广东2025-2026学年高二下学期期中测试数学试题（人教A版选择性必修一第五章+选择性必修二第六，七章）

**基本信息** 广东高二下学期期中测试，以亚运会志愿服务、回文数等真实情境与文化素材为载体，通过导数应用、排列组合、概率统计等知识，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，适配期中阶段性评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|导数计算（题2）、排列组合（题4）、概率（题7）|题4结合亚运会志愿服务，体现时代性；题9以回文数考查计数原理，渗透文化传承| |填空题|3题15分|二项式系数（题12）、条件概率（题13）|题13通过工厂次品率问题，强化数据意识与模型观念| |解答题|5题77分|导数单调性（17题）、概率期望（18题）、函数恒成立（19题）|16题分层设计数字排列问题，18题结合数学期望与最值，体现问题层次性；19题综合导数与方程解，考查逻辑推理能力|

广东高二下学期期中测试 （人教A版选择性必修一第五章+选择性必修二第六，七章） 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A C A B D C D B ABD AC ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A 【解析】∵，∴．故选：A 2．【答案】C 【解析】由，则或，解得或， 所以.故选：C. 3．【答案】A 【解析】的导数，曲线在处切线斜率， 则曲线在处切线方程为，即 由于切线与曲线只有一个公共点， 联立，得即，解得.故选: A. 4．【答案】B 【解析】先安排游泳场地的志愿者，在除去甲的另三人中选择，再安排射击和体操场地的志愿者. 当游泳场地安排2人时，则不同的安排方法有种， 当游泳场地安排1人时，则不同的安排方法有种， 由分类加法原理可知共有种. 故选：B. 5．【答案】D 【解析】根据多项式的乘法，5个因式中，4个取一次项x，1个取常数项，相乘可得项，进而得到系数. 【详解】根据多项式的乘法，5个因式中，4个取一次项x，1个取常数项，相乘可得项． 常数项共5种取法， 合并同类项得项的系数为. 故选：D. 6．【答案】C 【解析】函数， 若在时有极值0，可得则，解得：，或， 当，时，，满足题意函数在时有极值0． 当，时，，不满足题意：函数在时有极值0．．故选：C 7．【答案】D 【解析】①计第一步取出2个白球为事件A，即第二步袋子有4个黑球，则 ②计第一步取出两球为1黑1白为事件，即第二步袋子有3个黑球1个白球，则 ③计第一步取出两个黑球为事件C，即第二步袋子有2个黑球2个白球，则 故由全概率公式，， 同理，故选：D 8．【答案】B 【解析】①根据题意，的方格纸上，有6条水平方向的线，9条竖直方向的线， 在6条水平方向的线中任选2条，在9条竖直方向的线中任选2条， 就可以组成一个矩形，则可以组成个矩形，故①错误； ②当其中一组对角区域同色时，有种， 当其中一组对角区域异色时，有种， 由分类加法计数原理得四个区域涂色方法共有种，故②正确； ③蚂蚁沿小正方形的边从点A出发到达C的最短路径，需要走4条小正方形的边， 向上走2条边，向右走2条边，所以有条， 然后从点C出发到达E的最短路径，需要走9条小正方形的边， 向上走3条边，向右走6条边，所以有条， 由分步乘法计数原理，则共有条，故③错误. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．【答案】ABD 【解析】对于A，末尾为1的五位回文数，则首位也是1，此时第二位和倒数第二位数字有10种选法，第三位有10种选法，故总的个数为个，A正确； 对于B，十位大于个位，有种方法，此时第一位和第二位的数字被确定，第三四位的数字相同，故有10种选择，因此符合条件的六位回文数，有360个，B正确； 对于C，对于位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第和第位也有10种，则共有种选法，故C错； 对于D，对于位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第个数字，即最中间的数字有10种选法， 则共有种选法，即位回文数有个，所以 D正确. 故选：ABD． 10．【答案】AC 【解析】对于A，由题意得：，，正确； 对于B，，，错误; 对于C，，正确； 对于D，，错误.故选：AC． 11．【答案】ACD 【解析】令，考虑的解. 的图象如图所示： 对于A，因为有3个不同的解，故有两个不同的解， 且，，故A正确. 对于B，由A的分析可得，故B错误. 对于C，由A的分析结合图象可得：有两个不同的解， 故且，故， 故是方程的一个根，故C正确. 对于D，由A的分析可得有两个不同的解，不妨设为，有唯一解，不妨设为， 则，，故，故， 而即，所以， 记，则， 故在上单调递增，故，D正确.故选：ACD. 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】1（5分） 【解析】的二项式系数和为，可得， 所以，的所有项的系数和为.故答案为：. 13．【答案】甲（5分） 【解析】设事件，，分别表示产品来自甲、乙、丙车间，事件表示产品为次品， 则，，，，，， ， ， ， ， 该次品由甲车间生产的可能性最大. 故答案为：甲. 14．【答案】（6分） 【解析】易知， 所以时，，即此时函数单调递增， 时，，即此时函数单调递减， 所以， 即该函数的最小值为.故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】(1)5 (2)10 【解析】（1）的展开式中，第4项为，（3分） 可得，解得，故正整数n的值为5．（6分） （2） 的展开式中第项为 ，其中，1，2，3，4，5，（9分） 令，可求得， （11分） 故展开式中的的系数为．（13分） 16．【答案】(1)222 (2)24 (3)22 【解析】（1）百位数字是1的三位数有个；百位数字是2，十位数字是1的有4个， 接下来的数依次是221，222，所以第22个的三位数是222．（5分） （2）由分步乘法计数原理，所有的三位数有个， 其中个位数字与十位数字相等的三位数有个， 所以个位数字比十位数字大的三位数有个．（10分） （3）能被3整除的三位数分为三类： 第一类，全部由2组成或者全部由3组成，共有2个； 第二类，全部由1或4组成，共有个；   第三类，由1，2，3或者2，3，4组成，共有个，         所以由分类加法计数原理，能被3整除的三位数有个.（15分） 17.【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减; (2)0 【解析】（1）函数的定义域为; 当时，，得；（2分） 令，得或，则： 当时，；当时，；（4分） 在和上单调递增，在上单调递减. （6分） （2），；（7分） 直线是曲线的切线，且直线与曲线仅有一个交点， 直线与曲线的交点是切点，设切点的坐标为；（9分） ，； ，得；（11分） 令，， 在上单调递增，即在存在唯一的实数根，使得；（13分） 又，； ，解得； 实数a的值为0.（15分） 18．【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【解析】1）小明从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为， 从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为. （2分） （i）设“小明4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件，则“小明4次摸球中，摸出的都是红球”为事件，且，所以. （4分） （ii）的所有可能取值为， 由（i），得，， ，，， （9分） 所以. （11分） （2）由，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验， 设小明每次摸出一个红球的概率为，则. （13分） 因为， 所以当时，；当1时，，（15分） 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，最大，此时，解得，故当时，最大. （17分） 19．【答案】． (1) (2)当或时，方程只有一个解. 当或时，方程有两个解. 【解析】（1）由题的定义域为，即，即恒成立，（1分） 令，则， 则当时，，单调递减；当时，单调递增；（3分） 故在上有最大值， 所以，即的取值范围是. （5分） （2）方程即， 令，，则， （6分） 令，则， ①当时，在上单调递减，即在上单调递减，（7分） 又，所以当时，单调递增；当时，单调递减， 故在处取得最大值，即，所以只有一个零点，即原方程只有一个解；（8分） ②当时，令解得， 当时，在上单调递增， 即在上单调递增； 当时，在上单调递减， 即在上单调递减，所以在处取得最大值， 即，（10分） 若，则，故（不恒为零），故在上为减函数， 而，故所以只有一个零点，即原方程只有一个解. （11分） 若，令，则， 故在上为减函数，而即， 此时，而，故当时，， 当时，，故在上存在一个零点， 且当时，，当时，，当时，， 故在为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 而，当时，， 若，则有1个不同的零点； 若，则有2个不同的零点；（13分） 当时，在上为增函数，故即， 此时，而，故当时，， 当时，，故在上存在一个零点， 且当时，，当时，，当时，， 故在为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 而，当时，，故有两个不同的零点；（15分） 综上，当或时，方程只有一个解. 当或时，方程有两个解.（17分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景：期中 广东高二下学期期中测试 （人教A版选择性必修一第五章+选择性必修二第六，七章） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（   ） A．10.5 B．5.25 C．5.5 D．11 2．已知，则（   ） A．7 B．35 C．21 D．42 3．已知曲线在点（0，1）处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 4．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功举办.杭州亚运会期间，甲、乙等4名志愿者要到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法种数为（    ） A．18 B．24 C．32 D．36 5．在的展开式中，含的项的系数是（   ） A． B． C． D． 6．函数在时有极值0，那么的值为（    ） A．14 B．48 C．40 D．14或40 7．一个袋子中装有形状大小完全相同的4个小球，其中2个黑球，2个白球.第一步：从袋子里随机取出2个球，将取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步：再从袋子里随机取出2个球，计第二步取出的2个球中白球的个数为，则（    ） A． B． C． D． 8．在如图所示的的方格纸上（每个小方格均为正方形），则下列正确的个数是（    ） ①图中共有675个不同的矩形 ②有4种不同的颜色，给正方形ABCD中内4个小正方形涂色，要求有公共边的小正方形不同色，则不同的涂色方法共有84种 ③如图一只蚂蚁沿小正方形的边从点A出发，经过点C，最后到点E，则蚂蚁可以选择的最短路径共168条 A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是按照从左到右与从右到左两种顺序读法都一样的正整数，如等.下列说法正确的是（    ） A．末尾为1的五位回文数有100个 B．十位大于个位的六位回文数有360个 C．位回文数有个 D．位回文数有个 10．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，方程有三个不同的实根，，，则（    ） A．方程有两个不同的实根 B． C．是方程的一个根 D． 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则所有项的系数和等于______ 13．某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现从一批产品中检查出1个次品，则该次品由____车间生产的可能性最大． 14．函数的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知的展开式中，第4项为． (1)求正整数n的值； (2)求的展开式中的系数． 16．(15分)用1，2，3，4四个数字组成可有重复数字的三位数． (1)将这些数从小到大排列，求排在第22个的三位数是多少； (2)求个位数字比十位数字大的三位数的个数； (3)求能被3整除的三位数的个数． 17．(15分)已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若直线l是曲线的切线，且直线l与曲线仅有一个交点，求实数a的值. 18．(17分)已知甲口袋有个红球和2个白球，乙口袋有个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. (1)当时， （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； （ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望； (2)当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，则当为何值时，最大？ 19．(17分)已知其中. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)判断方程解的个数，并说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 单选题 1 5 平均变化率 0.94 单选题 2 5 组合数 0.85 单选题 3 5 曲线的切线 0.85 单选题 4 5 排列组合 0.85 单选题 5 5 二项式的系数 0.85 单选题 6 5 函数的极值 0.85 单选题 7 5 离散型随机变量的均值；条件概率；全概率公式 0.65 单选题 8 5 计数原理 0.65 多选题 9 6 排列组合 0.65 多选题 10 6 条件概率；古典概型 0.65 多选题 11 6 函数与方程；函数的单调性；函数零点 0.4 填空题 12 5 二项式的系数 0.94 填空题 13 5 条件概率；全概率公式 0.85 填空题 14 5 函数的最值与单调性 0.85 解答题 15 13 求指定项的系数；根据二项式的第k项求值 0.65 解答题 16 15 排列问题；分类加法计数原理；分步乘法计数原理 0.55 解答题 17 15 函数单调区间；函数的零点；切线 0.65 解答题 18 17 求离散型随机变量的均值；函数的最值乘法公式 0.65 解答题 19 17 不等式恒成立问题；函数的零点 0.4 $