第12讲 相交线（知识详解+8典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版七年级数学下册同步讲义与测试

第12讲 相交线（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】对顶角 1. 定义 两个角有一个公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，称这样的两个角互为对顶角. 特别提醒： 对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个 .  内容 示图 ∠ 1 和∠ 2 互为对顶角 . 2. 性质 对顶角相等 . 特别提醒： (1)两个角互为对顶角，它们一定相等； (2)相等的两个角不一定是对顶角 . 【知识点02】垂直与垂线 1. 定义 在两条直线相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足 . 特别解读： 垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角 . 2. 表示方法 如 果 直 线 AB 与 CD 互 相 垂 直，可 以 记 作“AB ⊥ CD”，读作“AB 垂直 CD”. 3. 推理格式 如图 10.1-2，因为∠ AOC=90°(已知)，所以 AB ⊥ CD(垂直的定义) .反过来：因为 AB ⊥ CD(已知)， 所以∠ AOC=90°(垂直的定义) . 【知识点03】垂线的画法及基本事实 1.垂线的画法 用三角尺画已知直线的垂线，步骤如下： 特别提醒 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足不一定在这条线段或射线上，垂足可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上 . (1)用折纸法画已知直线的垂线，步骤如下： 步骤  内容  示图 一折 折叠纸张，使折痕经过已知点，且使已知直线被折痕分成的两部分重合 过点 P 作直线 l 的垂线： 二画 用直尺沿着折痕画出直线，则这条直线就是已知直线的垂线 (2) 用三角板画已知直线的垂线，步骤如下： 步骤  内容  示图 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合  过点 P 作直线 l 的垂线： 点 P 在直线 l 外 点 P 在直线 l 上 二移 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 2. 基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 . 特别提醒： 基本事实中的唯一性有两个关键条件不能少：一是“同一平面”；二是过一点，这一点可以在直线上也可以在直线外 . 【知识点04】垂线段及点到直线的距离 1. 垂线段 (1) 定义： 从直线 l 外一点 P 向直线 l 作垂线，垂足记为点 O，则线段 OP 叫作点 P 到直线 l 的垂线段 . (2) 性质： 连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 . 2. 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离 . (1)垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度 . (2) 点到直线的距离与两点间的距离的区别： 两点间的距离  点到直线的距离 定义 连接两点的线段的长度  直线外一点到这条直线的垂线段的长度 性质 两点之间，线段最短  垂线段最短 【题型一】垂线的定义理解 例1．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q，并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 例2．（22-23七年级下·安徽淮南·期中）如图，同一平面内的三条直线交于点，，，则与的位置关系是__________．    变式1．（23-24七年级下·安徽亳州·月考）若∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边，则∠1和∠2的关系是__________．（∠1和∠2均小于180°） 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线相交于点，于点． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【题型二】画垂线 例3．下列选项中，过点P画的垂线，三角板放法正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画________条直线与直线l相垂直． 变式2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）按要求画图： (1)如图1，点M、N是平面上的两个定点．①连按；②反向延长线段至D，使； (2)如图2，P是的边上的一点． ①过点P画的垂线，交于点C；②过点P画的垂线，垂足为H 【题型三】垂线段最短 例4．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在直角中，，点从点出发沿方向运动，若，，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 例5．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）A，B，C，D四位同学准备从斑马线上的点P处过马路，四人所走路线如图所示，假设四人速度相等，则最先通过马路的是______． 变式1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，立定跳远是安徽省初中学生体育中考的选考项目，测量立定跳远成绩的依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两直线相交有且只有一个交点 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，机器人正在水中的点处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是________． 变式3．如图所示，火车站、码头分别位于，两点，直线和分别表示河流与铁路． (1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由． (2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由． (3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由． 【题型四】点到直线的距离 例6．（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，在直角三角形中，于点，则点到的距离是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 例7．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）如图，在直角三角形中，，，，．点A到点B的距离是____，点B到的距离是___，点A到的距离是___； 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，点在直线上，点，在直线上，，，．有下列结论：①点到直线的距离等于4；②点到直线的距离等于3；③点到的距离等于5．其中，正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式2．（22-23七年级下·安徽六安·月考）如图，在直角三角形中，，，．请解答下列问题：    (1)点B到的距离是 ，点A到的距离是 ； (2)请在图中作出点C到的垂线段； (3) （填“”、“”、“”），理由是 ． 【题型五】对顶角的定义 例8．（25-26七年级下·安徽滁州·月考）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（2024七年级下·安徽阜阳·月考）三条直线相交于一点，形成（　　）对对顶角 A．3 B．4 C．5 D．6 变式2．观察以下一系列图形，过已知直线外一点作直线与已知直线相交，请你补全探究过程． 【规律探究】如图1，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图2，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图3，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角． 【归纳总结】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成______对对顶角． 【规律应用】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成几对对顶角? 【题型六】对顶角相等 例9．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，直线与相交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 例10．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则______度． 变式1．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，这是利用量角器测量角的示意图，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 变式2．（23-24七年级下·安徽宿州·月考）如图，直线与相交于点，射线在的内部，．当时，写出与互余的角，并说明理由． 【题型七】邻补角的定义理解 例11．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，直线、相交于点、平分、于点，则______． 变式2．（22-23七年级下·安徽淮北·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角． (1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【题型八】利用邻补角互补求角度 例12．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）若的邻补角等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例13．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，直线a，b相交于点O，若，则___________． 例14．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）如图，直线，相交于点O，过点O作．      (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 变式1．（23-24七年级下·安徽阜阳·月考）如图，两直线相交于一点，若，则（   ）    A． B． C． D． 变式2．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）小冉手持激光灯照向地面，激光灯发出的光线与地面形成了两个角（如图所示），若，则的邻补角的度数是___________． 变式3．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)请通过计算说明：是否平分． 一、单选题 1．下列图形中，与是对顶角的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．如图，直线，，相交于点，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，，点，，在同一直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线AB与直线CD相交于点O，，且，则的度数为（    ） A．60° B．120° C．135° D．150° 5．若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则x为（   ） A．40 B．80 C．40或80 D．60 6．下列说法中正确的是（    ） A．若，则平分. B．若，则，，互为补角. C．相等的角是对顶角. D．等角的余角相等. 7．如图所示，D是直线上一点，，，则下列结论中错误的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与相等 D．平分 8．已知∠AOB与∠BOC互为邻补角，且∠BOC＞∠AOB，OD平分∠AOB，射线OE使，当∠DOE＝72°时，∠EOC的度数为（    ） A．36° B．72° C．108° D．72°或108° 9．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 二、填空题 10．在同一平面内，过一点有且_______一条直线与已知直线垂直 11．如图，于点，于点，已知，，则点到直线的距离是___________． 12．如图，，若，则的度数为______． 13．如图，直线、相交于点O，平分，平分，，则的度数为________ 14．如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____． 15．如果∠，∠两边分别垂直，其中∠比∠的2倍少30°，那么∠＝_____． 三、解答题 16．如图，三条直线、、相交于点O，，，求的度数． 17．如图，直线相交于点O，平分，若．求和的度数． 18．如图，直线和直线交于点E，分别平分和．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 19．如图，直线与相交于点． (1)过点在的上方画射线； (2)在（1）的条件下，若，求和的度数． 20．如图，直线交于点分别在内部，且平分． (1)的对顶角是___________； (2)若，则的度数为___________； (3)若平分，求的度数； (4)若，判断是否平分，并说明理由． 21．如图，直线相交于点O，于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，如果过点O作直线，并在直线上取一点（点F与点O不重合），求的度数． 22．如图，点在直线上，，射线在内部． (1)如图1，当时，用量角器画出射线，则度数为 ； (2)如图2，当，，垂足为点O，求度数（用含的式子表示）． 23．如图，直线与相交于点是的平分线． (1)请写出图中的所有的补角； (2)如果．求的度数． (3)在(2)的条件下，经过点O在内部作射线，使得，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 相交线（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】对顶角 1. 定义 两个角有一个公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，称这样的两个角互为对顶角. 特别提醒： 对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个 .  内容 示图 ∠ 1 和∠ 2 互为对顶角 . 2. 性质 对顶角相等 . 特别提醒： (1)两个角互为对顶角，它们一定相等； (2)相等的两个角不一定是对顶角 . 【知识点02】垂直与垂线 1. 定义 在两条直线相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足 . 特别解读： 垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角 . 2. 表示方法 如 果 直 线 AB 与 CD 互 相 垂 直，可 以 记 作“AB ⊥ CD”，读作“AB 垂直 CD”. 3. 推理格式 如图 10.1-2，因为∠ AOC=90°(已知)，所以 AB ⊥ CD(垂直的定义) .反过来：因为 AB ⊥ CD(已知)， 所以∠ AOC=90°(垂直的定义) . 【知识点03】垂线的画法及基本事实 1.垂线的画法 用三角尺画已知直线的垂线，步骤如下： 特别提醒 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足不一定在这条线段或射线上，垂足可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上 . (1)用折纸法画已知直线的垂线，步骤如下： 步骤  内容  示图 一折 折叠纸张，使折痕经过已知点，且使已知直线被折痕分成的两部分重合 过点 P 作直线 l 的垂线： 二画 用直尺沿着折痕画出直线，则这条直线就是已知直线的垂线 (2) 用三角板画已知直线的垂线，步骤如下： 步骤  内容  示图 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合  过点 P 作直线 l 的垂线： 点 P 在直线 l 外 点 P 在直线 l 上 二移 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 2. 基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 . 特别提醒： 基本事实中的唯一性有两个关键条件不能少：一是“同一平面”；二是过一点，这一点可以在直线上也可以在直线外 . 【知识点04】垂线段及点到直线的距离 1. 垂线段 (1) 定义： 从直线 l 外一点 P 向直线 l 作垂线，垂足记为点 O，则线段 OP 叫作点 P 到直线 l 的垂线段 . (2) 性质： 连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 . 2. 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离 . (1)垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度 . (2) 点到直线的距离与两点间的距离的区别： 两点间的距离  点到直线的距离 定义 连接两点的线段的长度  直线外一点到这条直线的垂线段的长度 性质 两点之间，线段最短  垂线段最短 【题型一】垂线的定义理解 例1．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q，并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解 【分析】根据垂线的基本性质：过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直，容易判断． 【详解】解：根据垂线的性质，这样的直线只能作一条， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了垂线的基本性质，注意“过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直”的含义． 例2．（22-23七年级下·安徽淮南·期中）如图，同一平面内的三条直线交于点，，，则与的位置关系是__________．    【答案】垂直 【知识点】垂线的定义理解 【分析】计算即可求解． 【详解】解：由题意得： 故 故答案为：垂直． 【点睛】本题考查两直线的位置关系判断．根据题意计算出两直线的夹角即可． 变式1．（23-24七年级下·安徽亳州·月考）若∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边，则∠1和∠2的关系是__________．（∠1和∠2均小于180°） 【答案】相等或互补 【知识点】垂线的定义理解 【分析】分两种情况分别画图计算可得答案． 【详解】解：第一种情况，如图： ∵OA⊥OC，OB⊥OD， ∴∠1+∠BOC=90°，∠2+∠BOC=90°， ∴∠1=∠2； 第二种情况，如图：∠COD=∠2， ∵OA⊥OC，OB⊥OD， ∴∠1+∠BOC=90°，∠1+∠AOD=90°， ∴∠BOC=∠AOD=90°-∠1， ∴∠2=∠COD=∠1+∠BOC+∠AOD=∠1+（90°-∠1）+（90°-∠1）=180°-∠1． 即∠1+∠2=180°． ∴∠1和∠2的关系是相等或互补． 故答案为：相等或互补． 【点睛】此题考查的是垂线定义的理解，掌握余角的性质是解决此题关键． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线相交于点，于点． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线的性质，几何图形中角度的计算， （1）根据邻补角的定义和得到，进而求解即可； （2）根据垂直的定义，可得，等量代换得到． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 所以． （2）因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 【题型二】画垂线 例3．下列选项中，过点P画的垂线，三角板放法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画垂线 【分析】根据画垂线的方法进行判断即可． 【详解】解：∵三角板有一个角是直角， ∴三角板的一条直角边与直线重合， ∵过点P作直线的垂线， ∴三角板的另一条直角边过点P， ∴符合上述条件的图形只有选项C． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用三角板画垂线，解题的关键是熟练掌握用三角板画垂线的方法． 变式1．在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画________条直线与直线l相垂直． 【答案】一/1 【知识点】画垂线 【分析】应用垂线的性质，在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进行判断即可得出答案． 【详解】解：在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画一条直线与直线l相垂直． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，熟练掌握垂线的性质进行求解是解决本题的关键． 变式2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）按要求画图： (1)如图1，点M、N是平面上的两个定点．①连按；②反向延长线段至D，使； (2)如图2，P是的边上的一点． ①过点P画的垂线，交于点C；②过点P画的垂线，垂足为H 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】画出直线、射线、线段、画垂线 【分析】此题主要考查了基本作图，作线段和作垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键． （1）根据线段的作法连接即可，再延长，截取即可 （2）根据过直线上一点作垂线的方法，得出即可． 【详解】（1）解：，即为所求： （2）和如图2所求： 【题型三】垂线段最短 例4．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在直角中，，点从点出发沿方向运动，若，，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，设点到的距离为，则，求出，然后通过垂线段最短即可求解，正确理解垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：由题意得直角面积为， 设点到的距离为，则， 解得：， 由垂线段最短可知，长度的最小值为， 故选：． 例5．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）A，B，C，D四位同学准备从斑马线上的点P处过马路，四人所走路线如图所示，假设四人速度相等，则最先通过马路的是______． 【答案】B（同学） 【知识点】垂线段最短 【分析】此题考查了垂线段的性质．直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短．据此进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，最先通过马路的是B同学，原因是垂线段最短， 故答案为： B同学． 变式1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，立定跳远是安徽省初中学生体育中考的选考项目，测量立定跳远成绩的依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两直线相交有且只有一个交点 【答案】B 【知识点】垂线段最短 【分析】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理． 根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：测量立定跳远成绩的依据是：垂线段最短． 故选：B． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，机器人正在水中的点处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是________． 【答案】垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短．根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 变式3．如图所示，火车站、码头分别位于，两点，直线和分别表示河流与铁路． (1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由． (2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由． (3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由． 【答案】(1)沿走，两点之间线段最短，画图见解析 (2)沿走，垂线段最短，画图见解析 (3)沿走，垂线段最短，画图见解析 【知识点】两点之间线段最短、垂线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，连接，则沿走，两点之间线段最短； （2）理解题意，过点作直线，沿走，垂线段最短． （3）理解题意，过点A作直线，沿走，垂线段最短． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 依题意，沿走，两点之间线段最短． （2）解：过点作直线，如图所示， 依题意，沿走，垂线段最短． （3）解：过点A作直线，如图所示， 依题意，沿走，垂线段最短． 【题型四】点到直线的距离 例6．（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，在直角三角形中，于点，则点到的距离是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】B 【知识点】点到直线的距离 【分析】根据点到直线的距离的定义并结合图形即可得出结果． 【详解】解：∵在直角三角形中，于点， ∴点到的距离是线段的长． 例7．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）如图，在直角三角形中，，，，．点A到点B的距离是____，点B到的距离是___，点A到的距离是___； 【答案】 5 4 3 【知识点】两点间的距离、点到直线的距离 【分析】本题考查点到直线的距离，两点间的距离．关键是理解两点间的距离是线段的长度，点到的距离是从点A向作垂线段的长度，即线段的长度，类比求出点B到的距离即可解题． 【详解】解：点A到点B的距离是；点B到的距离是；点A到的距离是； 故答案为：，，． 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，点在直线上，点，在直线上，，，．有下列结论：①点到直线的距离等于4；②点到直线的距离等于3；③点到的距离等于5．其中，正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可得到答案． 【详解】解：①点到直线的距离等于，故①正确， ②点到直线的距离等于，故②错误， ③点到的距离等于，故③错误， 综上：①正确， 故选：B 变式2．（22-23七年级下·安徽六安·月考）如图，在直角三角形中，，，．请解答下列问题：    (1)点B到的距离是 ，点A到的距离是 ； (2)请在图中作出点C到的垂线段； (3) （填“”、“”、“”），理由是 ． 【答案】(1)8，6 (2)见解析 (3) 【知识点】画垂线、点到直线的距离、垂线段最短 【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解； （2）过点作的垂线，垂足为； （3）根据垂线段最短进行判断． 【详解】（1）解：点B到的距离是，点A到的距离是； 故答案为：8，6； （2）如图，为所作；    （3），理由是垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线距离的概念是解答本题的关键．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离． 【题型五】对顶角的定义 例8．（25-26七年级下·安徽滁州·月考）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角的定义 【详解】解：由对顶角的定义：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角可知，选项C中的与是对顶角． 变式1．（2024七年级下·安徽阜阳·月考）三条直线相交于一点，形成（　　）对对顶角 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】对顶角的定义 【分析】两条直线相交于一点，形成两对对顶角，把三条直线相交于一点，拆开成三种两条直线相交于一点的情况，再判断对顶角的对数． 【详解】解：三条直线相交于一点，拆开成三种两条直线相交于一点的情况， 因为两条直线相交于一点，形成两对对顶角， 所以三条直线相交于一点，有3个两对对顶角，共6对对顶角． 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角． 变式2．观察以下一系列图形，过已知直线外一点作直线与已知直线相交，请你补全探究过程． 【规律探究】如图1，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图2，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图3，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角． 【归纳总结】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成______对对顶角． 【规律应用】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成几对对顶角? 【答案】【规律探究】；；；【归纳总结】；【规律应用】 【知识点】图形类规律探索、对顶角的定义 【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律． 规律探究：作条直线与已知直线相交，数一数即可得出成对对顶角；作条直线与已知直线相交，数一数即可得出对对顶角，作条直线与已知直线相交，数一数即可得出对对顶角； 归纳总结：依次可找出规律，过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角． 规律应用：根据归纳总结得出得结论代入求解即可． 【详解】解：规律探究：作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 故答案为：；；； 归纳总结：过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角， 故答案为：； 规律应用：过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角． 【题型六】对顶角相等 例9．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，直线与相交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何图形中角度计算问题、对顶角相等 【分析】本题主要考查了角的倍数关系，对顶角的性质等内容，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质． 先利用角的倍数关系求出，再利用对顶角的性质求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与互为对顶角， ∴， 故选：A． 例10．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则______度． 【答案】 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角相等，由对顶角相等得出，结合题意计算即可得解，熟练掌握对顶角相等是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， 故答案为：． 变式1．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，这是利用量角器测量角的示意图，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查角的测量，对顶角相等，利用互为对顶角的两个角相等解答即可． 【详解】解：的对顶角为， ． 故选：A． 变式2．（23-24七年级下·安徽宿州·月考）如图，直线与相交于点，射线在的内部，．当时，写出与互余的角，并说明理由． 【答案】是的余角，见解析 【知识点】对顶角相等、求一个角的余角 【分析】本题考查了对顶角的性质，余角的定义；由，，，则，进而求出其他角的大小即可找到的余角； 【详解】解：与互为余角，理由如下，                 ∵，， ∴， ∴， ∴， 即与互为余角． 【题型七】邻补角的定义理解 例11．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】本题考查邻补角的定义，掌握邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角”是解题关键．根据邻补角的定义逐项判断即可． 【详解】A．不是邻补角，不符合题意； B．不是邻补角，不符合题意； C．不是邻补角，不符合题意； D．是邻补角，符合题意． 故选D 变式1．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，直线、相交于点、平分、于点，则______． 【答案】 【知识点】邻补角的定义理解、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差；由角平分线的定义得 ，由补角的定义得 ，能表示出比例式中的两个角是解题的关键． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ； 故答案：． 变式2．（22-23七年级下·安徽淮北·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角． (1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4)若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角 【知识点】邻补角的定义理解、对顶角的定义、图形类规律探索 【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （2）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （3）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （4）由（1）-（3）中直线与对顶角、邻补角的对数找到规律，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，2条直线相交于一点，共有2对对顶角，4对邻补角； 故答案为：2，4； （2）解：如图2，3条直线相交于一点，共有6对对顶角，12对邻补角； 故答案为：6，12； （3）解：如图3，4条直线相交于一点，共有12对对顶角，24对邻补角； 故答案为：12，24； （4）解：2条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 3条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 4条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角的定义，图形类规律的探索，熟练掌握知识点，找到规律是解题的关键． 【题型八】利用邻补角互补求角度 例12．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）若的邻补角等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用邻补角互补求角度 【分析】互为邻补角的两个角的度数和为，根据定义计算即可得到的度数． 【详解】解：∵互为邻补角的两个角的度数和为， 又∵的邻补角等于， ∴． 例13．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，直线a，b相交于点O，若，则___________． 【答案】/36度 【知识点】利用邻补角互补求角度、对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义，根据对顶角相等可得，再根据互为邻补角的两个角的和等于列式计算即可得解． 【详解】解：，， ， 与互为邻补角， ， 故答案为：． 例14．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）如图，直线，相交于点O，过点O作．      (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、利用邻补角互补求角度、垂线的定义理解 【分析】（1）由垂直的定义得到，即可求出的度数； （2）由邻补角互补求出，由垂直的定义得到，即可求出的度数． 本题考查垂线，对顶角、邻补角，关键是掌握垂直的定义，邻补角互补． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：∵，， ， ， ， . 变式1．（23-24七年级下·安徽阜阳·月考）如图，两直线相交于一点，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用邻补角互补求角度、对顶角相等 【分析】本题考查对顶角，邻补角，先根据对顶角相等得出，再根据邻补角即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 变式2．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）小冉手持激光灯照向地面，激光灯发出的光线与地面形成了两个角（如图所示），若，则的邻补角的度数是___________． 【答案】 【知识点】利用邻补角互补求角度 【分析】本题主要考查了平角的定义，正确得到是解题的关键．根据平角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴的邻补角的度数是． 故答案为：． 变式3．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)请通过计算说明：是否平分． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【知识点】利用邻补角互补求角度、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线，邻补角等知识，熟练掌握角平分线，邻补角是解题的关键 （1）由，平分，可得，根据，计算求解即可； （2）由，可得．由平分，可得．则，，进而可得是的平分线． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：平分．理由如下： ∵， ∴． 平分， ∴． ∴， ∴，即是的平分线． 一、单选题 1．下列图形中，与是对顶角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由定义：角的两边分别互为反向延长线的两个角叫做对顶角，进行逐一判断，即可求解． 【详解】解：A.不共顶点，其中有一条边不是互为反向延长线，故此项错误； B.符合定义，故此项正确； C. 其中有一条边不是互为反向延长线，故此项错误； D. 其中有一条边不是互为反向延长线，故此项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，理解定义是解题的关键． 2．如图，直线，，相交于点，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角的和等于的性质，根据邻补角的和等于列式求出的度数，再根据对顶角相等解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴（对顶角相等）． 故选：B． 3．如图，，点，，在同一直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是互余，互补的两角之间的关系．先求解，再求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：D． 4．如图，直线AB与直线CD相交于点O，，且，则的度数为（    ） A．60° B．120° C．135° D．150° 【答案】B 【分析】根据垂直的定义可得，由可得，根据邻补角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了垂直的定义，邻补角，角度的计算，数形结合是解题的关键． 5．若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则x为（   ） A．40 B．80 C．40或80 D．60 【答案】C 【分析】此题考查了两条直线相交所成角的关系，邻补角与对顶角的性质，一元一次方程的应用，正确理解两条直线相交所成角的关系是解题的关键． 由两条直线相交所成的四个角中，有邻补角、有对顶角，由此列方程解答． 【详解】解：当两个角是对顶角时，，解得； 当两个角是邻补角时，，解得， 故选：C． 6．下列说法中正确的是（    ） A．若，则平分. B．若，则，，互为补角. C．相等的角是对顶角. D．等角的余角相等. 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的定义、互补的定义、对顶角、余角的性质等知识，根据相关知进行判断即可 【详解】A. 若，则不一定平分，故选项错误，不符合题意； B. 若两个角的和为，就说这两个角互为补角，互为补角是两个角之间的关系，故选项错误，不符合题意； C. 相等的角不一定是对顶角.故选项错误，不符合题意； D. 等角的余角相等.故选项正确，符合题意； 故选：D 7．如图所示，D是直线上一点，，，则下列结论中错误的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与相等 D．平分 【答案】C 【分析】本题主要考查余角和补角以及垂线的定义，解决此题的关键是熟练掌握这些知识点并灵活运用． A．利用补角的定义即可得到答案；B．利用余角的定义即可得到答案；C．没有可以验证相等的条件；    D．利用等角的补角相等即可得出答案． 【详解】解：A ∴，故本选项不符合题意； B．∵，     ∴，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．∵， 同理可得， ∴平分，故本选项不符合题意； 故选：C． 8．已知∠AOB与∠BOC互为邻补角，且∠BOC＞∠AOB，OD平分∠AOB，射线OE使，当∠DOE＝72°时，∠EOC的度数为（    ） A．36° B．72° C．108° D．72°或108° 【答案】B 【解析】略 9．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．根据点到直线的距离，即可求解． 【详解】解：如图： 符合条件的直线共有4条； 故选：D． 二、填空题 10．在同一平面内，过一点有且_______一条直线与已知直线垂直 【答案】只有 【分析】本题主要考查了垂线的性质，根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直解答即可． 【详解】解∶ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为∶ 只有． 11．如图，于点，于点，已知，，则点到直线的距离是___________． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据点到直线的距离的定义解答即可． 【详解】解：，， 点到直线的距离是， 故答案为：． 12．如图，，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查了垂线，角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用平角定义和已知易得：，从而利用对顶角相等可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 13．如图，直线、相交于点O，平分，平分，，则的度数为________ 【答案】110 【分析】本题主要考查了相交线，角平分线．熟练掌握角平分线定义，邻补角定义，对顶角性质，是解决问题的关键． 根据角平分线的定义得到，根据得到，，由对顶角的性质得到，，根据角平分线的定义得到，即可得到结论． 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：110． 14．如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____． 【答案】4.8 【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值． 【详解】解：当MP⊥AB时，MP有最小值， ∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°， ∴AB•MP＝AM•BM， 即10MP＝6×8， 解得MP＝4.8． 故答案为：4.8． 【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键． 15．如果∠，∠两边分别垂直，其中∠比∠的2倍少30°，那么∠＝_____． 【答案】或 【分析】分两种情况，当时，当，然后进行计算即可解答， 【详解】解：设为，则， 分两种情况： 当时，如图： ， 解得：， ， 当，如图： ， 解得：， 综上所述：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了垂线，角的计算，根据题意画出图形，分两种情况讨论是解题的关键． 三、解答题 16．如图，三条直线、、相交于点O，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据平角的概念求出，再根据对顶角相等得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 17．如图，直线相交于点O，平分，若．求和的度数． 【答案】 【分析】根据，设，，根据，建立方程解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴，, ∵， 设， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ． 【点睛】本题考查了平角的定义，角的平分线，对顶角相等，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握方程的应用，平角的定义是解题的关键． 18．如图，直线和直线交于点E，分别平分和．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义结合平角的定义可得，即得结论； （2）根据角平分线的定义可得，再根据平角的定义求解． 【详解】（1）证明：∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， 即 ∴； （2）解：∵，平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、垂直的定义和角的和差计算，属于基础题型，熟练掌握角平分线和垂直的定义是解题的关键． 19．如图，直线与相交于点． (1)过点在的上方画射线； (2)在（1）的条件下，若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)26，154 【分析】本题考查画垂线，邻补角，关键是掌握邻补角互补，垂线的概念． （1）由题意画图即可； （2）由邻补角的性质求出，由垂直的定义得到，即可求出，由邻补角的定义得求银即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图， ， ， ， ， ， ． 20．如图，直线交于点分别在内部，且平分． (1)的对顶角是___________； (2)若，则的度数为___________； (3)若平分，求的度数； (4)若，判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，几何中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． （1）根据对顶角的定义即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，再根据，求出结果即可； （3）由，得到，根据角平分线的定义得出，根据，求出，根据角平分线的定义得出，根据，求出结果即可； （4）由，利用平角的定义得到，再根据，求出，结合得出结论． 【详解】（1）解：根据题意：的对顶角是； （2）解：平分， ， ； （3）解：与为对顶角， ， ，即． 平分， ， ， ， ． 又平分， ， ； （4）解：平分，理由如下： ， ． ， ， ， ， 平分． 21．如图，直线相交于点O，于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，如果过点O作直线，并在直线上取一点（点F与点O不重合），求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据垂线的定义可得，从而可得，再根据对顶角相等即可求解； （2）由垂线的定义可得，根据对顶角相等可得，再结合题意可得，再由，可得，再由平角的定义求解即可； （3）由（2）可得，，根据垂线的性质可得，分两种情况：点F在直线的下方，点F在直线的上方，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当点F在直线的下方， ∵， ∴， 由（2）可得，， ∴； 当点F在直线的上方， ∵， ∴， 由（2）可得，， ∴， 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查角几何图形中角的计算、余角的定义、垂线的定义、对顶角相等，根据题目中的条件和图形进行分类讨论是解题的关键． 22．如图，点在直线上，，射线在内部． (1)如图1，当时，用量角器画出射线，则度数为 ； (2)如图2，当，，垂足为点O，求度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)160 (2) 【分析】本题主要考查垂线、角平分线的定义和角的计算，熟练掌握垂直的定义和角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，用量角器画出射线即可，再计算度数即可； （2）根据垂直的定义得，再利用角的和与差即可得度数． 【详解】（1）解：，， ， ； 如图： 故答案为：160； （2）解：如图2， ， ， 时， ． 23．如图，直线与相交于点是的平分线． (1)请写出图中的所有的补角； (2)如果．求的度数． (3)在(2)的条件下，经过点O在内部作射线，使得，求的度数． 【答案】(1)都是的补角 (2) (3)或 【分析】此题主要考查了补角、垂直、以及角的计算，关键是理清图中角之间的和差关系． （1）首先根据垂直定义可得，然后再证明，根据补角定义可得都是的补角； （2）根据角平分线定义可得，再根据条件，可得的度数，然后即可算出的度数； （3）设的度数为x，则，分两种情况：①当在的上方时，如图1，②当在的下方时，如图2，根据和的关系列方程可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴都是的补角； （2）∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）设的度数为x，则， 分两种情况： ①当在的上方时，如图1， ∵， ∴， ， ∴， ②当在的下方时，如图2， ， ∴， ， ∴， 综上，的度数为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $