期末压轴专题06 代数压轴50练（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

**基本信息** 聚焦代数压轴核心题型，以50道分层训练题构建从概念应用到综合创新的方法体系，强化抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数运算与规律|15题|程序流程图转化、平方根立方根互化、归纳推理法|从实数概念到规律探究，培养符号意识| |方程组综合|15题|整体代入法、换元法、参数分类讨论、新定义转化|从特殊解到参数问题，提升推理能力| |不等式与应用|20题|解集边界分析、方程组与不等式组联动、实际问题建模|从代数推理到实际应用，发展模型意识|

期末压轴专题06 代数压轴题50练 目录 类型一、实数的程序设计与实数运算 类型二、平方根、立方根的综合应用 类型三、与实数运算相关的规律题 类型四、二元一次方程组的特殊解法 类型五、已知二元一次方程组的解的情况求参数 类型六、二元一次方程组中的新定义型问题 类型七、由不等式组解集的情况求参数 类型八、不等式组和方程组结合的问题 类型九、不等式组中的新定义型问题 类型十、二元一次方程组和不等式结合的实际应用问题 类型一、实数的程序设计与实数运算 1．（25-26八年级上·山西临汾·期末）有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，算术平方根，立方根，无理数概念，根据程序流程图的顺序进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题图可知：当输入的值为时，，是有理数， 然后求的立方根：，是有理数， 再求的算术平方根：，是无理数， 则输出， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，先计算的结果，若结果大于或等于2，则把结果取算术平方根输出，若结果小于2，则把所得的结果作为新数输入，再计算判断即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴输出的结果为， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图是一个数值转换器，当输入的值是时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了与流程图有关的实数计算，计算出的算术平方根，若结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新数输入，继续求算术平方根，直至结果为无理数作为输出的结果，据此求解即可，看懂流程图是解题的关键． 【详解】解：的算术平方根是，是有理数， 的算术平方根是，是有理数， 的算术平方根是，是无理数， ∴输出的值是， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·北京通州·期末）根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根，算术平方根，读懂题意是解题的关键．根据流程图逐步求解即可． 【详解】解：∵当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵是无理数，退出循环， ∴输出． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·山东威海·期末）同学在信息技术课上设计了一个程序：当输入实数对时，会得到一个新的实数，例如输入时，就会得到实数（即）．若输入实数对时得到实数3，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查程序与实数运算，涉及开平方运算，按照当输入实数对时，会得到一个新的实数，由输入实数对时得到实数3，可得，化简后直接开平方即可得到答案．看懂程序，掌握直接开平方运算是解决问题的关键． 【详解】解：当输入实数对时，会得到一个新的实数， 由输入实数对时得到实数3，可得， 即， 解得或， 故答案为：或． 类型二、平方根、立方根的综合应用 6．（25-26七年级上·山东济南·期末）已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：为9的算术平方根，2为的立方根， ， 即； （2）解：， ， 的平方根是． 7．（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 8．（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 9．（24-25七年级上·山东·期末）的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求x，y的值； (2)求y的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的意义，求平方根等知识，掌握这三个定义是解题的关键． （1）由算术平方根为4，可求得x的值；再由立方根为3即可求得y的值； （2）由（1）中所求及平方根即可求解． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是4， ∴， 解得：； ∵的立方根是3， ∴， 即， 解得：， ∴． （2）解：∵， ∴． 10．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根和相反数，代数式求值，掌握相关概念和运算法则是解题关键 （1）根据算术平方根、立方根、相反数的定义求解即可； （2）先将a、b、c的值代入代数式，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数， ，，， ，； （2）解：由（1）可知，，，； ， 的平方根是． 类型三、与实数运算相关的规律题 11．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 12．（24-25八年级上·河南南阳·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 【答案】(1)①4；②100 (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知算式得出规律，即可得出答案；②根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：； ②； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； （3）解： ． 13．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． 14．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 15．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）[问题情境]数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； …… 【实践探究】 （1）计算：______，______； （2）按照你所发现的规律，猜想：_________（n为正整数）； 【迁移应用】 （3）计算：． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由（1）得：； 故答案为： （3） 类型四、二元一次方程组的特殊解法 16．（25-26七年级上·广西贵港·期末）【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组 解：将方程①移项，得③． 把方程③代入②，得． 解得． 把代入③，得． 解得． ∴原方程组的解为． 上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想． 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）将方程①移项，得③，代入②求出，把代入③求出即可； （2）由①得，③，把③代入②求出，把代入①求出即可． 【详解】（1）解：将方程①移项，得③ 把方程③代入②得 解得 把代入③，得 ∴方程组的解为 （2）解：由①得，③ 把③代入②得 解得 把代入①得， 解得 ∴方程组的解为． 17．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算．例如，解下面的方程组：时，可以采用以下方法．解：②①得，，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组 (2)猜测关于x、y的方程组的解，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键． （1）本题先得，在求得，然后即可求解； （2）本题先①②得： ③，③得：④，然后即可求解； 【详解】（1）解：①②得：，即③， ③：④， ①④得，，解得，， 把代入③得， 所以这个方程组的解是． （2）解：猜测关于x、y的方程组的解为， 理由如下： ， ①②得：，即③， ③得：④， ①④得，，解得，， 把代入③得， ∴这个方程组的解是． 18．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读探索：解方程组 解：设原方程组可以化为，解得， 即：．【此种解方程组的方法叫换元法．】 (1)运用上述方法解方程组，解：设_____，_____； (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 (3)能力运用：已知关于的方程组的解为，求关于的方程组的解． 【答案】(1)，，方程组的解为 (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键． （1）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答； （2）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答． （3）利用换元法结合方程组的解的定义得到，再解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：设 ，， ∴原方程组可变为：， 解这个方程组得， 即， 所以， 故答案为：，； （2）解：设， ∴原方程组可化为：， 解得， ∴ 解得； （3）解：由题意得，， 解得：． 19．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 20．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）【定义】我们把关于的两个二元一次方程与叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是______； （2）若关于的方程组为“对称二元一次方程组”，则______，______． （3）观察方程组中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元： 解：两式相加： ③ 两式相减： ④ 代入求解： 把代入方程③，得：，解得，则． 所以这个方程组的解是： 【探究】 （4）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①______    ②______ 【答案】（1）；（2），；（4）① ，② 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义进行作答即可； （2）根据新定义，得到，进行求解即可； （4）仿照（3）的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）方程的“对称二元一次方程”是； 故答案为：； （2）由题意，得：， 解得：； （4）①， ，得：， ∴； ，得：， ∴，得：，解得：； ，得：，解得：； ∴； ② ，得：， ∴； ，得：， ∴，得：，解得：； ，得：，解得：； ∴； 类型五、已知二元一次方程组的解的情况求参数 21．（25-26八年级上·四川达州·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解方程组的方法是关键．两个方程相减可得，与联立组成方程组，求出方程组的解即可求出答案． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴解方程组得：， ∴． 22．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）若方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】将方程组中的两个方程相加，得到，即，再结合已知条件，建立关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：， ①+②得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x、y的方程组和有相同的解，求： (1)它们相同的解； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了同解方程组，熟练掌握方程组同解的含义是解题关键是解题的关键． 根据两个方程组有相同的解，把两个方程组拆开重新组合方程组，只需把两个方程组中不含未知数a和含未知数b的方程分别组成方程组，求出未知数x、y的值，再代入另一组含未知数a和含未知数b的方程分别组成方程组求出a、b的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x、y的方程组和有相同的解， ∴联立， 解得． （2）解：∵也是方程的解， ∴， 解得， ∴． 24．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程（组）的思路：消元． （1）直接列举即可； （2）先联立求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴所有非负整数解有，； （2）解：依题意得：， 得， 把代入①得： 解得 方程组的解为： 把代入到得， 解得． 25．（24-25七年级下·山东淄博·期末）若关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求m的整数解． 【答案】(1) (2)2， 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）利用加减法解方程组即可； （2）根据方程组的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围，进而求得m的整数解． 【详解】（1）， ②-①得： 解得：， 把代入①得：， 解方程组为； （2），， ， 解得：， 的整数解是：2， 类型六、二元一次方程组中的新定义型问题 26．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，， (1)当，时，，，求，的值； (2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）先理解题意，得出，则，又因为，得，整理得，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：由题意可得方程组， 得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由题意可得方程组 可得， ， ， ， ， ， ， ∴， 的值为． 27．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）对于任意有理数，可以组成两个有理数对与． 我们规定：．例如：． 根据上述规定，解决下列问题： (1)有理数对_______； (2)若有理数对，则________； (3)当满足等式中的x和y都是正整数时，求正整数的值． 【答案】(1)34 (2) (3)或或或． 【分析】本题考查了新定义下的有理数运算问题，解一元一次方程，二元一次方程． （1）根据题目中的法则即可运算； （2）根据法则表达出，再解方程即可； （3）根据法则得出，再根据x和y都是正整数，求出正整数的值即可． 【详解】（1）解： 故答案为：34； （2）解：∵， ∴ 解得：， 故答案为：； （3）解：由， 得， 整理得，即， 和y都是正整数， 或或或． 28．（25-26七年级上·福建莆田·期末）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； （2）解：， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得， 即， ∴ ． 29．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）我们把关于、的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做关于、共轭二元一次方程组．例如：与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、共轭二元一次方程组；与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、的共轭二元一次方程组． (1)若关于、的方程组，为共轭方程组，则______， ______； (2)若二元一次方程中、的值满足下列表格： 1 0 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是______； (3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：的解为______． (4)发现：若方程组是共轭方程组，且方程组的解是，请计算的值． 【答案】(1)；1 (2) (3) (4)2025 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握并能灵活运用加减消元法计算． （1）根据题意，由定义可得，求出a，b的值即可； （2）根据题意，将代入得到，从而可得二元一次方程为，再根据共轭二元一次方程的定义即可求解； （3）根据题意，使用加减消元法计算即可得解； （4）根据题意，方程组是共轭方程组，从而，解方程组即可得到，进而可得，然后代入计算即可解答． 【详解】（1）解：由定义可得， ， 故答案为：；1． （2）解：将代入， 得， 解得， 二元一次方程为， 这个方程的共轭二元一次方程是． 故答案为：． （3）解：， 得，， 得，， 解得， 将代入得，， 方程组得解为， 故答案为：． （4）解：由定义可得， ， 方程组是共轭方程组， 得，， ，， ， ， 方程组的解是， ， ． 30．（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， 得， ， 把代入②，得， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ， ∵， ， 解得； （3）解：∵， ∴， 解得：， ， ， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ， 解得：． 类型七、由不等式组解集的情况求参数 31．（25-26八年级上·山东济南·期末）关于x的不等式组有且只有3个整数解，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解．先对不等式组进行求解，再根据不等式组有且只有3个整数解确定m的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式可得，； ∴该不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有3个整数解，即3，2，1， ∴． 故答案为：． 32．（25-26八年级上·四川成都·期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，由题意得不等式组无解需满足两个不等式的解集无交集，即，根据解集的情况正确的列出关于参数的不等式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 33．（24-25七年级下·贵州安顺·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组无解， ， 解得. 34．（25-26八年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”的原则，结合已知的解集，确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式组 解不等式， ． 解不等式， 得． 已知不等式组的解集为，根据“同大取大”的原则，要使成为解集，必须满足． 故答案为:． 35．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若关于的不等式组，的所有整数解的和为，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于的不等式组是解此题的关键. 先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 关于的不等式组的所有整数解的和为， 不等式组的解集为， 当时，这两个整数解一定是和，此时， ， ， 当时，有， ， ， 的取值范围是或． 故答案为：或． 类型八、不等式组和方程组结合的问题 36．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 37．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知关于的二元一次方程组，若，则___________；若该方程组的解满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由得：，再由，可求出a的值；由得：，再由该方程组的解满足，可得到a的取值范围． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， ∴； 由得：， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴． 故答案为：；． 38．（23-24七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为______． 【答案】4或1或0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组只有3个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或或或或， 或或或或， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为4或1或0， 故答案为：4或1或0． 39．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）已知关于，的方程组其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若，则；其中正确的有______．（填写正确答案的序号） 【答案】①③④ 【分析】先解方程组，求得t=0，符合-3≤t≤1，可判断①；把t=-2代入求得x=-3，y=-3，可判断②；求得M=2t+3，即可得到M随t的增大而增大，把t=-3代入求得M的最小值为-3，可判断③；当y≥-1时，求得t≥0，则1≤2t+1≤3，即1≤x≤3，可判断④． 【详解】解：解方程组得， ①当时，则，解得t=0，符合题意，故正确； ②当t=-2时，x=-3，y=-3，x-y=0，故错误； ③M=2x-y-t=2（2t+1）-（t-1）-t=2t+3， ∴M随t的增大而增大， ∴当t=-3时M有最小值M=2×（-3）+3=-3，故正确； ④当y≥-1时，t-1≥-1，t≥0， ∴0≤t≤1， ∴1≤2t+1≤3，即1≤x≤3，故正确； 故答案为：①③④． 40．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）已知关于x、y的方程组，其中-3 ≤ t ≤ 1，给出下列结论：①是方程组的解；②t=-2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④若S=3x-y+2t，则S的最大值为11．其中正确的有_________________．(填写序号) 【答案】②③④ 【分析】①②将结果带入即可进行判断，③④需要对原方程组进行化简，通过消元法消去一个未知数，再根据已知的范围，确定不等式，从而算出取值范围和最大值． 【详解】①：将代入方程组得： ，解得 ∵-3 ≤ t ≤ 1 ∴不是方程组的解，故①错误； ②：当t=-2时，代入方程组得： ，两式相加可得， 整理得 ∴x、y的值互为相反数，故②正确； ③：中①+②得： ①-③得：，化简得 ∵-3 ≤ t ≤ 1， ∴，解得， ①+③得：，化简得 ∵x≤1，∴，解得：， ∴，故③正确； ④：从③可知， ∴ ∵-3 ≤ t ≤ 1， 当t=1时，S取得最大值，最大值为：9+2=11， 故④正确； 故本题的答案为：②③④． 类型九、不等式组中的新定义型问题 41．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）定义，的新运算：(，为常数)．已知，． (1)求的值； (2)若满足，求整数的值． 【答案】(1) (2)整数的值为， 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，根据新运算的定义得出关于、的二元一次方程组是解题的关键． （1）根据新运算的定义结合，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据新运算的定义代入数据即可得出结论； （2）根据新运算得出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴解得： ∴， ∴. （2）由题意得， 解得：. ∴整数的值为，. 42．（25-26八年级上·陕西西安·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用． （1）由等式右边运算形式确定，解不等式； （2）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故答案为：； （2）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 43．（24-25八年级上·全国·期末）定义新运算为：对于任意实数a、b都有，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如． (1)求的值． (2)若，求x的取值范围． (3)若不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式、一元一次不等式组，熟练掌握不等式和不等式组的解法是解题关键． （1）利用新运算的规则直接进行计算即可; （2）根据新运算的定义可得，从而可得，解不等式即可得； （3）根据新运算的定义可得不等式组，分别解两个不等式，再根据不等式组恰有三个整数解可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：． （3）解：由题意得：， ， ∴不等式组可转化为 ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组恰有三个整数解， ∴， 解得． 44．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）定义运算：．已知，． (1)直接写出： ， ； (2)若关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值； （2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 解得：； 故答案为：，； （2）根据题意得； 解得： ∵关于的不等式组无解， ∴； （3）根据题意得， 整理得：， 此不等式解集为， ，且， 整理得：， 所求不等式化简得：，即， 把代入得： ，解得：， ∴ 解得：． 45．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，由不等式组的解集是，不等式组的解集是，进而可以判断得解； （2）依据题意，由关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，则或，进而计算可以得解； （3）依据题意，由是的“相容不等式组”，则，可得，又和的整数解相同，可得，进而可得，最后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相斥不等式组”． 故答案为：． （2）由题意，关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， 或． 或． （3）由题意，是的“相容不等式组”， ． ． 的整数解为，且和的整数解相同， ． ． ． 综上所述：． 类型十、二元一次方程组和不等式结合的实际应用问题 46．（25-26九年级上·山东泰安·期末）泰安市是樱桃的重要产地，全市拥有一百多个樱桃专业村，种植面积达5万亩，2025年产值达4亿元．今年5月份，某水果商到樱桃产地收购“黄蜜”和“红灯”两个品种，已知每箱的收购价“黄蜜”比“红灯”贵5元，收购6箱“红灯”的总价比收购5箱“黄蜜”的总价多40元（两个品种每箱均装樱桃10斤）． (1)问“黄蜜”与“红灯”每箱的收购价各是多少元？ (2)若水果商对外销售“红灯”每斤为9元，“黄蜜”每斤的售价为10元．现水果商购进两种樱桃共180箱，在销售过程中每箱均有的重量消耗（脱水或腐烂），水果商计划两天将全部樱桃售完后总利润不低于3200元，则该水果店应如何设计购进方案？ 【答案】(1)“黄蜜”每箱的售价为70元，“红灯”每箱的售价为65元 (2)水果商购进黄蜜不能低于80箱，且不能高于180箱 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设“黄蜜”每箱的收购价为元，“红灯”每箱的售价为元，由题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设水果商至少购进黄蜜m箱，则购进红灯箱，依题意列出一元一次不等式并求解即可． 【详解】（1）解：设“黄蜜”每箱的收购价为元，“红灯”每箱的售价为元，由题意，得 ，         解得， 答：“黄蜜”每箱的售价为70元，“红灯”每箱的售价为65元； （2）解：设水果商购进黄蜜m箱，则购进红灯箱，依题意，得 化简，得， 解得， ∴且m为整数， 答：水果商购进黄蜜不能低于80箱，且不能高于180箱． 47．（25-26八年级上·山东济南·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，3辆A型汽车、4辆B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计130万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），求该公司共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为10万元 (2)共有两种购买方案：购买A型号的汽车2辆，B型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B型号的汽车5辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组） （1）设A型号的汽车每辆进价为x万元，B型号的汽车每辆进价为y万元，根据“3辆A型汽车、4辆B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计130万元”建立二元一次方程组求解； （2）设购买A型号的汽车m辆，B型号的汽车n辆.，由题意可得，解得，再求出符合题意的解即可． 【详解】（1）解：设A型号的汽车每辆进价为x万元，B型号的汽车每辆进价为y万元， 由题意可得， 解得， 答：A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为10万元； （2）解：设购买A型号的汽车m辆，B型号的汽车n辆.， 由题意可得， 解得， ∵，m和n均为正整数， ∴是正偶数，，则， 当时，； 当时，； 当m为1、3、5、6时，n不为正整数或不符合两种汽车均购买的条件，舍去， ∴或， 答：共有两种购买方案：购买A型号的汽车2辆，B型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B型号的汽车5辆． 48．（25-26八年级上·山东济南·期末）为打造低碳社区，某社区决定购买A、B两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏A种路灯和1盏B种路灯共需100元，购买2盏A种路灯比1盏B种路灯的费用多20元． (1)求A、B两种路灯的单价； (2)该社区计划购买A、B两种路灯共10盏，且购买总费用不超过450元，最多可以购买多少盏B种路灯？ 【答案】(1)A 种路灯的单价 40 元，B 种路灯的单价 60 元 (2)最多购买2盏 B种路灯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设A 种路灯单价x元，B 种路灯单价y元，根据题意列方程组求解即可． （2）设购买 B 种路灯m盏，则 A 种盏，得到，再解不等式结合实际求解即可． 【详解】（1）设 A 种路灯单价x元，B 种路灯单价y元， 根据题意得 ， 解得， 答：A 种路灯的单价 40 元，B 种路灯的单价 60 元； （2）设购买 B 种路灯m盏，则 A 种盏，则有 , 解得： ∵m为非负整数， ∴m最大为 2， 答：最多购买 2 盏 B 种路灯． 49．（25-26八年级上·陕西西安·期末）为培育学生的劳动意识和劳动精神，落实“五育并举”，某校组织学生参加劳动实践，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植2亩甲作物和3亩乙作物需要28名学生，种植2亩甲作物和4亩乙作物需要34名学生． (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过53人，至少种植甲作物多少亩？ 【答案】(1)种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生 (2)至少种植甲作物7亩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用． （1）先设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，列出方程组并求解即可； （2）先设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，列出不等式并求解不等式，从而确定a的最小值． 【详解】（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生， 根据题意，得， 解得， 即种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生． （2）解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得， 解得， 即至少种植甲作物7亩． 50．（25-26八年级上·河南周口·期末）某商场计划购进A、B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机的进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元． (1)若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号手机的进价各是多少元？ (2)在（1）的基础上，商场决定再次购进A、B两种型号的手机共40部，设购进A型号手机a部，总利润为W元，要求这40部手机全部售完后总利润不低于15600元，则a的取值范围是多少？ 【答案】(1)A型号手机进价2000元，B型号手机进价1500元 (2) 【分析】（1）设A型号的手机每部进价是x元、B型号的手机每部进价是y元，根据题意列二元一次方程组求解即可． （2）根据题意列出W与a之间的函数关系式，根据40部手机全部售完后总利润不低于15600元，列不等式求出a的范围，再结合，且，即可得出ａ的范围． 本题考查了列二元一次方程组解应用题，和不等式的实际应用问题．根据题意正确地列出方程组和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设A型号的手机每部进价是x元、B型号的手机每部进价是y元，根据题意得： ， 解得． 答：A型号的手机每部进价是2000元、B型号的手机每部进价是1500元． （2）解：由题意得， ， ∵， ∴， 解得：， 又∵，且， ∴． ∴a的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $0学科网·上好课 www，zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题06 代数压轴题50练 目录 类型一、实数的程序设计与实数运算 类型二、平方根、立方根的综合应用 类型三、与实数运算相关的规律题 类型四、二元一次方程组的特殊解法 类型五、已知二元一次方程组的解的情况求参数 类型六、二元一次方程组中的新定义型问题 类型七、由不等式组解集的情况求参数 类型八、不等式组和方程组结合的问题 类型九、不等式组中的新定义型问题 类型十、二元一次方程组和不等式结合的实际应用问题 典例详解 类型一、实数的程序设计与实数运算 1.(25-26八年级上·山西临汾期末)有一个数值转换器，流程如下：当输入 x 的值为64时，输出的值是 . 输入x 求算术平方根 是否为无理数 输出y √否 求立方根 是 是 是否为无理数 2.(25- 2 6七年级上浙江台州期末)按如图所示的程序计算，若输入的a=32，则输出的结果为 是 输入a ×(-2) 求立方根 大于或等于2 求算术平方根 输出 否 3.(24-25七年级下湖北十堰期末)如图是一个数值转换器，当输入x的值是16时，输出V的值是. 是无理数 输入 x 取算术平方根 输出 y 是有理数 4.(25-26八年级上·北京通州·期末)根据图中的程序，当输入的x为64时，输出的y值是. 1/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 有 y= 否 输入x x≥10 y是无理数 输出y 是 y=派 5.(24-25八年级下山东威海·期末)同学在信息技术课上设计了一个程序：当输入实数对(x,y)时，会得到 一个新的实数x2+y-1,例如输入2,5)时，就会得到实数8（即22+5-1=8）.若输入实数对(m,2)时得到 实数3，则m= 类型二、平方根、立方根的综合应用 6.(25-26七年级上山东济南·期末)已知2a+1为9的算术平方根，2为5b-2的立方根. (1)求a、b的值； (2)求2a+b的平方根. 7.(24-25七年级下.陕西安康期末)已知α+3的立方根是2,3a+b-1的算术平方根是4. (1)求a,b的值； (2)求a+2b的平方根， 8.(24-25七年级下江西赣州·期末)已知3m-2的平方根是±2，m+2n+4的立方根是2. (1)求m,n的值： (2)求2mn+5的算术平方根。 9.(24-25七年级上山东·期末)x+12的算术平方根是4,2x+y-6的立方根是3. (1)求x,y的值： (2)求y的平方根. 10.(23-24七年级上浙江杭州期末)已知a的算术平方根为3，ab的立方根为-3，b和c是互为相反数. (1)求a、b、c的值； (2)求a+2b+c的平方根， 2/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、与实数运算相关的规律题 11.(24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔期末)观察下列一组算式的特征及运算结果，深索规律： (1)观察算式规律，计算√5×9+4=-：V16×20+4=- (②)用含正整数的式子表示上述算式的规律：· (3)计算：V1×5+4-√2×6+4+V3x7+4-√4×8+4+…+V2021×2025+4. 12.(24-25八年级上河南南阳·期末)观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：VP-2x1x1+12=√0=0；第2个等式：√22-2×2x1+12=√f=1;第3个等式： V32-2x3x1+12=√4=2；第4个等式：V42-2x4x1+12=√5=3； 规律发现： ()根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①V52-2×5x1+12=—； ②1012-2x101×1+12= (②)用含n(n为正整数)的代数式表示出第个等式： (3)根据上述规律计算： V2-2x1x1+12-V22-2x2x1+12+V32-2x3x1+12-V42-2x4x1+1 +.…+V20252-2×2025×1+12-V20262-2×2026×1+12 13.(25-26八年级上·河南平项山期末)【观察】 ①近+-1=1+(-1)=0： ②8+-8=2+(-2)=0： ③1000+-1000=10+(-10)=0； 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数α，b, 3/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若a+b=0,则a+b= ,反之也成立； 【应用】根据(2)中的结论，解答问题：(3)若2x-5+-x=0,求2x+1的算术平方根 14.(25-26八年级上·安微宿州期中)观察下列各式： 第1个等式 第2个等式： 1 0 31 42 第3个等式： 5 2 73 第4个等式： 164 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第6个等式： (②)根据等式的规律，请写出第n个等式；(n是正整数，用含n的式子表示) (3)计算： 0--- 197 199 9801 10000 15.(24-25七年级下·内蒙古乌兰察布期中)[问题情境]数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题 过程，探究规律： 语周 g图手 隔周 【实践探究】 13 17 (1)计算： 49 81 2n+1 (2)按照你所发现的规律，猜想： 1 (n+1)2 (n为正整数)； 【迁移应用】 (3)计算： 199 10000 4/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、二元一次方程组的特殊解法 16.(25-26七年级上·广西贵港期末)【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一 x+y-1=0① 次方程组的方法叫整体代入法”.例：解方程组 6(x+y)-y=3② 解：将方程①移项，得x+y=1③ 把方程③代入②，得6×1-y=3. 解得y=3. 把y=3代入③，得x+3=1. 解得x=-2. x=-2 :原方程组的解为 y=3 上面的解法中，将x+y看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想. 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： 、x-y-3=0① 2x-)+5x=1② 3x+4y-5=0 ① (2)3x+4y-2 -2x=-3② 3 17.(24-25七年级下·辽宁大连期末)阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题. 17x+18y=16①. 解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解下面的方程组： 20x+21y=19g时，可以 采用以下方法.解：②-①得，3x+3y=3,所以x+y=1③，将③×17，得17x+17y=17④，①-④，得 x=2 y=-1,从而可得x=2,所以原方程组的解为 y=-1 2023x+2025y=2021① (①)请你用上述方法解方程组 2017x+2019y=2015② (a+l)x+(a+3)y=a-1 (2)猜测关于x、y的方程组 (b+1刂x+b+3)y=6-ia≠)的解，并说明理由。 （a-1)+2(b+2=6 18.(25-26七年级上湖南株洲期末)阅读探索：解方程组 12(a-1)+(b+2=6 x+2y=6 解：设a-1=x,b+2=y原方程组可以化为 x=2 ,解得 2x+y=6 y=2' 5/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a-1=2 a=3 即： b+2=2… 【此种解方程组的方法叫换元法.】 b=0 ()运用上述方法解方程组 ,解：设=x,=y; 2-*2 (x-2)+3y+1)=6 (②)拓展提高：运用上述方法解方程组 2(x-2)+y+1)=2 ax+by=c x=6 (3)能力运用：已知关于x,y的方程组 的解为 ax+bay=c2 y=7'求关于m、n的方程组 [a,(m-2+h(n+3)=6的解. a2(m-2)+b2（n+3)=c2 32x+y)-2(x-2y)=26 19.(25-26八年级上江西景德镇期末)数学方法：解方程组： 2(2x+川+3x-2列=13，若设2x+=m, x=3 x-2y=n,则原方程组可化为 3m-2n=26 2m+3n=13' 解方程组得 m=8 n=1'所以 2x+y=8 -2y=-1'解方程组得 y=2' 我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法. ax+by=11 x=5 (1)直接填空：已知关于x,y的二元一次方程组 bx+ay=25 的解为 y=- ,那么关于m、n的二元一次方 a(m+n+b(m-n)=11 程组 的解为： b(m+n)+a(m-n)=25 x+y_x-y=2.5 (②)知识迁移：请用这种方法解方程组 2 2 2(x+y)+x-y=6.5 x=6 (3)拓展应用：己知关于x,y的二元一次方程组 a,x+by=6的解为 a,x+bay=cz =-3”求关于x,y的二元一次方 程组 [2a,x+3hy=5c的解。 2a2x+3b2y=5c2 20.(24-25八年级下·海南省直辖县级单位期末)【定义】我们把关于x、y的两个二元一次方程ax+by=c与 bx+ay=c(a≠b)叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组 a+y=C叫做关于x、y的对称二元一次方 bx+ay=c 程组”.例如：2x+y=3与x+2y=3是“对称二元一次方程”，二元一次方程组 2x+y=3 叫做关于x、y的“对 x+2y=3 6/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 称二元一次方程组”. 【理解】 (1)方程2x+3y=5的“对称二元一次方程”是一 x+2-ay=b+4 (2)若关于x、y的方程组 (2a-4)x+y=2-b 为“对称二元一次方程组”，则a=,b= 2x+y=3 (3)观察方程组 中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元： x+2y=3 解：两式相加：（2x+y+(x+2y=3+3 3x+3y=6 ∴.x+y=2③ 两式相减：x-y=0 x=y④ 代入求解： 把x=y代入方程③x+y=2,得：x+x=2,解得x=1,则y=1. x=1 所以这个方程组的解是： y=1 【探究】 (4)解下列方程组（直接写出方程组的解）： 「2x+3y=10 2x-4y=-6 ① ② 3x+2y=10 -4x+2y=-6 类型五、已知二元一次方程组的解的情况求参数 x+2y=k 21.(25-26八年级上四川达州期末)若关于x、y的二元一次方程组 3x+5y=k-1 的解x-y=7,求k的 值。 3x-y=4k-5 22.(25-26七年级上安微合肥期末)若方程组 -x+3y=-2k+7 的解满足x+y=2026,求k的值. 3x-y=5 23.(24-25七年级下·全国·期末)已知关于x、y的方程组 「2x+3y=-4 。和 4ax+5by=-22 ax-by =8 有相同的解，求： (1)它们相同的解： (2)(-a°的值. 7/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x+2y=3 24.（24-25七年级下·江苏连云港·期末)已知关于x,y的方程组 x-2y+mx=-51 (1)请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解. (②)若该方程组的解也满足方程x+y=2,求m的值. x-y=2m+1 25.(24-25七年级下山东淄博·期末)若关于x,y的方程组 x+2y=3m· (1)求方程组的解（用含m的代数式表示)： (②)若方程组的解满足x>3,y<1,求m的整数解. 类型六、二元一次方程组中的新定义型问题 26.(25-26八年级上·辽宁本溪期末)定义：对于任意实数x,y,规定新的一种运算规则：x*y=ax+by ,x※y=ax-by, (1)当x=1,y=2时，x*y=0,x※y=4,求a,b的值： (2)若关于x,y的方程组 x*y=4-m'（m为常数)的解也满足关于xy的方程3x*y+2※y=3,求m x※y=5m 的值. 27.(25-26七年级上湖南株洲期末)对于任意有理数a、b、c、d,可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d). 我们规定：(a,b)⑧(c,d)=ac-bd.例如：(-2,6)⑧(1,3)=-2×1-6×3=-20. 根据上述规定，解决下列问题： (1)有理数对(2,4)⑧(5,6)= (2)若有理数对(-3，x)⑧(2,4)=10，则x= (3)当满足等式(2，y-2)⑧(x-y,-3)=3中的x和y都是正整数时，求正整数xy的值. 28.(25-26七年级上福建莆田期末)定义：关于x,y的二元一次方程ax+by=c（其中a,b,c互不相等)中 的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+y=c“变更方程”为cx+y=a. (1)方程3x+2y=4的“变更方程”为； (2)方程2x+3y=4与它的“变更方程”组成的方程组的解为 ； (3)已知关于x,y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0,且ax+by=c与它的“变更方程”组成的 方程组的解恰好是关于x、y的二元一次方程mx+"y=p的一个解，求代数式2(m-n)-(m-p)+3n+2026的 值。 8/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 29.(24-25七年级上·湖南长沙·期末)我们把关于x、y的两个二元一次方程ax+by=c与bx+yca≠b)叫 作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组 ax+by=c, 叫做关于x、y共轭二元一次方程组.例如： bx+ay=c 2x-y=3 2x-y=3与-x+2y=3互为共轭二元一次方程，二元一次方程组 ,叫做关于x、y共轭二元 -x+2y=3 次方程组；2(x-1-y+2)=3与-x-1+2(y+2)=3互为共轭二元一次方程，二元一次方程组 2(x-1-(y+2)=3 -(x-1+20y+2=3”叫做关于x-1、y+2的共轭二元一次方程组. x+2y=b+2 (1)若关于x、y的方程组 1-ax+y=3”为共轭方程组，则a=一，b=: (2)若二元一次方程x+by=1中x、y的值满足下列表格： 0 则这个方程的共轭二元一次方程是； 2024x-2025y=1 (3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）： 的解为 -2025x+2024y=1 · ax+by=c+a+2b x=m (④)发现：若方程组 是共轭方程组，且方程组的解是 请计算 bx+ay=c+2a+3b y=n n2-mn-n+m+2025的值. 30.(24-25六年级下·上海闵行期末)对于有理数x,y,定义新运算：x*y=ax+by,x⑧y=ax-by,其 中a,b是常数.例如，3*2=3a+2b,2⑧1=2a-b. 3a+2b=-1 己知3*2=-1,2⑧1=4，则根据定义可以得到： 2a-b=4 (1)a= ,b= (2)若x*y+x⑧2y=6,求x+y的值； x*y=2m-4 (3)若关于x,y的方程组 的解也满足方程x-y=4,求m的值； x☒y=8m x=6 (4若关于x,y的方程组 (a,x*b,y=G的解为 a2x⑧b2y=c2 =15,则关于x,y的方程组 3a,(2x-月*56(x+2)=G的解为 3a22x-y)⑧5b2x+2y)=c2 9/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型七、由不等式组解集的情况求参数 x>m 31.(25-26八年级上山东济南期末)关于x的不等式组 有且只有3个整数解，则m的取值范围为 2x≤6 x<a-1 32.(25-26八年级上四川成都期末)关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是 x≥2 2x-a≤1， 33.(24-25七年级下·贵州安顺期末)若关于x的不等式组 x+2 无解，则a的取值范围是 ->1 3 34.(25-26八年级下·全国·期末)若关于x的不等式组 5(x-1>5 的解集是x>a,则a的取值范围是 a-x<0 35.(24-25七年级下·江苏南通·期末)若关于x的不等式组 5x-a>3(x-1) ,的所有整数解的和为7，则a 2x-1≤7 的取值范围是 类型八、不等式组和方程组结合的问题 5x+y=m+1 36.(24-25七年级下·重庆·期末)已知关于x、y的方程组 的解满足-1<x+y<1,则符合条 x-3y=2m 件的所有整数m的取值之和为 2x+3y=a-1 37.(24-25七年级下·河南周口期末)已知关于x,y的二元一次方程组 x-2y=2a+3'若x+5y=3, 则a= ；若该方程组的解满足-4<3x+y<4,则a的取值范围是 38.(23-24七年级下·江西新余期末)若关于x的不等式 〔4-2(x-023-x有且只有3个整数解，且关于， 9x-a>0 y方程组 r-4y=0 x+2y=6的解为整数，则满足条件的整数a的值为 39.(24-25七年级下·福建龙岩·期末)己知关于x,y的方程组 红：其中-1≤1，给出下列结论： 10/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x=1 ① y=-1 是方程组的解；②若x-y=3,则t=-2；③若M=2x-y-1.则M的最小值为-3；④若y≥-1 ，则1≤x≤3；其中正确的有·（填写正确答案的序号） x+3y=4-t 40.(24-25七年级下，福建龙岩·期末)已知关于x、y的方程组 ,其中3≤t≤1，给出下列结论： x-y=3t ① x=5 (y=-1 是方程组的解；②t-2时，x、y的值互为相反数；③若1，则1≤4；④若S=3x-y叶2t,则S的 最大值为11.其中正确的有 (填写序号) 类型九、不等式组中的新定义型问题 41.(24-25七年级下·江苏盐城期末)定义x,y的新运算：x※y=ax+by-3(a,b为常数).已知 2※1=-2，(-1)※2=4. (1)求3※(6)的值： (4m-2)※(2m+3)>6 (2)若m满足 (2m+3)※(4m-2)<61 求整数m的值. 42.（25-26八年级上陕西西安期末)定义一种新运算“a⑧b”:当a≥b时，a⑧b=a+2b;当a<b时， a⑧b=a-2b.例如：3⑧(-4)=3+(-8)=-5，（6)⑧12=6-24=-30. (1)若(3x-5)⑧(4+x)=(3x-5)+2(4+x,则x的取值范围是 (2)已知(3x+7)⑧-4x)>1,求x的取值范围. 43.(24-25八年级上·全国·期末)定义新运算为：对于任意实数a、b都有a⊕b=(a-b)b-1,等式右边都 是通常的加法、减法、乘法运算，比如1⊕2=(1-2)×2-1=-3. (1)求3⊕4的值. (2)若x⊕2<5，求x的取值范围. x⊕1≤2 (3)若不等式组 2x⊕3>a 恰有三个整数解，求实数a的取值范围。 44.(24-25七年级下湖南长沙期末)定义运算：f(x,y)=ax+by.已知f3,2)=7,f(4,3)=10 (1)直接写出：a=-,b=- 11/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 f(-x-3,2+x)≥0 (2)若关于x的不等式组 f(2x,x-)<0 无解，求的取值范围； (③)法fx+3n,2m-≥8m+4a的解架为x≤行，求不等式：fmr-2m3n-m>-m+n的解袋。 45.(24-25七年级下·江苏泰州期末)定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解， 那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不 是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”. x>2 x>4 (1)根据上述定义，判断不等式组 是不等式组 的 (填序号①“相容不等式组”或②“相斥不 x<3 x>5 等式组”)； x>2「x>a-1 (2)若关于x的不等式组 x<3是{x<a+l 的“相斥不等式组”，求a的范围； 1 1 x≥1.8 x>-a+1 x≥1.8 x>-a+1 (3)若关于x的不等式组 是2“的相容不等式组”，且 和2的整数解相同，求 x≤4 x≤4 x<2a+1 x<2a+1 a的范围. 类型十、二元一次方程组和不等式结合的实际应用问题 46.（25-26九年级上·山东泰安期末)泰安市是樱桃的重要产地，全市拥有一百多个樱桃专业村，种植面积 达5万亩，2025年产值达4亿元.今年5月份，某水果商到樱桃产地收购“黄蜜”和“红灯”两个品种，已知 每箱的收购价“黄蜜”比“红灯”贵5元，收购6箱“红灯”的总价比收购5箱“黄蜜”的总价多40元（两个品种 每箱均装樱桃10斤). (1)问“黄蜜”与“红灯”每箱的收购价各是多少元？ (2)若水果商对外销售“红灯”每斤为9元，“黄蜜”每斤的售价为10元.现水果商购进两种樱桃共180箱，在销 售过程中每箱均有10%的重量消耗（脱水或腐烂），水果商计划两天将全部樱桃售完后总利润不低于3200 元，则该水果店应如何设计购进方案？ 47.(25-26八年级上山东济南·期末)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们 喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，3辆A型汽车、4辆B型汽 车的进价共计115万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计130万元. 12/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (②)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买)，求该公司共有 哪几种购买方案？ 48.(25-26八年级上山东济南·期末)为打造低碳社区，某社区决定购买A、B两种太阳能路灯安装在社区 公共区域，升级改造现有照明系统，已知购买1盏A种路灯和1盏B种路灯共需100元，购买2盏A种路 灯比1盏B种路灯的费用多20元. (①)求A、B两种路灯的单价： (2)该社区计划购买A、B两种路灯共10盏，且购买总费用不超过450元，最多可以购买多少盏B种路灯？ 49.（25-26八年级上·陕西西安·期末)为培育学生的劳动意识和劳动精神，落实“五育并举”，某校组织学生 参加劳动实践，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物.如果种植2亩甲作物和3亩乙作物需要28名学生， 种植2亩甲作物和4亩乙作物需要34名学生。 (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过53人，至少种植甲作物多少亩？ 50.(25-26八年级上·河南周口·期末)某商场计划购进A、B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价 比每部B型号手机的进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元. (1)若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号手机的进价各是多少元？ (2)在(1)的基础上，商场决定再次购进A、B两种型号的手机共40部，设购进A型号手机α部，总利润 为W元，要求这40部手机全部售完后总利润不低于15600元，则a的取值范围是多少？ 13/13