8.5.2直线与平面平行（第2课时：直线与平面平行的性质定理及应用） 同步练习题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练习通过“例题引领-基础达标-能力提升”三层设计，实现从性质定理应用到空间几何综合问题的梯度进阶，强化直观想象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|性质定理应用→交线与平行判定→存在性探究|3道例题逐步深化，例3结合四点共面与动态问题，培养推理意识| |A组基础达标|定义辨析→简单性质应用→基础证明与计算|选择、填空、解答题全面覆盖，如第1题考查线面平行定义，强化抽象能力| |B组能力提升|空间几何综合→动态截面问题→体积计算|情境复杂，如第2题正四面体截面周长问题，发展空间观念与创新意识|

8.5.2　直线与平面平行 （第2课时：直线与平面平行的性质定理及应用） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱上的一点，平面． 求证：点E是棱的中点． 【例2】如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． 【例3】如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【A组基础达标】 一、单选题 1．如果直线平面，那么直线与平面内的（    ） A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 2．已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，且，则 3．如图．四棱锥的底面为正方形，空间中存在点E，满足，则点E可能位于（    ） A．平面与平面的交线上 B．平面与平面的交线上 C．直线上 D．直线上 4．已知l是过正方体的顶点的平面与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论中错误的是（    ） A． B．平面 C．平面 D． 5．三棱柱中，点在上，且，若平面，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，下面命题错误的是（    ） A．有水的部分始终呈棱柱形 B．棱始终与水面所在平面平行 C．水面所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜如图3所示时，是定值 二、多选题 7．下列命题错误的是（  ） A．若直线l上有无数个点不在平面内，则. B．若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行. C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. D．若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点. 8．如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面 三、填空题 9．如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则_________． 10．如图所示，均与平面平行，分别在上，且．则四边形的形状为______．    四、解答题 11．如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积． 12．四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． (1)求证：平面． (2)求证：F是中点． 【B组能力提升】 1．已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（   ）    A． B． C． D．2 3．如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，MN是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R.若，平面OAB，且线段AB长度的最小值为6，则该圆台的体积为__________. 4．如图，四面体中，，．若平行于直线和的平面分别和棱AB，AC，CD，BD交于点E，F，G，H．有以下四个结论： ①四边形的周长为定值； ②四边形的面积为定值； ③四边形为矩形； ④四边形的面积有最大值1． 则其中正确的结论_______． 5．如图，三棱柱的各棱长均为，面，分别为棱的中点． (1)求证：直线平面； (2)平面与直线交于点，指出点的位置，说明理由，并求三棱锥的体积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.5.2　直线与平面平行 （第2课时：直线与平面平行的性质定理及应用） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱上的一点，平面．求证：点E是棱的中点． 【答案】证明见解析 【分析】由线面平行推出线线平行，再利用中点的性质证明结论． 【详解】连接，与交于点F，连接， 四边形为矩形，为的中点， 平面，平面PBD经过PB且与平面AEC交于EF， ， 又点F是的中点， 点E是棱的中点． 【例2】如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意证得，再由线面平行的判定定理即可证明直线平面； （2）由（1）知，直线平面，由线面平行的性质定理证得，再由线面平行的判定定理即可知证明直线平面； 【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 平面，平面，所以直线平面； （2）由（1）知，直线平面，平面， 平面与平面的交线为直线l，所以， 平面，平面，所以直线平面. 【例3】如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【详解】（1）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 【A组基础达标】 一、单选题 1．如果直线平面，那么直线与平面内的（    ） A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 【答案】D 【分析】由线面平行的性质判断即可. 【详解】线面平行，则线面无公共点， 所以直线与平面内的所有直线都不相交，故ABC错误，D正确． 故选：D 2．已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】C 【分析】根据线面位置关系中平行的有关判定和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则或异面或相交，故A错误； 对于B，，则或异面，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，且，则或，故D错误. 故选：C. 3．如图．四棱锥的底面为正方形，空间中存在点E，满足，则点E可能位于（    ） A．平面与平面的交线上 B．平面与平面的交线上 C．直线上 D．直线上 【答案】A 【分析】利用线面平行的判定定理与性质定理即可得到答案. 【详解】设平面平面， 因为，所以平面，由线面平行的性质定理知，； 又， 所以与重合， 即点E位于平面与平面的交线上. 故选：A． 4．已知l是过正方体的顶点的平面与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论中错误的是（    ） A． B．平面 C．平面 D． 【答案】D 【分析】作图后，由立体几何知识对选项逐一判断 【详解】作图如下，即为直线， 对于A，平面ABCD，平面平面，故，A正确， 对于B，，平面，平面，故平面，B正确， 对于C，由，平面，平面，故平面，C正确， 对于D，异面直线与所成角为，故D错误. 故选：D 5．三棱柱中，点在上，且，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于，连接，由线面平行的性质可得，即可得出为中点. 【详解】如图，连接，交于，连接， 平面，平面，平面平面， ，中，为中点，为中点， ，. 故选：A. 6．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，下面命题错误的是（    ） A．有水的部分始终呈棱柱形 B．棱始终与水面所在平面平行 C．水面所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜如图3所示时，是定值 【答案】C 【分析】通过分析容器变化情况，使用线面平行的性质定理，棱柱的体积公式求解. 【详解】由题意知有水部分左、右两个面互相平行且全等，其余每相邻两面的交线也互相平行，且这些面都是平行四边形，选项正确； 由于水平固定，且与水平面平行，由线面平行的性质可知，，又，故水平面，选项正确； 当有水部分是三棱柱时，水面面积可能变大也可能变小，选项错误； 在图3中，有水部分始终是以平面和平面为底面的三棱柱，且体积为定值，因为高为定值，所以底面面积为定值，即为定值，选项正确. 二、多选题 7．下列命题错误的是（  ） A．若直线l上有无数个点不在平面内，则. B．若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行. C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. D．若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点. 【答案】ABC 【分析】借助长方体模型来分析,棱所在直线有无数点在平面外，判断A；所在直线平行于平面，进行判断B;,所在直线平行于平面，但直线平面，判断C；与平面平行，推出与平面无公共点，与平面内所有直线都没有公共点，判断D. 【详解】借助长方体模型来分析，棱所在直线有无数点在平面外， 但棱所在直线与平面相交，所以A不正确； 所在直线平行于平面,显然不平行于，所以B不正确； ,所在直线平行于平面，但直线平面，所以C不正确； 与平面平行，则与平面无公共点，与平面内所有直线都没有公共点，所以D正确． 故选：ABC. 8．如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面 【答案】AB 【分析】根据线面平行的性质可知，由此可得A正确；根据线面平行的判定定理可得B正确；对于C，运用反证法即可排除；对于D，根据条件从线面有公共点即可排除. 【详解】对于A，平面，平面平面，平面， ， 四边形为矩形，为中点，为中点， 为中点，即，A正确； 对于B，平面，平面，， 平面，B正确； 对于C，假设平面，因，则平面或平面， 平面，平面，平面且与平面不平行， 故假设错误，即不平行于平面，C错误； 对于D，因是的中点，平面，则点平面，故平面不成立，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 9．如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则_________． 【答案】5 【分析】运用线面平行的性质得到线线平行，结合梯形中位线性质解题即可. 【详解】因为平面，平面，平面平面，所以， 又点是的中点，，所以是梯形的中位线，结合已知有． 故答案为：5. 10．如图所示，均与平面平行，分别在上，且．则四边形的形状为______．    【答案】矩形 【分析】由线面平行的性质定理可证明，，进而，同理可证，再由，即可得到答案. 【详解】因为平面，平面平面，平面，所以． 同理，所以． 同理，所以四边形为平行四边形． 又因为，所以， 所以平行四边形为矩形． 故答案为：矩形 四、解答题 11．如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）利用面面平行的性质定理可证得结论成立； （3）分析可知该三棱锥为正四面体，利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以是的中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）由（1）可知平面 因为平面，平面平面，所以. （3）若三棱锥的各棱长均为， 则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形， 一个等边三角形的面积为，故该几何体的表面积为. 12．四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． (1)求证：平面． (2)求证：F是中点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）即证，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由（1）有平面，利用线面平行的性质定理即可得，进而得证. 【详解】（1）由底面是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）由（1）有平面， 又平面，平面平面， 所以， 又E是中点， 所以F是中点. 【B组能力提升】 1．已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解. 【详解】连接，，则过点.如图所示 ∵平面，平面平面，平面， ∴，∵， ∴. 故选：B. 2．如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】作出示意图，由题意可求得，进而求得正面体的棱长，根据正三角形面积公式求解正四面体的表面积. 【详解】作出截面如图所示：    因为截面平行于直线，，由线面平行的性质定理可得，所以， 从而截面是平行四边形，所以， 所以，又，所以， 又因为截面的周长为4，所以，所以， 所以正四面体的表面积为. 故选：A 3．如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，MN是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R.若，平面OAB，且线段AB长度的最小值为6，则该圆台的体积为__________. 【答案】 【分析】将圆台补形成圆锥，根据线面平行可得线线平行，由平行四边形以及等腰梯形的性质，求得圆台的高，结合中位线定理可得圆锥的高，利用圆锥的体积公式，可得答案. 【详解】由题意将圆台补形成圆锥，记顶点为，设底面圆心为， 分别连接并延长交圆台侧面为， 记，连接，如下图： 因为平面，平面，平面平面，所以， 易知，则，易知当时，的长取得最小值为， 可得，即，则，解得， 所以，易知， 因为，，所以， 综上可得圆台的体积为. 故答案为：. 4．如图，四面体中，，．若平行于直线和的平面分别和棱AB，AC，CD，BD交于点E，F，G，H．有以下四个结论： ①四边形的周长为定值； ②四边形的面积为定值； ③四边形为矩形； ④四边形的面积有最大值1． 则其中正确的结论_______． 【答案】①③④ 【分析】根据线面平行的性质定理判断③选项；由相似三角形性质判断①选项；借助三角形面积公式及基本不等式判断②、④选项. 【详解】因为平面，平面平面，平面， 所以，同理可证，所以； 又平面，平面平面，平面， 所以，同理可证，所以； 所以四边形为平行四边形，又，则，所以四边形为矩形，所以③正确； 由相似三角形的性质得，所以，，所以， 所以四边形的周长为定值，所以①正确； 因为，当且仅当时取等号， 所以四边形的面积有最大值，所以②错误，④正确. 故答案为：①③④. 5．如图，三棱柱的各棱长均为，面，分别为棱的中点． (1)求证：直线平面； (2)平面与直线交于点，指出点的位置，说明理由，并求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)为棱中点，理由见解析； 【分析】（1）取的中点，结合三角形中位线性质可证得四边形为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定可证得结论； （2）由线面平行的判定可证得平面，由线面平行的性质可知，由此可得为棱中点；由，利用棱锥体积公式可求得结果. 【详解】（1）取的中点，连接， 分别为中点，，， 四边形为平行四边形，为中点，，， ，，四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面. （2）为棱的中点，理由如下： ，平面，平面，平面， 平面平面，平面，， 又为中点，为中点； 为边长为的等边三角形，， ， 又，平面，平面，又， . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $