期末压轴专题02 几何压轴50练（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

**基本信息** 聚焦平行线与三角形全等两大模块，以11类专题构建“性质判定-综合应用-模型突破”三阶训练体系，通过50道压轴题系统提炼辅助线构造、多结论验证等解题方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行线性质与判定|20题|多结论验证、拐点辅助线、三角板旋转分类|从基础性质到动态综合，构建“平行-角关系-图形变换”逻辑链| |三角形全等|30题|一线三等角、倍长中线、截长补短模型|从判定应用到模型构造，形成“全等条件-辅助线添加-综合证明”递进关系|

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题02几何压轴题50练 目录 类型一、平行线的性质与判定多结论问题 2 类型二、平行线的性质与判定多解题问题 > 类型三、三角形全等的性质与判定多结论问题 13 类型四、三角形全等的性质与判定多解题问题….20 类型五、平行线的性质与判定综合问题………… 26 类型六、平行线中的拐点问题 32 类型七、平行线中的三角板旋转问题 45 类型八、三角形全等的性质与判定综合问题，， ….57 类型九、三角形全等模型之一线三等角 67 类型十、三角形全等模型之倍长中线 76 类型十一、三角形全等模型之截长补短 .84 类型一、平行线的性质与判定多结论问题 1.(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，已知EF∥GH,A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点， 延长AM至点C,AB平分∠DAC,点N在直线DB上，且BN平分∠FBC,若∠ACB=II0°，则下列结论： ①∠MAB=∠BAD; ②∠ABM=∠BAM:③∠N8C=∠8DH:④设∠CBM=a,则∠BAD=5-0;回 ∠DBA=55°，其中，正确的有() E D A.①②③ B.①②③④ C.①②③⑤ D.②③④⑤ 2.(25-26八年级上辽宁沈阳·期末)如图，已知AB∥CD,EG,EM,FM分别平分 ∠AEF,∠BEF,∠EFD,下列结论：①∠EMF=90°；②FM∥GE;③∠EGF与∠BEM互补.其中，正确 结论的个数是() G 1/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.0 B.1 C.2 D.3 3.(24-25七年级下陕西咸阳期末)如图，已知AD∥CF,AB⊥AD于点A,∠1+∠3=180°，则下列结论： ①∠2=∠3；②∠I=∠4；③CD EF;④∠B=∠BFE;⑤∠BFC=90°.其中正确的是() B A.②③④ B.①③⑤ C.①②③⑤ D.①②④⑤ 4.(25-26七年级上吉林长春期末)如图，∠B=110°，∠C=70°，DE平分∠ADC交BC于点E,点F为线 段CD延长线上一点，∠BAF=∠EDF，则下列结论正确的有一： ①∠BAD+∠ADC=180°；②AF∥DE;③BC∥AD;④∠DAF=∠F 6 5.(25-26七年级上·吉林长春·期末)如图，AECF,∠ACF的平分线CB交AE于点B,G是CF上一点， 连结BG,AC∥BG,∠GBE的平分线BD交CF于点D,连结AD,给出下面四个结论： ①LDBC=90°；②ABC与△ABD的面积相等；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠CAB=a,则 ∠BDF=180°-C B 上述结论中，正确结论的序号有 类型二、平行线的性质与判定多解题问题 6.(25-26七年级上江苏泰州期末)如图，在直线AB上取一点0，向上作一条射线0C,使∠B0C=50°， 将一直角三角板顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=30° ·将图中的三角板绕点0按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中第 秒时，边MN 2/22 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所在直线恰好与射线0C平行. M B 7.(25-26七年级上江苏南京·期末)如图，AB∥CD,点P,Q分别是AB,CD上的一点，射线PB绕点P 顺时针旋转，速度为每秒1度，射线QC绕点Q顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与QD重合便立即回 转，当射线PB旋转至与PA重合时，PB与QC都停止转动，若射线PB先转动40秒，射线QC才开始转动， 则射线QC转动秒后，QC与PB平行. P A —B C D 8.(25-26七年级上·河南新乡·期末)如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中 ∠ACB=∠CDE=90°，∠ABC=30°，∠DCE=45°.三角板ABC固定不动，三角板DCE可绕点C转动， 当AB∥EC时，∠DCB的度数为 B 9.(24-25七年级下·江苏宿迁·期末)将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交 于点G,∠C=∠EFB=90,∠A=60,∠E=45,现将图中的ABC绕点G按每秒30的速度沿逆时针方向旋 转180°，在旋转的过程中，ABC恰有一边与DE平行的时间为 G B(D) 10.(25-26八年级上陕西西安期末)将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，AC边重合， 3/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAC=45°，∠DAC=30°.保持三角尺ABC不动（如图2），将三角尺ACD绕着点C顺时针转动90°后停止. 在转动的过程中，当三角尺ACD有一条边与三角尺ABC的一条边恰好平行时，∠ACA'的度数为 图2 类型三、三角形全等的性质与判定多结论问题 11.(25-26七年级下，全国期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边的中线，AE平分∠CAB ,CF⊥AB,AE与CF相交于点G.下列结论一定成立的是() ①△ACD与△BCD的面积相等；②LACF=∠B;③△ACE≌△CFD;④LCEG=∠CGE G A.①② B.②③ C.①③④ D.①②④ 12.(25-26八年级下·湖南衡阳·期末)如图，在ABC中，AD是BC边上的高， LBAF=LCAG=90°，AB=AF,AC=AG.连接FG,交DA的延长线于点E,连接BG,CF,则下列结论： ①BG=CF;②BG⊥CF;③EF=EG;④BC=2AE,其中正确的有() G A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 13.(24-25八年级上北京石景山期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,CD是∠ACB内部的射 4/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 线且LBCD<45°，过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F,给出下面三个结论：① LEAB=∠FBA;②AB=CF;③EF=AE-BF,其中正确的有() F D E A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 14.(24-25八年级上新疆乌鲁木齐·期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,若∠DAB的角平分线 AE交CD于E,连接BE,且BE平分∠ABC,得到如下结论：①∠AEB=90°；②AB-AD=BC;③ AD=DE;④BE=CD;⑤若AB=x,则AE的取值范围为0<AE<x,那么以上结论正确的个数是() E A.2 B.3 C.4 D.5 15.(24-25八年级上河北沧州期末)如图所示，在ABC中，∠1=∠2，点G为AD的中点，BG的延长 线交AC于点E,F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H,则下面判断正确的有() ①AD是∠BAC的平分线；②BE是ABC的边AC上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④ AF=AC. A G H D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5/22 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、三角形全等的性质与判定多解题问题 16.(25-26八年级上·辽宁盘锦期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm,BC=2cm,CD为AB边 上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F,当点 E运动 s时，CF=AB. A D B 17.(25-26八年级上·湖南怀化期末)如图，在ABC中，∠A=90°，AB=14cm,AC=4cm,过点B作 BM⊥AB,动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AB运动，动点D在射线BM上，随着E点的运动而 运动，始终保持ED=CB,若点E的运动时间为t秒(t>O),则当以B,E,D为顶点的三角形与△ACB全 等时，t= 秒. M D E B 18.(25-26八年级上湖北荆州期末)图，AB=4cm,AC=BD=3cm,∠CAB=∠DBA,点P在线段AB 上以2cm/s的速度由点A向点B运动.同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，设运动时间为(S),则 BP= Cm(用含有t的式子表示)；当△ACP与BPQ全等时，点Q的运动速度为 cm/s. C B 19.(25-26八年级上·湖北荆门期末)如图，AB=4cm,BC=6cm,∠B=∠C,如果点P在线段BC上以 2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动，若经过t秒后，△ABP与 COP全等，则t的值是· 6/22 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 20.(25-26八年级上河南新乡·期末)如图，在ABC中，AB=AC=12cm,BC=8cm,点D为AB的中点， 点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动，当点Q的 运动速度为cm/s时，△BPD与COP全等. 类型五、平行线的性质与判定综合问题 21.(25-26七年级上·江苏苏州期末)如图，DE与AB相交于点O,且DE∥BC,BM平分∠ABC,且 OM⊥AB. E B C (I)若∠M0E=24°，求∠MBA的度数； (2)画∠BOD的平分线ON,ON与BM有怎样的位置关系？为什么？ 22.(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，∠2=∠B,BE与DF交于点P. A B E (1)若∠1=52°，求∠C的度数： 7/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)若∠2+∠D=90°，AB∥CD,试判断BE与DF的位置关系，并说明理由 23.(25-26七年级上江苏泰州期末)如图，点F在线段AB上，点E,G在线段CD上，FG∥AE, ∠1=∠2. B H C E GD (I)请判断AB与CD的位置关系，并说明理由； (2)若BC平分∠ABD,∠D=114°，求∠C的度数. 24.（25-26八年级上河南郑州·期末)在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣， 杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能. D O 的 Q D C 图① 图② ()太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的 光线OB,OC等反射以后沿着与POQ平行的方向射出.图中如果∠B0P=42°，∠QOC=68°，请求出∠AB0 和∠DCO的度数； (②)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角 a=18°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角阝=42°，请直接写出EF与FG所成锐角的度数， 25.(25-26八年级上贵州期末)已知AB∥CD,直线EF与AB,CD分别交于点E,F,FG平分∠EFD与 直线AB交于点G. 图3 8/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图1，若LEGF=26°，则∠AEF的度数是_ (2)作EM平分LGEF,交FG于点M. 如图2，过点G作GN⊥FG,交直线EF于点N,求证：GN∥EM. 如图3，点P是ME延长线上的一点，连接FP,若2LCFP=3∠PFG,请写出∠FPM与∠DFG存在的数量 关系，并说明理由。 类型六、平行线中的拐点问题 26.(25-26八年级上广东河源·期末)如图1，AB∥CD,M,N为直线AB,CD上的点，EM和EN交于点E A-M B D C D 图1 图2 (I)若∠EMB=35°，∠END=65°，则∠MEN的度数是 (2)求证：LMEN=∠END-∠EMB. (3)如图2，MQ平分∠EMB,NQ平分∠END,若∠MEN=a,试用含的代数式表示∠MQW的度数. 27.(25-26八年级上山东济南期末)己知AB∥CD,点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一 点 B 图1 图2 图3 (①)【基础问题】如图1，试说明：∠AGD=∠A+∠D,(完成下面的填空部分) 证明：过点G作直线MN∥AB, :AB∥CD, :① ∥CD. :MN∥AB, 9/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 “② =∠AGM. :MN∥CD, ∠D=③ (④ :∠AGD=∠AGM+∠DGM=∠A+∠D. (2)【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出LAGD、∠A、∠D三者之间的数量关系， 并请用平行线的知识说明理由， (3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，AH平分∠GAB,且∠HDF=22°，∠AFC=72°，那么∠H的 度数为 28.(25-26七年级下·河南新乡·期末)如图，AB∥CD,E,F分别是AB,CD上的点，P为AB,CD之间的 一点，且始终在直线EF的左侧，连接EP,PF. A E B C D (1)若∠AEP=40°，∠CFP=70°，则∠EPF= (2)请判断∠AEP,∠CFP,∠EPF之间的数量关系，并说明理由： (3)在AB,CD内部另作一条折线E-O-F,且点Q在直线EF的右侧.若∠BEP=2∠BEQ, ∠DFP=2∠DFQ,∠EQF=100°，请直接写出∠EPF的度数， 29.(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，MN∥PQ,直线AB交MN于点A,交PQ于点B,点E是线 段AB上一点，C、D分别在射线AN、BQ上，连接CE、DE,∠ECN的平分线与∠BDE的平分线交于点F. AC ⊥AC M ME F P B P DO H 备用图 (I)当CE⊥DE时，∠ACE+∠BDE= °： (2)LCED与LCFD的数量关系是 ； (3)过点D作DH⊥CF,交CF的延长线于H,将直线AB绕点A逆时针旋转，速度为每秒2°，旋转后的对 应直线为AB',同时，将△DFH绕点D顺时针旋转，速度为每秒4°，旋转后的对应三角形为△DF'H',当 10/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 直线AB'首次与直线MN重合时，整个运动停止.在(1)的条件下，若∠CAB=80°，∠EDB=40°，经过t 秒后，直线AB'恰好与△DFH'的边FH'或边DH'平行，请直接写出所有满足条件的t的值. 30.(25-26七年级上海南海口·期末)综合与探究 如图，AB∥CD,点P,Q为直线CD,AB上两定点，O°<∠PNQ<180° D D y NA2 M 一B B Q 图1 图2 M2o26·M B 图3 图4 (1)如图1，当N点在PQ左侧时，∠1，∠2，∠3满足数量关系为_： (②)若PM平分∠CPN,QM平分∠AQN,∠PNQ=110°. ①如图2，点N在PQ左侧时，求∠PMQ的角度； ②如图3，点N在PQ右侧，求∠PMQ的角度； (3)如图4，PM平分LCPN,QM平分∠AQN,∠PNQ=120°，点N在PQ右侧，若∠CPM与∠AOM的角 平分线交于点M1,∠CPM1与∠AQM1的角平分线交于点M2;依次类推，则∠PMo26Q=-·(直接写出结 果) 类型七、平行线中的三角板旋转问题 31.(25-26七年级上·重庆期末)如图所示，含30°的直角三角形ABC,点A和点C在两平行线MNQR上， AD、AE分别为BAN、∠BAM的角平分线，F为BC的延长线与AD的交点. M B (1)求证：EA⊥AD; 11/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)试判别∠AED和LCFD的大小关系，并说明理由： (3)当LADE=36°时，射线AM和射线CB分别以10°每秒和30°每秒的速度同时顺时针旋转，当射线CB旋 转一周时，全部停止运动，求射线AM和射线CB在旋转过程中平行时对应的时间的值， 32.(25-26八年级上山西太原·期末)综合与实践 问题情境：如图1，已知直线MN∥PQ,将直角三角板ABC(其中LABC=90°，∠BAC=60°)的顶点A, C分别放在直线MN、PO上，点B在直线AC左侧，且在MN、PO之间. M N M H 图1 图2 初步探究：(1)请用等式表示∠BAM和LBCP之间的数量关系，并说明理由； 深入探究：(2)如图2，在(1)的基础上，分别作∠MAC和LBCP的平分线，两线交于点H,则∠AHC的 度数为 33.(25-26七年级上·河南南阳·期末)(1)【感知】将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板ADE 的直角顶点E落在BC上，∠DAE=60°，∠B=∠C=45°，且AD∥BC,则∠CAE的大小为 度； (2)【探究】如图2，将图1中的三角板ABC放在一组直线MN与P9之间（其中LB=∠ACB=45°），并使 直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PO上，现测得∠MAB=23°，∠PCB=22°，试说明MN∥PQ; (3)【拓展】现将图1中的三角板ABC按图3方式摆放（其中∠B=∠ACB=45°），使顶点C在直线MN上， 直角顶点A在直线P2上.若MN∥PQ,请写出∠PAB与∠MCA之间的关系式，并说明理由. M D B 图1 图2 图3 34.(25-26八年级上山西晋中.期末)【项目化学习玩转三角尺. 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利 用三角尺ABC和三角尺DEF进行了操作探究活动.（其中∠BAC=∠FDE=90°，∠ACB=60°， ∠ABC=30°，∠DEF=∠DFE=45°)请你一起探究，完成以下任务. 12/22 高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺ABC沿BC方向移动，得到△A,B,C,王丽发现此时 AB∥AB,她的判断依据是： 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线α平行于边BC所在的 直线b,且点A与点F重合，求∠I的度数 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺DEF,将三角尺ABC绕点C逆时针旋转 180°，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺ABC的边所在直线与EF所在直线平 行时，直接写出满足条件∠FCA的度数. 35.(25-26七年级上山西运城期末)综合与探究 问题情境： 有一副三角板ABC和DEF,LACB=LEDF=90°，∠DEF=LDFE=45°，∠BAC=60°，LABC=30°，点 A始终在DE边上，点D在三角板ABC内，DF与AB边交于点G. E E H 图1 图2 图3 初步探究： (1)如图1，若EF∥AB,则∠CAD的度数为 (2)如图2，若∠BGF=75°，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由 深入探究： (3)如图3，AD平分∠BAC,过点E作EH∥BC,交DF的延长线于点H,求∠HEF的度数. 13/22 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型八、三角形全等的性质与判定综合问题 36.(24-25七年级下.陕西西安期末)如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,E为AC边上一点， 连接BE与AD交于点F,G为ABC外一点，满足LACG=LABE,LFAG=BAC,连接EG. F B (I)求证：△ABF≌△ACG: (2)求证：BE=CG+EG. 37.(24-25八年级上·重庆南川期末)如图，在ABC中，D为边BC上一点，E为边BA上一点，且 AE=CD,连接AD,F为AD的中点.连接EF并延长，交AC于点G,在FG上截取点H,使FH=FE, 连接GD,若HG=CG. G B (I)求证：△AEF≌△DHF; (2)求证：∠B=2LGDC. 38.(24-25七年级下山东济南期末)ABC和△DBE是两个角都是45°的等腰直角三角形(BA=BC, BE=BD,∠DBE=∠ABC=90°)的三角板， 【问题初探】 (1)当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接AD、CE,请证明： AD=CE; 【类比探究】 (2)当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图(2)所示的位置，判断AD与 CE的数量关系和位置关系，并说明理由. 14/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 图(1) 图(2) 39.(25-26八年级上河南新乡·期末)如图，已知△ABC,AD∥BC,AD=AB,点E在直线AB上，连接DE· D B 图(1) 图(2) (I)如图1，当点E在BA的延长线上时. ①若AE=BC,求证：DE=AC; ②若DE=AC,求证：AE=BC; (2)如图2，点E在边AB上，DE=AC,CF⊥AB于点F,若AB=BC,BF=2,直接写出BE的长 40.(25-26八年级上山东聊城期末)已知∠ACB中，AC=BC,过点A作直线I∥CB,点F为直线1上任 意一点. F G H C 图1 图2 图3 (1)点E为线段AC上的任意一点，点F位于A点的右边，连接CF交BE于点H.如图1，若∠ACB=90°， BE=CF,试探究BE与CF的位置关系，并证明你的结论； (2)若LACB=90°，连接FC,过点C作CD⊥CF,并使CD=CF,连接DB交射线AC于点G,过点D作 DM⊥AC于点M,若AC=m,AG=n, ①如图2，点F在A点右边，求线段AF的长度；（用m,n表示） ②若点F在A点左边，在图3中画出图形并直接写出线段AF的长度.（用m,n表示） 15/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型九、三角形全等模型之一线三等角 41.(24-25七年级下·广东清远期末)【问题提出】 (1)如图1，直线1经过点A,∠BAC=90°，AB=AC,分别过点B,C向直线1作垂线，垂足分别为D, E.求证：△ABD≌△CAE; A E 图1 【变式探究】 (2)如图2，点A、D、E分别在直线1上，如果∠CEA=LBAC=LADB,AB=AC,求证： DE=BD+CE; B D 图2 【拓展应用】 (3)如图3所示，在RtABAD和Rt△CAE中，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC, DE,作BC边上的高AG,延长GA交DE于点H,若AH=5,AG=I2,求△DAE的面积. D H E A 图3 42.(24-25七年级下·山西晋中.期末)综合与实践 数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系.己知：在ABC中， AB=AC. 16/22 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A E m D A E m BP B>P 图1 图2 图3 备用图 (I)如图1，若∠BAC=90°，点D、A、E在直线m上，LBDA=∠AEC=∠BAC,则BD与AE的数量关系为 CE与AD的数量关系为· 2)如图2，若∠BAC>90°，点D、A、E在直线m上，∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断线段BD,CE和 DE的数量关系，并说明理由. (3)如图3，若∠BAC<90°，AB=AC=12cm,BC=8cm,E是AB中点，点P在线段BC上以3cms的速度 由点B到点C运动，同时点Q在线段CA上由点C到点A运动，它们运动的时间为tS,当点Q的运动速度 为多少时，能使。BPE与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等.（直接写出结果） 43.(24-25八年级上·吉林期末)在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线1经过点C, B C E 图1 图2 图3 (I)当AC=BC时， ①如图1，分别过点A,B作AD⊥直线I于点D,BE⊥直线I于点E,求证：△ACD≌△CBE; ②如图2，过点A作AD⊥直线I于点D,点B与点F关于直线I对称，连接BF交直线I于点E,连接CF,请 写出线段DE,AD,EF三者之间的数量关系，并说明理由. (2)如图3，当AC=8cm,BC=6cm时，点B与点F关于直线I对称，连接BF,CF.点M从A点出发，以每 秒1cm的速度沿路径A→C运动到终点C;点N以每秒3cm的速度沿路径F→C→B→C→F运动到终点 F,分别过点M,N作MD⊥直线I于点D,NE⊥直线I于点E,点M,N同时开始运动，各自达到相应 的终点时停止运动，设运动时间为t秒.当△MDC与△CEN全等时，直接写出t的值 44.（25-26八年级上·湖北随州期末)数学教材中有这样一道习题：“如图1， ∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,若AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长.” 17/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在计算时，我们通过证明△ADC≌△CEB,得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解. D H G 图1 图2 图3 图4 【类比探究】 (1)如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,DE为过点C的直线，AD⊥DE于D, BE⊥DE于E,求证：DE=AD+BE; 【拓展应用】 (2)如图3，在RtAAOB中，∠AOB=90°，分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC, 连DC交OB延长线于点E,猜想AO与BE的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以ABC的AB,AC边向外 作等腰RtABAD和等腰Rt△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AG是边BC上的高.延长GA交DE于点H, 若AH=5,AG=12,直接写出△DAE的面积. 类型十、三角形全等模型之倍长中线 45.(25-26八年级上·陕西商洛期末)(1)问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图 ①，AD是ABC的中线，若AB=7,AC=5,求BC长和AD长的取值范围.他们利用所学知识很快计算 出了BC长的取值范围为； (2)方法探究：但是他们怎么也算不出AD长的取值范围，经小组讨论后发现：延长AD至点E,使 DE=AD,连接BE,如图①.可证出△ACD≌△EBD,利用全等三角形的性质可将己知的边长与AD转化 到△ABE中，进而求出AD长的取值范围，请写出解答过程： (3)方法应用：如图②，在ABC中，点E在BC上，且DE=DC,过点E作EF‖AB,交AD于点F, 且EF=AC.求证：AD平分∠BAC. 18/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E 图① 图② 46.(25-26八年级上·江西赣州·期末)【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①， AB=5,AC=3,中线AD的取值范围是多少？ 【探究方法】 (1)第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD;②连接BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；③ 利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围是_； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形。 【问题拓展】 (2)如图②，OA=OB,OC=OD,∠AOB与∠COD互补，连接AC,BD,E是AC的中点，求证： 0e=0 (3)如图③，在(2)的条件下，若∠A0B=90°，延长EO交BD于点F,0F=2,0E=5,求 △AOC的面积. B D B B E 图① 图② 图③ 47.(25-26八年级上黑龙江哈尔滨期末)【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其 中一个问题作如下探究： (I)【问题背景】△ABC 如图1，△ABC中，AB=8,AC=6,AD是中线，则AD的取值范围是 ； 19/22 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图1 (2)【变式思考】 如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB,AC为腰在外作等腰R1aABE和等腰 Rt△ACF,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，连接EF,求证：EF=2AD; B D 图2 (3)【探究延伸】 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,∠BAC+LBAD=180°，点F是BC的中点， ∠CEF=LADB,当EF=6时，求BD的长， B F 图3 类型十一、三角形全等模型之截长补短 48.(25-26八年级上湖北孝感期末)(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,LB=∠ADC=90°，E、 F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD,试探究图中∠BAD与∠EAF的数量关系 小王同学解决此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证 明aAEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是； (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°.E、F分别是BC、CD上的点，且 20/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EF=BE+FD,试探究∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠C=72°，∠ABC+∠ADC=I80°，AB=AD,若点E在CB的延长线上， 点F在CD的延长线上，且满足EF=BE+FD,试求∠EAF的度数 G D F D D B E E 图1 图2 图3 49.(25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末)(1)如图1，在四边形ABCD中， AB=AD,LB=LADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD,试猜想图中∠BAD与∠EAF的 数量关系，小王同学解决此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明 △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD, 试探究∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=I8O°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的 延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请写出∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由. G D B BQ E 图1 图2 图3 50.(25-26八年级上·云南昭通期末)已己知，在四边形ABCD中，AB=AD,E,F分别是直线BC,CD上 的点， B B E 图(1) 图(2) 图(3) 21/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)如图(1)，若AB1CB,AD1CD,∠EF=∠BAD,则线段BE、FD、EF之间的数量关系，下列三个关 系式中： ①EF=BE+FD,②EF>BE+FD,③EF<BE+FD 正确的是 ·（只填序号) (2)如图(2)，若LABC+LADC=180°，点E,点F分别在线段CB,，DC的延长线上，且满足 ∠EF=BAD,试探究线段ER、BB、DF之间的数量关系. (3)如图(3)，若∠ABC+∠ADC=180°不变，点E在线段CB的延长线上，点F在线段CD的延长线上，若 EF=BE+DF,试探究∠EAF与∠BAD的数量关系. 22/22 期末压轴专题02 几何压轴题50练 目录 类型一、平行线的性质与判定多结论问题 2 类型二、平行线的性质与判定多解题问题 7 类型三、三角形全等的性质与判定多结论问题 13 类型四、三角形全等的性质与判定多解题问题 20 类型五、平行线的性质与判定综合问题 26 类型六、平行线中的拐点问题 32 类型七、平行线中的三角板旋转问题 45 类型八、三角形全等的性质与判定综合问题 57 类型九、三角形全等模型之一线三等角 67 类型十、三角形全等模型之倍长中线 76 类型十一、三角形全等模型之截长补短 84 类型一、平行线的性质与判定多结论问题 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤，其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴；故④错误； 设，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知，分别平分，下列结论：①；②；③与互补．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，补角的定义，根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义可推出，则可证明，得到，再证明，可得到；根据，，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与不互补，故③错误； 故选：C． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补，结合已知条件证明正确；内错角相等，两直线平行，证明正确；由两直线平行，同位角相等，证明正确；不能证明，可得答案． 【详解】解： ， ． ， ，故正确； ， ，故正确； ， ． ， ，故正确； 不能证明， 故答案为：B 4．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有______． ①；②；③；④    【答案】①②④ 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，根据可证明，则，，即可判断①正确；根据角之间的关系得到，即可得到，故②正确；由角平分线和等量代换得到，即可判断④正确，无法判断③． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴ ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵平分交于点， ∴ ∴，故④正确； ∴无法证明；故③不正确， 结论正确的有①②④； 故答案为：①②④ 5．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，的平分线交于点B，G是上一点，连结，，的平分线交于点D，连结．给出下面四个结论： ①；②与的面积相等；③与互余的角有2个；④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、余角的定义以及三角形面积的相关知识，解题的关键是掌握平行线的性质． 根据定义和性质判断即可． 【详解】解：的平分线交于点B，的平分线交于点D， ， ， , ，故①正确； 与等底等高， 与的面积相等，故②正确； 与互余的角有，共4个，故③错误； ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 类型二、平行线的性质与判定多解题问题 6．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，在直线上取一点，向上作一条射线，使，将一直角三角板顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中．将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中第______秒时，边所在直线恰好与射线平行． 【答案】2或20 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差计算； 设旋转时间为t，分两种情况，分别画出图形，求出对应的旋转角度，进而计算即可． 【详解】解：设旋转时间为t， 分两种情况： ①如图1， ∵，， ∴， ∴， ∴秒； ②如图2，反向延长至点D， ∵，， ∴， ∴此时旋转的角度为： ， ∴秒； 综上，在旋转的过程中第2秒或第20秒时，边所在直线恰好与射线平行， 故答案为：2或20． 7．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒1度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动，若射线先转动40秒，射线才开始转动，则射线转动__秒后，与平行． 【答案】20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，设射线转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质得出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设转动后与交于点，转动后与交于点， 当时，如图1， ， ， ， ， ， 解得； ②当时，如图2， ， ， ， ， 解得， 综上所述，射线转动20或80秒，两射线互相平行； 故答案为：20或80． 8．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中，，．三角板固定不动，三角板可绕点C转动，当时，的度数为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质并分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论，根据两直线平行内错角相等，再根据角的和差运算即可得到答案． 【详解】解：第一种情况，如图所示， ∵，，， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，延长到点， ∵，，， ∴，， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为________． 【答案】秒或秒或秒 【分析】本题主要考查旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是画出三种情况的图形． 根据旋转的性质，平行线的性质，分三种不同的情况讨论解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 情况1，如图，当时，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况2，如图，当时，的延长线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况3，如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 综上所述，恰有一边与平行的时间为秒或秒或秒， 故答案为秒或秒或秒． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分三种情况，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，如图： ， ②当时，如图： ， ③当时，过C作，如图， ， 故答案为或或． 类型三、三角形全等的性质与判定多结论问题 11．（25-26七年级下·全国·期末）如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（   ） ①与的面积相等；②；③；④ A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】利用和三角形面积公式可对进行判断；利用等角的余角相等可对进行判断；根据和的大小关系和全等三角形的判定方法可对进行判断；由于，，则根据三角形外角性质可对进行判断． 【详解】解：，是边的中线，． ，， ，所以成立； ， ． ，， ，所以成立； ， 错误，所以不成立； 平分， ． ，， ， ，所以成立． 故选：D. 12．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， 如图，记交于点，的交点为， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③正确，④正确． 13．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面三个结论：①；②；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】利用即可；②③证明得出对应线段相等即可. 【详解】解：于点，于， , ,故正确 在和中 故正确 （垂线段最短） 故错误 故选 14．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且平分，得到如下结论：①；②；③；④；⑤若，则的取值范围为，那么以上结论正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】在上取一点，使，延长交于，结合平行线性质、角平分线定义、全等三角形判定与性质及三角形三边关系，对每个结论逐一分析判断即可． 【详解】解：， ， 分别平分， ， ， ，故正确； 在上取一点，使， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，故②正确； 无关联， 不一定成立，故③错误； 延长交于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 不一定相等， 不一定成立，故④错误； 如上图，， ， ，即， ，故⑤正确． 综上，结论①②⑤正确, 故选：B． 15．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在中，，点为的中点，的延长线交于点，为上的一点，与垂直，交于点，则下面判断正确的有（　　） ①是 的平分线；②是的边上的中线；③是 的边上的高；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，中线，高，全等三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握各定义和性质．利用三角形的角平分线，中线，高以及全等三角形可逐一进行判断． 【详解】解： ∴是 的平分线，故①正确； 无法证明点为的中点, 所以不是的边上的中线，故②错误； ∵与垂直， ∴是 的边上的高，故③正确； ∵与垂直， ∴, 又，（公共边） ,故④正确， 故选：C． 类型四、三角形全等的性质与判定多解题问题 16．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动_________s时，． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 由题意易得，则有，然后可分当点E在直线的上方时，当点E在直线的下方时，进而分类进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意可分：当点E在直线的上方时， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为； 当点E在直线的下方时， 同理可得：， ∴， ∴点E的运动时间为； 综上所述：当点E运动或时，有； 故答案为：或． 17．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，，，过点作．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点的运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当以，，为顶点的三角形与全等时，________秒． 【答案】5或9或14 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键． 分情况，当E在线段上，当E在射线上，证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算，即可求解． 【详解】①当E在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为秒； 当E在线段上，时，，这时在点未动，因此运动时间为0秒，不符合题意； ②当E在射线上，时，，如图1所示， ， ， ， 点的运动时间为秒； 当E在射线上，时，，如图2所示， ， 点的运动时间为秒； 故答案为：5或9或14． 18．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则______ （用含有t的式子表示）；当与全等时，点的运动速度为________． 【答案】 2或3 【分析】本题考查了动点几何、全等三角形的性质，设点的运动速度为时，有，，，当与全等时，需要分和两种情况讨论，根据全等三角形对应边相等，可得关于、的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：设点的运动速度为时，与全等， 则有，，， 当时， 可得：，， ，， ， 解得：， 点的运动速度为； 当时， 可得：，， ， 解得：， 点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：；或． 19．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，，，，如果点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则的值是______． 【答案】1或 【分析】本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．由题意，可知，，然后分，或两种情况分类讨论即可得出答案． 【详解】解：∵点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，运动时间为t秒， ∴，， ∵与全等， ∴，或， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，的值是1或； 故答案为：1或． 20．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为____时，与全等． 【答案】2或3 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的运用，理解全等三角形的性质，正确列方程求解是关键，根据题意，分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：，点是中点， ∴， 设点运动时间为， ∴，则， 当时 ，， ∴， 解得，， 此时， ∴点的运动速度为； 当时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或， 故答案为：2或3 ． 类型五、平行线的性质与判定综合问题 21．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，与相交于点，且，平分，且． (1)若，求的度数； (2)画的平分线，与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)见解析；；见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、垂直的定义、角平分线的性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）先求出，再根据平行线的性质求出，最后根据角平分线的定义可得的度数； （2）综合应用平行线的性质及判定论证即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）答：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 23．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义； （1）根据平行线的判定与性质即可进行判断与证明； （2）先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用平行线的性质得出的度数． 【详解】（1）解：， 理由：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ． 24．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， （2）解：由题意可得：，， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即与所成锐角的度数． 25．（25-26八年级上·贵州·期末）已知，直线与，分别交于点E，F，平分与直线交于点G． (1)如图1，若，则的度数是 ． (2)作平分，交于点M． 如图2，过点G作，交直线于点N，求证：． 如图3，点P是延长线上的一点，连接，若，请写出与存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线的定义，结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义，进行计算即可； （2）根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线的定义，即可证明；由已知条件得出，再根据直角三角形两锐角互余，平角的定义，结合等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，． 平分， ， ． 故答案为：． （2）解：①∵平分， ． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ② ，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ， ． 类型六、平行线中的拐点问题 26．（25-26八年级上·广东河源·期末）如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是___________． (2)求证：． (3)如图2，平分，平分，若，试用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作， ， ， ， ， 即； （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 27．（25-26八年级上·山东济南·期末）已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线， ， ①________． ， ②________． ， ③________（④________________________）． ． (2)【类比探究】如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并请用平行线的知识说明理由． (3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，平分，且，，那么的度数为________． 【答案】(1)；；；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再由两直线平行，内错角相等得到，，据此由角的和差关系可证明结论； （2）过点G作直线，先证明，再由两直线平行，内错角相等得到，，据此由角的和差关系可证明结论； （3）先由平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，由（2）的结论可知，，据此可得答案． 【详解】（1）证明：过点G作直线， ， ． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （2）解：，理由如下： 过点G作直线， ， ． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）的结论可知，， ∵， ∴． 28．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，分别是，上的点，为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)若，则__________； (2)请判断之间的数量关系，并说明理由； (3)在，内部另作一条折线，且点在直线的右侧．若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数为 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过P作，利用平行线的性质，进一步等量代换求解即可． （2）过P作，利用平行线的性质，进一步等量代换证明即可． （3）设，，则，，，同理，再列方程解答即可． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：设，，则，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 解得， ∴． 29．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，直线交于点A，交于点B，点E是线段上一点，C、D分别在射线、上，连接的平分线与的平分线交于点F． (1)当时，__________°： (2)与的数量关系是__________； (3)过点D作，交的延长线于H，将直线绕点A逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点D顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过t秒后，直线恰好与的边或边平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为，10，17.5，32.5，40 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、解一元一次方程， （1）过点E作，根据平行线定理得，再根据平行线的性质得，，进而求解即可； （2）过点F作交于点K，根据平行线定理得，由角平分线的性质设，，再根据平行线的性质求得，，，，进而求得，，，进而求解即可； （3）由（1）得，，求得，再由角平分线求得，求得，分三种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：过点E作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：过点F作交于点K， ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵直线绕点A逆时针旋转，速度为每秒， ∴， ∵绕点D顺时针旋转，速度为每秒， ∴， 当时，如图，， ∴， 解得， 当旋转到如图所示时，，， 同理得，， 解得， 当，如图所示， ∵，， ∴， 同理得，，即， 解得， 当旋转到如图所示位置时， 同理得，， 解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为，10，17.5，32.5，40． 30．（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． 类型七、平行线中的三角板旋转问题 31．（25-26七年级上·重庆·期末）如图所示，含的直角三角形，点和点在两平行线上，分别为的角平分线，为的延长线与的交点． (1)求证：； (2)试判别和的大小关系，并说明理由； (3)当时，射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转，当射线旋转一周时，全部停止运动，求射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）先由角平分线得出，，再根据邻补角的定义，根据等量代换即可求解； （2）先通过运算角得出和，再比较即可求解； （3）先根据已知条件，求出各个角度，再进行分类讨论，根据平行的性质求解即可． 【详解】（1）解：证明∵、分别为、的角平分线， ∴，． ∵， ∴， ， ， ， ， ∴． （2）∵直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）得，即， ∴， ∴， ∴． ∴． （3）∵射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转， ∴射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到， ∴设，， ∵射线旋转一周时，全部停止运动， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）得，且， ∴． ∴， ∴，， ∵、分别为、的角平分线， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ． ①如图，，即，， ，即， ∴ ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， ； ②如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， （舍）； ③如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， （舍）； ④如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， ； 综上，射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间为或． 32．（25-26八年级上·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：如图，已知直线，将直角三角板（其中，）的顶点，分别放在直线上，点在直线左侧，且在之间． 初步探究：（1）请用等式表示和之间的数量关系，并说明理由； 深入探究：（2）如图，在（）的基础上，分别作和的平分线，两线交于点，则的度数为___________． 【答案】（），理由见解析；（）． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，则有，所以，，然后通过角度和差即可求解； （）过作，则有，所以，，则有，又平分，平分，则，，根据平行线的性质可得，从而得，则，从而求解． 【详解】解：（），理由， 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（25-26七年级上·河南南阳·期末）（1）【感知】将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，，且，则的大小为___________度； （2）【探究】如图2，将图1中的三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，试说明； （3）【拓展】现将图1中的三角板按图3方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 【答案】（1）75；（2），理由见解析；（3）．理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：75； （2），理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）．理由如下： ∵， ∴； ∵； ∴； ∴； ∵； ∴； ∴． 34．（25-26八年级上·山西晋中·期末）【项目化学习】“玩转三角尺”． 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务． 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________ 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数． 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数． 【答案】任务一：同位角相等，两直线平行；任务二：；任务三：或或 【分析】本题主要考查了旋转的定义，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据平行线的判定即可解答；先过点A作，交于点，再根据平行线的性质进行解答即可；根据旋转的定义得出符合条件的情况，再利用平行线的性质，分情况讨论即可． 【详解】解：任务一：由平移得，， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 任务二：如图，过点作，交于点， 又， ， ，， ． ， ． 答：的度数为． 任务三：需分情况讨论： 当时，如图所示， ； 当时，如图所示， 过点作交于点， 则， 同理任务二可得，； 当，且在直线b的下方时，如图所示， 则， ； 综上，的度数为或或． 35．（25-26七年级上·山西运城·期末）综合与探究 问题情境： 有一副三角板和，，，，，点始终在边上，点在三角板内，与边交于点． 初步探究： （1）如图1，若，则的度数为____________°． （2）如图2，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 深入探究： （3）如图3，平分，过点作，交的延长线于点，求的度数． 【答案】（1）15；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握平行线的判定定理与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质结合角的和差即可解答； （2）过点作，根据平行线的性质得到，求出，即可证明，即可说明； （3）过点作，根据平行线的性质，角平分线的定义结合角的和差求出，进而求出，推出，推出，利用角的和差即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型八、三角形全等的性质与判定综合问题 36．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，于点，为边上一点，连接与交于点，为外一点，满足，，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）由可得，再根据全等三角形的判定定理得证； （2）由（1）可知，结合已知条件得到，利用三角形全等的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ， ． 37．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）利用证明即可； （2）由可得，．根据可得，则可得，则．再证，即证． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵F为的中点， ∴， 又∵，， ∴． （2）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 38．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 39．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知，点在直线上，连接． (1)如图1，当点在的延长线上时． ①若，求证：； ②若，求证：； (2)如图2，点在边上，于点．若，直接写出的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)的长为4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①根据，可得，再根据证明即可得出结论； ②分别过点、作于点，于点，证明，得到，，再证明，得，即可得出结论； （2）过点作交的延长线于点，证明，得，，再证明，得到，从而可得，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：①， ， 在和中，， ， ． ②分别过点、作于点，于点，如图（1）所示： 则， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ， ，即； （2）证明：过点作交的延长线于点，如图（2）所示， 则， ， ， ， ， ，， ， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ， ， 即， ， 是的中点， ． 40．（25-26八年级上·山东聊城·期末）已知中，，过点作直线，点为直线上任意一点． (1)点为线段上的任意一点，点位于点的右边，连接交于点．如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，连接，过点作，并使，连接交射线于点，过点作于点，若，， ①如图2，点在点右边，求线段的长度；（用，表示） ②若点在点左边，在图3中画出图形并直接写出线段的长度．（用，表示） 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；②图见解析，． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得出，再得出，即可得出结论； （2）①当点在点右边，先证明，得到，，进而得到，然后可证，得到，即可得到结论；②先画出图像，点在点左边，先证明，得到，，进而得到，然后可证，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：，证明： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图为所求作， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 类型九、三角形全等模型之一线三等角 41．（24-25七年级下·广东清远·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 42．（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与实践 数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． (1)如图1，若，点D、A、E在直线m上，，则与的数量关系为______，与的数量关系为______． (2)如图2，若，点D、A、E在直线m上，，试判断线段和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若，，，E是中点，点P在线段上以的速度由点B到点C运动，同时点Q在线段上由点C到点A运动，它们运动的时间为，当点Q的运动速度为多少时，能使与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由如下： (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可。 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2）解：，理由如下： 同理可得， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或。 43．（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)或5或6.5 【分析】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可； ②由对称及可知，，，结合即可证明结论； （2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②，理由如下： 证明：点与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 由（1）可得，， ∵对称， ∴， ∴， ∴当时，， 当点沿路径运动时，， 解得，，不合题意， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 综上所述，当或5或6.5时，． 44．（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 类型十、三角形全等模型之倍长中线 45．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点，使，连接，可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）延长，取，连接，可证出，则，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； 故答案为：； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是的中线， ， ，，， ， ， 在中，， ，即， ， ； （3）证明：如图所示，延长，取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 46．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】 （1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到， 使得； ②连接， 通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为， 从而得到的取值范围是 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2） 如图②， ， 与互补， 连接， ， 是的中点，求证： （3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若， 延长交于点， ，求的面积． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键； （1）根据提示证即可求解； （2）延长到，使得，连接，通过论证两组三角形的全等即可得出结论； （3）由前一问可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴（） ∴， ∵ ∴ 即： ∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：延长到，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得：， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 47．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】 如图1，中，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】 如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)见详解； (3)12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到进而即可求解． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点是中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型十一、三角形全等模型之截长补短 48．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试探究图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____； （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由 （3）如图3，在四边形中，，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，且满足，试求的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，即可得结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，即可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）延长到点，使，连接，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴． 故答案为． （2）如图，延长到点，使，连接，则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴； ∴． （3）如图，在延长线上取一点，使得，连接，则， ∵，， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 49．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，即； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； 即； （3）；理由如下： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 50．（25-26八年级上·云南昭通·期末）已知，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图（），若，，，则线段之间的数量关系，下列三个关系式中： ，， 正确的是___________．（只填序号） (2)如图（），若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段之间的数量关系． (3)如图（），若不变，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，若，试探究与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，同角的补角相等，周角定义，掌握知识点的应用及正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得结论； （）对于图，在上截取，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论； （）如图，在延长线上取一点，使得，连接，先判定，进而得出，，再判定，得出，又，所以，所以，即，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图（），延长到点，使，连接， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：； （2）解：，理由如下： 如图（），在上截取，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 即； （3）解：结论：，理由： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $