专题13 利用轴对称的性质解决将军饮马问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题13 利用轴对称的性质解决将军饮马问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、在一直线中找线段和最小值的点 类型二、在三角形中找线段和最小值问题 类型三、在某一角中线段和最小值的问题 类型四、实际应用问题中的最短路径问题 压轴专练 类型一、在一直线中找线段和最小值的点 方法总结 1. 定点对称：作其中一个定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，连线与直线的交点即为所求。 2. 两点一线型：若两定点在直线同侧，用对称法化为异侧两点间最短路径；若异侧，直接连线即最短。 解题技巧 1. 对称转化：遇“线段和最小”优先考虑作对称点，将折线转化为直线。 2. 验证取点：连接后与直线的交点唯一，确保所求为最小值。 例1．（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 【变式】（2025·浙江台州·三模）如图，在正方形网格中，点为格点（网格线的交点），点在网格线上，仅使用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)如图，在直线上找到一点，使得的值最小； (2)如图，部分网格被墨汁污染，在仅剩的网格中，标出格点，使线段的长度等于（）中的最小值． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，由轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，故点即为所求； （）取点，作点关于直线的对称点，连接，由轴对称可知，故线段即为所求； 本题考查了轴对称最短线段问题，作轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 类型二、在三角形中找线段和最小值问题 方法总结 1. 对称转化：作定点关于三角形某边的对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求最小值。 2. 几何最值模型：利用垂线段最短、三角形三边关系（如PA+PB≥AB）转化为共线或垂直状态求解。 解题技巧 1. 选对对称轴：以动点所在直线为对称轴，将定点对称转化。 2. 共线定最值：当折线两端点与对称点共线时取最小值，注意动点位置是否在三角形边上。 例2．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，三角形的面积，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】按照动点最值问题的做法，作点关于的对称点，由对称性得，结合三角形三边关系及点到直线距离垂线段最短得出，由等面积法求出即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点，如图所示： 是的角平分线，与关于对称， ∴点在上，则， ，， ， ， 即的最小值为． 类型三、在某一角中线段和最小值的问题 方法总结 1. 对称转化：作定点关于角的两边对称点，连接对称点与另一定点，与角边交点即为所求，折线化直线。 2. 垂线段最短：当动点在角边上移动时，利用“垂线段最短”求点到边的距离最值。 解题技巧 1. 选择对称轴：动点在哪条边上，就作定点关于该边的对称点。 2. 共线定最值：连接对称点与定点，与角边的交点位置即最小值点，验证共线性。 例3．如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，垂线段最短及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，作M关于的对称点，过作交于一点即为最小距离和点P，结合直角三角形角所对直角边等于斜边一半求解即可得到答案． 【详解】解：作M关于的对称点，过作交于一点P，如图所示， ∵是M关于的对称点，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴． ∴， 故选：B． 【变式】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 类型四、实际应用问题中的最短路径问题 方法总结 1. 建模转化：将实际问题抽象为几何模型（点、线、角），确定动点和定点的位置。 2. 对称化直：作定点关于直线的对称点，利用“两点之间线段最短”求最短路径。 解题技巧 1. 选对称轴：以路径所经过的直线为对称轴，将折线转化为直线。 2. 验证共线：连接对称点与另一端点，与直线的交点即为路径最短点，确保点在可行域内。 例4．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质以及三角形三边关系．通过作对称点，将同侧点转化为异侧，利用两点之间线段最短和三角形三边关系是解题的关键． （1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值； （2）通过作两点关于两直线的对称点，将折线转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径即可； （3）过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【详解】（1）证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，，； （2）解：如图，即为最短路径； （3）解：过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【变式】（1）唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； （3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为 【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； （2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； （3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明≌，可得，，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据，可得，即可求解． 【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； 理由：根据作法得：， ∴， ∴当点共线时，最小； （2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； 理由：根据作法得：，， ∴， ∴当点共线时，的周长最小； （3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ，， ∵，OM=OM， ∴△COM≌△EOM， ， ， ∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小， 过点C作CF⊥AB于点F， ∵，，，， ∴， 解得：， ∵， ， ∴的最小值为． 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为． 过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，    ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，在中，，以为底边在外作等腰，过点D作的平分线分别交，于点E，F．若，，点P是直线上的一个动点，则周长的最小值为（    ） A．15 B．17 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了最短距离问题，等腰三角形的性质，根据点A与点C关于对称，即可得出，当点P与点E重合时，，此时△PBC的周长最小，根据含30度角的直角三角形的性质求出即可得到周长的最小值． 【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形，平分， ∴垂直平分， ∴点A与点C关于对称， ∴， 如图所示，当点P与点E重合时，， 此时的周长最小， ∵，，， ∴， ∴周长的最小值为：， 故选：A． 3．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 连接，过点O作交的延长线于H，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点P与点H重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点O作交的延长线于H，    ∵，且， ∴， ∵点P关于对称的点为，点P关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，最小值为， ∴的面积的最小值为， 故选：B． 二、填空题 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，．如果点D，E分别为边上的动点，那么的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了对称的性质，作点A关于的对称点，作点，交于点D．则，所以．即的最小值为． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D． 则， ∴． 即的最小值为． ∵， ∴，， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 5．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则________°，面积的最小值为________． 【答案】 90 【分析】先利用翻折的性质，得出，，，再利用两角的和结合，证得，然后根据三角形面积公式，得到，当时，最小，则的面积最小，先求出，再求出面积的最小值即可． 【详解】解：由翻折得：，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 要使最小，当时，最小，则的面积最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． 如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ，，，， ， ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小， 最小值为， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 7．（25-26七年级上·山东威海·期中）如图，在正方形网格中有一个，其顶点都在格点上，小正方形网格的边长为（用直尺画图，保留画图痕迹）． (1)画出格点关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使值最小；并求出最小值（要求在直线上标出点的位置） (3)求出的面积 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)6 【分析】本题主要考查画轴对称图形，最短路径问题； （1）根据轴对称的性质画图即可； （2）连接，交直线于点P，连接，此时，为最小值，则点P即为所求． （3）用正方形面积减去三个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，连接，交直线于点P，连接， 此时，为最小值，则点P即为所求． （3）解：的面积为：， ∴的面积为6． 8．（24-25七年级上·上海青浦·期末）【问题提出】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题． 【解决问题】如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明过程如下：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以______，______． 所以______． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与直线的交点上，即，，三点共线），本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【拓展延伸】如图所示，点是锐角内部的一点．请你在边和边上分别找到点，，使得的周长最小． 【答案】[解决问题]，，； [拓展延伸]见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边的关系、以及两点之间线段最短等知识，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键． [解决问题]利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决； [拓展延伸]作出点M关于的对称点，点M关于的对称点，连接，交于P，交于Q，根据两点之间线段最短，P、Q即为所求． 【详解】[解决问题] 证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以，． 所以． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 故答案为： ，，； [拓展延伸] 解：如图所示，作出点M关于的对称点，点M关于的对称点，连接，交于P，交于Q，此时的周长最小． 9．（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【答案】（1）④，两点之间线段最短；（2）11；（3）①见解析；②70 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①如图，最短， 过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 10．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（）①；②；③；（） 【分析】（）①把已知代入等式计算即可求解；②连接，列式解答即可；③作，，由列式解答即可； （）作点关于直线的对称点，可得，即得，过作于，过作的延长线于，利用三角形面积可求得，，进而由当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长即可求解； 本题考查了三角形高，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． 【详解】解：（）①∵，， ∴， ∴； ②连接， ∵， ∴， 即， ∴； ③猜想：，理由如下： 如图，作，， ∵， ∴， 即， ∴； （）作点关于直线的对称点， 则， ∴， ∵点在延长线上， ∴点共线， ∴， ∴， 过作于，过作的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长，即为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 利用轴对称的性质解决将军饮马问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、在一直线中找线段和最小值的点 类型二、在三角形中找线段和最小值问题 类型三、在某一角中线段和最小值的问题 类型四、实际应用问题中的最短路径问题 压轴专练 类型一、在一直线中找线段和最小值的点 方法总结 1. 定点对称：作其中一个定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，连线与直线的交点即为所求。 2. 两点一线型：若两定点在直线同侧，用对称法化为异侧两点间最短路径；若异侧，直接连线即最短。 解题技巧 1. 对称转化：遇“线段和最小”优先考虑作对称点，将折线转化为直线。 2. 验证取点：连接后与直线的交点唯一，确保所求为最小值。 例1．（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【变式】（2025·浙江台州·三模）如图，在正方形网格中，点为格点（网格线的交点），点在网格线上，仅使用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)如图，在直线上找到一点，使得的值最小； (2)如图，部分网格被墨汁污染，在仅剩的网格中，标出格点，使线段的长度等于（）中的最小值． 类型二、在三角形中找线段和最小值问题 方法总结 1. 对称转化：作定点关于三角形某边的对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求最小值。 2. 几何最值模型：利用垂线段最短、三角形三边关系（如PA+PB≥AB）转化为共线或垂直状态求解。 解题技巧 1. 选对对称轴：以动点所在直线为对称轴，将定点对称转化。 2. 共线定最值：当折线两端点与对称点共线时取最小值，注意动点位置是否在三角形边上。 例2．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 类型三、在某一角中线段和最小值的问题 方法总结 1. 对称转化：作定点关于角的两边对称点，连接对称点与另一定点，与角边交点即为所求，折线化直线。 2. 垂线段最短：当动点在角边上移动时，利用“垂线段最短”求点到边的距离最值。 解题技巧 1. 选择对称轴：动点在哪条边上，就作定点关于该边的对称点。 2. 共线定最值：连接对称点与定点，与角边的交点位置即最小值点，验证共线性。 例3．如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 类型四、实际应用问题中的最短路径问题 方法总结 1. 建模转化：将实际问题抽象为几何模型（点、线、角），确定动点和定点的位置。 2. 对称化直：作定点关于直线的对称点，利用“两点之间线段最短”求最短路径。 解题技巧 1. 选对称轴：以路径所经过的直线为对称轴，将折线转化为直线。 2. 验证共线：连接对称点与另一端点，与直线的交点即为路径最短点，确保点在可行域内。 例4．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 【变式】（1）唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； （3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值． 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，在中，，以为底边在外作等腰，过点D作的平分线分别交，于点E，F．若，，点P是直线上的一个动点，则周长的最小值为（    ） A．15 B．17 C．18 D．20 3．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．18 二、填空题 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，．如果点D，E分别为边上的动点，那么的最小值是________． 5．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则________°，面积的最小值为________． 6．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是________． 三、解答题 7．（25-26七年级上·山东威海·期中）如图，在正方形网格中有一个，其顶点都在格点上，小正方形网格的边长为（用直尺画图，保留画图痕迹）． (1)画出格点关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使值最小；并求出最小值（要求在直线上标出点的位置） (3)求出的面积 8．（24-25七年级上·上海青浦·期末）【问题提出】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题． 【解决问题】如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明过程如下：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以______，______． 所以______． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与直线的交点上，即，，三点共线），本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【拓展延伸】如图所示，点是锐角内部的一点．请你在边和边上分别找到点，，使得的周长最小． 9．（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 10．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $