专题02 计数原理（期末真题汇编，江苏专用）高二数学下学期

**基本信息** 江苏多地高二期末计数原理专题汇编，涵盖排列组合计算与应用、二项式定理（选填及解答）4大高频考点，精选地域真题，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选/多选/填空|约30题|排列数组合数计算、排列组合综合应用（节目安排/分配问题）、二项式定理系数及常数项|基础题与综合题梯度分布，情境贴近生活（如志愿者组队、通信节点选择）| |解答题|11题|二项式定理展开式分析、系数和计算、实际问题建模|注重逻辑推理与运算能力，融合地域期末真题典型考法|

专题02 计数原理 4大高频考点概览 考点01排列数与组合数的计算 考点02排列与组合的综合应用 考点03二项式定理（选填） 考点04 二项式定理（解答） ( 地 城 考点01 排列数与组合数的计算 )1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】BCD 8．【答案】BC 9．【答案】ABD 10．【答案】BD 11．【答案】 12．【答案】34 ( 地 城 考点02 排列与组合的综合应用 ) 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】AB 12．【答案】BC 13．【答案】480 14．【答案】 15．【答案】 328 329 ( 地 城 考点0 3 二项式定理（选填） ) 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】ABD 6．【答案】AB 7．【答案】BC 8．【答案】ABC 9．【答案】AD 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】11 13．【答案】511 14．【答案】 15．【答案】 24 ( 地 城 考点0 4 二项式定理（解答） ) 1．【答案】(1)256．(2)． 2．【答案】(1)(2)(3) 3．【答案】(1)(2)2241 4．【答案】(1)(2) 5．【答案】(1)(2) 6．【答案】(1)9；(2). 7．【答案】(1)80(2)2(3) 8．【答案】(1)7(2)128.45(3) 9．【答案】(1)(2)(3) 10．【答案】(1) （2）证明：因为 ， 所以； （3）证明：因为由（2）知， 所以 ． 11.【答案】(1)，(2)(3) 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 计数原理 4大高频考点概览 考点01排列数与组合数的计算 考点02排列与组合的综合应用 考点03二项式定理（选填） 考点04 二项式定理（解答） ( 地 城 考点01 排列数与组合数的计算 )1．（24-25高二下·江苏泰州·期末）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数与组合数的公式计算，可得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高二下·江苏·期末）若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据组合数与排列数的计算公式，将原方程化简整理，即可求出结果. 【详解】由，可得：,且， 解得：. 故选：A 3．（24-25高二下·江苏淮安·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数计算公式判断AB，根据组合数计算公式判断CD. 【详解】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，错误； 对于C，因为， 所以，错误； 对于D，因为，所以，正确. 故选：D 4．（24-25高二下·江苏无锡·期末）已知均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排列数和组合数 的定义及递推公式，逐一验证各选项. 【详解】选项A： ，，两边相等，A正确. 选项B：，两边相等，B正确. 选项C：这是组合数的杨辉恒等式，直接成立， C正确. 选项D：，取， 左边，右边左右两边显然不相等，等式不成立，D错误. 故选： 5．（24-25高二下·江苏·期末）（   ） A．55 B．120 C．165 D．220 【答案】C 【分析】利用组合数的性质计算得解. 【详解】 . 故选：C 6．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知，且，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列数的运算性质即可判断AC，根据组合数的运算性质即可判断BD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 7．（25-26高二上·江苏·期末）（多选）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用排列数公式，组合数公式一一判断即可. 【详解】，故A 错误； ，故B正确； ，故C正确； 因为，且， 所以，故D正确. 故选：BCD 8．（24-25高二下·江苏常州·期末）（多选）下列结论正确的是（ ） A．若，则正整数的值是 B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，根据组合数性质即可求解；对于B，根据排列数的计算性质即可求解；对于C，根据组合数的性质即可求解；对于D，根据组合数的性质即可求解. 【详解】对于A，因为， 所以或， 即或，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由组合数公式可知，故C正确； 对于D，，， ， ，故D错误． 故选：BC． 9．（24-25高二下·江苏苏州·期末）（多选）若，为正整数且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】对于A：根据组合数公式分析判断；对于B：根据组合数性质分析判断；对于CD：根据排列数公式分析判断. 【详解】因为，为正整数且， 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为， 则 ， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，所以，故C错误； 对于选项D：因为 ， 所以，故D正确； 故选：ABD. 10．（24-25高二下·江苏南京·期末）（多选）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据二项式展开式计算结合组合数运算判断各个选项. 【详解】，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项错误； 因为， 所以，D选项正确； 故选：BD. 11．（25-26高二上·江苏南京·期末）计算的值为______．（用数字作答） 【答案】 【分析】利用组合数的性质以及排列数、组合数公式可得结果. 【详解】. 故答案为：. 12．（24-25高二下·江苏苏州·期末）若，则的值为______． 【答案】34 【分析】先由组合数的性质求解，再由组合数的性质化简求解即可. 【详解】因为，所以或（舍去），解得， 所以 ． 故答案为：． ( 地 城 考点02 排列与组合的综合应用 ) 1．（24-25高二下·江苏徐州·期末）某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（   ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】A 【分析】利用捆绑法即可求解. 【详解】利用捆绑法排3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目有种. 故选：A. 2．（24-25高二下·江苏扬州·期末）从4名男生、3名女生中选择3人组成一支志愿者小分队，要求男、女生都有，不同的组队方案共有（    ） A．30种 B．34种 C．48种 D．60种 【答案】A 【分析】根据题意，按选出的男女人数不同，分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①选出的3人为2男1女，有种选法； ②选出的3人为1男2女，有种选法；所以一共有种选法. 故选：A. 3．（24-25高二下·江苏南通·期末）将4本不同的书分给3名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为（   ） A．24 B．36 C．64 D．72 【答案】B 【分析】根据题意先分组后分配，利用排列组合数计算即可. 【详解】由题意，4本不同的书可以分成2,1,1三组，有种分组方法，再分给3名学生，有种分配方法， 所以，不同的分配方法数为. 故选：B. 4．（24-25高二下·江苏·期末）若5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由乘法原理，每个学生均有3种选择方法，所以不同的报名方法数为， 故选：B． 5．（24-25高二下·江苏泰州·期末）甲、乙、丙、丁、戊五位学生报名参加环保志愿服务、宣传志愿服务、敬老志愿服务，每位学生只参加一项服务，每项服务均有学生参加．若甲只能参加环保志愿服务，则不同的报名方式有（   ） A．36种 B．50种 C．56种 D．120种 【答案】B 【分析】首先计算总分配方式，然后减去不符合条件（注意重复）的情况即可. 【详解】甲只能参加环保志愿服务，剩余四人（乙、丙、丁、戊）每人有3种选择（环保、宣传、敬老），总共有种， 若是宣传无人，四人只能选择环保或敬老，每人两种选择，共：种， 若是敬老无人，四人只能选择环保或宣传，每人两种选择，共：种， 若是宣传和敬老同时无人，四人都只能选择环保，仅1种， 因此符合条件的分配方式为：种. 故选：B. 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）有甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同排列方式共有（   ） A．12种 B．8种 C．6种 D．4种 【答案】B 【分析】利用捆绑法求出丙和乙相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况，得出甲站在两端且乙和丙相邻的情况，最后间接法即可求出结果． 【详解】把丙和乙捆绑在一起，4个人任意排列，有种情况， 甲站在两端的情况有种情况，甲站在两端且乙和丙相邻的情况有， 甲不站在两端，丙和丁不相邻的不同排列方式有种.故选：B． 7．（24-25高二下·江苏南京·期末）将各位数字之和为6的三位数叫“幸运数”，比如123，402，则所有“幸运数”的个数为（   ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】C 【分析】应用分类加法原理计算得出幸运数的个数即可. 【详解】当百位数字是6，其他数字是0，此时幸运数有1个； 当百位数字是5，其他数字是0和1，此时幸运数有2个； 当百位数字是4，其他数字是1和1或者是0和2，此时幸运数有个； 当百位数字是3，其他数字是1和2或者是0和3，此时幸运数有个； 当百位数字是2，其他数字是2和2或者是0和4或者是1和3，此时幸运数有个； 当百位数字是1，其他数字是2和3或者是1和4或者是0和5，此时幸运数有个； 所以幸运数的个数为. 故选：C. 8．（24-25高二下·江苏苏州·期末）从0，1，2，3，4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（   ） A．48 B．60 C．72 D．100 【答案】A 【分析】由分步乘法计算原理可求. 【详解】根据题意，先选百位，百位有4个数字可选，剩余2位全排， 所以组成无重复数字的三位数的个数为. 故选：A. 9．（24-25高二下·江苏·期末）如图，在一个的区域内（每个交叉点可视为一个通信节点位置），有16个潜在的通信节点位置，为了建立一个稳定的通信网络，需要选择3个节点，且这3个节点不能在同一条直线上（否则会存在信号干扰或覆盖缺陷），则不同的节点选择方案数量为（   ） A．576 B．528 C．520 D．516 【答案】D 【分析】根据先从16个点取3个去掉共线情况结合组合数公式计算求解. 【详解】在一个的区域内有16个潜在的通信节点位置，需要选择3个节点，共有种情况； 4点共线有10种情况，3点共线有4种情况， 所以满足条件的点有. 故选：D. 10．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）某位同学用一根直径3cm，长度30cm，粗细均匀的圆木棒做接力棒，先按长度将其划分成每段为10cm的三个区域，再将每个区域漆上一种颜色，要求相邻区域的颜色不能相同，现有红、黄、蓝三种颜色的油漆可以选取，则漆出的外观有（    ）种可能． A．18 B．15 C．12 D．9 【答案】D 【分析】根据分类、分步计数原理及排列组合的知识即可求出总方案数. 【详解】根据题意，如只使用两种颜色，则两端颜色一定相同，共有种， 如使用三种颜色，考虑对称性（如红、黄、蓝与蓝、黄、红实际是一种情况），共有种， 总方案数为种. 故选：D. 11．（24-25高二下·江苏连云港·期末）（多选）用0，1，2，3，4，5，6这7个数字，可以组成（    ） A．180个无重复数字的三位数 B．75个无重复数字且为奇数的三位数 C．30个无重复数字且能被25整除的四位数 D．480个无重复数字且比1300大的四位数 【答案】AB 【分析】根据分步乘法原理，由选项中的限制条件，逐项计算，可得答案. 【详解】对于A，无重复数学的三位数的情况数为，故A正确； 对于B，为奇数的三位数的个位可选的数字有，则无重复数学且为奇数的三位数的情况数为，故B正确； 对于C，能被整除的四位数的最后两位有，则无重复数字且能被整除的四位数的情况数有，故C错误； 对于D，当千位比大的无重复数字的四位数的情况数有； 当千位为且百位比大的无重复数字的四位数的情况数有； 当千位为、百位为且十位比大的无重复数字的四位数的情况数有； 当千位为、百位为、十位为且个位比大的无重复数字的四位数的情况数有. 综上可得，故D错误. 故选：AB. 12．（24-25高二下·江苏镇江·期末）（多选）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种 B．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 C．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 D．甲乙不相邻的排法种数为36种 【答案】BC 【分析】利用捆绑法，元素分析法，位置分析法，插空法即可判断各选项. 【详解】对于A，甲、乙必须相邻，可将其看成一个整体，有种排法，故A错误； 对于B，甲乙丙按从左到右的顺序排列，先排丁戊两人，剩余3个位置依次站甲乙丙，有种排法，故B正确； 对于C，若甲排最左端，有种排法，若乙排最左端，有种排法， 所以总共有种排法，故C正确； 对于D，先排丙丁戊三人，再将甲乙插空，总共有种排法，故D错误. 故选：BC. 13．（24-25高二下·江苏盐城·期末）甲、乙等6人排成一排照相，其中甲、乙两人不相邻的排法数为_______．（用数字表示） 【答案】480 【分析】根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式求解发. 【详解】依题意，甲、乙两人不相邻的排法数为. 故答案为：480 14．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知，且，则满足条件的有序数组共有______个． 【答案】 【分析】根据题意可得的值两个为，一个为，利用分步计数原理可解. 【详解】由于， 所以或， 又由于， 所以的值两个为，一个为， 其中为，则一个为一个为，故有种， 另外为，则都为或都为，共有种， 所以满足条件的有序数组共有种. 故答案为： 15．（24-25高二下·江苏镇江·期末）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且集合A中的元素任意两个之积皆为偶数，则集合A中元素为偶数的个数最大值为______，集合A中元素个数的最大值为______． 【答案】 328 329 【分析】分析集合中元素最多只能有一个奇数，其他都是偶数，再根据分类加法和分步乘法计数原理，计算有多少个元素. 【详解】集合中任意两个数之积皆为偶数，则集合中最多只能有一个奇数，其他都是偶数， 先计算所有偶数有多少， 情况一：三位数偶数末位是0，则有种， 情况二：末位不是0，则有种， 集合A中元素个数的最大值为，集合A中元素为偶数的个数最大值为328. 故答案为：328；329. ( 地 城 考点0 3 二项式定理（选填） ) 1．（24-25高二下·江苏镇江·期末）的展开式中中间一项的系数是（    ） A． B． C．20 D．160 【答案】B 【分析】先判断中间一项含有，再写出的展开式的通项公式，利用赋值法得到，再求出，最后得到答案即可. 【详解】易得，且两个二项式的中间项相同，为含有项， 由二项式定理得的展开式的通项公式为， 令，解得，故， 则展开式中含有项的系数是，故B正确. 故选：B 2．（24-25高二下·江苏连云港·期末）展开式中的常数项为（    ） A．40 B．60 C．80 D．120 【答案】B 【分析】由二项式定理写出括号展开式的通项公式，利用赋值法，可得答案. 【详解】由的展开式通项为， 则令，即，常数项为. 故选：B. 3．（24-25高二下·江苏镇江·期末）若的展开式中，各项的二项式系数之和为128，系数和为，则除于13的余数是（   ） A．0 B．3 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据二项式系数之和求出的值，再根据系数和求出的值，最后计算除以的余数. 【详解】由二项式系数和，得 代入，得，解得： 计算除以： 先把写成，则 根据二项式定理得： 除了这项外，其余项都含有因数能被整除 所以除以余数和除以余数相同 除以商余， 所以除以余数是 故选：C. 4．（24-25高二下·江苏南京·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A．90 B．60 C．30 D．20 【答案】A 【分析】根据这一项的生成过程，即可求解. 【详解】要生成这一项，相当于从5个含有的括号中，2个取出，1个取出，2个取出， 即，所以的系数为. 故选：A 5．（24-25高二下·江苏淮安·期末）（多选）已知，则下列说法中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则中含项的系数为48 D．若为偶数，则能被4整除 【答案】ABD 【分析】逆用二项式定理求得，解方程判断AB；先求出，再根据这一项的生成过程分类讨论求解系数判断C；，结合二项展开式可得能被4整除判断D. 【详解】因为，所以，即， 对于A，若，则，解得，正确； 对于B，若，则，即， 由单调递减，及，可得，正确； 对于C，若，则，解得， 对于二项式，要生成这一项，相当于从5个含有的括号中， 若2个取出，1个取出，2个取出，则， 若1个取出，3个取出，1个取出，则， 若5个取出，则， 所以的系数为，错误； 对于D，，为偶数，不妨记， 则 能被8整除，所以能被4整除，正确. 故选：ABD 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．展开式的二项式系数和 D．展开式中二项式系数最大的项为第6项 【答案】AB 【分析】根据通项公式判断A，根据赋值法判断B，根据二项式系数的性质判断CD. 【详解】A.是前的系数，所以，故A正确； B.赋值，得，赋值，， 两式相加后除以2得，故B正确； C.展开式二项式系数的和为，故C错误； D.展开式二项式系数最大值为，是第4项和第5项，故D错误. 故选：AB 7．（24-25高二下·江苏扬州·期末）（多选）已知，下列选项中正确的有（    ） A． B．，，，…，中，最大 C． D． 【答案】BC 【分析】根据二项式定理，求出指定项的系数，和系数最大的项的系数，再根据展开式，赋特殊值，求出所有系数之和以及所有系数绝对值的和，判断各选项正误. 【详解】由题意知的展开式为，则当时，，所以，所以A错误. 所有项的系数，可知所有系数正负交替出现，可知在中，最大的是，其中，所以最值为，所以B正确. 令，则，所以C正确. 令，则，所以D错误. 故选：BC. 8．（24-25高二下·江苏镇江·期末）（多选）已知，则正确的是（    ） A． B． C． D．，，，…，这8个数中最大 【答案】ABC 【分析】令，则，则可判断；利用赋值法可判断；对两边求导，再利用赋值法可判断；根据二项式系数的对称性及增减性可判断. 【详解】令， 则， 对于：，故正确； 对于：令， 可得，即，故正确； 对于：对两边求导， 得， 令，得，即，故正确； 对于：根据二项式系数的对称性及增减性可知， ，，，…，这8个数中与最大.故错误. 故选：. 9．（24-25高二下·江苏盐城·期末）（多选）已知的展开式中常数项为32，则（    ） A． B．二项式系数和为64 C．含的项的系数为80 D．所有项的系数和为243 【答案】AD 【分析】先写出二项展开式的通项，令即可得到常数项，从而求出的值，判断A选项；B选项利用二项式系数公式进行求解；C选项令可求解；D选项采用赋值法可得解. 【详解】设的展开式的通项为， 对于A选项，因为展开式中常数项为32，所以令得，， 解得，故A正确； 对于B选项，二项式系数和为，故B错误； 对于C选项，令，则， 所以含的项的系数为40，故C错误； 对于D选项，令，则所有项的系数和为，故D正确. 故选：AD. 10．（25-26高二上·江苏常州·期末）设被9除所得的余数为，则的展开式中的常数项为___________． 【答案】 【分析】由得出值，再根据的展开式通项列方程求解即可． 【详解】由于， 所以； 由于被9除所得的余数为8， 故即的展开式为， 当时，常数项为． 故答案为：． 11．（24-25高二下·江苏镇江·期末）的展开式中的系数是_________．（结果用数字表示） 【答案】 【分析】利用二项展开式通项以及组合数性质可求得展开式中的系数. 【详解】当且时，的展开式通项为， 所以的展开式中的系数是 . 故答案为：. 12．（24-25高二下·江苏连云港·期末）若，则的值为________． 【答案】11 【分析】利用赋值法及二项展开式通项求解可得结果. 【详解】令，可得， 令，可得. 由可得，，， 所以. 故答案为：11. 13．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在的展开式中，x的奇次项的系数和为______． 【答案】511 【分析】利用赋值法，分别令，作差即可得解. 【详解】设， 令，则， 令，则， 两式相减可得，， 解得. 故答案为：511 14．（24-25高二下·江苏无锡·期末）已知函数为其导函数，则的展开式中的常数项为_______．（用数字作答） 【答案】 【分析】函数求导得，求含的项即可求出的常数项，求的常数项和含的项即可求出的常数项，通过求和即可求得的展开式中的常数项. 【详解】由得， 因为的通项公式， 令，， 所以的常数项为. 因为的通项公式, 令，， 令，, 所以的常数项为. 的展开式中的常数项为. 故答案为：. 15．（24-25高二下·江苏扬州·期末）类比排列数公式，定义（其中，），将右边展开并用符号表示（，）的系数，得，则： （1）______；（结果用数字表示） （2）若，（，），则______． 【答案】 24 【分析】根据定义的函数，写出对应的函数，根据函数解析式，求出，再根据定义函数的性质，构造一个新的函数，再根据其展开式，列出其中相等的项，写出方程，化简即可求出结果. 【详解】由题意知，则时一次项系数，则， 即. 由题意得， 展开得， 可得， 因为，，所以， 故答案为：24；. ( 地 城 考点0 4 二项式定理（解答） ) 1．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知（为常数）． (1)当时，求的二项展开式中各项系数的和； (2)若的二项展开式中常数项为24，求实数的值． 【答案】(1)256． (2)． 【分析】（1）利用赋值法，令即可得解； （2）利用二项展开式通项公式求解. 【详解】（1）当时， 因为，令时， 则的二项展开式中各项系数的和为． （2）因为的二项展开式的第项， ， 因为的二项展开式中常数项为24， 所以，即， 又因为，所以，即． 2．（24-25高二下·江苏徐州·期末）已知的展开式中，二项式系数的和为64，求： (1)； (2)含的项； (3)偶数项的系数的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二项式系数的和可求； （2）根据二项展开式的通项可求含的项； （3）利用通项公式可求偶数项的系数的和． 【详解】（1）由题意得，所以． （2）由（1）知，则展开式的通项为． 令，得， 所以含的项为． （3）展开式中第2项系数为， 第4项系数为， 第6项系数为， 所以展开式中偶数项的系数和为． 3．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）已知n满足，在的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项： (2)所有有理项的系数和． 【答案】(1) (2)2241 【分析】（1）解方程求出，根据可知展开式中二项式系数最大项为，即可得解； （2）由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的有理项即可得解． 【详解】（1）由可得， 解得或（舍去）， 所以展开式中，二项式系数最大的项为 . （2）二项式展开式的通项为， 且，当为整数时，或或， 所以，，， 故展开式所有有理项的系数和为. 4．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二项式展开式化简题干等式，再令，可得出所求代数式的值； （2）利用二项展开式通项求出的展开式中的系数，即为的值. 【详解】（1）因为 ， 令可得 . （2）的展开式通项为， 令，可得， 由题意可知，为的展开式中的系数，故. 5．（24-25高二下·江苏苏州·期末）设函数 (1)当时，求表达式的展开式中含有项的系数； (2)当时，求表达式的展开式中的常数项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的通项，然后令即可求解项的系数； （2）先求出的通项，然后令即可求解常数项. 【详解】（1）当时，， 其展开式通项为， 令，得， 所以展开式中含有项的系数为． （2）当时，， 的展开式通项为， 令，得， 所以展开式中的常数项为． 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知. (1)若，求的值； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)9； (2). 【分析】（1）利用二项式定理求出，进而列式求出值. （2）利用赋值法求出，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求出. 【详解】（1）依题意，， 所以. （2）当时，，则，， 所以数列的前项和. 7．（24-25高二下·江苏常州·期末）设，求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)80 (2)2 (3) 【分析】（1）利用通项求解； （2）由求出的值，求出的值，即可求出的值； （3）由求出的值，再利用平方差公式求解. 【详解】（1）由二项式定理可知，在展开式中，第项为 ．        当时，展开式中含的项的系数为， ∴． （2）令，得，即．            令，得，即， ∴． （3）令，得， 即．                ∴ ． 8．（24-25高二下·江苏·期末）已知（，）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列. (1)求的值； (2)求的近似值（精确到0.01）； (3)求的二项展开式中系数最大的项. 【答案】(1)7 (2)128.45 (3) 【分析】（1）根据二项式系数列方程，即可求解， （2）利用二项式展开，即可代入求解， （3）根据二项式展开式的通项，列不等式求解即可. 【详解】（1）∵展开式中第2，3，4项的二项式系数成等差数列， ∴，整理得,解得， 又∵，∴ （2） （3） 依题意得，，即, 解之，， 又∵，∴ 故展开式中系数最大得项为 9．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知在 的展开式中满足，且常数项为 求： (1)a的值; (2)展开式中的系数（用数字作答）： (3)从展开式中的所有项任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法. （用数字作答） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）写出二项展开式的通项并令的指数为0，利用常数项为即可求得； （2）利用通项公式，令，得，即可得解； （3）由通项可知展开式中有理项共有6项，无理项有5项，再利用分类分步计数原理即可求得结果. 【详解】（1）根据展开式的通项可得， 令，解得， 即时，常数项， 解得； （2）由（1）知， 令，解得， 故展开式中的系数为； （3）令，，解得， 即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项； 所以从展开式中的所有项中任取三项， 取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有种. 10．（24-25高二下·江苏无锡·期末）已知的展开式的各项系数和为256. (1)求展开式中的常数项； (2)设，证明：； (3)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意得，求出，再求出二项式展开式的通项公式，令的次数为0，求出，从而可求出展开式中的常数项； （2）根据阶乘公式化简等式右边即可； （3）根据（2）的结论，利用裂项相消求和法可证得结论. 【详解】（1）因为的展开式的各项系数和为256， 所以，解得， 所以， 展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中的常数项为； （2）证明：因为 ， 所以； （3）证明：因为由（2）知， 所以 ． 11.（24-25高二下·江苏·期末）我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． (1)求和的值； (2)求的值； (3)当为偶数时，求（用表示）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据定义可知，当，范数为奇数时，中0的个数为0或2，根据乘法原理和加法原理求解即可； （2）当为奇数时，要使范数为奇数，则0的个数一定为偶数，可按0的个数为分情况讨论，再根据和的展开式得到的通项公式即可求解； （3）同（2），按0的个数分情况讨论，利用新定义求出的通项公式，再根据组合数的性质化简求解即可. 【详解】（1）由题意可知，当，范数为奇数时，的个数为偶数， 即中0的个数为0或2， 所以根据乘法原理和加法原理可得，. （2）由题意可知，当为奇数时，在中要使范数为奇数，则0的个数一定为偶数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 根据乘法原理和加法原理可得， 因为①， ②， 所以得， 所以. （3）当为偶数时，在向量中，要使范数为奇数，则的个数一定为奇数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 所以， ， 解法一：因为， 所以 . 解法二：因为③， ④， 得， 又因为， 所以 . 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 计数原理 4大高频考点概览 考点01排列数与组合数的计算 考点02排列与组合的综合应用 考点03二项式定理（选填） 考点04 二项式定理（解答） ( 地 城 考点01 排列数与组合数的计算 )1．（24-25高二下·江苏泰州·期末）可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏·期末）若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（24-25高二下·江苏淮安·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏无锡·期末）已知均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏·期末）（   ） A．55 B．120 C．165 D．220 6．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知，且，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏·期末）（多选）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏常州·期末）（多选）下列结论正确的是（ ） A．若，则正整数的值是 B． C． D． 9．（24-25高二下·江苏苏州·期末）（多选）若，为正整数且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 10．（24-25高二下·江苏南京·期末）（多选）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·江苏南京·期末）计算的值为______．（用数字作答） 12．（24-25高二下·江苏苏州·期末）若，则的值为______． ( 地 城 考点02 排列与组合的综合应用 )1．（24-25高二下·江苏徐州·期末）某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（   ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 2．（24-25高二下·江苏扬州·期末）从4名男生、3名女生中选择3人组成一支志愿者小分队，要求男、女生都有，不同的组队方案共有（    ） A．30种 B．34种 C．48种 D．60种 3．（24-25高二下·江苏南通·期末）将4本不同的书分给3名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为（   ） A．24 B．36 C．64 D．72 4．（24-25高二下·江苏·期末）若5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．（24-25高二下·江苏泰州·期末）甲、乙、丙、丁、戊五位学生报名参加环保志愿服务、宣传志愿服务、敬老志愿服务，每位学生只参加一项服务，每项服务均有学生参加．若甲只能参加环保志愿服务，则不同的报名方式有（   ） A．36种 B．50种 C．56种 D．120种 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）有甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同排列方式共有（   ） A．12种 B．8种 C．6种 D．4种 7．（24-25高二下·江苏南京·期末）将各位数字之和为6的三位数叫“幸运数”，比如123，402，则所有“幸运数”的个数为（   ） A．19 B．20 C．21 D．22 8．（24-25高二下·江苏苏州·期末）从0，1，2，3，4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（   ） A．48 B．60 C．72 D．100 9．（24-25高二下·江苏·期末）如图，在一个的区域内（每个交叉点可视为一个通信节点位置），有16个潜在的通信节点位置，为了建立一个稳定的通信网络，需要选择3个节点，且这3个节点不能在同一条直线上（否则会存在信号干扰或覆盖缺陷），则不同的节点选择方案数量为（   ） A．576 B．528 C．520 D．516 10．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）某位同学用一根直径3cm，长度30cm，粗细均匀的圆木棒做接力棒，先按长度将其划分成每段为10cm的三个区域，再将每个区域漆上一种颜色，要求相邻区域的颜色不能相同，现有红、黄、蓝三种颜色的油漆可以选取，则漆出的外观有（    ）种可能． A．18 B．15 C．12 D．9 11．（24-25高二下·江苏连云港·期末）（多选）用0，1，2，3，4，5，6这7个数字，可以组成（    ） A．180个无重复数字的三位数 B．75个无重复数字且为奇数的三位数 C．30个无重复数字且能被25整除的四位数 D．480个无重复数字且比1300大的四位数 12．（24-25高二下·江苏镇江·期末）（多选）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种 B．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 C．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 D．甲乙不相邻的排法种数为36种 13．（24-25高二下·江苏盐城·期末）甲、乙等6人排成一排照相，其中甲、乙两人不相邻的排法数为_______．（用数字表示） 14．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知，且，则满足条件的有序数组共有______个． 15．（24-25高二下·江苏镇江·期末）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且集合A中的元素任意两个之积皆为偶数，则集合A中元素为偶数的个数最大值为______，集合A中元素个数的最大值为______． ( 地 城 考点0 3 二项式定理（选填） )1．（24-25高二下·江苏镇江·期末）的展开式中中间一项的系数是（    ） A． B． C．20 D．160 2．（24-25高二下·江苏连云港·期末）展开式中的常数项为（    ） A．40 B．60 C．80 D．120 3．（24-25高二下·江苏镇江·期末）若的展开式中，各项的二项式系数之和为128，系数和为，则除于13的余数是（   ） A．0 B．3 C．10 D．11 4．（24-25高二下·江苏南京·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A．90 B．60 C．30 D．20 5．（24-25高二下·江苏淮安·期末）（多选）已知，则下列说法中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则中含项的系数为48 D．若为偶数，则能被4整除 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．展开式的二项式系数和 D．展开式中二项式系数最大的项为第6项 7．（24-25高二下·江苏扬州·期末）（多选）已知，下列选项中正确的有（    ） A． B．，，，…，中，最大 C． D． 8．（24-25高二下·江苏镇江·期末）（多选）已知，则正确的是（    ） A． B． C． D．，，，…，这8个数中最大 9．（24-25高二下·江苏盐城·期末）（多选）已知的展开式中常数项为32，则（    ） A． B．二项式系数和为64 C．含的项的系数为80 D．所有项的系数和为243 10．（25-26高二上·江苏常州·期末）设被9除所得的余数为，则的展开式中的常数项为___________． 11．（24-25高二下·江苏镇江·期末）的展开式中的系数是_________．（结果用数字表示） 12．（24-25高二下·江苏连云港·期末）若，则的值为________． 13．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在的展开式中，x的奇次项的系数和为______． 14．（24-25高二下·江苏无锡·期末）已知函数为其导函数，则的展开式中的常数项为_______．（用数字作答） 15．（24-25高二下·江苏扬州·期末）类比排列数公式，定义（其中，），将右边展开并用符号表示（，）的系数，得，则： （1）______；（结果用数字表示） （2）若，（，），则______． ( 地 城 考点0 4 二项式定理（解答） )1．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知（为常数）． (1)当时，求的二项展开式中各项系数的和； (2)若的二项展开式中常数项为24，求实数的值． 2．（24-25高二下·江苏徐州·期末）已知的展开式中，二项式系数的和为64，求： (1)； (2)含的项； (3)偶数项的系数的和． 3．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）已知n满足，在的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项： (2)所有有理项的系数和． 4．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 5．（24-25高二下·江苏苏州·期末）设函数 (1)当时，求表达式的展开式中含有项的系数； (2)当时，求表达式的展开式中的常数项． 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知. (1)若，求的值； (2)若，求数列的前项和. 7．（24-25高二下·江苏常州·期末）设，求值： (1)； (2)； (3)． 8．（24-25高二下·江苏·期末）已知（，）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列. (1)求的值； (2)求的近似值（精确到0.01）； (3)求的二项展开式中系数最大的项. 9．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知在 的展开式中满足，且常数项为 求： (1)a的值; (2)展开式中的系数（用数字作答）： (3)从展开式中的所有项任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法. （用数字作答） 10．（24-25高二下·江苏无锡·期末）已知的展开式的各项系数和为256. (1)求展开式中的常数项； (2)设，证明：； (3)求证：. 11.（24-25高二下·江苏·期末）我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． (1)求和的值； (2)求的值； (3)当为偶数时，求（用表示）． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $