专题06 统计与概率（期末真题汇编，江苏专用）高一数学下学期

**基本信息** 江苏多地高一下期末统计与概率试题汇编，覆盖百分位数、分层抽样等6大高频考点，以频率分布直方图、环保竞赛等真实情境为载体，注重基础计算与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约25题|百分位数（南通地铁人流量）、方差（淮安数据变换）、古典概型（南京摸球）|基础题聚焦核心概念计算，如第1题直接考查百分位数求解| |解答题|约10题|分层抽样（无锡工厂产品）、统计与概率综合（泰州环保竞赛）|综合题融合图表分析与概率计算，如第8题结合频率分布直方图估计80百分位数|

专题06 统计与概率 6大高频考点概览 考点01百分位数 考点02平均数、中位数、众数及方差 考点03分层抽样及样本方差 考点04 古典概率 考点05 独立事件、互斥事件及对立事件的概率 考点06 统计与概率综合 ( 地 城 考点01 百分位数 )1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】 6．【答案】89 7．【答案】18 8．【答案】(1)频率为，频数为；(2)(3)83.5. 9．【答案】(1)140人(2)岁(3) 10．【答案】(1)；(2)众数为65，中位数为67.69，平均成绩为67.60；(3)第70的分位数为75.83. 11．【答案】(1)，83.5(2)96kg 12．【答案】(1)，(2)(3) ( 地 城 考点02 平均数、众数、中位数及方差 ) 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】AD 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】AC 9．【答案】ACD 10．【答案】或3 11．【答案】 12．【答案】7 13．【答案】2 14．【答案】 ( 地 城 考点0 3 分层抽样及样本平均数、方差 ) 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】BCD 8．【答案】 9．【答案】(1)(2)(3) 10．【答案】(1)；人(2)(3)平均数为，方差为 11．.【答案】(1)(2)(3), ( 地 城 考点0 4 古典概率 ) 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】(1)样本空间见解析；；(2)第二次，第三次摸到红球的概率均为；(3)抽签中签的概率与抽签顺序无关 8．【答案】(1)(2) ( 地 城 考点0 5 独立事件、互斥事件及对立事件的概率 ) 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】BC 9．【答案】ABD 10．【答案】BD 11．【答案】ABC 12．【答案】BD 13．【答案】ACD 14．【答案】ACD 15．【答案】/ 16．【答案】0.6/ 17．【答案】 8 7 18．【答案】(1)(2) 19．【答案】(1)，(2) 20．【答案】(1)(2) 21．【答案】(1)；(2). ( 地 城 考点0 6 统计与概率综合 ) 1．【答案】(1)，(2)平均数为，第80百分位数为.(3) 2．【答案】(1)，分位数为分；(2). 3．【答案】(1)，(2) 4．【答案】(1)75，180(2)71(3) 5．【答案】(1)，平均数为；(2)；(3). 6．【答案】(1)；(2)；(3). 7．【答案】(1)，众数为，平均成绩为77.5.(2)(3)首场由比赛才能使获胜的概率最大． 8．【答案】(1)(2)(3)． 9．【答案】(1)(2)(3) 10．【答案】(1)，.(2). 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 统计与概率 6大高频考点概览 考点01百分位数 考点02平均数、中位数、众数及方差 考点03分层抽样及样本方差 考点04 古典概率 考点05 独立事件、互斥事件及对立事件的概率 考点06 统计与概率综合 ( 地 城 考点01 百分位数 )1．（24-25高一下·江苏盐城·期末）样本数据5，5，6，7，9的80百分位数为（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据百分位数的定义计算即得. 【详解】因，故数据5，5，6，7，9的80百分位数应是第4个数与第5个数的平均数，即. 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知数据1，2，3，4，5，6，7，8，则该组数据的上四分位数是（    ） A．6.5 B．6 C．2.5 D．2 【答案】A 【分析】求该组数据的上四分位数，即求第百分位数即可. 【详解】因为，所以找第六个和第七个数的平均数，即. 故选：A 3．（24-25高一下·江苏·期末）现有从小到大排列的数据2，3，4，，5，6，7，8，9，，10，11的25百分位数为（    ） A．4 B． C．a D． 【答案】B 【分析】根据百分位数的概念求值. 【详解】该组数据共有12个数， 因为， 所以该组数据的25百分位数为第3，第4个数的平均数，为. 故选：B 4．（24-25高一下·江苏南通·期末）南通轨道交通1号线从南通西站到孩儿巷共个车站，某时刻各站上车的人数统计如下：，则这组数据的第百分位数为（   ） A．25 B．30 C．55 D．60 【答案】D 【分析】利用总体百分位数的定义求解即可. 【详解】因为， 所以这组数据的第百分位数为第个数，即为，故D正确. 故选：D 5．（24-25高一下·江苏连云港·期末）数据2，6，8，3，3，4，6，8的上四分位数为________． 【答案】 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】将数据从小到大排序为：2，3，3，4，6，6，8，8， ，所以上四分位数第6个数与第7个数的中位数，为 故答案为：. 6．（24-25高一下·江苏扬州·期末）某次期中考试10位同学的数学成绩数据如下：.则这组数据的第75百分位数为__________. 【答案】89 【分析】根据百分位数的概念和公式求解即可. 【详解】因为，所以第75百分位数是第8个数， 由数据可以看出第8个数字是89，所以第75百分位数是89. 故答案为：89. 7．（24-25高一下·江苏徐州·期末）在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为：109，116，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数与下四分位数的差为__________． 【答案】18 【分析】根据四分位数的定义分别求出上四分位数与下四分位数，再计算它们的差值． 【详解】计算下四分位数，已知数据个数，下四分位数即第分位数，此时，则． 由于1.75不是整数，将1.75向上取整得到，所以下四分位数是排序后第个数据，即． 计算上四分位数，上四分位数即第分位数，此时，则． 由于5.25不是整数，将5.25向上取整得到，所以上四分位数是排序后第个数据，即． 上四分位数与下四分位数的差为． 故答案为：18． 8．（24-25高一下·江苏泰州·期末）从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题： (1)这一组的频率和频数分别为多少？ (2)估计该次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）； (3)估计这组数据的80百分位数. 【答案】(1)频率为，频数为； (2) (3)83.5. 【分析】（1）根据频率分布直方图中的数据即可求解， （2）根据图中数据即可求解频率得解， （3）根据百分位数的计算即可求解. 【详解】（1）频率为，频数为； （2）及格率为； （3）因为数据落在的频率为0.7， 数据落在的频率为0.25. 设这组数据的80百分位数为， 所以， 所以，故， 即这组数据的80百分位数为83.5. 9．（24-25高一下·江苏徐州·期末）近日，江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）登上热搜，为了解各年龄层对“苏超”的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)利用频率分布直方图的组中值对这200名市民的年龄的平均数进行估计； (3)根据频率分布直方图，估计这200名市民的年龄数据的70%分位数. 【答案】(1)140人 (2)岁 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图求出市民年龄在内的频率，进而可求出频数. （2）根据频率分布直方图求平均数. （3）根据百分位数的定义和公式进行求解计算. 【详解】（1）由频率分布直方图可得市民年龄在内的频率为， 由题得，随机选取了200名市民，所以市民年龄在内的人数为. 所以选取的市民年龄在内的人数为140人. （2）由频率分布直方图，可估计200名市民的年龄的平均数为 . 所以这200名市民的年龄的平均数为37岁. （3）由频率分布直方图，可知市民年龄在内的频率之和为， 市民年龄在内的频率之和为， 所以70百分位数应在中，设为， 可得，解得. 所以这200名市民的年龄数据的70%分位数为42.5. 10．（24-25高一下·江苏南京·期末）某校高一年级学生期中考试共有450名学生参加.数学考试成绩的频率分布直方图如图所示. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校高一学生这次期中考试数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 【答案】(1)； (2)众数为65，中位数为67.69，平均成绩为67.60； (3)第70的分位数为75.83. 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1，求出. （2）利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法求解. （3）利用频率分布直方图，结合百分位数的定义求解. 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 所以. （2）由频率分布直方图知：数据落在内最多，因此众数为65； 由，，得中位数， 则，解得，所以中位数为67.69； 平均数为. （3）成绩小于70分的频率为， 成绩小于80分的频率为，则第70百分位数在内， 所以第70百分位数为. 11．（24-25高一下·江苏南京·期末）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去100天的日销售量（单位：，将全部数据按区间分成5组，得到下图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值；并估计该水果店过去100天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有88天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少苹果？ 【答案】(1)，83.5 (2)96kg 【分析】（1）利用在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，列式求出，计算出平均值； （2）确定分位数在第五组，再利用公式计算即可． 【详解】（1）由题：，解得：， 平均数为 . （2）因为 所以满足顾客的需要的进货数在第五组， . 所以每天应该进96苹果. 12．（24-25高一下·江苏苏州·期末）为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.30. (1)求乙离子残留百分比直方图中的值； (2)求甲离子残留百分比的第百分位数； (3)估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题意可求出，利用频率之和为1可求出； （2）根据频率分布直方图中的第百分位数计算方法即可求解； （3）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解. 【详解】（1）由已知得，解得， 所以． （2）根据直方图，易知甲离子残留百分比的第百分位数在区间，设为， 则，解得， 所以甲离子残留百分比的第百分位数为. （3）乙离子残留百分比的平均值的估计值为. ( 地 城 考点02 平均数、众数、中位数及方差 ) 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（    ） A．样本的众数 B．样本的中位数 C．样本的极差 D．样本的平均数 【答案】C 【分析】利用众数、中位数、极差、平均数的定义以及含义分析即可求解. 【详解】由题意，平均数、众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋势， 由极差的定义可知，极差是用来反应最大值与最小值之间的差距，刻画一组数据的离散程度. 故选: C 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战年成都世界运动会，已知某运动员某次特训的成绩分别为，则下列说法错误的是（   ） A．这组数据的极差为 B．这组数据的众数为 C．这组数据的平均数为 D．这组数据的方差为 【答案】B 【分析】根据数据的数字特征直接计算得出. 【详解】由数据得，极差为6，众数为3，9，所以A正确，B错误. 数据的平均数,所以C正确. 数据的方差，所以D正确. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知数据的平均数为7，方差为12，那么数据的平均数和方差分别为（    ） A．2，3 B．2，6 C．4，3 D．4，6 【答案】A 【分析】设的平均数为，方差为，利用平均数和方差的性质得到方程，求出答案. 【详解】设的平均数为，方差为， 则数据的平均数为，方差为， 所以，，解得，. 故选：A 4．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知数据的中位数为2，方差为3，那么数据的中位数和方差分别为（    ） A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，12 【答案】C 【分析】利用中位数和方差的求法分别列式，求出平均数和方差． 【详解】因为数据的中位数为2，方差为3， 所以数据的中位数为， 方差为. 故选：C. 5．（24-25高一下·江苏徐州·期末）（多选）有两组样本数据：和，则这两组样本数据的（    ） A．样本平均数不相同 B．样本中位数相同 C．样本标准差不相同 D．样本极差相同 【答案】AD 【分析】利用平均数、中位数、标准差、极差的意义逐项分析判断即可. 【详解】对于A，两组数据的平均数分别为，，故A正确； 对于B，数据的中位数是2，数据的中位数是4，故B错误； 对于C，两组数据的标准差都为，故C错误； 对于D，两组数据的极差分别为，故D正确. 故选：AD 6．（24-25高一下·江苏无锡·期末）若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（   ） A． B．数据的平均数为13 C． D．数据的标准差为12 【答案】D 【分析】利用平均数和方差、标准差的定义及线性关系求平均数和方差，即可判断各选项. 【详解】对于A，由，故A正确； 对于B，由的平均数为，故B正确； 对于C，由方差为4，可得， ，故C正确； 对于D, 根据方差性质可知，数据的方差为， 所以数据的标准差为，故D错误； 故选：D. 7．（24-25高一下·江苏无锡·期末）经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（   ） A．； B．若，则所有的数据都为0； C．若，则的平均数为6； D．若，则的方差为12； 【答案】D 【分析】根据方差的定义及性质，平均数的性质逐项进行检验即可判断. 【详解】对于A：，错误； 对于B：数据，，…，的方差时，说明所有的数据，，…，都相等，但不一定为0，错误； 对于C：数据，，…，的平均数为，数据的平均数为，错误； 对于D：数据，，…，的方差为，数据的方差为，正确. 8．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）（多选）如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（    ） A．环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差 B．环比涨跌幅的平均数为 C．环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差 D．同比涨跌幅的75百分位数为 【答案】AC 【分析】根据极差，平均数和百分位数的定义进行计算，判断ABD；根据图表中数据波动情况判断C选项， 【详解】A选项，环比涨跌幅的极差为， 同比涨跌幅的极差为， 环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差，A正确； B选项，， ， 故环比涨跌幅的平均数为，B错误； C选项，根据统计图可以看出，环比涨跌幅的波动情况小于同比涨跌幅的波动情况，且从A可知环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差，故环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差，C正确； D选项，同比涨跌幅从小到大排序为， ， 故从小到大，选取第9个和第10个的平均数作为75百分位数， 即，D错误. 故选：AC 9．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）已知数据，…，的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是，，，，数据，，，…，的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是，，，，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用线性关系的性质即可判断各选项. 【详解】根据两组数据的线性关系，结合性质可知： ，，，， 所以A正确，B错误，C正确，D正确， 故选：ACD. 10．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知数据1，2，4，的方差为，则______. 【答案】或3 【分析】根据方差公式计算即可. 【详解】数据1，2，4，的平均数为， 故方差为， 化简可得， 即，解得或. 故答案为：或3 11．（24-25高一下·江苏扬州·期末）已知一组数据的方差为，则数据、、……、的方差为______. 【答案】 【分析】根据方差的性质即可求得结果. 【详解】设原数据、、、的方差为，根据方差的性质新数据的方差为：. 故答案为：. 12．（24-25高一下·江苏盐城·期末）已知数据的平均数为2，那么数据的平均数为______． 【答案】7 【分析】根据平均数的概念和公式计算即可. 【详解】因为的平均数为2，所以. 所以的平均数为： . 故答案为：7. 13．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知一组数据，则这组数据的方差为__________. 【答案】2 【分析】求出这组数据的平均数，利用方差公式可得答案. 【详解】这组数据的平均数为， 则这组数据的方差为. 故答案为：2. 14．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知60个样本数据的平均数为3，其中，则这60个数据的方差为______. 【答案】 【分析】根据题意，利用数据平均数和方差的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】由60个样本数据的平均数为3，可得，可得， 又由方程 . 故答案为：. ( 地 城 考点0 3 分层抽样及样本平均数、方差 ) 1．（24-25高一下·江苏常州·期末）某校义工社团共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取16人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】C 【分析】由分层抽样的定义即可得解. 【详解】女生应抽取的人数是. 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号的产品有8件，则样本容量（   ） A．16 B．40 C．80 D．100 【答案】B 【分析】根据题意，利用分层抽样的定义和计算方法，列出方程，即可求解. 【详解】根据分层抽样的定义与计算方法，可得，可得. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏泰州·期末）某工厂6月份生产三种产品的数量比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中产品的数量为600，则的值为（    ） A．1200 B．1440 C．1800 D．2400 【答案】B 【分析】利用各层数量比可得答案. 【详解】，解得. 故选：B. 4．（24-25高一下·江苏淮安·期末）某校高一年级共有学生1000人，选科组合只有“物化生”、“物化地”和“历政地”三种组合，其中选择“物化生”、“物化地”的学生人数分别为600，250.现采用分层抽样的方法选出40人进行职业生涯规划调查，则从“历政地”组合中选出的学生人数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】C 【分析】根据分层抽样的特征结合题意求解即可. 【详解】由题意得，选择“物化生”、“物化地”和“历政地”的学生人数比为， 所以采用分层抽样的方法选出40人进行职业生涯规划调查，从“历政地”组合中选出的学生人数为. 故选：C. 5．（24-25高一下·江苏徐州·期末）用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生600人，则该校学生总数为（    ） A．1400人 B．1600人 C．1800人 D．2000人 【答案】C 【分析】根据分层抽样的性质先求出抽样比，进而求解即可 【详解】因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人， 高三年级抽10人，所以高二年级要抽取人， 因为该校高二年级共有学生600人，所以每个个体被抽到的概率是， 所以该校学生总数是， 即该校学生总数为1800人． 故选：C. 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）为了解某年级同学的体能情况，抽取100位同学进行一分钟仰卧起坐次数测试，将所得数据整理后，得到如下频率分布直方图（一分钟仰卧起坐次数60次以上的称为体能优秀），则下列结论错误的是（    ） A． B．估计100位同学在一分钟仰卧起坐次数的平均数低于70次 C．从这100位同学中随机选取一位同学，则这位同学体能优秀的概率约为 D．按照“体能优秀”的学生与“体能不优秀”的学生进行分层抽样，从这100位同学中抽取12人，则在体能优秀的同学中应抽取9人 【答案】C 【分析】根据频率和为1求，再代入平均数公式，以及频率公式，即可判断选项. 【详解】A.根据频率和为1，得，得，故A正确； B.由频率分布直方图得平均数为，故B正确； C.体能不优秀的频率为，则体能优秀的频率为， 所以体能优秀的概率约为，故C错误； D.体能不优秀和体能优秀的频率比为，所以12人中体能优秀的同学中应抽取人，故D正确. 故选：C 7．（24-25高一下·江苏连云港·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B．若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C．和的方差分别为和，若，则 D．在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 【答案】BCD 【分析】对于A求出第75百分位数即可判断，对于B根据极差的定义即可判断，对于C根据方差的性质即可判断，对于D计算分成抽样的方差即可判断. 【详解】对于A：由，所以第75百分位数为，故A错误； 对于B：若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，所以，故B正确； 对于C：若，即，故C正确； 对于D：由已知有这15名学生数学成绩的平均数为， 所以这15名学生数学成绩的方差为，故D正确. 故选：BCD. 8．（24-25高一下·江苏无锡·期末）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和17，则估计出总样本的方差为___________. 【答案】 【分析】求出总平均数，然后根据分层方差和总方差关系直接计算可得. 【详解】总平均数， 则总样本方差. 故答案为： 9．（24-25高一下·江苏南通·期末）为调查学生体能状况，现从某校高一年级参加体能测试的学生中随机抽取100名学生的体能测试成绩，这组数据均在区间，其频率分布直方图如图所示． (1)求m的值； (2)用组中值估计该校高一学生的平均体能测试成绩； (3)现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人体能测试成绩在的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据平均数的计算公式即可求解， （3）列举样本点，即可根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， （2）平均数为 （3），，的频率分别为，故之比为，因此从，，抽取5个人，则需要从，，分别抽取的人数为1，3，1， 设的1个人为，的3个人为，的1一个人为, 故样本空间为,共有10个， 则2人体能测试成绩在的样本点有共有3个， 故概率为， 10．（24-25高一下·江苏无锡·期末）为了提高市民的普法意识，某市举行了普法知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低分，最高分）． (1)求频率分布直方图中的值，并求出样本中成绩在分以上的人数： (2)若划定成绩大于或等于第百分位数为“良好”以上等级，请根据直方图，估计全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围； (3)现知道样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为，方差为，成绩在内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数和方差． 【答案】(1)；人 (2) (3)平均数为，方差为 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为，可求出的值；结合频率直方图可求出样本中成绩在分以上的人数； （2）根据频率分布直方图计算出第百分位数，即可得出结果； （3）利用分层随机抽样的平均数和方差公式可求得结果. 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为， 可得，解得， 由图可知，样本中成绩在分以上的人数为人. （2）前三个矩形面积之和为， 前四个矩形面积之和为， 设第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得， 因此，全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围为. （3）成绩在内占成绩在的比例为， 成绩在内占成绩在的比例为， 设成绩在内的平均数和方差分别为、， 由分层随机抽样的平均数公式可得，解得， 由分层随机抽样的方差公式可得，解得. 故成绩在内的平均数为，方差为. 11．（24-25高一下·江苏·期末）某学校举办了数学知识竞赛活动，现从所有竞赛答卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）的整数分成六段：，……，，并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)规定为及格，用样本估计总体，随机从所有竞赛答卷抽取3份试卷，求3份试卷中至少有2份及格的概率； (3)已知样本数据落在的平均数是54，方差是6；落在的平均数是63，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差. 注：第一部分有m个数，平均数为，方差为，第二部分有n个数，平均数为，方差为，记样本均值为，样本方差为，则，. 【答案】(1) (2) (3), 【分析】（1）根据直方图各区间的频率和为1列方程求参数； （2）先依据频率分布直方图求出及格的频率，得到单次抽取及格的概率，再利用概率公式计算即可； （3）先确定区间、上的样本个数，再根据公式计算总平均数和总方差的值. 【详解】（1）由题意 ，解得 ； （2）由直方图知， 的频率为 设至少有 2 份试卷及格为事件 ，有 2 份试卷及格为事件 ，有 3 份试卷及格为事件 ， （3）样本数据在区间 的个数为 ，在区间 上的个数为 ， 所以 ， 总方差为 . ( 地 城 考点0 4 古典概率 ) 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出样本点的总数，并列举出事件“点数和为”所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上，另外一枚硬币反面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可 【详解】先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次， 出现的情况为：正正，正反，反正，反反共4种， 其中得到一次正面向上和一次反面向上的情况为正反，反正共2种， 所以得到一次正面向上和一次反面向上的概率为, 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏·期末）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于8的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率. 【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次共有个基本事件， 点数和大于8的事件有，共10个， 所以出现向上的点数之和大于8的概率为. 故选：B. 4．（24-25高一下·江苏徐州·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出从4张卡片中不放回地随机抽取2张所有可能的组合的可能数，求出和为奇数的条件的组合数即可求解. 【详解】从4张卡片中不放回地随机抽取2张， 所有可能的组合有：，共种等可能的结果， 和为奇数的条件是一奇一偶， 符合条件的组合为：， 所以抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为. 故选：D. 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）某校文艺部有5名学生，其中高一年级有3名、高二年级有2名.从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列举出样本空间，根据古典概率的计算公式求解. 【详解】设高一年级的3名学生为，高二年级的2名学生为， 则从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演包含的基本事件有： ，共计10个， 其中这2名学生来自不同年级有，计6个， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 6．（24-25高一下·江苏淮安·期末）不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设相应事件，利用列举法可得，结合古典概型运算求解即可. 【详解】因为样本空间， ， 可得， 设“记录号码为4”为事件A， 由题意可知：，可得， 所以. 故选：B. 7．（24-25高一下·江苏南京·期末）一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率； (3)从求解的结果可以得出一个什么基本事实. 【答案】(1)样本空间见解析；； (2)第二次，第三次摸到红球的概率均为； (3)抽签中签的概率与抽签顺序无关 【分析】（1）依据古典概型写出基本事件空间，再写出“第一次摸到红球”中包含的基本事件，从而求出概率； （2）由古典概型求得概率； （3）依据概率相同得到结论. 【详解】（1）将三个红球记为，一个黄球记为， 从中不放回地依次随机摸出个球，该实验的基本事件空间为： 共有个基本事件， 设“第一次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第一次摸到红球的概率为. （2）设“第二次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第二次摸到红球的概率为. 设“第三次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第三次摸到红球的概率为. （3）因为，即第一、二、三次抽到红球的概率相同， 所以，抽签中签的概率与抽签顺序无关. 8．（24-25高一下·江苏盐城·期末）对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)估计元件的寿命在（单位：h）内的概率； (2)估计元件的寿命在以上的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出200个电子元件的寿命在（单位：h）内的频率，再对元件的寿命在（单位：h）内的概率估计即可； （2）先求出200个电子元件的寿命在以上的频率，再对元件的寿命在以上的概率估计即可. 【详解】（1）因表中200个电子元件的寿命在（单位：h）内的频率为， 故由此估计元件的寿命在（单位：h）内的概率为； （2）因表中200个电子元件的寿命在以上的频率为， 故由此估计元件的寿命在以上的概率为. ( 地 城 考点0 5 独立事件、互斥事件及对立事件的概率 ) 1．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 【答案】D 【分析】根据，互斥，，求解即可. 【详解】因为，互斥，所以，， 故， 故选：D. 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（   ） A．事件与一定是对立事件 B． C． D．若事件A，B互相独立，则 【答案】D 【分析】举例判断A、B，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解即可判断D. 【详解】对于A和B，假设从一个装有标号为1，2，3，4，5的5个小球的密封盒子中任取1球， 记事件：从中取出球的标号为1或2，事件：从中取出球的标号为1或2或3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，只有事件A、B相互独立时,才有成立， 由题设不知道事件A、B的关系，故不能确定的值，故C错误； 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知事件和事件独立，若，则（    ） A．0.21 B．0.51 C．0.79 D．0.91 【答案】C 【分析】根据独立事件的概率公式计算，再利用概率的加法公式即可. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：C 4．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（    ） A．A，B相互独立 B．A，B互斥 C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率计算，由互斥事件、独立事件以及对立事件的概率公式，可得答案. 【详解】由题意可得，，， 由，则，故C正确，B错误； 由，则事件不是相互独立的，故A错误； 由，则D错误. 故选：C. 5．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知事件相互独立，若，则的值为（    ） A．0.36 B．0.4 C．0.6 D．0.76 【答案】B 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意，， 则，即. 故选：B. 6．（24-25高一下·江苏南通·期末）如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（   ） A．0.504 B．0.846 C．0.902 D．0.956 【答案】D 【分析】利用对立事件的概率公式将目标事件合理转化，再结合独立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意得，，， 且系统正常工作的对立事件为系统不都正常工作且也不正常工作， 而每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，则相互独立， 可得不都正常工作的概率为， 故系统不正常工作的概率为， 由对立事件的概率公式得系统正常工作的概率为，故D正确. 故选：D 7．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论错误的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 【答案】B 【分析】由互斥的独立事件的性质和概率逐项判断可得. 【详解】对于A，由互斥事件的加法公式可得，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，，即， 所以A与B相互独立，故C正确； 对于D，若A与B相互独立，则，故D正确. 故选：B. 8．（24-25高一下·江苏常州·期末）（多选）一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 【答案】BC 【分析】A应用互斥事件进行判断；B根据事件独立性的定义，结合题设描述判断；C根据事件独立性计算交事件的概率；D应用事件的概率性质求发生的概率即可判断. 【详解】对于A，由“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，A错误; 对于B，因为，而， 故，即事件与事件相互独立，B正确； 对于C，因为事件与事件相互独立所以事件与事件相互独立，，C正确； 对于D，事件发生的概率，D错误； 故选：BC. 9．（24-25高一下·江苏连云港·期末）（多选）一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的4个小球，其中有2个红球，1个白球和1个黑球．从中1次随机摸出2个球，记事件A为“2个都是红球”，事件B为“1个红球1个白球”，事件C为“有1个球是黑球”，事件D为“至少有1个是红球”，则（   ） A． B． C．事件A，B为相互独立事件 D．事件A，B为互斥事件 【答案】ABD 【分析】设2个红球为，白球为，黑球为，由题可得各事件样本空间，据此可判断各选项正误. 【详解】设2个红球为，白球为，黑球为. 则1次随机摸出2个球的样本空间为：6种情况. 对于A，事件A的样本空间为，则，故A正确； 对于B，事件B样本空间为：，事件C样本空间为：， 事件D样本空间为：，则，， 则，故B正确； 对于CD，由以上分析可得事件A，B不能同时发生，又 则事件A，B为互斥事件.故C错误，D正确. 故选：ABD 10．（24-25高一下·江苏常州·期末）（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数.若连续抛掷两次，则（    ） A．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”为互斥事件 B．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件 C．事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”互为对立事件 D．事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立 【答案】BD 【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，因为“至少有一次点数为偶数”包含恰有一次点数为偶数和恰有两次点数为偶数， 故事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”可能同时发生， 所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”不为互斥事件，故A错误； 对于B，因为“至少有一次点数为奇数” 包含恰有一次点数为奇数和恰有两次点数为奇数， 所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”不会同时发生， 因为在一次实验中“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”必然有一个事件会发生， 所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件，故B正确； 对于C，因为事件“两次点数之和等于6”发生时，事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”均不会发生， 所以事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”不互为对立事件，故C错误； 对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次共有种不同的结果， 记“第一次点数为偶数” 为事件，则事件包含种结果，故， 记“第二次点数为奇数”为事件，则事件包含种结果，故， 事件同时发生包含种不同的结果，故， 所以事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立，故D正确. 故选：BD. 11．（24-25高一下·江苏南通·期末）（多选）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件，“第二次向上的点数是偶数”为事件，“两次向上的点数之和是8”为事件，则（   ） A． 与B相互独立 B． 与互斥 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用古典概型公式求出，， ，进一步结合独立事件的概率公式和互斥事件的定理逐个选项判断即可. 【详解】由题意得共有个基本事件， 第一次向上的点数是1有，共6种情况， 由古典概型概率公式得， 第二次向上的点数是偶数有 ，共种情况， 由古典概型概率公式得， 两次向上的点数之和是8有，共5种情况， 由古典概型概率公式得， 而事件表示第一次向上的点数是且第二次向上的点数是偶数， 符合条件的有，共3种，则， 下面，我们开始分析各个选项， 对于A，由已知得，， 满足，则与相互独立，故A正确， 对于B，事件表示第一次向上的点数是1和两次向上的点数之和是8至少有1个发生， 符合条件的有， ，共11个，故， 满足，可得与互斥，故B正确， 对于C，由概率加法公式得 ，即C正确， 对于D， 题意得共有个基本事件， 则表示第二次向上的点数是偶数且两次且向上点数之和是8， 符合条件的有，共3种，则，故D错误. 故选：ABC 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B． C．事件与相互独立 D． 【答案】BD 【分析】利用古典概型来计算各事件概率，利用独立事件的定义，利用对立事件概念即可判断各选项. 【详解】对于A，事件B为“得到的点数不大于4”，即得到的点数为， 事件C为“得到的点数为质数”，即得到的点数为，显然得到点数为时， 事件B与事件C同时发生，所以事件与不互斥，故A错误； 对于B，事件A为“得到的点数为奇数”， 事件B为“得到的点数不大于4”， 故得到点数为，表示事件发生，即，故B正确； 对于C，由事件A为“得到的点数为奇数”，则， 事件C为“得到的点数为质数”， 则， 而得到点数为，表示事件发生，即， 此时，所以事件与事件不相互独立，故C错误； 对于D，而得到点数为，表示事件发生，即， 所以，故D正确， 故选：BD. 13．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C．与相互独立 D． 【答案】ACD 【分析】分别计算出事件的概率，根据它们概率之间的关系，判断各选项的准确性. 【详解】设盒子里两个红球为，，两个白球为，， 从中不放回地依次取出2个球，所有的基本事件有： ，，，，，，，，，，，，共12个. 事件“两个球颜色相同”，包含，，，共4个基本事件，所以； “第1次取出的是红球”，包含，，，，，共6个基本事件，所以； “第2次取出的是红球”，包含，，，，，共6个基本事件，所以； “两个球颜色不同”，包含，，，，，，，共8个基本事件，所以. 因为,故,对立，故A正确； 因为事件包含，2个基本事件，所以事件，可以同时发生，故事件，不互斥，故B错误； 因为事件包含，2个基本事件，所以, 又，所以，所以事件，相互独立，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 14．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为6”，则（   ） A．事件与事件为互斥事件 B． C．事件与事件相互独立 D． 【答案】ACD 【分析】求出从中依次不放回摸出两张卡牌样本空间，及求出事件、事件包含样本点可判断A；求出可判断B；检验是否相等可判断C；利用可判断D. 【详解】从中依次不放回摸出两张卡牌，样本空间为 共12个样本点. 对于A，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，样本点有， 事件“摸出的两张卡牌的编号之和为6”，样本点有， 所以事件与事件为互斥事件，，故A正确；     对于B，其中事件“摸出的两张卡牌的编号之和为6”，样本点有共2种， 所以，故B错误； 对于C，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”样本点有， ，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，包含的基本事件有 共4种，，包含的基本事件有， ，因为，所以事件与事件相互独立， 故C正确； 对于D，由C事件与事件相互独立，， ，， ，故D正确. 故选：ACD. 15．（24-25高一下·江苏无锡·期末）设随机事件、相互独立，且，，则______． 【答案】/ 【分析】利用独立事件的概率乘法公式求出的值，再利用求解即可. 【详解】因为随机事件、相互独立，且，， 则， 故. 16．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知，，，则___________． 【答案】0.6/ 【分析】由，可得的概率，然后用和事件的概率公式计算即可. 【详解】由，可得，所以， 所以. 故答案为：0.6 17．（24-25高一下·江苏泰州·期末）连续抛掷一颗质地均匀的正方体骰子两次（正方体六个面上的点数分别为），记录抛掷结果向上的点数.设事件：第一次点数为1，事件：两次点数之和为，若事件与事件互斥，则的最小值为__________；若事件与事件相互独立，则的值为__________. 【答案】 8 7 【分析】根据互斥事件和独立事件的概念可解. 【详解】因为事件与事件互斥，所以它们不能同时发生， 所以两次点数之和为至少为8，才能保证第一次点数不为1， 所以的最小值为8； 因为事件与事件相互独立，所以， 当时，第一次点数不可能为1，此时， 当时，，又，所以， 又时，对应概率分别为， 所以的值为7. 故答案为：8，7. 18．（24-25高一下·江苏镇江·期末）甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动． (1)求小队猜对3个谜题的概率； (2)求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】分类讨论，根据互斥事件以及对立事件的概率公式，即可求解（1）（2）． 【详解】（1）小队猜对3个谜题共有2种情况，①甲队猜对2个，乙队猜对1个；②甲队猜对1个，乙队猜对2个， 所以小队猜对3个谜题的概率为． （2）甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的情况有： ①甲猜对1个，乙猜对0个；②甲猜对2个，乙猜对1个；③甲猜对2个，乙猜对0个； 所以甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率为． 19．（24-25高一下·江苏南京·期末）2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立. (1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式来进行计算即可； （2）利用间接法来求三个家庭只有1个家庭或0个家庭回答正确的概率,即可求对立事件概率. 【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件， 由甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是， 则， 解得， 由乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是， 则 即. 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和. （2）有0个家庭回答正确的概率， 有1个家庭回答正确的概率为 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 20．（24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对2个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对0个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； 【详解】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. （2）设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . 21．（24-25高一下·江苏无锡·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式列方程组求解即可； （2）根据互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式直接计算可得. 【详解】（1）记甲成功解出这道题为事件，乙成功解出这道题为事件，丙成功解出这道题为事件， 则由题知，，解得， 即乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为. （2）记这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件， 则 ， 即这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为. ( 地 城 考点0 6 统计与概率综合 ) 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】(1)， (2)平均数为，第80百分位数为. (3) 【分析】（1）先求出年龄在内的频率，再求出频数；根据直方图面积为1求解a的值； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 由图可得：，解得； （2）平均数为 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； (2)从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 【答案】(1)，分位数为分； (2). 【分析】（1）根据频率之和为求出，再由第百分位数的求法计算即可； （2）由分层抽样确定每层抽取人数，列出基本事件和符合题意的事件，根据古典概型求解. 【详解】（1）由题意知，解得，    设第百分位数为， 因为位于之间的频率为，位于之间的频率为， 所以， 令，解得，即第百分位数为. （2）由，得这人中物理成绩在的人数为，分别记为，在的人数为人，分别记为， 在这人中抽取人，共，个基本事件， 这名学生物理成绩在和内各人，共，个基本事件， 故这名学生物理成绩在和内各人的概率为. 3．（24-25高一下·江苏淮安·期末）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在千瓦时之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示.    (1)求直方图中的值，并求被调查用户月用电量的中位数； (2)从月用电量在150千瓦时以上的用户中抽取1户作为调查对象，求其月用电量在150~200千瓦时之间的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据频率和为可求得的值，结合频率分布直方图可计算中位数； （2）分别计算月用电量在150千瓦时以上和月用电量在千瓦时的用户数，根据古典概型概率的计算公式可得结果. 【详解】（1）由题意得，， 解得. 因为月用电量在千瓦时的频率为， 月用电量在千瓦时的频率为， 所以被调查用户月用电量的中位数在， 设中位数为，则，解得， 所以被调查用户月用电量的中位数为. （2）因为月用电量在150千瓦时以上的用户数为， 月用电量在千瓦时的用户数为， 所以从月用电量在150千瓦时以上的用户中抽取1户作为调查对象， 月用电量在千瓦时之间的概率. 4．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）高一年级有男生600人，女生400人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差； (2)已知所有女生的平均成绩为65，请估计高一年级所有学生的平均成绩； (3)为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率. 【答案】(1)75，180 (2)71 (3) 【分析】（1）由频率分布直方图结合平均数和方差的计算公式即可依次计算求解； （2）由样本总平均成绩即可估计所有学生的平均成绩； （3）一一列举样本点，再由古典概型计算即可. 【详解】（1）由题估计所有男生的平均成绩为， 估计所有男生的方差为 所以估计全体男生的平均成绩为75，方差为180； （2）全体学生的平均数； （3）抽到的5名学生中有3名男生，设为名女生，设为， 事件A：两名学生恰为一名男生和一名女生， 则样本空间， ， 所以，所以. 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）一座金陵城，半部南京史！六朝古都南京，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求的值，以及样本的平均数； (2)若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线(精确到)； (3)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率． 【答案】(1)，平均数为； (2)； (3). 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质建立方程，求解参数和平均数即可. （2）利用频率分布直方图的性质结合给定条件建立方程，求解获奖分数线即可. （3）利用分层抽样的性质求出总事件数和符合条件的事件数，再结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】（1）因为小长方形面积和为， 所以，解得， 则平均数为. （2）由题意得， 则分数线在内，且设分数线为， 可得， 解得，即获奖分数线为. （3）由题意得两组的频率之比为， 现从两组中用分层抽样的方法抽取6人， 则分别抽取2人，4人，记为， 所有可能的情况为，，，共15种， 其中至少有1人的年龄在的情况有，，共9种， 故所求概率 6．（24-25高一下·江苏常州·期末）某校为了了解高一新生的体质健康状况，在开学初进行了一次体质测试，共800人参加本次测试，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值； (2)试估计本次测试的平均成绩（用各组区间中点的数值即“组中值”近似的表示每组的成绩）； (3)立定跳远项目每人有2次测试机会，若第一跳满分，则不再进行第二跳.假设小明同学每一跳获得满分的概率均为0.8，求本次测试中，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据频率分布直方图计算即可； （2）由频率分布直方图结合平均数的计算，即可求解； （3）小明在立定跳远项目最终获得满分的概率包括第一次满分和第一次没有满分但第二次满分两种情况，根据概率计算即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图，可得， 解得； （2）设本次测试的平均成绩为，则根据频率分布直方图，可得 ， 即本次测试的平均成绩为； （3）设小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为，则， 即小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为. 7．（24-25高一下·江苏·期末）遵义市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率． (3)已知本次竞赛最终由三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空，每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛胜的概率为，胜的概率为，胜的概率为，每场比赛互不影响．请通过计算说明哪两人参加首场比赛获胜的概率最大． 【答案】(1)，众数为，平均成绩为77.5. (2) (3)首场由比赛才能使获胜的概率最大． 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率之和为来求的值，再利用平均数的计算公式和众数的定义求解即可； （2）先根据分层抽样确定两组抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式计算有1名或2名学生的成绩在内的概率； （3）需要分别计算与、与、与参加首场比赛时获胜的概率，再进行比较. 【详解】（1）由频率分布直方图得，， 解得． 初赛成绩的众数为， 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，众数为，平均成绩为77.5. （2）由（1）知，成绩在的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为， 在中随机抽取了人，记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间为：， 共10个样本点， 设事件“有1名或2名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为． （3）若首场比赛，则获胜有三种情况： ①比赛胜，比赛胜，概率为， ②比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为 ③比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为； 所以最终获胜的概率为； 若首场比赛，则获胜有三种情况： ①比赛胜，比赛胜的概率为， ②比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， ③比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， 所以最终获胜的概率为， 若首场比赛，则获胜有两种情况： ①比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， ②比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， 所以最终获胜的概率为， 因为， 所以首场由比赛才能使获胜的概率最大． 8．（24-25高一下·江苏常州·期末）某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）． (1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） (2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率； (3)从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）先根据矩形面积之和为计算，再利用频率分布直方图均值公式计算； （2）先根据比例得出两个区间内各抽取人数，再列出样本空间以及事件“这人成绩都在内”所包含的样本点，最后按照古典概型计算其概率即可； （3）先计算甲、乙在两轮比赛中答对题，题的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式计算. 【详解】（1）由题知，解得， 估计本次竞赛的平均成绩为 ． （2）因成绩在、内的学生人数之比为， 则从成绩在内的学生中抽取人，设为， 从成绩在内的学生中抽取人，设为， 设事件“从这人中随机抽取人，这人成绩都在内”， 则样本空间， 则， 事件包含的基本事件有，有， 则， 故从这人中随机抽取人，这人成绩都在内的概率为. （3）设，分别表示事件甲在两轮答题中答对题，题，，分别表示事件乙在两轮答题中答对题，题， 则，， ，， 设“两轮活动甲、乙共答对题”，则， 又与互斥，与，与分别相互独立， 则， 因此，甲、乙在两轮答题比赛中共答对题的概率为． 9．（24-25高一下·江苏连云港·期末）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，． (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）； (3)从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求的值. （2）根据频率分布直方图计算50%分位数即可. （3）根据频率分布直方图得出50名职工中评分在、分别有2人、3人，利用列举法结合古典概型的概率公式即可求. 【详解】（1）由题意：. （2）因为评分在的频率为：， 评分在的频率为：. 所以评分的第分位数在， 由. 所以估计该企业的职工对该部门评分的分位数为：. （3）受访职工中评分在的人数为：人，设为， 受访职工中评分在的人数为：人，设为， 从中任取两人的结果有：，，，，，，，，，，共10个，且每个结果出现的可能性相同. 2人评分都在的结果有：，，，共3个. 所以此2人评分都在的概率为：. 10．（24-25高一下·江苏·期末）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率． 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）由频率和为1求出得值，根据平均数公式求出平均值. （2）根据条件列举样本容量和样本点的方法，列式求解. 【详解】（1）由题意得，解得. 由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值： . （2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为和， 来自甲型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为，，和， 从中任取2件，样本空间可记为，，，，，， ，，，，，，，，共15个， 记事件：至少有一件为航天级芯片,则，，，，， ，，，共9个， 所以. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 统计与概率 6大高频考点概览 考点01百分位数 考点02平均数、中位数、众数及方差 考点03分层抽样及样本方差 考点04 古典概率 考点05 独立事件、互斥事件及对立事件的概率 考点06 统计与概率综合 ( 地 城 考点01 百分位数 )1．（24-25高一下·江苏盐城·期末）样本数据5，5，6，7，9的80百分位数为（   ） A． B．7 C．8 D．9 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知数据1，2，3，4，5，6，7，8，则该组数据的上四分位数是（    ） A．6.5 B．6 C．2.5 D．2 3．（24-25高一下·江苏·期末）现有从小到大排列的数据2，3，4，，5，6，7，8，9，，10，11的25百分位数为（    ） A．4 B． C．a D． 4．（24-25高一下·江苏南通·期末）南通轨道交通1号线从南通西站到孩儿巷共个车站，某时刻各站上车的人数统计如下：，则这组数据的第百分位数为（   ） A．25 B．30 C．55 D．60 5．（24-25高一下·江苏连云港·期末）数据2，6，8，3，3，4，6，8的上四分位数为________． 6．（24-25高一下·江苏扬州·期末）某次期中考试10位同学的数学成绩数据如下：.则这组数据的第75百分位数为__________. 7．（24-25高一下·江苏徐州·期末）在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为：109，116，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数与下四分位数的差为__________． 8．（24-25高一下·江苏泰州·期末）从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题： (1)这一组的频率和频数分别为多少？ (2)估计该次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）； (3)估计这组数据的80百分位数. 9．（24-25高一下·江苏徐州·期末）近日，江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）登上热搜，为了解各年龄层对“苏超”的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)利用频率分布直方图的组中值对这200名市民的年龄的平均数进行估计； (3)根据频率分布直方图，估计这200名市民的年龄数据的70%分位数. 10．（24-25高一下·江苏南京·期末）某校高一年级学生期中考试共有450名学生参加.数学考试成绩的频率分布直方图如图所示. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校高一学生这次期中考试数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 11．（24-25高一下·江苏南京·期末）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去100天的日销售量（单位：，将全部数据按区间分成5组，得到下图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值；并估计该水果店过去100天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有88天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少苹果？ 12．（24-25高一下·江苏苏州·期末）为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.30. (1)求乙离子残留百分比直方图中的值； (2)求甲离子残留百分比的第百分位数； (3)估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表） ( 地 城 考点02 平均数、众数、中位数及方差 )1．（24-25高一下·江苏南京·期末）下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（    ） A．样本的众数 B．样本的中位数 C．样本的极差 D．样本的平均数 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战年成都世界运动会，已知某运动员某次特训的成绩分别为，则下列说法错误的是（   ） A．这组数据的极差为 B．这组数据的众数为 C．这组数据的平均数为 D．这组数据的方差为 3．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知数据的平均数为7，方差为12，那么数据的平均数和方差分别为（    ） A．2，3 B．2，6 C．4，3 D．4，6 4．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知数据的中位数为2，方差为3，那么数据的中位数和方差分别为（    ） A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，12 5．（24-25高一下·江苏徐州·期末）（多选）有两组样本数据：和，则这两组样本数据的（    ） A．样本平均数不相同 B．样本中位数相同 C．样本标准差不相同 D．样本极差相同 6．（24-25高一下·江苏无锡·期末）若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（   ） A． B．数据的平均数为13 C． D．数据的标准差为12 7．（24-25高一下·江苏无锡·期末）经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（   ） A．； B．若，则所有的数据都为0； C．若，则的平均数为6； D．若，则的方差为12； 8．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）（多选）如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（    ） A．环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差 B．环比涨跌幅的平均数为 C．环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差 D．同比涨跌幅的75百分位数为 9．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）已知数据，…，的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是，，，，数据，，，…，的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是，，，，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知数据1，2，4，的方差为，则______. 11．（24-25高一下·江苏扬州·期末）已知一组数据的方差为，则数据、、……、的方差为______. 12．（24-25高一下·江苏盐城·期末）已知数据的平均数为2，那么数据的平均数为______． 13．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知一组数据，则这组数据的方差为__________. 14．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知60个样本数据的平均数为3，其中，则这60个数据的方差为______. ( 地 城 考点0 3 分层抽样及样本平均数、方差 )1．（24-25高一下·江苏常州·期末）某校义工社团共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取16人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号的产品有8件，则样本容量（   ） A．16 B．40 C．80 D．100 3．（24-25高一下·江苏泰州·期末）某工厂6月份生产三种产品的数量比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中产品的数量为600，则的值为（    ） A．1200 B．1440 C．1800 D．2400 4．（24-25高一下·江苏淮安·期末）某校高一年级共有学生1000人，选科组合只有“物化生”、“物化地”和“历政地”三种组合，其中选择“物化生”、“物化地”的学生人数分别为600，250.现采用分层抽样的方法选出40人进行职业生涯规划调查，则从“历政地”组合中选出的学生人数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 5．（24-25高一下·江苏徐州·期末）用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生600人，则该校学生总数为（    ） A．1400人 B．1600人 C．1800人 D．2000人 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）为了解某年级同学的体能情况，抽取100位同学进行一分钟仰卧起坐次数测试，将所得数据整理后，得到如下频率分布直方图（一分钟仰卧起坐次数60次以上的称为体能优秀），则下列结论错误的是（    ） A． B．估计100位同学在一分钟仰卧起坐次数的平均数低于70次 C．从这100位同学中随机选取一位同学，则这位同学体能优秀的概率约为 D．按照“体能优秀”的学生与“体能不优秀”的学生进行分层抽样，从这100位同学中抽取12人，则在体能优秀的同学中应抽取9人 7．（24-25高一下·江苏连云港·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B．若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C．和的方差分别为和，若，则 D．在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 8．（24-25高一下·江苏无锡·期末）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和17，则估计出总样本的方差为___________. 9．（24-25高一下·江苏南通·期末）为调查学生体能状况，现从某校高一年级参加体能测试的学生中随机抽取100名学生的体能测试成绩，这组数据均在区间，其频率分布直方图如图所示． (1)求m的值； (2)用组中值估计该校高一学生的平均体能测试成绩； (3)现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人体能测试成绩在的概率． 10．（24-25高一下·江苏无锡·期末）为了提高市民的普法意识，某市举行了普法知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低分，最高分）． (1)求频率分布直方图中的值，并求出样本中成绩在分以上的人数： (2)若划定成绩大于或等于第百分位数为“良好”以上等级，请根据直方图，估计全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围； (3)现知道样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为，方差为，成绩在内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数和方差． 11．（24-25高一下·江苏·期末）某学校举办了数学知识竞赛活动，现从所有竞赛答卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）的整数分成六段：，……，，并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)规定为及格，用样本估计总体，随机从所有竞赛答卷抽取3份试卷，求3份试卷中至少有2份及格的概率； (3)已知样本数据落在的平均数是54，方差是6；落在的平均数是63，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差. 注：第一部分有m个数，平均数为，方差为，第二部分有n个数，平均数为，方差为，记样本均值为，样本方差为，则，. ( 地 城 考点0 4 古典概率 )1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上，另外一枚硬币反面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏·期末）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于8的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏徐州·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）某校文艺部有5名学生，其中高一年级有3名、高二年级有2名.从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏淮安·期末）不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏南京·期末）一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率； (3)从求解的结果可以得出一个什么基本事实. 8．（24-25高一下·江苏盐城·期末）对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)估计元件的寿命在（单位：h）内的概率； (2)估计元件的寿命在以上的概率． ( 地 城 考点0 5 独立事件、互斥事件及对立事件的概率 )1．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（   ） A．事件与一定是对立事件 B． C． D．若事件A，B互相独立，则 3．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知事件和事件独立，若，则（    ） A．0.21 B．0.51 C．0.79 D．0.91 4．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（    ） A．A，B相互独立 B．A，B互斥 C． D． 5．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知事件相互独立，若，则的值为（    ） A．0.36 B．0.4 C．0.6 D．0.76 6．（24-25高一下·江苏南通·期末）如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（   ） A．0.504 B．0.846 C．0.902 D．0.956 7．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论错误的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 8．（24-25高一下·江苏常州·期末）（多选）一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 9．（24-25高一下·江苏连云港·期末）（多选）一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的4个小球，其中有2个红球，1个白球和1个黑球．从中1次随机摸出2个球，记事件A为“2个都是红球”，事件B为“1个红球1个白球”，事件C为“有1个球是黑球”，事件D为“至少有1个是红球”，则（   ） A． B． C．事件A，B为相互独立事件 D．事件A，B为互斥事件 10．（24-25高一下·江苏常州·期末）（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数.若连续抛掷两次，则（    ） A．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”为互斥事件 B．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件 C．事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”互为对立事件 D．事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立 11．（24-25高一下·江苏南通·期末）（多选）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件，“第二次向上的点数是偶数”为事件，“两次向上的点数之和是8”为事件，则（   ） A． 与B相互独立 B． 与互斥 C． D． 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B． C．事件与相互独立 D． 13．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C．与相互独立 D． 14．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为6”，则（   ） A．事件与事件为互斥事件 B． C．事件与事件相互独立 D． 15．（24-25高一下·江苏无锡·期末）设随机事件、相互独立，且，，则______． 16．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知，，，则___________． 17．（24-25高一下·江苏泰州·期末）连续抛掷一颗质地均匀的正方体骰子两次（正方体六个面上的点数分别为），记录抛掷结果向上的点数.设事件：第一次点数为1，事件：两次点数之和为，若事件与事件互斥，则的最小值为__________；若事件与事件相互独立，则的值为__________. 18．（24-25高一下·江苏镇江·期末）甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动． (1)求小队猜对3个谜题的概率； (2)求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率． 19．（24-25高一下·江苏南京·期末）2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立. (1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率. 20．（24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 21．（24-25高一下·江苏无锡·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率． ( 地 城 考点0 6 统计与概率综合 )1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； (2)从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 3．（24-25高一下·江苏淮安·期末）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在千瓦时之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示.    (1)求直方图中的值，并求被调查用户月用电量的中位数； (2)从月用电量在150千瓦时以上的用户中抽取1户作为调查对象，求其月用电量在150~200千瓦时之间的概率. 4．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）高一年级有男生600人，女生400人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差； (2)已知所有女生的平均成绩为65，请估计高一年级所有学生的平均成绩； (3)为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率. 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）一座金陵城，半部南京史！六朝古都南京，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求的值，以及样本的平均数； (2)若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线(精确到)； (3)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率． 6．（24-25高一下·江苏常州·期末）某校为了了解高一新生的体质健康状况，在开学初进行了一次体质测试，共800人参加本次测试，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值； (2)试估计本次测试的平均成绩（用各组区间中点的数值即“组中值”近似的表示每组的成绩）； (3)立定跳远项目每人有2次测试机会，若第一跳满分，则不再进行第二跳.假设小明同学每一跳获得满分的概率均为0.8，求本次测试中，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率. 7．（24-25高一下·江苏·期末）遵义市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率． (3)已知本次竞赛最终由三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空，每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛胜的概率为，胜的概率为，胜的概率为，每场比赛互不影响．请通过计算说明哪两人参加首场比赛获胜的概率最大． 8．（24-25高一下·江苏常州·期末）某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）． (1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） (2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率； (3)从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率． 9．（24-25高一下·江苏连云港·期末）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，． (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）； (3)从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率． 10．（24-25高一下·江苏·期末）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $