水平向右平移得到三角形，， ∴，， ∵四边形的面积为15， ∴， ∴， ∴． 【题型四】利用平移解决实际问题 例9．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 【答案】D 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了平移的性质． 用总面积减去石子路面积即可． 【详解】解：种植鲜花的面积为 故选：D 例10．（23-24七年级下·安徽淮南·月考）“友谊宾馆”在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米50元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需______元. 【答案】800 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移性质，得出红色地毯的长度为，运用长方形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：根据图中的性质，且结合平移性质，得 故红色地毯的面积为 ∵这种红色地毯的售价为每平方米50元， ∴（元） 故答案为：800 例11．某宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价50元，主楼梯道宽2m，其侧面如图所示，求买地毯至少需要多少元？ 【答案】1000元． 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【详解】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6米，4米， ∴地毯的长度为6+4＝10米，地毯的面积为10×2＝20平方米， ∴买地毯至少需要20×50＝1000元． 【点睛】本题考查了平移的性质，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算． 变式1．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）圭和璋，均为玉器之珍品，因此我们用成语“圭璋之质”比喻人品之高尚．中国的汉字中有些具有平移现象，此成语中的汉字可以看成由平移构成的是（  ） A．圭 B．璋 C．之 D．质 【答案】A 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了平移的基本性质的运用，熟练掌握平移的性质是解答此题的关键．根据平移的基本性质，汉字只需由两或三个完全相同的部分组成即可． 【详解】解：根据题意，由两或三个完全相同的部分组成的汉字可以通过平移得到， ∴“圭”可以通过平移得到． 故选：A． 变式2．（2024七年级下·安徽马鞍山·期末）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥（图中虚线），若荷塘周长为900m，且桥宽忽略不计，则小桥的总长为_______m． 【答案】450 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和，进而得出答案． 【详解】解：∵荷塘周长为900m， ∴小桥总长为：900÷2＝450（m）． 故答案为：450. 【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和是解题的关键． 变式3．如图，在一块长为20m，宽为14m的草地上有一条宽为2m的曲折的小路，你能运用所学的平移知识求出这块草地的绿地面积吗？ 【答案】能，这块草地的绿地面积为216平方米 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】根据平移的性质可把弯曲的小路向左和向上进行平移，进而可知绿地的面积等同于长为18米，宽为12米的长方形的面积，然后问题可求解． 【详解】解：把弯曲的小路进行平移，如图所示： ∴（20-2）×（14-2）=18×12=216（平方米）； 答：这块草地的绿地面积为216平方米． 【点睛】本题主要考查平移的性质，解题的关键是通过平移把不规则的图形转化为规则图形进行求解． 【题型五】平移(作图) 例12．（25-26七年级下·安徽·期中）将如图图案剪成若干小块，再分别平移后能够得到①，②，③中的（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】平移(作图) 【分析】根据图形进行剪切拼接可得图形． 【详解】解：根据左边图形可剪成若干小块，再进行拼接平移后能够得到①，②，不能拼成③， 故选C． 【点睛】此题主要考查了图形的平移，通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 例13．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在由小正方形组成的的网格中，，，均在格点上，按下列要求画图． (1)若线段是由线段平移得到的，且点的对应点为点，在图1中画出线段． (2)若三角形是由三角形平移得到的，且点的对应点为点，在图2中画出三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】平移(作图) 【分析】（）由平移的性质，结合网格特征画出线段即可； （）根据平移的性质找出点、的对应点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，线段即所求； （2）解：如图，三角形即所求． 变式1．如图所示的四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平移(作图) 【详解】A、能通过其中一个正六边形平移得到，故此选项错误；  B、不能通过其中一个长方形平移得到，故此选项符合题意； C、能通过其中一个平行四边形平移得到，故此选项错误； D、能通过其中一个正方形平移得到，故此选项错误． 故选B． 变式2．如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的整点个数为______； ②当时，区域内的整点个数为______． 【答案】 3 3 【知识点】平移(作图) 【分析】本题主要考查了平移作图，根据题意画出平移后的图形是解题的关键． ①将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可； ②将图中正方形向左平移6.5个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可． 【详解】解：①当时，将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3； 解：①当时，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3． 故答案为：3,3 变式3．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，在的网格中，点A，B，C均在格点上，分别按下列要求作出经平移所得的图形． (1)把向右平移3格； (2)把第（1）题中平移所得的图形再向上平移2格． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】平移(作图) 【分析】本题考查的是平移的作图； （1）分别确定平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）分别确定点的对应点，再顺次连接即可. 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． ； 【题型六】平移综合题(几何变换) 例14．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形A1B1C1的位置，BC与A1C1相交于点O，若∠C的度数为x，则∠A1OC的度数为（    ） A．x B．90°﹣x C．180°﹣x D．90°＋x 【答案】C 【知识点】平移综合题(几何变换)、两直线平行内错角相等 【分析】根据平移性质得出，∠C1＝∠C，根据平行线性质得出∠COC1＝∠C1，进而得出∠A1OC的度数． 【详解】解：∵三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形A1B1C1的位置，BC与A1C1相交于点O， ∴∠C1＝∠C，， ∴∠COC1＝∠C1（两直线平行内错角相等）， ∴∠A1OC＝180°﹣x， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，运用平行线的性质得出∠COC1＝∠C1是解题关键． 例15．（24-25七年级下·安徽·期中）如图，，，．将向右平移个单位长度，然后再向上平移个单位长度，可以得到． （1）的顶点的坐标为______，顶点的坐标为______． （2）的面积为______． （3）已知点在轴上，以、、为顶点的三角形面积为，则点的坐标为______． 【答案】（1）；；（2）；（3）或． 【知识点】平移综合题(几何变换) 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出△A1B1C1三个顶点的坐标，然后描点即可；（2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积得到△A1B1C1的面积；（3）设P点的坐标为（t，0），利用三角形面积公式，即可得到P点坐标． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作， 顶点A1的坐标为（0，3）；顶点C1的坐标为（4，0）； 故答案为：；； （2）计算△A1B1C1的面积＝4×4−×2×4−×2×1−×4×3＝5； 故答案为：5；（3）设P点得坐标为（t，0），∵以A1、C1、P为顶点的三角形得面积为，∴×3×|t−4|＝，解得t＝3或t＝5，即P点坐标为（3，0）或（5，0）．故答案为：（3，0）或（5，0）． 【点睛】本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 变式1．原来是重叠的两个直角三角形，将其中的一个三角形沿着BC方向平移4个单位长度，就得到如图所示的图形，下列结论：①AC∥DF ②HE＝5 ③CF＝4 ④阴影部分面积为，正确的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】利用平移的性质求解、平移综合题(几何变换) 【分析】根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等，阴影部分和三角形面积之间的关系，结合图形与所给的结论即可得出答案． 【详解】解：①对应线段平行可得AC∥DF，正确； ②对应线段相等可得AB=DE=8，则HE=DE-DH=8-3=5，正确； ③平移的距离CF=BE=4，正确； ④S四边形HDFC=S梯形ABEH错误 故选：C 【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点． 变式2．如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形ABC沿点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，已知AB=12，DH=5，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】57 【知识点】平移综合题(几何变换) 【分析】根据平移的性质易证：S阴影=S梯形ABEH，再利用梯形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：∵将沿点B到点C的方向平移到的位置， ∴， ∴． 故答案是：57． 【点睛】本题考查了平移的性质，能够结合图形得到阴影部分的面积等于梯形的面积是解题关键． 变式3．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　 　）． (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】(1)，3；， (2)秒 (3)见解析 【知识点】平移综合题(几何变换) 【分析】 （1）利用平移变换的性质求解； （2）设秒后轴，构建方程求解； （3）分三种情形：①如图1中，当点在直线的左侧时，②如图2中，当点在直线的左侧或直线上且在直线的右侧时，③如图3中，当点在直线的右侧时，分别求解即可． 【详解】（1） 解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得：，， 故答案为：，3；，； （2） 设秒后轴，则有， 解得，时，轴； （3） ①如图1中，当点在直线的左侧或上时，， ． ②如图2中，当点在直线的右侧且在直线的右侧时，， ③如图3中，当点在直线的右侧时，， ． 综上所述，与的关系为：或或． 【点睛】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 一、单选题 1．下列关于平坝的图标中，通过平移可以和左图重合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．根据平移前后形状与大小没有改变，进行解答即可． 【详解】解：通过平移可以和左图重合的是C选项中的图． 故选：C． 2．如图，三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形A1B1C1的位置，BC与A1C1相交于点O，若∠C的度数为x，则∠A1OC的度数为（    ） A．x B．90°﹣x C．180°﹣x D．90°＋x 【答案】C 【分析】根据平移性质得出，∠C1＝∠C，根据平行线性质得出∠COC1＝∠C1，进而得出∠A1OC的度数． 【详解】解：∵三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形A1B1C1的位置，BC与A1C1相交于点O， ∴∠C1＝∠C，， ∴∠COC1＝∠C1（两直线平行内错角相等）， ∴∠A1OC＝180°﹣x， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，运用平行线的性质得出∠COC1＝∠C1是解题关键． 3．如图，直角△ABC沿射线BC的方向平移3个单位长度，得到△DEF，线段DE交AC于点H，已知AB＝5，DH＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．12 B．24 C．48 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据平移得DE=AB=5，BE=3，，求出EH，利用得到，再代入数值计算． 【详解】解：由平移得DE=AB=5，BE=3，， ∴EH=DE-DH=5-2=3， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了平移的性质：平移前后图形的对应边相等，对应角相等，对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等． 4．如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 【答案】B 【分析】根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：A．∵直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置， ∴，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B．平移距离应该是的长度，由，可知，故B错误，符合题意； C．由平移前后的对应点的连线平行且相等可知，，故C正确，不符合题意； D．∵的面积是4，， ∴， ∵由平移知：， ∴， 四边形的面积：，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键． 5．如图，将直角三角形沿直角边所在的直线向下平移得到三角形，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了图形的平移变换及其性质，三角形的面积，根据三角形平移性质逐项判断即可． 【详解】解：对选项A，由平移的性质得：， ∴当点D为的中点时，，故选项A不一定正确，符合题意； 对于选项B，由平移的性质得：，故选项B正确，不符合题意； 对于选项C，由平移的性质得：， ， ， 即，故选项C正确，不符合题意； 对于选项D，由平移的性质得，则， 故选项D正确，不符合题意， 故选：A． 6．如图，将周长为12的沿直线向右平移n个单位长度，得到，交于点G，连接．给出下列结论∶①，；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平移的性质和平行线的性质逐一判断即可．本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：①根据平移的性质，得，故①正确，符合题意； ②根据平移的性质，可得， ∴， ∵，即， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③G是，的交点，但不一定是中点，故③错误，不符合题意； ④根据平移的性质可得， ， ∴四边形的周长为， ∴，即沿方向平移的距离为，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④符合题意． 故选：C． 7．如图，长方形中，，第一次平移长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形，第次平移将长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形，第次平移将长方形沿的方向平移个单位，得到长方形，若的长度为，则的值为（    ） A．403 B．404 C．405 D．406 【答案】A 【分析】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出平移间距离的规律是解题关键． 根据平移的性质得出，，，进而求出和的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出求出n即可． 【详解】解：，第1次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第2次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形… ，，， ， 的长为：； ，， ， 解得：． 故选：A． 二、填空题 8．已知学校有一块边长为20m的正方形空地准备在空地上种草，草坪上有横、竖各3条，宽度为2m的小路，则草坪的面积是_______m2． 【答案】196 【分析】把小路向右和上平移，得到草坪的长为（20﹣6）米，宽为（20﹣6）米，再求面积即可． 【详解】解：把小路向右和上平移如图： 草坪的面积为：（20﹣6）（20﹣6）＝14×14＝196（平方米）， 故答案为：196． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，本题的关键是得出平移后草坪的长为（20﹣6）米，宽为（20﹣6）米． 9．在一块长，宽的草坪上修筑宽的小路（如图），则草地的面积是__________． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，生活中的平移现象，利用矩形的面积公式得出是解题关键． 根据平移，可把路移到右边和上面，再根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：把路移到右边和上面， 路的宽度是， 草地可以看成长是，宽是， 故草地的面积是． 故答案为：． 10．如图所示的方格纸中，正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形，则正方形与重叠部分面积为______．（每小方格的边长为） 【答案】 【分析】本题考查了图形的平移，先根据题意画出平移后的图形，然后根据图形即可得出正方形与重叠部分面积，正确理解图形经过或覆盖的区域的形状是解题的关键． 【详解】解：∵正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形， ∴如图， 根据图形可得正方形与重叠部分面积为， 故答案为：． 11．某宾馆重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺设一种红地毯（地毯厚度忽略不计），已知这种地毯每平方米售价65元，楼梯宽2米，楼梯侧面示意图及相关数据如图所示，则购买地毯至少需要_______元． 【答案】 【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯横向向上平移、竖向向左平移，构成一个长方形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【详解】解：如图， 利用平移的性质，把楼梯横向向上平移、竖向向左平移，构成一个长方形，长宽分别为米，米， ∴地毯的长度为（米）， ∴地毯的面积为（）， ∴买地毯至少需要（元）． 12．如图，的边，将向右平移得到．则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质得到，，即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将向右平移得到， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．如图，将沿所在直线向右平移，得到，点为延长线上一点，交于点，平分，，则____． 【答案】/80度 【分析】本题考查了平移的性质、角平分线的定义、平行线的性质，由平移的性质可得，，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由平移的性质可得：，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 14．如图，将向右平移，得到． (1)若，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，平移的性质： （1）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，据此求解即可； （2）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，，据此可得． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： 由平移的性质可得， ∴，， ∴． 15．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，桥宽忽略不计． (1)若荷塘的长为90米，宽为50米，则小桥总长为 米； (2)若荷塘周长为米，则小桥总长为 米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质可得：小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和； （2）由平移的性质得，小桥总长长方形周长的一半，据此即可求出答案． 【详解】（1）解：由平移的性质得，小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和， ∴， 故答案为：． （2）由平移的性质得，小桥总长长方形周长的一半， ∴， 故答案为： 16．如图，在边长为1的小正方形的网格纸中，三角形的三个顶点如图所示，现将三角形平移，使点平移至点． （1）在网格中，过点画的垂线，垂足为，则线段的长为__________； （2）在网格图中画出平移后的三角形（点、分别是、的对应点），连接、，则这两条线段的位置关系和数量关系是__________．（保留画图的痕迹） 【答案】（1）作图见解析，2；（2）图见详解，且 【分析】（1）根据垂线的定义可直接进行作图； （2）根据题意可得平移的方式为把△ABC向左平移一个单位长度，再向上平移三个单位长度得到，然后连接、，进而根据平移的性质可求解． 【详解】解：（1）由题意可得如图所示： 由图得CD=2 故答案为：2 （2）由题意可得平移的方式为把△ABC向左平移一个单位长度，再向上平移三个单位长度得到，如图所示： 根据平移的性质可得且， 故答案为且． 【点睛】本题主要考查平移的性质及垂线的作法，熟练掌握平移的性质及垂线的作法是解题的关键． 17．如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 【答案】(1)平方米 (2)条 【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用，平移的性质，正确计算是解题的关键． （1）观景桥经过平移，根据“长方形面积=长×宽”，桥的面积是用长方形湖泊的面积减去长是米，宽是米的长方形面积，即可解答； （2）用湖泊的面积乘每平方米投放金鱼的条数即可； 【详解】（1）解： （平方米）， ∴这座桥的面积是平方米； （2）（条）， ∴管理员准备投放条金鱼． 18．实验中学准备整理城北校区一块边长为的正方形空地． (1)方案一：如图1，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路．求此方案中草坪种植的面积（即阴影部分的面积）； (2)方案二：如图2，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线，求此方案中小路所占的面积（即阴影部分的面积）； (3)方案三：在这块空地上修建一个长与宽的比为，面积为的植物园．在这块空地上能否修建出符合要求的植物园？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）求出草坪种植的长和宽进行计算即可； （2）利用平移求出小路所占的长和宽进行计算即可； （3）设植物园的长为，宽为，由题意得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，此方案中草坪种植的面积为：； （2）解：由平移可知，此方案中小路所占的面积为：； （3）解：在这块空地上不能修建出符合要求的植物园，理由如下； 设植物园的长为，宽为， 依题意得，， ， 由边长的实际意义可得， 植物园的长为，， ， ， ，即植物园的长大于这块正方形空地的边长； 在这块空地上不能修建出符合要求的植物园． 19．如图，在四边形中，于点．     (1)如图，延长交的延长线于点，延长至点，连接，使得，求的度数； (2)如图，连接，，延长至点，使得平分．将三角形沿射线方向平移，使点的对应点在的延长线上，点，点的对应点分别为点，点，作于点． 若，请在图中找出一条线段的长度与相等，并说明理由； 当，，时，判断和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析；，理由见解析． 【分析】（）根据，得，又故有，从而求解； （）由平移的性质可得，又，则有，最后由线段和差即可求解； 由平分，则，设，从而有，，根据，则， 通过平移的性质可得，由平行线的性质得，，故有， 得，即，则点与点重合，又，根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短即可判断． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵三角形沿平移得三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； ，理由如下： ∵平分， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵三角形沿平移得三角形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，                          ∴， ∴，     ∴点与点重合， ∵， 根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平移的性质，垂直的定义，平行线的性质，垂线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $