第二十三章 一次函数（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数单元核心，覆盖概念、图像性质及实际应用，梯度设计适配单元复习，强化数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|正比例关系、图像性质、点坐标变换|结合实验室配液（第5题）考查建模，体现数据意识| |填空题|6/12|特征数定义、象限分析、几何图形平移|以正方形平移（第16题）融合几何直观，强化空间观念| |解答题|8/72|行程问题、经济利润、函数与几何综合|设计物流两车相遇（第11题）及利润函数（第25题），突出模型意识与运算能力|

第二十三章 一次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下面各选项中的两种量．成正比例关系的是（　　） A．平行四边形的面积一定，它的底和高 B．已知y＝3+x，y和x C．正方形的周长与它的边长 D．已知9：x＝y：4，y和x 2．下列关于一次函数图象的描述，不正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．图象不经过第二象限 C．图象经过点（6，0） D．图象与y轴的交点坐标是（0，3） 3．在平面直角坐标系中，将点A（4，6）向下平移5个单位长度后，恰好在一次函数y＝kx+3的图象上，下面各点中，也在该函数图象上的是（　　） A．（0，﹣3） B．（1，﹣1） C．（4，9） D．（2，2） 4．已知关于x、y的二元一次方程kx﹣y＝﹣3的一组解为，则一次函数y＝kx+3（k为常数，且k≠0）的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．实验室用智能配液机器人匀速向烧杯中加入某种溶质，在溶液达到饱和之前，烧杯内溶液的总质量y（g）是加入溶质的时间t（s）的一次函数，部分数据如下表：当溶液的总质量为78g时，加入溶质的时间为（　　） 加入溶质的时间t/s 4 8 12 16 … 溶液的总质量y/g 27 39 51 63 … A．20s B．21s C．24s D．25s 6．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点M（2，5），且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（　　） A．（﹣2，5） B．（3，4） C．（4，7） D．（5，2） 7．已知点P（k，b）在第二象限，则一次函数y＝（k﹣1）x+b+1的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．如图，一次函数y＝ax+b与y＝cx+d的图象交于点P．下列结论不正确的是（　　） A．ac＜0 B．c＞d C．a+b＝c+d D．当x＞1时，ax+b＞cx+d 9．在平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0），B（0，4），点C是直线y＝2x在第一象限内的图象上一个动点，连接AC，BC，记△OAC的面积为S1，△OBC的面积为S2，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2 10．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（　　） A．若x1x2＞0，则y1y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0 C．若x2x3＞0，则y1y2＞0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0 11．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用，立即按原路以另一速度返回，直至与货车相遇，已知货车的速度为60km/h，两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．其中正确的结论有（　　） 现有以下4个结论： ①快递车到达乙地时两车相距120km； ②甲、乙两地之间的距离为300km； ③快递车从甲地到乙地的速度为90km/h； ④图中点B的坐标为． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 12．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果当x≥0时，y'＝2y；当x＜0时，y'＝﹣2y，那么称点Q为点P的“倍联点”．例如：点（2，3）的“倍联点”为（2，6），点（﹣2，3）的“倍联点”为（﹣2，﹣6）．如果点N（n﹣1，5n+1）是一次函数y＝2x+5图象上点M的“倍联点”，则n的值为（　　） A．5 B． C．5或 D．或 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数，若特征数是[3，k﹣2]的一次函数为正比例函数，则k的值是　 　 ． 14．已知一次函数y＝（2﹣k）x﹣2k+6的图象图象经过第一二、四象限，则k满足的条件是　 　 ． 15．某室内篮球馆每月的固定支出费用为10000元，入场票价为20元/人，为吸引顾客，凡入场者每人赠送成本2元的矿泉水一瓶，设每月有x人到该篮球馆打球，每月净利润为y元，请写出y与x之间的关系式 　 　 ． 16．如图，一次函数y＝x+4的图象与y轴交于点A，点B是线段OA上一点．过点B作y轴的垂线l，直线l与一次函数y＝x+4的图象交于点M，与正比例函数y＝2x的图象交于点N．当点M与点N关于y轴对称时，OB＝ 　 　 ． 17．A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则当t＝3时，甲、乙两人相距　 　 km． 18．已知直线l1：与y轴交于A点，将该直线绕着A点逆时针旋转45°得到新的直线l2，则直线l2的函数表达式为　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）已知y+a与x﹣b成正比例（其中a、b都是常数）． （1）试说明y是x的一次函数； （2）如果x＝﹣1时，y＝﹣15；x＝7时，y＝1，求这个一次函数的解析式． 20．（8分）A，B两地相距360千米，甲、乙两车分别从A地出发前往B地，甲车出发半小时后乙车才出发．甲、乙两车所行驶的路程y（千米）与时间x（小时）之间的关系如图所示． （1）求EF所在直线的函数表达式； （2）求乙车到达B地的时候，甲车距离B地还有多远？ 21．（8分）一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象恒过定点（1，1）． （1）若图象还经过（2，3），求该一次函数的表达式； （2）若当﹣3≤x≤4时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 22．（8分）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点B（6，2）在直线l：y＝kx+8上，直线l分别交x轴，y轴于点E，F．将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上． （1）求直线1的解析式； （2）求m的值． 23．（10分）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D是直线AB上的一个动点，CD⊥x轴于点C． （1）求点A的坐标； （2）点P是线段CD上的一个动点，当点D在第一象限，且AO＝OC时，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C′落在直线AB上时，求CP的长． 24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣x+k的图象交于点（1，1）． （1）求k，b的值； （2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝nx﹣n+1（n≠0）的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，且小于函数y＝﹣x+k的值，直接写出n的取值范围． 25．（10分）当排球和足球纳入中招考试体育加试后，这两种球的销量逐步提升．某体育用品商店看准时机，第一次购入30个排球和70个足球共花费4550元．第二次购入60个排球和40个足球共花费4100元．商店将排球和足球以50元/个和70元/个的价格出售，前两次进货很快销售一空． （1）求每个排球和足球的进价． （2）该商店准备第三次购入排球和足球共200个，根据市场需求，排球的购买个数不少于40个且不超过100个．购买时生产厂家对排球进行了优惠，规定购买排球不超过50个时保持原价，超过50个时超过的部分打八折．设第三次进货销售完的总利润为W元（利润＝销售额﹣成本），其中购进排球x个． ①求W与x的函数关系式． ②商店为了回馈顾客，开展促销活动．将其中的m（m为正整数）个排球按30元/个，3m个足球按50元/个进行销售．若第三次进货销售完后，获得的最大利润不能低于3000元，求m的最大值． 26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点B，点C在y轴上，点D在x轴正半轴上，且OA＝OD．点E（﹣1，m）是直线CD与线段AB的交点． （1）求直线CD的解析式； （2）若F为直线AB上一动点，连接FC，FD，当时，求点F的坐标； （3）如图2，连接AC，在直线AC上是否存在动点M，使得∠CDM+∠ABC＝∠BCE，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下面各选项中的两种量．成正比例关系的是（　　） A．平行四边形的面积一定，它的底和高 B．已知y＝3+x，y和x C．正方形的周长与它的边长 D．已知9：x＝y：4，y和x 【答案】C 【解答】解：A．底×高＝平行四边形的面积（一定），不成正比例，不符合题意； B．已知y＝3+x，y和x不成正比例，不符合题意； C．正方形的周长÷它的边长＝4，成正比例，符合题意； D．已知9：x＝y：4，则xy＝36，y和x不成正比例，不符合题意． 故选：C． 2．下列关于一次函数图象的描述，不正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．图象不经过第二象限 C．图象经过点（6，0） D．图象与y轴的交点坐标是（0，3） 【答案】D 【解答】解：根据一次函数的性质、函数值、图象与y轴的交点坐标逐项分析判断如下： A选项：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大，故本选项正确； B选项：∵一次函数中，，b＝﹣3＜0， ∴一次函数图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限，故本选项正确； C选项：当x＝6时，， ∴图象经过点（6，0），故本选项正确； D选项：当x＝0时，， ∴图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3），不是（0，3），故本选项错误． 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，将点A（4，6）向下平移5个单位长度后，恰好在一次函数y＝kx+3的图象上，下面各点中，也在该函数图象上的是（　　） A．（0，﹣3） B．（1，﹣1） C．（4，9） D．（2，2） 【答案】D 【解答】解：由题意，∵点A（4，6）向下平移5个单位长度， ∴此时A为（4，1）， 又∵平移后恰好在一次函数y＝kx+3的图象上， ∴4k+3＝1． ∴k． ∴一次函数为yx+3． 对于A：当x＝0时，y＝3≠﹣3，故A不合题意； 对于B：当x＝1时，y1+3＝2.5≠﹣1，故B不合题意； 对于C：当x＝4时，y＝1≠9，故C不合题意； 对于D：当x＝2时，y＝2，符合题意． 故选：D． 4．已知关于x、y的二元一次方程kx﹣y＝﹣3的一组解为，则一次函数y＝kx+3（k为常数，且k≠0）的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解答】解：将x＝﹣1，y＝5代入方程得﹣k﹣5＝﹣3， 解得 k＝﹣2， ∴一次函数解析式为y＝﹣2x+3， ∵k＝﹣2＜0，b＝3＞0， ∴一次函数y＝﹣2x+3的图象经过第一、第二、第四象限， ∴图象不经过第三象限， 故选：C． 5．实验室用智能配液机器人匀速向烧杯中加入某种溶质，在溶液达到饱和之前，烧杯内溶液的总质量y（g）是加入溶质的时间t（s）的一次函数，部分数据如下表：当溶液的总质量为78g时，加入溶质的时间为（　　） 加入溶质的时间t/s 4 8 12 16 … 溶液的总质量y/g 27 39 51 63 … A．20s B．21s C．24s D．25s 【答案】B 【解答】设y关于t的一次函数解析式为y＝kt+b（k≠0），由题意可得： ， 解得， ∴y＝3t+15，当y＝78时，3t+15＝78，解得t＝21（s）． 故选：B． 6．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点M（2，5），且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（　　） A．（﹣2，5） B．（3，4） C．（4，7） D．（5，2） 【答案】C 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点M（2，5），且y随x的增大而增大， ∴k＞0，2k+b＝5， ∴b＝5﹣2k， ∴一次函数的解析式为y＝kx+5﹣2k（k＞0）， A、当x＝﹣2，y＝5时，﹣2k+5﹣2k＝5，解得k＝0，不符合题意； B、当x＝3，y＝4时，3k+5﹣2k＝4，解得k＝﹣1＜0，不符合题意； C、当x＝4，y＝7时，4k+5﹣2k＝7，解得k＝1＞0，符合题意； D、当x＝5，y＝2时，5k+5﹣2k＝2，解得k＝﹣1＜0，不符合题意． 故选：C． 7．已知点P（k，b）在第二象限，则一次函数y＝（k﹣1）x+b+1的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵点（k，b）在第二象限， ∴k＜0，b＞0， ∴k﹣1＜0，b+1＞0， ∴一次函数y＝（k﹣1）x+b+1的图象经过第一、二、四象限， 故选：A． 8．如图，一次函数y＝ax+b与y＝cx+d的图象交于点P．下列结论不正确的是（　　） A．ac＜0 B．c＞d C．a+b＝c+d D．当x＞1时，ax+b＞cx+d 【答案】D 【解答】解：y＝ax+b从左上到右下，故a＜0， y＝cx+d从左下到右上，故c＞0， 因此ac＜0，选项A正确； y＝cx+d过点（﹣1，0），代入得：0＝﹣c+d， 即d＝c，所以c＞d不成立，选项B错误； 两直线交于点P，横坐标为1，说明当x＝1时，y＝ax+b与y＝cx+d的值相等，即a+b＝c+d，选项C正确； 当x＞1时，y＝cx+d的图象在y＝ax+b上方，因此ax+b＜cx+d，选项D中“ax+b＞cx+d”选项D不正确． 故选：D． 9．在平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0），B（0，4），点C是直线y＝2x在第一象限内的图象上一个动点，连接AC，BC，记△OAC的面积为S1，△OBC的面积为S2，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解答】解：已知A（4，0），B（0，4）， 在平面直角坐标系中，点A在x轴上，其横坐标的绝对值就是OA的长度长度， 所以OA＝4， 点B在y轴上，其纵坐标的绝对值就是OB的长度，所以OB＝4， 因为点C是直线y＝2x在第一象限内的图象上一个动点， 所以可设C（m，2m）（m＞0）， 对于△OAC，以OA为底，OA＝4， 点C到x轴的距离就是△OAC的高， 点C的纵坐标为2m， 根据三角形面积公式，可得S1OA×2m4×2m＝4m， 对于△OBC，以OB为底，OB＝4， 点C到y轴的距离就是△OBC的高， 点C的横坐标为m， 根据三角形面积公式可得S2OB×m4×m＝2m， 将S1＝4m，S2＝2m代入， 可得2． 故选：D． 10．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（　　） A．若x1x2＞0，则y1y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0 C．若x2x3＞0，则y1y2＞0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0 【答案】D 【解答】解：∵直线y＝﹣2x+3， ∴y随x的增大而减小，当y＝0时，x＝1.5， ∵（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3， ∴若x1x2＞0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不符合题意； 若x1x3＜0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意； 若x2x3＞0，则x2，x3同号，但不能确定y1y2的正负，故选项C不符合题意； 若x2x3＜0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2＞0，故选项D符合题意； 故选：D． 11．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用，立即按原路以另一速度返回，直至与货车相遇，已知货车的速度为60km/h，两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．其中正确的结论有（　　） 现有以下4个结论： ①快递车到达乙地时两车相距120km； ②甲、乙两地之间的距离为300km； ③快递车从甲地到乙地的速度为90km/h； ④图中点B的坐标为． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【解答】解：货车的速度为60km/h，两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示： 由图可知，x＝3时，快递车到达乙地，此时两车相距120km，故①正确； 快递车从甲地到乙地的速度为：120÷3+60＝40+60＝100（km/h），故③错误； 甲、乙两地之间的距离为100×3＝300（km），故②正确； 图中点B的横坐标为，纵坐标为：，故④正确， 故选：D． 12．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果当x≥0时，y'＝2y；当x＜0时，y'＝﹣2y，那么称点Q为点P的“倍联点”．例如：点（2，3）的“倍联点”为（2，6），点（﹣2，3）的“倍联点”为（﹣2，﹣6）．如果点N（n﹣1，5n+1）是一次函数y＝2x+5图象上点M的“倍联点”，则n的值为（　　） A．5 B． C．5或 D．或 【答案】C 【解答】解：由条件可知点M的横坐标为n﹣1，设点M的纵坐标为y． 分两种情况讨论： a．当n﹣1≥0，即n≥1时，由倍联点定义得5n+1＝2y，即． ∵点M在y＝2x+5上，代入得： ， 化简得5n+1＝4n+6，解得n＝5，满足n≥1，符合条件； b．当n﹣1＜0，即n＜1时，由倍联点定义得5n+1＝﹣2y，即． 得： ， 化简得﹣5n﹣1＝4n+6，解得，满足n＜1，符合条件． 综上，n的值为5或． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数，若特征数是[3，k﹣2]的一次函数为正比例函数，则k的值是　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：由已知可得y＝3x+k﹣2为正比例函数， ∴k﹣2＝0， ∴k＝2． 故答案为：2． 14．已知一次函数y＝（2﹣k）x﹣2k+6的图象图象经过第一二、四象限，则k满足的条件是　2＜k＜3　 ． 【答案】2＜k＜3． 【解答】解：∵一次函数y＝（2﹣k）x﹣2k+6的图象图象经过第一、二、四象限， ∴2﹣k＜0，且﹣2k+6＞0， 解得2＜k＜3． 故答案为：2＜k＜3． 15．某室内篮球馆每月的固定支出费用为10000元，入场票价为20元/人，为吸引顾客，凡入场者每人赠送成本2元的矿泉水一瓶，设每月有x人到该篮球馆打球，每月净利润为y元，请写出y与x之间的关系式 y＝18x﹣10000　 ． 【答案】y＝18x﹣10000． 【解答】解：根据题意：设每月有x人到该篮球馆打球，每月门票收入为18x元，矿泉水支出为2x，固定支出：10000， 根据净利润等于收入减去支出可得：y＝20x﹣2x﹣10000＝18x﹣10000． 故答案为：y＝18x﹣10000． 16．如图，一次函数y＝x+4的图象与y轴交于点A，点B是线段OA上一点．过点B作y轴的垂线l，直线l与一次函数y＝x+4的图象交于点M，与正比例函数y＝2x的图象交于点N．当点M与点N关于y轴对称时，OB＝ 　　 ． 【答案】 【解答】解：设点N（m，2m），则M（﹣m，﹣m+4）， ∵点M与点N关于y轴对称， ∴2m＝﹣m+4， 解得：m， ∴B（0，）． ∴OB． 17．A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则当t＝3时，甲、乙两人相距　40　 km． 【答案】40． 【解答】解：设甲的解析式为s甲＝kt+b，代入（1，0）、（3，80）， 得， 解得， 则s甲＝40t﹣40， 设乙的解析式为s乙＝pt，代入（1.5，20）， 得20， 解得p， 则s乙t， 当t＝3时，s甲＝80，s乙t＝40， 则s甲﹣s乙＝40， 则3h时，甲、乙两人相距40km， 故答案为：40． 18．已知直线l1：与y轴交于A点，将该直线绕着A点逆时针旋转45°得到新的直线l2，则直线l2的函数表达式为yx+4　 ． 【答案】yx+4． 【解答】解：由题意，设直线l1：yx+4与x轴交于点B，过B作BC⊥AB交l2于点C，再过C作CD⊥x轴于D， ∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∠ABO+∠DBC＝90°， ∴AB＝BC． ∵∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠OAB＝∠DBC． 又∵∠AOB＝∠BDC＝90°， ∴△AOB≌△BDC（AAS）． ∴AO＝BD，OB＝DC． ∵直线l1：yx+4与y轴交点A，与x轴交于点B， ∴令x＝0，得y＝4，则A（0，4）； 令y＝0，得x＝3，则B（3，0）， ∴AO＝BD＝4，OB＝DC＝3， ∴C（7，3）． 又∵l2过点A（0，4）， ∴直线l2为yx+4． 故答案为：yx+4． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）已知y+a与x﹣b成正比例（其中a、b都是常数）． （1）试说明y是x的一次函数； （2）如果x＝﹣1时，y＝﹣15；x＝7时，y＝1，求这个一次函数的解析式． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵y+a与x﹣b成正比例， 设比例系数为k，则y+a＝k（x﹣b）， 整理得：y＝kx﹣kb﹣a， ∴y是x的一次函数； （2）把x＝﹣1时，y＝﹣15；x＝7时，y＝1分别代入y＝kx﹣kb﹣a，得 ， 解得， 则该一次函数为：y＝2x﹣13． 20．（8分）A，B两地相距360千米，甲、乙两车分别从A地出发前往B地，甲车出发半小时后乙车才出发．甲、乙两车所行驶的路程y（千米）与时间x（小时）之间的关系如图所示． （1）求EF所在直线的函数表达式； （2）求乙车到达B地的时候，甲车距离B地还有多远？ 【答案】（1）y＝120x﹣90； （2）乙车到达B地的时候，甲车距离B地还有22.5千米． 【解答】解：（1）甲车的速度为：360÷4＝90（千米/小时）， 当行驶的路程y＝270千米时，时间x＝270÷90＝3小时， ∴P（3，270）， 设EF所在直线的函数表达式为y＝kx+b，由条件可得： ， 解得， ∴EF所在直线的函数表达式为y＝120x﹣90； （2）由条件可得120x﹣90＝360， 解得x＝3.75， ∴90×3.75＝337.5（千米）， 360﹣337.5＝22.5（千米）， 答：乙车到达B地的时候，甲车距离B地还有22.5千米． 21．（8分）一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象恒过定点（1，1）． （1）若图象还经过（2，3），求该一次函数的表达式； （2）若当﹣3≤x≤4时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 【答案】（1）y＝2x﹣1； （2）或． 【解答】解：（1）由题意得，， 解得， ∴一次函数的表达式为y＝2x﹣1； （2）代入点（1，1），得a+b＝1， ∴b＝1﹣a， ∴一次函数的表达式为y＝ax+1﹣a， ∴当x＝﹣3时，y＝﹣3a+1﹣a＝﹣4a+1；当x＝4时，y＝4a+1﹣a＝3a+1， 当a＜0时，y随着x的增大而减小， 则函数y在x＝﹣3取得最大值，在x＝4取得最小值， ∴﹣4a+1﹣（3a+1）＝6， 解得； 当a＞0时，y随着x的增大而增大， 则函数y在x＝4取得最大值，在x＝﹣3取得最小值， ∴3a+1﹣（﹣4a+1）＝6， 解得； ∴综上，a的值为或． 22．（8分）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点B（6，2）在直线l：y＝kx+8上，直线l分别交x轴，y轴于点E，F．将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上． （1）求直线1的解析式； （2）求m的值． 【答案】（1）y＝﹣x+8；（2）m＝2． 【解答】解：（1）由题意得，6k+8＝2，∴k＝﹣1， ∴直线解析式为y＝﹣x+8； （2）如图，过点B作BM⊥OE于点M，过点C作CN⊥OF于点N， 则∠AMB＝90°，∠CND＝90°， ∴∠ABM+∠BAM＝90°， 在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝DA， ∴∠DAO+∠BAM＝90°， ∴∠DAO＝∠ABM， ∴△DAO≌△ABM（AAS）， ∴OA＝BM，OD＝AM， ∴BM＝2，OM＝6， ∴OA＝2， ∴AM＝4， ∴OD＝4， 同理可得△CDN≌△DAO（AAS）， ∴DN＝OA＝2，CN＝DO＝4， ∴ON＝OD+DN＝6， ∴C（4，6）， 则平移后点C（4，6﹣m）， ∴6﹣m＝﹣1×4+8， ∴m＝2． 23．（10分）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D是直线AB上的一个动点，CD⊥x轴于点C． （1）求点A的坐标； （2）点P是线段CD上的一个动点，当点D在第一象限，且AO＝OC时，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C′落在直线AB上时，求CP的长． 【答案】（1）（﹣4，0）；（2）。 【解答】解：（1）由题意，∵， ∴当y＝0时，x＝﹣4， ∴点A坐标为（﹣4，0）． （2）由题意，∵AO＝OC， ∴OC＝4，AC＝8， 又∵当x＝4时，y＝6， ∴CD＝6， ∴， 如图2，由折叠知PC＝PC'，AC'＝AC＝8，∠AC'P＝∠ACP＝90°， ∴DC'＝AD﹣AC'＝10﹣8＝2． 设PC＝m，则PC'＝m，PD＝6﹣m， 在Rt△PC'D中：DC'2+PC'2＝PD2，即22+m2＝（6﹣m）2， ∴m， ∴PC的长为． 24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣x+k的图象交于点（1，1）． （1）求k，b的值； （2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝nx﹣n+1（n≠0）的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，且小于函数y＝﹣x+k的值，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）； （2）﹣1＜n＜2且n≠0． 【解答】解：（1）将（1，1）代入两个函数解析式得， 解得：； （2）由（1）得，y＝kx+b＝2x﹣1，y＝﹣x+k＝﹣x+2， 整理y＝nx﹣n+1得y＝n（x﹣1）+1，可知该函数恒过点（1，1）， 根据题意，当x＜1时，对任意x都满足2x﹣1＜nx﹣n+1＜﹣x+2， 先整理右半不等式：nx﹣n+1＜﹣x+2n（x﹣1）＜﹣（x﹣1）（n+1）（x﹣1）＜0， n（x﹣1）＜﹣（x﹣1）， ∴（n+1）（x﹣1）＜0， ∵x＜1， ∴x﹣1＜0， ∴n＞﹣1； 再整理左半不等式：2x﹣1＜nx﹣n+12（x﹣1）＜n（x﹣1）（n﹣2）（x﹣1）＞0， 2（x﹣1）＜n（x﹣1）， （n﹣2）（x﹣1）＞0， ∵x＜1， ∴x﹣1＜0， ∴n＜2， ∴n的取值范围是﹣1＜n＜2且n≠0． 25．（10分）当排球和足球纳入中招考试体育加试后，这两种球的销量逐步提升．某体育用品商店看准时机，第一次购入30个排球和70个足球共花费4550元．第二次购入60个排球和40个足球共花费4100元．商店将排球和足球以50元/个和70元/个的价格出售，前两次进货很快销售一空． （1）求每个排球和足球的进价． （2）该商店准备第三次购入排球和足球共200个，根据市场需求，排球的购买个数不少于40个且不超过100个．购买时生产厂家对排球进行了优惠，规定购买排球不超过50个时保持原价，超过50个时超过的部分打八折．设第三次进货销售完的总利润为W元（利润＝销售额﹣成本），其中购进排球x个． ①求W与x的函数关系式． ②商店为了回馈顾客，开展促销活动．将其中的m（m为正整数）个排球按30元/个，3m个足球按50元/个进行销售．若第三次进货销售完后，获得的最大利润不能低于3000元，求m的最大值． 【答案】（1）排球的进价为每个35元，足球的进价为每个50元； （2）①W； ②m的最大值为10． 【解答】解：（1）设排球的进价为每个a元，足球的进价为每个b元， 根据题意得：， 解方程组得：， 答：排球的进价为每个35元，足球的进价为每个50元； （2）①当40≤x≤50时，W＝（50﹣35）x+（70﹣50）（200﹣x）＝﹣5x+4000， 当50＜x≤100时，W＝50x﹣[35×50+35×0.8×（x﹣50）]+（70﹣50）（200﹣x）＝2x+3650； ∴W； ②当40≤x≤50时， 根据题意得：W＝（50﹣35）（x﹣m）+（30﹣35）m+（70﹣50）（200﹣x﹣3m）+（50﹣50）×3m＝﹣5x+4000﹣80m， ∵﹣5＜0， ∴W随x的增大而减小， ∴当x＝40时，W的值最大，最大值为﹣80m+3800， ∴﹣80m+3800≥3000， 解不等式得：m≤10； 当50＜x≤100时，W＝[50（x﹣m）+30m]﹣[35×50+35×0.8（x﹣50）]+（70﹣50）（200﹣x﹣3m）+（50﹣50）×3m＝2x+3650﹣80m， ∵2＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x＝100时，W的值最大，最大值为3850﹣80m， ∴﹣80m+3850≥3000， 解不等式得：m≤10.625， ∵m是正整数， ∴m的最大值为10． 答：m的最大值为10． 26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点B，点C在y轴上，点D在x轴正半轴上，且OA＝OD．点E（﹣1，m）是直线CD与线段AB的交点． （1）求直线CD的解析式； （2）若F为直线AB上一动点，连接FC，FD，当时，求点F的坐标； （3）如图2，连接AC，在直线AC上是否存在动点M，使得∠CDM+∠ABC＝∠BCE，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x+3； （2），； （3）存在，（﹣1，2）或（1，4）． 【解答】解：（1）令y＝0得，0＝2x+6，解得x＝﹣3，则A（﹣3，0）， 令x＝0得，y＝6，则B（0，6）， ∵OA＝OD， ∴D（3，0）， ∵点E（﹣1，m）是直线CD与线段AB的交点， ∴m＝2×（﹣1）+6＝4， ∴E（﹣1，4）， 将D（3，0），E（﹣1，4）代入y＝kx+b得， ，解得， 则直线CD的解析式为y＝﹣x+3； （2）由（1）可知，直线CD的解析式为y＝﹣x+3， 令x＝0得，y＝3，则C（0，3）， ∵A（﹣3，0），D（3，0），E（﹣1，4）， ∴， ∴， 设F（t，2t+6）， 当F在直线CD上方时，连接OF，如图， 当t＞0时， ， 则， 解得，即， 当﹣1＜t≤0时，同理可得，（舍去）； 当F在直线CD下方时，连接OF，如图， 当﹣3≤t≤﹣1时， ， 则， 解得，则， 当t＜﹣3时，同理可得（舍去）， 综上所述，点F的坐标为，； （3）存在， 由（2）可知，A（﹣3，0），C（0，3）， 将其代入y＝kx+b得， ，解得， 则AC的解析式为y＝x+3， ∴△AOC，△COD，△ACD为等腰直角三角形， ∴∠BCE＝∠OCD＝45°， ∵∠CDM+∠ABC＝∠BCE， ∴∠CDM+∠ABC＝45°， 连接BD交AC于点M，作∠MDC关于CD的对称角∠CDM′，交AC于点M′， ∵OA＝OD，OB⊥AD， ∴AB＝BD， ∴∠ABC＝∠DBC， ∵∠DBC+∠CDB＝∠OCD＝45°， ∴∠ABC+∠CDB＝45°， 即点M，M′为所求， 设BD的解析式为y＝kx+b 将B（0，6），D（3，0）代入得， ，解得， 则BD的解析式为y＝﹣2x+6， 则，解得， 即M（1，4）， ∵∠DCM＝∠DCM′＝90°，CD＝CD，∠CDM＝∠CDM′， ∴△CDM≌△CDM′（ASA）， ∴CM＝CM′， ∵M（1，4），C（0，3）， ∴M′（﹣1，2）， 综上，点M的坐标为（1，4），（﹣1，2）． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $