精品解析：安徽合肥市第四十五中学菱湖分校2025--2026学年下学期八年级数学期中练习单

八年级数学期中练习单 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列式子中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 1，，2 B. 7，24，25 C. 6，6，8 D. 5，12，11 5. 当时，化简的结果为（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使（如图）．以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，学校园林设计师，打算在长为，宽为的矩形地面的中间种植草坪．草坪四周种植花卉，如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点在边上，且，，点、P分别是边、上的动点，则最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 10. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围为_____． 12. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是__________． 13. 已知是方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 14. 如图，在中，，，是射线上的动点，， （1）当时，_____． （2）当是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点． （1）在平面直角坐标系中描出点； （2）填空：__________，__________； （3）判断的形状，并说明理由． 18. 为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒元，求每次降价的百分率 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为0，求的值以及另一个根． 20. 某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米，将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为6米（如图所示），求旗杆的高度． 21. 阅读下列解题过程： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ⋯ 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出第4个等式__________； （2）利用上面的规律，则__________； （3）写出你猜想的第为正整数）个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 22. 综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】 素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为元． 【问题解决】 （1）用含的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是__________件； （2）已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格； （3）该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由． 23. 如图1，在中，于点． （1）求的长； （2）如图2，若点是线段延长线上的一点，作于点，交于点，连接，且． ①求证：是等腰三角形： ②求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期中练习单 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列式子中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵选项A中是三次根式，不是二次根式，∴A不符合要求； ∵选项C中，被开方数是能开得尽方的因数，∴C不是最简二次根式，不符合要求； ∵选项D中的被开方数含分母，可化简为，∴D不是最简二次根式，不符合要求； ∵选项B中根指数为2，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，∴选B． 2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程需满足的三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，逐一判断各选项即可. 【详解】解：选项A： 满足全部三个条件，是一元二次方程； 选项B： 中未知数最高次数为1，不符合定义； 选项C： 含有x和y两个未知数，不符合定义； 选项D： 是分式方程，不是整式方程，不符合定义. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的加减乘除运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 1，，2 B. 7，24，25 C. 6，6，8 D. 5，12，11 【答案】B 【解析】 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项验证即可求解． 【详解】解：A．不是正整数，不符合题意． B．∵， ∴，且三个数均为正整数，故B符合题意． C．，，，故C不符合题意． D．，，，故D不符合题意． 5. 当时，化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴. 6. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 7. 小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使（如图）．以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】勾股定理求出的长即可得出结果. 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴点P所表示的数. 8. 如图，学校园林设计师，打算在长为，宽为的矩形地面的中间种植草坪．草坪四周种植花卉，如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据草坪的长为，宽为，利用矩形的面积公式结合草坪的面积为总面积的，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设花卉带的宽度为， 矩形地面的长为，宽为，且四周花卉带宽度相同， ∴中间草坪的长为，宽为， ∴草坪的面积为， 草坪的面积为总面积的，总面积为， 可列方程为：． 9. 如图，在中，，，点在边上，且，，点、P分别是边、上的动点，则最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称中最短路线问题，含30度角的直角三角形特征，作点N关于的对称点，作于M，交于P，此时最小，即的长度，先求出，在中，利用含30度角的直角三角形特征求出，利用对称性求出的长度，从而得出最后结果． 【详解】解：如图，作点N关于的对称点，作于M，交于P，此时最小，即的长度， 在中，，， ， 在中，, , ，，， ， ， 最小值为6， 故选：B． 10. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据根式有意义的定义，得不等式，求解即可． 【详解】解：若要根式有意义， 则， 解得． 12. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于，据此列出关于的方程，求解即可得到的值. 【详解】解：方程 中， ，，， 方程有两个相等的实数根， ， 即 ， ∴ ， 解得 . 13. 已知是方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 【答案】69 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，得到，，然后将所求代数式变形为，进而计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 14. 如图，在中，，，是射线上的动点，， （1）当时，_____． （2）当是直角三角形时，的长为______． 【答案】 ①. ， ②. ，或 【解析】 【分析】（1）分类讨论：当P在线段上时，证明是等边三角形即可求解；当P在线段的延长线上时，过P作于G，在中，分别根据余弦、正弦的定义求出、，然后在中根据勾股定理求解即可； （2）分类讨论，当时，分两种情况讨论，情况一：P在线段上，如图，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论；情况二：P在线段的延长线上，如图，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，易得为等边三角形，利用锐角三角函数可得的长；易得，利用勾股定理可得的长；当时，如图，由对顶角的性质可得，利用正弦的定义求出的长即可； 【详解】解：∵，， ∴， （1）当P在线段上时，如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴； 当线段的延长线上时，如图，过P作于G， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 综上，的长为1或， 故答案为：1或； （2）当，P在线段上时，如图， ，， ， ， 为等边三角形， ； 当，P在线段的延长线上时，如图， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ； 当时，如图， ， ， ， 在直角三角形中， ； 综上，的长为，或 故答案为：，或． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，含直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，等边三角形的判定与性质等知识，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可. 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解的方法解方程即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或. 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得：或. 17. 如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点． （1）在平面直角坐标系中描出点； （2）填空：__________，__________； （3）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2）； （3）是等腰直角三角形，详见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标系中描点，勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理和逆定理，是解题的关键： （1）根据点的坐标，描点即可； （2）勾股定理进行求解即可； （3）利用勾股定理和逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 解：由题意，描点如下： 【小问2详解】 解：由勾股定理，得：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵，由（2）知：，且 ∴，， ∴是等腰直角三角形． 18. 为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒元，求每次降价的百分率 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每次降价的百分率为x，根据两次降价后每盒元，可列方程，解方程即可求出降价的百分率． 【详解】解：设每次降价的百分率为x． 由题意，得． 解得，（舍去）． 答：每次降价的百分率为． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为0，求的值以及另一个根． 【答案】（1）见解析 （2），另一个根为 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式证明即可； （2）设方程的另一个根为，可得，进一步求解即可. 【小问1详解】 证明：方程变形为， ， ． ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：方程变形为，设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得， 解得． ，另一个根为． 20. 某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米，将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为6米（如图所示），求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为9米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设米，则绳子长为米，再由题意得出米，然后由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：设米，则绳子长为米， ∴米， 由题意得：四边形是长方形， ∴米， ∴米， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度为9米． 21. 阅读下列解题过程： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ⋯ 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出第4个等式__________； （2）利用上面的规律，则__________； （3）写出你猜想的第为正整数）个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 【答案】（1）29 （2）2025 （3），见解析 【解析】 【分析】（1）根据规律，得第一个因数与第四个因数结合，第二个因数与第三个因数结合，求解即可； （2）根据规律，得第一个因数与第四个因数结合，第二个因数与第三个因数结合，求解即可； （3）用n表示连续的整数，结合完全平方公式，写出规律再证明即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 猜想： ． 证明： ． 22. 综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】 素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为元． 【问题解决】 （1）用含的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是__________件； （2）已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格； （3）该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）50元/件 （3）该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元，见解析 【解析】 【分析】（1）小家电的数量等于原来的数量100加上增长的数量，列式化简即可； （2）根据利润等于单价乘以数量列方程，求解方程，即可得解； （3）根据利润等于单价乘以数量列方程，根据判别式判断方程解的情况． 【小问1详解】 解：该商场每天售出小家电的数量是件， 故答案为； 【小问2详解】 解：根据题意得， 整理得， ， 解得，（不合题意，舍去） 答：该商场销售这种小家电每天的利润是1250元时，这种小家电的价格为50元/件； 【小问3详解】 解：该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 理由：根据题意得， 整理得， ， 此一元二次方程没有实数根， 该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 23. 如图1，在中，于点． （1）求的长； （2）如图2，若点是线段延长线上的一点，作于点，交于点，连接，且． ①求证：是等腰三角形： ②求的长． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）先求解，，再进一步利用勾股定理求解即可； （2）①先证明，结合，可得，进一步可得结论；②证明，可得，求解设，则，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ． 【小问2详解】 （2）①， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． ②， 设的高为， ， ， ， 在中，， 设，则， 即， 解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $