黑龙江哈尔滨市德强高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（I卷）

哈尔滨德强高级中学2025-2026学年度下学期期中考试 高一年级数学试题（】卷) 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1.已为虚数单位，则复数=() A.2-i B.2+i C.-2+i D.-2-i 2.已知直线a∥直线b,b∥直线c,c∥平面a,则() A.alla B.aca C.a与a相交 D.a//a或aCa B 3.如图，已知A、B、C、D、E、F、G分别是正方体所在棱的中点，则下列直 线中与直线EF异面的是（) A.AB B.AC C.AD D.AG 4.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'CD',已知 AB=6,CD'=2,则四边形ABCD的面积是（) D A.162 B.82 O(A) C.8 D.16 5.如图，圆M为VABC的外接圆，AB-6,AC=8,N为边BC的中点，则 AN.AM=（) A.13 B.14 C.20 D.25 6.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC 上一点，当PAI/平面EBF时， CF p=() A B. C.2 D. E B 7.在平面四边形ABCD中，AB=2,BC=3,∠ABC=120°，对角线AC与BD交于点O,且B0=2OD, ∠AOB=60°，则OD的值为() 第1页共5页 A.3v9 B.5v19 c.9f9 D.10W19 19 19 19 19 8.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为2，E是DD,的中点，F是侧面 D AAD,D内的一个动点（含边界），且BF∥平面BCE,则BF+FD的最小值 B 为（). D. A.25 B.22 C C.52 D.3√2 B 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9.已知向量a=(-1,3),方=(m,m-3),其中meR,则下列说法正确的是() A若a/6,则m=} B.若(a+)1(a-列，则l=vi而 C.若a与6的夹角为钝角，则m<4 D.若m=3,向量a在b方向上的投影向量为(-1,0) 10.“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形， 并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同.有几种阿基米德多面 体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体E-ABCD-F的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六 个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体() A.共有18个顶点 B.共有36条棱 C.表面积为6+85 B D.体积为8V2 D G 11.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E、F、G分别是棱BB、B,C,、C,D 的中点，则() A.BC,I∥平面AED, B.FG平面AED, D:- C.点C,在平面AED内D.点F在平面AED1内 B 第2页共5页 12.已知VABC中，AB=1,AC=4,BC=V13,D在BC上，AD为∠BAC的角平分线，E为AC中点，下列 结论正确的是（) A.BE=3 B.VABC的面积为√ C.AD= 5 D.P在△ABE的外接圆上，则PB+2PE的最大值为2√7 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13.设复数z=(1+i)2+31-i),则2= 14.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其 屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为4机，体积为45， ，则将此圆锥展 3 开，所得扇形的圆心角为 15.在VABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sin(B+C)=sin Bsin C,a=4, 则VABC的面积为 16.已知VABC中，AB=12,AC=3,且AAB+(4-4)AC（A∈R)的最小值为62，若P为边AB上任意 一点，则PB.PC的最小值是 四、解答题（共6小题，共70分） 17.(10分)已知i为虚数单位，复数z满足（z-3i)1-i)=2m+4i,其中m∈R. (1)若z为纯虚数，求m的值； 2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围 18.(12分)已知向量a与方是平面内的两个向量，日=V2,=1,a与方的夹角为 球+2 (2)在平面直角坐标系下，若=(1,0)，求a在6方向上的投影向量的坐标. 19.（12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，截去三棱锥A-ABD, 第3页共5页 D C D A B A B C B ① ② ③ (I)求截去的三棱锥A一ABD的表面积与剩余的几何体AB,C,D,-DBC的体积； (2)在剩余的几何体AB,C,D,-DBC中连接B,D,求四棱锥A-BBD,D的体积. 20.(12分)在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinB-sinA=C=a sinC a+b' (1)求角B的大小； (2)若c=4,VABC的面积为3V5,求VABC的角平分线BD的长度. 21.(12分)如图，正四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形.M、N、2分别为PC、CD、AB的中点， 设平面PAD与平面PBC的交线为l. B (1)求证：平面MNQ/1平面PAD; (2)求证：BC11l; (3)若PA=5,AB=4N2,求四棱锥P-ABCD的体积. 第4页共5页 22.(12分)巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成.该高速公 路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点 和终点已经确定.如图1所示，设二桥起点为C,终点为D,为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明 同学选择了长江南岸的A,B两个观测点，AB相距2千米.在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方 向，二桥南岸C位于其南偏东75的方向，观测点B位于其南偏东60°，在观测点B处测得南岸C处位于 其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向 D D B B 图1 图2 (1)求二桥CD的长度： 2)为了优化二桥周边环境，政府都门将对扇形区域CBH进行改造.如图2所示，点P、Q在弧CH上，点 M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH,四边形MNPQ为矩形.拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公 园，求公园面积的最大值 第5页共5页