期末压轴专题07 几何压轴50练（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

**基本信息** 聚焦平行线与平面直角坐标系两大模块，通过50道期末压轴题构建从基础应用到动态探究的递进训练，强化逻辑推理与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行线性质与判定|25题|多结论/多解题、拐点、三角板旋转|从性质判定基础到动态几何综合，培养几何直观与推理能力| |平面直角坐标系|25题|点坐标规律、新定义、面积计算|从坐标表示到数形结合应用，发展数学抽象与模型意识|

期末压轴专题07 几何压轴题50练 目录 类型一、平行线的性质与判定多结论问题 类型二、平行线的性质与判定多解题问题 类型三、点坐标规律探究 类型四、平行线的性质与判定综合问题 类型五、平行线中的拐点问题 类型六、平行线中的三角板旋转问题 类型七、利用平面直角坐标系的性质求解 类型八、平面直角坐标系中的新定义型问题 类型九、平面直角坐标系中与面积有关的问题 类型一、平行线的性质与判定多结论问题 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤，其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴；故④错误； 设，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知，分别平分，下列结论：①；②；③与互补．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，补角的定义，根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义可推出，则可证明，得到，再证明，可得到；根据，，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与不互补，故③错误； 故选：C． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补，结合已知条件证明正确；内错角相等，两直线平行，证明正确；由两直线平行，同位角相等，证明正确；不能证明，可得答案． 【详解】解： ， ． ， ，故正确； ， ，故正确； ， ． ， ，故正确； 不能证明， 故答案为：B 4．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有______． ①；②；③；④    【答案】①②④ 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，根据可证明，则，，即可判断①正确；根据角之间的关系得到，即可得到，故②正确；由角平分线和等量代换得到，即可判断④正确，无法判断③． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴ ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵平分交于点， ∴ ∴，故④正确； ∴无法证明；故③不正确， 结论正确的有①②④； 故答案为：①②④ 5．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，的平分线交于点B，G是上一点，连结，，的平分线交于点D，连结．给出下面四个结论： ①；②与的面积相等；③与互余的角有2个；④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、余角的定义以及三角形面积的相关知识，解题的关键是掌握平行线的性质． 根据定义和性质判断即可． 【详解】解：的平分线交于点B，的平分线交于点D， ， ， , ，故①正确； 与等底等高， 与的面积相等，故②正确； 与互余的角有，共4个，故③错误； ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 类型二、平行线的性质与判定多解题问题 6．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，在直线上取一点，向上作一条射线，使，将一直角三角板顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中．将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中第______秒时，边所在直线恰好与射线平行． 【答案】2或20 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差计算； 设旋转时间为t，分两种情况，分别画出图形，求出对应的旋转角度，进而计算即可． 【详解】解：设旋转时间为t， 分两种情况： ①如图1， ∵，， ∴， ∴， ∴秒； ②如图2，反向延长至点D， ∵，， ∴， ∴此时旋转的角度为： ， ∴秒； 综上，在旋转的过程中第2秒或第20秒时，边所在直线恰好与射线平行， 故答案为：2或20． 7．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒1度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动，若射线先转动40秒，射线才开始转动，则射线转动__秒后，与平行． 【答案】20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，设射线转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质得出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设转动后与交于点，转动后与交于点， 当时，如图1， ， ， ， ， ， 解得； ②当时，如图2， ， ， ， ， 解得， 综上所述，射线转动20或80秒，两射线互相平行； 故答案为：20或80． 8．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中，，．三角板固定不动，三角板可绕点C转动，当时，的度数为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质并分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论，根据两直线平行内错角相等，再根据角的和差运算即可得到答案． 【详解】解：第一种情况，如图所示， ∵，，， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，延长到点， ∵，，， ∴，， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为________． 【答案】秒或秒或秒 【分析】本题主要考查旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是画出三种情况的图形． 根据旋转的性质，平行线的性质，分三种不同的情况讨论解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 情况1，如图，当时，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况2，如图，当时，的延长线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况3，如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 综上所述，恰有一边与平行的时间为秒或秒或秒， 故答案为秒或秒或秒． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分三种情况，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，如图： ， ②当时，如图： ， ③当时，过C作，如图， ， 故答案为或或． 类型三、点坐标规律探究 11．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只蚂蚁从点出发，沿循环爬行，当它停止爬行时，一共爬行了2025个单位长度，则这只蚂蚁停止爬行时所在位置的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据坐标，计算矩形的各边长度，确定矩形的周长，用总长度除以周长，根据余数判定位置即可． 【详解】解：根据题意，得，，，， ，, , ， 故终点一定在线段上，设其坐标为， 根据题意，得， 解得， 这只蚂蚁停止爬行时所在位置的坐标为． 12．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，……均在边长均为1个单位长度网格格点上，其顺序按图中“→”方向排列，，，根据这个规律，点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角坐标系中的点的特征，坐标系中点的规律，由，…，得下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，由，所以的坐标在第二象限，然后通过下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，故在第四象限的角平分线上，，得,由图形可得，，即可求解． 【详解】解：∵，…， ∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以4的商，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限，被4除余3的点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴在第二象限， ∵下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，故在第四象限的角平分线上，， ∴, 由图形可得，， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，组成一条平滑的曲线，其中，在每一段半圆上均有靠近直径端点的两个四等分点，，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标规律，根据材料提示，找出规律是关键，根据题意，横坐标的变化规律是（的整数），纵坐标的变化规律是每4个一组循环，由此即可求解． 【详解】解：在每一段半圆上均有靠近直径端点的两个四等分点，，， ∴横坐标的变化规律是（的整数），纵坐标的变化规律是每4个一组循环， ∴的横坐标为， ∵， ∴纵坐标为， ∴， 故答案为： ． 14．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，点P从点出发，沿箭头所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹．已知反射线、入射线与水平线的夹角相等，则当点P第2025次碰到长方形的边时，点P的坐标为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，动点的反弹与光的反射入射是一个道理，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动点回到起始的位置，按照此规律解答即可． 【详解】解：如图所示： 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点， ∵， ∴当点P第2025次碰到矩形的边时为第338个循环组的第3次反弹， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）长方形的两边分别平行于轴，轴，点的坐标为，点的坐标为．如图1，将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为一次操作；如图2，接着将长方形继续绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为第二次操作；以此类推，… （1）经过3次操作后，点的坐标为_____： （2）经过2025次操作后，点的坐标为_____， 【答案】 【分析】（1）点的坐标为，点的坐标为．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为1，故，，，解答即可． （2）当中的为奇数时，横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，即时，，解答即可． 本题考查了坐标系中坐标的规律，正确发现规律是解题的关键． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为1，故，，， 故答案为：． （2）解：按题意描点可知，当中的为奇数时，横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，即时，，当时，， ． 类型四、平行线的性质与判定综合问题 16．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，与相交于点，且，平分，且． (1)若，求的度数； (2)画的平分线，与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)见解析；；见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、垂直的定义、角平分线的性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）先求出，再根据平行线的性质求出，最后根据角平分线的定义可得的度数； （2）综合应用平行线的性质及判定论证即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）答：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 18．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义； （1）根据平行线的判定与性质即可进行判断与证明； （2）先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用平行线的性质得出的度数． 【详解】（1）解：， 理由：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ． 19．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， （2）解：由题意可得：，， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即与所成锐角的度数． 20．（25-26八年级上·贵州·期末）已知，直线与，分别交于点E，F，平分与直线交于点G． (1)如图1，若，则的度数是 ． (2)作平分，交于点M． 如图2，过点G作，交直线于点N，求证：． 如图3，点P是延长线上的一点，连接，若，请写出与存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线的定义，结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义，进行计算即可； （2）根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线的定义，即可证明；由已知条件得出，再根据直角三角形两锐角互余，平角的定义，结合等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，． 平分， ， ． 故答案为：． （2）解：①∵平分， ． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ② ，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ， ． 类型五、平行线中的拐点问题 21．（25-26八年级上·广东河源·期末）如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是___________． (2)求证：． (3)如图2，平分，平分，若，试用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作， ， ， ， ， 即； （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 22．（25-26八年级上·山东济南·期末）已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线， ， ①________． ， ②________． ， ③________（④________________________）． ． (2)【类比探究】如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并请用平行线的知识说明理由． (3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，平分，且，，那么的度数为________． 【答案】(1)；；；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再由两直线平行，内错角相等得到，，据此由角的和差关系可证明结论； （2）过点G作直线，先证明，再由两直线平行，内错角相等得到，，据此由角的和差关系可证明结论； （3）先由平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，由（2）的结论可知，，据此可得答案． 【详解】（1）证明：过点G作直线， ， ． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （2）解：，理由如下： 过点G作直线， ， ． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）的结论可知，， ∵， ∴． 23．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，分别是，上的点，为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)若，则__________； (2)请判断之间的数量关系，并说明理由； (3)在，内部另作一条折线，且点在直线的右侧．若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数为 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过P作，利用平行线的性质，进一步等量代换求解即可． （2）过P作，利用平行线的性质，进一步等量代换证明即可． （3）设，，则，，，同理，再列方程解答即可． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：设，，则，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 解得， ∴． 24．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，直线交于点A，交于点B，点E是线段上一点，C、D分别在射线、上，连接的平分线与的平分线交于点F． (1)当时，__________°： (2)与的数量关系是__________； (3)过点D作，交的延长线于H，将直线绕点A逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点D顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过t秒后，直线恰好与的边或边平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为，10，17.5，32.5，40 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、解一元一次方程， （1）过点E作，根据平行线定理得，再根据平行线的性质得，，进而求解即可； （2）过点F作交于点K，根据平行线定理得，由角平分线的性质设，，再根据平行线的性质求得，，，，进而求得，，，进而求解即可； （3）由（1）得，，求得，再由角平分线求得，求得，分三种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：过点E作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：过点F作交于点K， ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵直线绕点A逆时针旋转，速度为每秒， ∴， ∵绕点D顺时针旋转，速度为每秒， ∴， 当时，如图，， ∴， 解得， 当旋转到如图所示时，，， 同理得，， 解得， 当，如图所示， ∵，， ∴， 同理得，，即， 解得， 当旋转到如图所示位置时， 同理得，， 解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为，10，17.5，32.5，40． 25．（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． 类型六、平行线中的三角板旋转问题 26．（25-26七年级上·重庆·期末）如图所示，含的直角三角形，点和点在两平行线上，分别为的角平分线，为的延长线与的交点． (1)求证：； (2)试判别和的大小关系，并说明理由； (3)当时，射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转，当射线旋转一周时，全部停止运动，求射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）先由角平分线得出，，再根据邻补角的定义，根据等量代换即可求解； （2）先通过运算角得出和，再比较即可求解； （3）先根据已知条件，求出各个角度，再进行分类讨论，根据平行的性质求解即可． 【详解】（1）解：证明∵、分别为、的角平分线， ∴，． ∵， ∴， ， ， ， ， ∴． （2）∵直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）得，即， ∴， ∴， ∴． ∴． （3）∵射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转， ∴射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到， ∴设，， ∵射线旋转一周时，全部停止运动， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）得，且， ∴． ∴， ∴，， ∵、分别为、的角平分线， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ． ①如图，，即，， ，即， ∴ ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， ； ②如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， （舍）； ③如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， （舍）； ④如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， ； 综上，射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间为或． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义、邻补角的定义、几何中角度的运算、平行的性质、解一元一次方程等，具有分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键． 27．（25-26八年级上·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：如图，已知直线，将直角三角板（其中，）的顶点，分别放在直线上，点在直线左侧，且在之间． 初步探究：（1）请用等式表示和之间的数量关系，并说明理由； 深入探究：（2）如图，在（）的基础上，分别作和的平分线，两线交于点，则的度数为___________． 【答案】（），理由见解析；（）． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，则有，所以，，然后通过角度和差即可求解； （）过作，则有，所以，，则有，又平分，平分，则，，根据平行线的性质可得，从而得，则，从而求解． 【详解】解：（），理由， 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（25-26七年级上·河南南阳·期末）（1）【感知】将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，，且，则的大小为___________度； （2）【探究】如图2，将图1中的三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，试说明； （3）【拓展】现将图1中的三角板按图3方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 【答案】（1）75；（2），理由见解析；（3）．理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：75； （2），理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）．理由如下： ∵， ∴； ∵； ∴； ∴； ∵； ∴； ∴． 29．（25-26八年级上·山西晋中·期末）【项目化学习】“玩转三角尺”． 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务． 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________ 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数． 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数． 【答案】任务一：同位角相等，两直线平行；任务二：；任务三：或或 【分析】本题主要考查了旋转的定义，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据平行线的判定即可解答；先过点A作，交于点，再根据平行线的性质进行解答即可；根据旋转的定义得出符合条件的情况，再利用平行线的性质，分情况讨论即可． 【详解】解：任务一：由平移得，， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 任务二：如图，过点作，交于点， 又， ， ，， ． ， ． 答：的度数为． 任务三：需分情况讨论： 当时，如图所示， ； 当时，如图所示， 过点作交于点， 则， 同理任务二可得，； 当，且在直线b的下方时，如图所示， 则， ； 综上，的度数为或或． 30．（25-26七年级上·山西运城·期末）综合与探究 问题情境： 有一副三角板和，，，，，点始终在边上，点在三角板内，与边交于点． 初步探究： （1）如图1，若，则的度数为____________°． （2）如图2，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 深入探究： （3）如图3，平分，过点作，交的延长线于点，求的度数． 【答案】（1）15；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握平行线的判定定理与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质结合角的和差即可解答； （2）过点作，根据平行线的性质得到，求出，即可证明，即可说明； （3）过点作，根据平行线的性质，角平分线的定义结合角的和差求出，进而求出，推出，推出，利用角的和差即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型七、利用平面直角坐标系的性质求解 31．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点的纵坐标比横坐标大3，求的值； (2)若点在轴上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“点的纵坐标比横坐标大3”列方程求解即可； （2）根据“点在轴上”得到纵坐标为0，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的纵坐标比横坐标大3， ， 解得． （2）解：点在轴上， ， 解得． 32．（24-25七年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点P在y轴上时，求点P的坐标； (2)若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为3，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点的坐标以及点到坐标轴的距离． （1）点P在y轴上，则点P的横坐标为0，由此可求得a的值，进而得点P的坐标； （2）根据题意得到关于a的方程，求解a即可． 【详解】（1）解：由点在y轴上，可知， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为； （2）∵点P在第四象限，且点P到x轴的距离为3， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 33．（24-25七年级下·河南信阳·期末）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，则点的坐标为______； (2)若，令轴，求点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查坐标与图形的变化，一元一次方程. （1）根据x轴上的点的纵坐标为0，列出方程即可解决问题； （2）根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，列出方程即可解决问题； （3）根据第二象限内点的符号特征，以及点到坐标轴的距离，列出方程得出a的值代入即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得：， ∴， 所以点P的坐标为， 故答案为：； （2）解：∵轴， ∴， 解得：， ∴， 所以点P的坐标为； （3）解：根据题意可得：， 解得：， 把代入． 34．（25-26七年级上·山东济南·期末）已知在平面直角坐标系中的点． (1)若点P在x轴上，则点 P坐标为 ； (2)若点 P的纵坐标比横坐标大8，则点 P在第 象限； (3)点， 轴， 求点 P坐标． 【答案】(1) (2)二 (3) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内各象限内点的坐标特征： （1）根据点在x轴的坐标的特征可得，从而得到m的值，即可求解； （2）根据题意可得关于m的方程，即可求解； （3）根据轴，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴点 P坐标为； 故答案为： （2）解：∵点 的纵坐标比横坐标大8， ∴， 解得：， ∴点 P坐标为， ∴点 P在第二象限； 故答案为：二； （3）解：∵点，，轴， ， ， 点坐标为． 35．（25-26七年级上·山东泰安·期末）已知点，根据下列条件求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的横坐标比纵坐标小4： (3)点在第二、四象限的角平分线上； (4)点到轴的距离为3． 【答案】(1)点的坐标是 (2)点的坐标是 (3)点的坐标是 (4)点或． 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握特殊点的特征，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征． （1）根据x轴上的点的纵坐标为0得到，求出，进而求解即可； （2）根据题意得到，求出，进而求解即可； （3）根据题意得到，求出，进而求解即可； （4）根据题意得到，求出或，进而求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， ， ， 点的坐标是； （2）解：点的横坐标比纵坐标小4， ， ， ，， 点的坐标是； （3）解：点在第二、四象限的角平分线上， ， 解得， ，， 点的坐标是； （4）解：点到轴的距离为3 ∴ 或． 当时，点， 当时，点． 类型八、平面直角坐标系中的新定义型问题 36．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)求点的“短距”． (2)若点是“等距点”，求的值． 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可； （2）根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：点到轴的距离为，到轴的距离为1，， ∴点的“短距”为1； （2）解：由题意，， 即：或， 解得或． 37．（24-25七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，对于点A，若点B的坐标为，其中m为常数，则称点B是点A的“m级关联点”．例如，点A的“4级关联点”点B的坐标为，即B． (1)点P的“3级关联点”是_________； (2)若点C的“2级关联点”点D在x轴上，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若存在点，使得轴，且，求点的坐标．（提示：先由（2）求出点的坐标） 【答案】(1)； (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了新定义，平面直角坐标系中点的坐标特征，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义即可求解； （2）由题意可得点C的“2级关联点”点D的坐标为，再根据点D在x轴上，得到，求解即可得出答案； （3）由轴，得到点的横坐标为，设点的纵坐标为，根据，得到，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 点P的“3级关联点”是，即， 故答案为：； （2）解：由题意可得： 点C的“2级关联点”点D的坐标为：， ∵点D在x轴上， ∴， ∴， ∴，点； （3）解：由（2）可知，点， ∵轴， ∴点的横坐标为， 设点的纵坐标为， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 38．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，点，，若，则称点与点互为“等差点”，例如：点，点，因为，所以点与点互为“等差点”． (1)已知点，写出点在第一象限的“等差点”的坐标________；（写出一个即可） (2)已知点的“等差点”在坐标轴上，求点的坐标为________； (3)已知点与点互为“等差点”，且、互为相反数，求点的坐标________． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)或； (3) 【分析】本题围绕新定义“等差点”展开，理解“等差点”的定义是解题的关键． （1）根据“等差点”的定义和第一象限点的特征进行作答即可； （2）需要考虑点分别在轴与轴的情况，再根据“等差点”的定义进行判断即可； （3）根据“等差点”的定义对坐标进行运算即可； 【详解】（1）解：点在第一象限的“等差点”的坐标为，根据新定义可以得， ∴， 故可以是，， 故答案：（答案不唯一）． （2）解：①当点在轴上时，设， 由题意得，解得，． ②当点在轴上时，设， 由题意得，解得，． 综上所述：的“等差点”点的坐标为或． （3）解：由题意得， ． 互为相反数， ， 联立方程组得： ， 解得，． ． 39．（24-25八年级上·福建三明·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴距离的较小值称为点P的“短距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“短距”为______； (2)若点是第一象限内的“完美点”，求a的值； (3)若点为“完美点”，求点的“短距”． 【答案】(1)1 (2)5 (3)1或2 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，正确理解“短距”和“完美点”的定义是解题关键． （1）根据“短距”的定义和点到坐标轴的距离求解即可得； （2）根据“完美点”的定义建立方程，解方程可得的值，再根据第一象限内的点的横、纵坐标均大于0求解即可得； （3）先根据“完美点”的定义建立方程，解方程可得的值，再根据“短距”的定义求解即可得． 【详解】（1）解：点到轴的距离为，到轴的距离为， 所以点的“短距”为1， 故答案为：1． （2）解：∵点是“完美点”， ∴， 即或， 解得或， 当时，，此时点的坐标为，位于第一象限内，符合题意； 当时，，此时点的坐标为，位于第二象限内，不符合题意； 综上，的值为5． （3）解：∵点为“完美点”， ∴， 即或， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的“短距”为1； 当时，， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的“短距”为2， 综上，点的“短距”为1或2． 40．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）新考向新定义在平面直角坐标系中，对于点，记，，将称为点的“横纵偏差”，记作，即，若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的“横纵偏差”，记作． (1)点，． ①的值是 ． ②点在轴上，若，求点的坐标． (2)点在轴上，点在点的上方．若点的坐标为，点的坐标为，，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（）①根据新定义解答即可；②设点，由可得，进而得到，解方程求出即可求解； （）由题意可得点的坐标为，设点为线段上任意一点，则，可得，即可得，得到的最大值是，进而即可求解； 本题考查了坐标与图形，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵点，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵点在轴上， ∴设点， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴或， 解得或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点在轴上，点在点的上方，点的坐标为，， ∴点的坐标为， 设点为线段上任意一点，则， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值是，即的值是． 41．（25-26八年级上·甘肃兰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______： (2)若点是“角平分线点”，求的值； (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)点是“角平分线点”，理由见解析． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，理解新定义“长距”和“角平分线点”的含义，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）直接计算点到坐标轴距离的较大值； （2）根据“角平分线点”定义列方程求解； （3）先由点的长距和所在象限求出的值，再判断点的坐标是否满足“角平分线点”条件即可． 【详解】（1）解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴较大值为， ∴点的“长距”为， 故答案为：； （2）解：∵点是“角平分线点”， ∴， 即， ∴或 ， 解得或； （3）解：点是“角平分线点”，理由如下， ∵点的长距为，且点在第二象限内， ∴点的横坐标，纵坐标， 到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点的长距为， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， 即点到轴和轴的距离相等， ∴点是“角平分线点”． 42．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点A的坐标为 ①点，，中，与点A为“等距点”的是____； ②若点M的坐标为，且A，M两点为“等距点”，求出点M的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在y轴上有一点，连接，，，．若三角形的面积为三角形的面积的倍时，求出b的值． 【答案】(1)①C，D；②点或 (2)或 【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程． （1）①根据“等距点”的定义作答即可； ②根据“等距点”的定义列出方程即的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 故答案为：C，D； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：，，且 ∴或 ∴点或 （2）解：∵点与点两点为“等距点” ∴或 解得： ∴，或，（舍去）或，或，（舍去） ∴，或，， 当，时 分别过点E，F向x轴作垂线，垂足为P，Q，过点F向y轴作垂线，垂足为K ∴ ∴ ∴ ∴ ∴    当，时 与y轴交于点K ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，或    类型九、平面直角坐标系中与面积有关的问题 43．（24-25七年级下·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点作轴于点． (1)求点，点的坐标及的面积； (2)若过作交轴于点，且、分别平分、，如图，求的度数． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（）根据偶次方和算术平方根的非负性，可求得的值，得到两点坐标，则有，，然后通过面积公式即可求解； （）过点作，则有，所以，，，再求出，然后通过角平分线定义可得出，，所以通过即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵轴于点， ∴， ∴，，则； （2）解：如图，过点作， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵分别平分、， ∴，， ∴． 44．（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．点C的坐标满足，连接和．按要求解相关点的坐标： (1)求点C的坐标； (2)若x轴上有一点D使得的面积为6，求点D的坐标； (3)平移线段得到线段（点C对应点P，点A对应点Q），且点P在线段上，当的面积为8时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点Q的坐标为 【分析】（1）利用非负数的性质即可求解； （2）设点D的坐标为，则得，由面积关系即可求解； （3）设点P的坐标为，过点C作轴于点E，由求得，利用平移的性质即可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 即点C的坐标为； （2）解：设点D的坐标为，则得， ∵的面积为6， ∴， 即， 解得：或， ∴点D的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为，则， 如图，过点C作轴于点E， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴点P的坐标为， ∵线段平移得到线段， ∴平移为向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标平移，非负数的性质，割补法求面积等知识，注意数形结合． 45．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动 (1)求点的坐标． (2)当点移动4秒时，请求出点的坐标． (3)当点移动到距离轴3个单位长度时，求点移动的时间． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】本题考查坐标与图形的性质，非负性的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）利用非负数的性质可以求得的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标； （2）根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标； （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ∴， 解得， ∴点B的坐标是； （2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， ∴点移动4秒时，点P的路程：， ∵ ∴当点P移动4秒时，在线段上， 即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是； （3）解：由题意可得，在移动过程中，当点P到y轴的距离为3个单位长度时，存在两种情况： 第一种情况，当点P在上时， 点P移动的时间是：（秒）， 第二种情况，当点P在上时． 点P移动的时间是：（秒）， 综上分析可知：在移动过程中，当点P到y轴的距离为3个单位长度时，点P移动的时间是秒或秒． 46．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足． (1)填空： ， ； (2)若在第四象限内有一点，用含m的式子表示三角形的面积； (3)在（2）的条件下，线段与y轴相交于点，当时，P是y轴上一动点，当满足，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了非负数的性质、平面直角坐标系中三角形面积的计算，解题的关键是利用非负数性质求出a、b的值，再结合坐标与图形性质计算三角形面积． （1）根据非负数的性质，两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，求出a、b的值； （2）先求出的长度，再根据点的坐标确定三角形的高，最后利用三角形面积公式计算； （3）设出点坐标，求出，由（2）知，再结合已知面积关系求出，利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】（1）解：由题意可得： 解，得， 解，得， 故答案为：； （2）解：∵点在第四象限， ， ∵点A，B的坐标分别为 ； （3）解：设点的坐标为， 点， ∵ ∴ 由（2）知， ， ， ， ， ， 解得：或，故点的坐标为或． 47．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究： 如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接 (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)存在，3 (3)3 【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出a，b的值，即可求解； （2）由平移的性质可得点，点，，由面积关系可求解； （3）分点N在线段上，点N在的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，解得， ∴点A和点的坐标分别为；， 故答案为：；； （2）解：存在． 过D作的延长线，垂足为H，如图所示： ∵点A和点的坐标分别为；， ∴， ∵将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段， ∴点C和点D的坐标分别为和， ∴， 设M点坐标为，连接， ∴， ∵， ∴，即，解得， ∴存在这样的，使得四边形的面积等于9； （3）解：不变． 理由如下： 当点N在线段上时，如图所示，设运动时间为秒，， 过D作的延长线，垂足为H ，连接， ∵， ， ∴ = = ， 当点N运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，，连接， ， 综上可知，的值为． 【点睛】本题是考查了平移的性质，非负数性质，解二元一次方程组，坐标与图形的性质，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键． 48．（24-25七年级下·湖北随州·期末）已知点，且．    (1)求两点坐标； (2)将线段平移至线段（点与对应，点与对应）， ①如图（1），若点坐标为，点在轴上，求点的坐标； ②如图（2），若点坐标为，点在坐标轴上，三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2)①；②或或或． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标图形与平移、动点面积问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由非负数的性质即可得解； （2）①由点的平移性质即可求解； ②分类讨论，当点在轴上：直接可利用面积公式建立方程求解；当点在轴上时，需用割补法表示出三角形的面积，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， ， ∴； （2）解：①∵，， ∴点向右平移1个单位至点， ∴， ∴， ∴点向下平移2个单位至点， ∴点向下平移2个单位至点， ∴； ②由题可知线段向右平移6个单位，向下平移3个单位， ， 当点在轴上时，设，      此时与是等高的， ∵的面积是面积的2倍， ， ， 解得或， ∴或； 当点在轴上时，设， i当点在直线左侧时，连接，如图所示：   ， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得， ∴； ii当点在直线右侧时，连接，如图所示：   ， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 49．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，点．且满足， (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图（1），是线段上一点， ①求x，y之间的关系； ②若点的坐标是，连接，且，求点的坐标； (3)如图（2），过点作直线，已知是上的一点，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3)且 【分析】本题考查的坐标与图形综合题， （1）根据平方、绝对值及算术平方根的非负性求出，即可解决； （2）①根据得出结论即可；②连接，由，得出方程组，解出即可得出结论； （3）根据求出，再分两种情况：当时，连接，当时，连接，过点作轴于，分别求出结论即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①由，得： ， ； ②连接，由，得： ， 化简得，， 联立方程组， 解得， ； （3）解：且，理由如下： ， ， 解得：，      ， 当时，如图，连接，若， 由，得： ， 解得：， 点在轴上， 当时，如图，连接，过点作轴于，若， 由，得： ， 解得：， ，又当时，点重合，不合题意， 且． 50．（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，已知点，且满足．将线段先向上平移5个单位，再向左平移1个单位后得到线段，连接． (1)求、的值； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于？ (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动，直线交轴于点．在运动过程中，三角形与三角形的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不会发生变化，理由见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系、平移的性质、一元一次方程的应用、图形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据完全平方式和绝对值的非负性得到，即可求解； （2）根据平移的性质可得，再利用梯形的面积公式求出，推出点在线段上，再利用列出方程，求出的值即可； （3）分①点在点左侧；②点在点的右侧两种情况讨论，再利用图形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）解：由（1）可知：，， 由平移的性质可得， ， 点在线段上， 由题意知，， ， 由题得：， 解得：， 当时，四边形的面积等于； （3）解：不会发生变化，理由如下： ①当点在点左侧时，易知点在线段上． 如图所示： 则 ； ②当点在点的右侧时，如图所示，连接． 则 ； ∴由①②可得，在运动过程中三角形与三角形的面积之差不会发生变化． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题07几何压轴题50练 月录 类型一、平行线的性质与判定多结论问题 类型二、平行线的性质与判定多解题问题 类型三、点坐标规律探究 类型四、平行线的性质与判定综合问题 类型五、平行线中的拐，点问题 类型六、平行线中的三角板旋转问题 类型七、利用平面直角坐标系的性质求解 类型八、平面直角坐标系中的新定义型问题 类型九、平面直角坐标系中与面积有关的问题 典例详解 类型一、平行线的性质与判定多结论问题 1.(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，已知EF∥GH,A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点， 延长AM至点C,AB平分∠DAC,点N在直线DB上，且BN平分LFBC,若LACB=110°，则下列结论： ①∠M4B=∠BAD;②∠4BM=∠BAM;国∠NBC=∠8DH:④设∠CBM=a,则∠B4D=55-a:⑤ ∠DBA=55°，其中，正确的有() D A.①②③ B.①②③④ C.①②③⑤ D.②③④⑤ 2.(25-26八年级上辽宁沈阳·期末)如图，已知AB∥CD,EG,EM,，FM分别平分 ∠AEF,∠BEF,∠EFD,下列结论：①LEMF=90°；②FM∥GE;③∠EGF与∠BEM互补.其中，正确 结论的个数是() 1/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.0 B.1 C.2 D.3 3.(24-25七年级下陕西咸阳·期末)如图，已知AD∥CF,AB⊥AD于点A,∠1+∠3=180°，则下列结论： ①∠2=∠3；②I=∠4；③CD‖EF;④∠B=∠BFE;⑤∠BFC=90°.其中正确的是() E C A.②③④ B.①③⑤ C.①②③⑤ D.①②④⑤ 4.(25-26七年级上·吉林长春.期末)如图，∠B=110°，∠C=70°，DE平分∠ADC交BC于点E,点F为线 段CD延长线上一点，∠BAF=∠EDF,则下列结论正确的有一· ①LBAD+LADC=18O°；②AF∥DE;③BC∥AD;④∠DAF=∠F 6 5.(25-26七年级上吉林长春·期末)如图，AE ICF,∠ACF的平分线CB交AE于点B,G是CF上一点， 连结BG,AC∥BG,∠GBE的平分线BD交CF于点D,连结AD.给出下面四个结论： ①∠DBC=90°；②ABC与△ABD的面积相等；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠CAB=a,则 ∠BDF=180°- 2 B E DF 上述结论中，正确结论的序号有一 2/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、平行线的性质与判定多解题问题 6.(25-26七年级上江苏泰州期末)如图，在直线AB上取一点0，向上作一条射线0C,使∠B0C=50°， 将一直角三角板顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠0MN=30 .将图中的三角板绕点0按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中第 秒时，边MN 所在直线恰好与射线0C平行. M B 7.(25-26七年级上江苏南京·期末)如图，AB∥CD,点P,Q分别是AB,CD上的一点，射线PB绕点P 顺时针旋转，速度为每秒1度，射线QC绕点Q顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与QD重合便立即回 转，当射线PB旋转至与PA重合时，PB与QC都停止转动，若射线PB先转动40秒，射线QC才开始转动， 则射线QC转动秒后，QC与PB平行. P A B 8.(25-26七年级上·河南新乡·期末)如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中 ∠ACB=∠CDE=90°，∠ABC=30°，∠DCE=45°.三角板ABC固定不动，三角板DCE可绕点C转动， 当AB∥EC时，∠DCB的度数为 9.(24-25七年级下·江苏宿迁·期末)将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交 于点G,∠C=∠EFB=90,∠A=60,∠E=45,现将图中的ABC绕点G按每秒30的速度沿逆时针方向旋 转180°，在旋转的过程中，ABC恰有一边与DE平行的时间为 3/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B(D) 10.(25-26八年级上陕西西安期末)将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，AC边重合， ∠BAC=45°，∠DAC=30°.保持三角尺ABC不动（如图2），将三角尺ACD绕着点C顺时针转动90°后停止. 在转动的过程中，当三角尺ACD有一条边与三角尺ABC的一条边恰好平行时，∠ACA'的度数为 图1 图2 类型三、点坐标规律探究 11.(25-26八年级上·贵州毕节·期末)如图，在平面直角坐标系中，A2,2),B(2,-4),C(-2,-4, D(-2,2),一只蚂蚁从点A出发，沿A→B→C→D→A→…循环爬行，当它停止爬行时，一共爬行了2025 个单位长度，则这只蚂蚁停止爬行时所在位置的坐标为 B 12.（25-26八年级上广东佛山期末)如图，在平面直角坐标系中，点P,P,P,均在边长均为1个单 位长度网格格点上，其顺序按图中→”方向排列，P(0,0),P(0,1),P(1,1),P(1,-1),P(-1,-1),P,(-1,2),…, 根据这个规律，点P26的坐标为 4/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P 13.(24-25七年级下，黑龙江绥化期末)如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆 0,02,03,…,组成一条平滑的曲线，其中0-2,0)，022,0)，0，（6,0)，…，在每一段半圆上均有靠近直径端 点的两个四等分点，P-3,V5,P-1,5,P,-5),P3,-V5,P(5,5,P,7,5…,则点Ps的坐标 P D 0 03 O P Ps 14.(24-25八年级上山东济宁.期末)如图，点P从点(0,3出发，沿箭头所示的方向运动，每当碰到长方 形的边时反弹.已知反射线、入射线与水平线的夹角相等，则当点P第2025次碰到长方形的边时，点P的 坐标为 3 1 o12345678 15.(24-25七年级下·安徽芜湖·期末)长方形ABCD的两边BC,CD分别平行于y轴，x轴，点A的坐标为 (-2,3),点C的坐标为(-1,1).如图1，将长方形ABCD绕图形右下侧顶点C顺时针旋转90°，再沿x轴翻 折得到长方形AB,CD,称为一次操作；如图2，接着将长方形A,B,CD继续绕图形右下侧顶点A顺时针旋 转90°，再沿x轴翻折得到长方形A,B,C,D2,称为第二次操作；以此类推， 5/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 V B B2 B2 D D C D C D 3 B衣 C B C D A D D A A 图1 图2 图3 (1)经过3次操作后，点B的坐标为： (2)经过2025次操作后，点B22s的坐标为 类型四、平行线的性质与判定综合问题 16.(25-26七年级上·江苏苏州期末)如图，DE与AB相交于点O,且DE∥BC,BM平分∠ABC,且 OM⊥AB. D E B C (1)若∠M0E=24°，求∠MBA的度数； (2)画∠BOD的平分线ON,ON与BM有怎样的位置关系？为什么？ 17.(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，∠2=∠B,BE与DF交于点P. B (1)若∠1=52°，求∠C的度数： (2)若∠2+∠D=90°，AB∥CD,试判断BE与DF的位置关系，并说明理由 18.(25-26七年级上江苏泰州期末)如图，点F在线段AB上，点E,G在线段CD上，FG∥AE, ∠1=∠2. 6/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H C (I)请判断AB与CD的位置关系，并说明理由； (2)若BC平分∠ABD,∠D=114°，求∠C的度数. 19.(25-26八年级上河南郑州期末)在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣， 杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能。 B 图① 图② (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的 光线OB,OC等反射以后沿着与PO2平行的方向射出.图中如果LB0P=42°，∠Q0OC=68°，请求出∠AB0 和∠DCO的度数； (②)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角 a=18°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角B=42°，请直接写出EF与FG所成锐角的度数 20.(25-26八年级上·贵州期末)已知AB∥CD,直线EF与AB,CD分别交于点E,F,FG平分∠EFD与 直线AB交于点G. 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠EGF=26°，则∠AEF的度数是_， (2)作EM平分LGEF,交FG于点M. 如图2，过点G作GN⊥FG,交直线EF于点N,求证：GN∥EM. 7/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图3，点P是ME延长线上的一点，连接FP,若2LCFP=3LPFG,请写出∠FPM与LDFG存在的数量 关系，并说明理由 类型五、平行线中的拐点问题 21.(25-26八年级上广东河源·期末)如图1，AB∥CD,M,N为直线AB,CD上的点，EM和EN交于点E E E B -D 图1 图2 (1)若∠EMB=35°，∠END=65°，则∠MEN的度数是 (2)求证：∠MEN=∠END-∠EMB. (3)如图2，MQ平分∠EMB,NQ平分∠END,若∠MEN=a,试用含a的代数式表示∠MON的度数. 22.(25-26八年级上·山东济南期末)已知AB∥CD,点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一 点 G D E 图1 图2 图3 (I)【基础问题】如图1，试说明：∠AGD=LA+∠D.(完成下面的填空部分) 证明：过点G作直线MN∥AB, ,AB∥CD, ① ∥CD. :MN∥AB, ·② =∠AGM. :MN∥CD, .∠D=③ (④ ). 8/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠AGD=∠AGM+∠DGM=∠A+∠D. (②)【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出LAGD、∠A、∠D三者之间的数量关系， 并请用平行线的知识说明理由， (3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，AH平分∠GAB,且∠HDF=22°，∠AFC=72°，那么∠H的 度数为 23.(25-26七年级下·河南新乡·期末)如图，AB∥CD,E,F分别是AB,CD上的点，P为AB,CD之间的 一点，且始终在直线EF的左侧，连接EP,PF E B C D (1)若∠AEP=40°，∠CFP=70°，则∠EPF= (2)请判断∠AEP,∠CFP,∠EPF之间的数量关系，并说明理由： (3)在AB,CD内部另作一条折线E-Q-F,且点Q在直线EF的右侧.若∠BEP=2∠BEQ, ∠DFP=2∠DFQ,∠EQF=100°，请直接写出∠EPF的度数 24.(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，MN∥PQ,直线AB交MN于点A,交PQ于点B,点E是线 段AB上一点，C、D分别在射线AN、BQ上，连接CE、DE,∠ECN的平分线与∠BDE的平分线交于点F. MC ME ME 备用图 (I)当CE⊥DE时，∠ACE+∠BDE= (2)LCED与∠CFD的数量关系是 ； (3)过点D作DH⊥CF,交CF的延长线于H,将直线AB绕点A逆时针旋转，速度为每秒2°，旋转后的对 应直线为AB',同时，将aDFH绕点D顺时针旋转，速度为每秒4°，旋转后的对应三角形为△DF'H',当 直线AB'首次与直线MN重合时，整个运动停止.在(1)的条件下，若∠CAB=80°，∠EDB=40°，经过t 秒后，直线AB'恰好与△DFH'的边FH'或边DH'平行，请直接写出所有满足条件的t的值. 25.(25-26七年级上·海南海口期末)综合与探究 9/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图，AB∥CD,点P,Q为直线CD,AB上两定点，O°<∠PNQ<180°. p -D M<N 3 B -B 图1 图2 M2o2GM2< 图3 图4 (1)如图1，当N点在PQ左侧时，∠1，∠2，∠3满足数量关系为_： (2)若PM平分∠CPN,QM平分∠AQN,∠PNQ=110°. ①如图2，点N在P2左侧时，求∠PMQ的角度； ②如图3，点N在PQ右侧，求∠PMQ的角度： (3)如图4，PM平分∠CPN,QM平分∠AQN,∠PNQ=120°，点N在PQ右侧，若∠CPM与∠AQM的角 平分线交于点M1,∠CPM1与∠AQM,的角平分线交于点M2;依次类推，则∠PMo26Q=_·(直接写出结 果) 类型六、平行线中的三角板旋转问题 26.(25-26七年级上·重庆·期末)如图所示，含30°的直角三角形ABC,点A和点C在两平行线MW、QR上， AD、AE分别为∠BAN、∠BAM的角平分线，F为BC的延长线与AD的交点. M A N C D R 夕 (I)求证：EA⊥AD; (2)试判别∠AED和LCFD的大小关系，并说明理由； (3)当∠ADE=36°时，射线AM和射线CB分别以10°每秒和30°每秒的速度同时顺时针旋转，当射线CB旋 转一周时，全部停止运动，求射线AM和射线CB在旋转过程中平行时对应的时间的值. 10/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 27.(25-26八年级上山西太原·期末)综合与实践 问题情境：如图1，已知直线MW∥PQ,将直角三角板ABC(其中∠ABC=90°，LBAC=60°)的顶点A, C分别放在直线MN、PQ上，点B在直线AC左侧，且在MN、PQ之间. B 图1 图2 初步探究：(1)请用等式表示∠BAM和∠BCP之间的数量关系，并说明理由： 深入探究：(2)如图2，在(1)的基础上，分别作∠MAC和∠BCP的平分线，两线交于点H,则∠AHC的 度数为 28.(25-26七年级上·河南南阳期末)(1)【感知】将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板ADE 的直角顶点E落在BC上，∠DAE=60°，∠B=∠C=45°，且AD∥BC,则∠CAE的大小为 度； (2)【探究】如图2，将图1中的三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间（其中∠B=∠ACB=45°），并使 直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线P9上，现测得∠MAB=23°，∠PCB=22°，试说明MN∥PQ; (3)【拓展】现将图1中的三角板ABC按图3方式摆放（其中LB=LACB=45°），使顶点C在直线MN上， 直角顶点A在直线PQ上.若MW∥PQ,请写出∠PAB与LMCA之间的关系式，并说明理由. M 图1 图2 图3 29.(25-26八年级上山西晋中期末)【项目化学习玩转三角尺”. 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利 用三角尺ABC和三角尺DEF进行了操作探究活动.（其中∠BAC=LFDE=90°，∠ACB=60°， ∠ABC=30°，∠DEF=∠DFE=45°)请你一起探究，完成以下任务. 图1 图2 图3 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺ABC沿BC方向移动，得到△AB,C,，王丽发现此时 11/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB/∥AB,她的判断依据是： 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线α平行于边BC所在的 直线b,且点A与点F重合，求∠1的度数。 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺DEF,将三角尺ABC绕点C逆时针旋转 180°，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺ABC的边所在直线与EF所在直线平 行时，直接写出满足条件∠FCA的度数. 30.(25-26七年级上山西运城期末)综合与探究 问题情境： 有一副三角板ABC和DEF,LACB=∠EDF=90°，LDEF=∠DFE=45°，LBAC=60°，∠ABC=30°，点 A始终在DE边上，点D在三角板ABC内，DF与AB边交于点G. H 图1 图2 图3 初步探究： (1)如图1，若EF∥AB,则∠CAD的度数为 (2)如图2，若∠BGF=75°，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由. 深入探究： (3)如图3，AD平分∠BAC,过点E作EH∥BC,交DF的延长线于点H,求∠HEF的度数. 类型七、利用平面直角坐标系的性质求解 31.(25-26八年级上陕西汉中.期末)在平面直角坐标系中，已知点P(3,m-1. (1)若点P的纵坐标比横坐标大3，求m的值； (2)若点P在x轴上，求m的值. 32.(24-25七年级下陕西西安期末)在平面直角坐标系中，已知点P(a+3,1-2a. (1)当点P在y轴上时，求点P的坐标； 12/19 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为3，求点P的坐标. 33.(24-25七年级下·河南信阳·期末)已知点P(-3a-4,2+a),解答下列各题： (1)若点P在x轴上，则点P的坐标为； (2)若Q(5,8),令PQ∥y轴，求点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2025+2026的值. 34.(25-26七年级上山东济南期末)己知在平面直角坐标系中的点P(3m-6,m+4). (I)若点P在x轴上，则点P坐标为_： (②)若点P的纵坐标比横坐标大8，则点P在第_象限； (3)点A(-1,2),AP∥x轴，求点P坐标. 35.(25-26七年级上山东泰安·期末)已知点P(3m+2,5-m,根据下列条件求点P的坐标. (1)点P在x轴上： (2)点P的横坐标比纵坐标小4： (3)点P在第二、四象限的角平分线上； (4)点P到x轴的距离为3. 类型八、平面直角坐标系中的新定义型问题 36.(25-26八年级上浙江绍兴期末)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴距离的较小 值称为点P的“短距”，点Q到x轴，y轴的距离相等时，称点Q为等距点”. (1)求点A-1,3)的“短距”. (2)若点B(3a-8,-a)是“等距点”，求a的值. 37.(24-25七年级下·江西赣州期末)在平面直角坐标系中，对于点A(x,y),若点B的坐标为 (mx+y,x+my),其中m为常数，则称点B是点A的m级关联点”.例如，点A-1,3)的4级关联点”点B的 坐标为-1×4+3，-1+4×3)，即B-1,11 (1)点P1,2)的3级关联点”是 13/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若点C2,a)的“2级关联点”点D在x轴上，求点D的坐标； (3)在(2)的条件下，若存在点E,使得EC∥y轴，且EC=5,求点E的坐标.（提示：先由(2）求出点 C的坐标) 38.(25-26八年级上辽宁沈阳期末)在平面直角坐标系x0y中，点Aa,b),B(c,d),若c-a=d-b≠0， 则称点A与点B互为等差点”，例如：点A-1,3),点B(2,6),因为2-（-1=6-3≠0，所以点A与点B互 为“等差点”. (1)已知点A(4,-2),写出点A在第一象限的“等差点”的坐标；（写出一个即可） (2)己知点A(5,-3)的等差点”B在坐标轴上，求点B的坐标为 ； (3)已知点A-V5,2m与点B25,-n互为等差点”，且m、互为相反数，求点B的坐标 39.(24-25八年级上福建三明·期末)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴距离的较小 值称为点P的“短距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点” (1)点A(-1,3)的“短距”为 (2)若点B(2a-5,a)是第一象限内的“完美点”，求a的值； (3)若点C(2b,b-3)为“完美点”，求点D-2,2+b)的“短距”. 40.(24-25七年级下湖北十堰期末)新考向新定义在平面直角坐标系中，对于点Ax,y,B(x2,2),记 d,=x-x,d,=以1-y,将d-d称为点A,B的“横纵偏差”，记作μ(A,B),即(A,B)=d-d,,若 点B在线段PQ上，将u(A,B)的最大值称为线段PQ关于点A的“横纵偏差”，记作μA,PQ). (1)点A0,-2,B(1,4. ①μA,B)的值是_ ②点K在x轴上，若μ(B,K)=0,求点K的坐标 (2)点P,Q在y轴上，点P在点Q的上方.若点M的坐标为(-5,0)，点Q的坐标为(0,1)，P9=6,求 u(M,PQ)的值. 41.(25-26八年级上·甘肃兰州阶段检测)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离 14/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点？为“角平分线点”. (1)点A(-3,5)的“长距”为 (2)若点B(4-2a,-2)是“角平分线点”，求a的值； (3)若点C(-2,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为9-2b,-5),请判断点D是否为“角平 分线点”，并说明理由 42.(24-25七年级下，辽宁大连期末)在平面直角坐标系中，对于P,Q两点给出如下定义：点P到x,y 轴的距离中的最大值等于点Q到x,y轴的距离中的最大值，则称P,Q两点为“等距点”.如点P(3,2)与 Q(-1,3)两点即为等距点. (1)已知点A的坐标为-1,4 ①点B(3,1,C(-2,4),D(-4,1中，与点A为“等距点”的是： ②若点M的坐标为M(m,-m+6,且A,M两点为“等距点”，求出点M的坐标； (2)若点E(-2,n+3与点F(8,2n-5两点为“等距点”，在y轴上有一点H(0,b),连接EF,OE,0F, FH,若三角形H0F的面积为三角形EOF的面积的倍时，求出b的值. 类型九、平面直角坐标系中与面积有关的问题 43.(24-25七年级下·四川泸州期末)如图，在平面直角坐标系中，Aa,0),C(b,2),且满足 (a+2+Vb-2=0,过点C作CB⊥x轴于点B. 以 B 图1 图2 (1I)求点A,点C的坐标及ABC的面积； (2)若过B作BD∥AC交y轴于点D,且AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB,如图，求∠AED的度数. 15/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 44.(24-25七年级下·云南临沧期末)如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为6,0)，(0,2).点 C的坐标(m,n满足(m-4)+n-3=0,连接AC,BC和0C.按要求解相关点的坐标： B 0 A (1)求点C的坐标； (2)若x轴上有一点D使得△ACD的面积为6，求点D的坐标； (3)平移线段CA得到线段PQ(点C对应点P,点A对应点Q),且点P在线段OB上，当△ACP的面积为8 时，求点Q的坐标 45.(24-25七年级下山东德州期末)如图，在长方形0ABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为 (a,0),点C的坐标为0，b),且a、b满足a-4+b-6=0,点B在第一象限内，点P从原点出发，以每 秒2个单位长度的速度沿着0→A→B→C→0的线路移动 C (1)求点B的坐标. (②)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标. (3)当点P移动到距离y轴3个单位长度时，求点P移动的时间 46.(24-25七年级下·辽宁盘锦期末)如图所示，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为 A(a,0),B(b,0),且a,b满足√a+3+(b-1)2=0. (1)填空：a=-,b=- 16/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)若在第四象限内有一点M(2,m),用含m的式子表示三角形ABM的面积； (3)在(2)的条件下，线段AM与y轴相交于点C0,- 3 2,当m三时，P是y轴上一动点，当满足 2 S.Pw=3 .m,试求点P的坐标 47.(24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末)综合与探究： 如图，已知点Aa,0),B(b,0)满足V(3a+b)2+b-3=0.将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个 单位后得到线段CD,并连接AC、BD 0 B 备用图 (I)点A的坐标是-，点B的坐标是_： (②)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动.设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t,使 得四边形OMDB的面积等于9？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)在（(2)的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动， 设射线DN交y轴于点E.设运动时间为t秒，直接写出S△EwD-SAOEN的值. 48.(24-25七年级下湖北随州期末)已知点A(a,0),B(0,b),且a+1+Vb-3=0 B D C 图1) 图(2) (1)求AB两点坐标： (2)将线段AB平移至线段CD(点A与C对应，点B与D对应)， ①如图(1)，若点D坐标为m,m),点C在y轴上，求点C的坐标； ②如图(2)，若点D坐标为(6,0)，点P在坐标轴上，三角形APB的面积是三角形PCD面积的2倍，直接写 17/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 出P点坐标. 49.(24-25七年级下湖北武汉·期末)如图，在平面直角坐标系中，点Aa,0),B(0,b),C(0,c.且a,b,c满 足(a+8)+lb-10+V2c+4=0, b B B (1) (2) 备用图 (1)直接写出点A,B,C的坐标： (2)如图(1)，M(x,y)是线段AB上一点， ①求x,y之间的关系； ②若点N的坐标是(-x,y),连接AN、CN,且S。4Cw=28,求点M的坐标； ③)如图(2，过点C作直线WB,已知Pm,是上的一点，且0<Sc≤48，直接写出的取值范围 50.(24-25七年级下.云南昭通期末)如图，已知点A(a,0),B(b,0,且满足(a+5)2+b-1=0.将线段AB 先向上平移5个单位，再向左平移1个单位后得到线段DC，连接AD,BC. OB 备用图 (1)求a、b的值； (2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度沿0C向上运动.设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形 0ADM的面积等于号？ (3)在(2)的条件下，点M从0点出发的同时，点N从A点出发，以每秒个单位的速度沿x轴向右运动， 直线DN交y轴于点E.在运动过程中，三角形EMD与三角形EON的面积之差是否会发生变化？请说明理 由. 18/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 19/19