精品解析：黑龙江哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

哈尔滨市第六中学校2026年下学期期中考试 高一数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设复数 在复平面内对应的点为，则复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】复数 在复平面内对应的点为，则， ， 则复数的共轭复数为，故选项B正确. 2. 如图，四边形 的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形 的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知直观图为等腰梯形，，，， 则； 将直观图复原为原图，如图所示： 则 ， ，， 作 于F，则， 所以， 故四边形 的周长为. 3. 下列说法中，正确的为（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥 C. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：假设成立，结合正六棱锥结构特征分析判断. 【详解】对于选项A：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形不一定是棱柱， 可能是两个棱柱拼接而成，故A错误； 对于选项B：由棱锥的定义知，其余各面的三角形必须有一个公共的顶点，故B错误； 对于选项C：若各侧棱延长线不交于一点，则不符合棱台的定义，如图所示，正方体中取AD、BC、、的三等分点， 依次连线得多面体,显然不是棱台，故C错误； 对于选项D：如图所示的正六棱锥，满足， O为底面正六边形中心，平面， 但注意到，，则有， 这与所设满足的条件矛盾，故不存在满足条件的正六棱锥，故D正确. 4. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 （ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理，将已知等式化为关于边的关系式，即可求出 的值. 【详解】由余弦定理，有， 由正弦定理可得， 因为，所以，即，解得. 故选：A. 5. 某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔 的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距80米的（与该信号塔的塔底 在同一水平面上）两个测量点：从 点观测该信号塔塔顶的仰角为，从 点观测该信号塔塔顶的仰角为，且，则这座信号塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 40米 D. 80米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，进而利用余弦定理求解即可. 【详解】根据题意画出图形，如下图所示： 设米，则米，米，米， 在 中，由余弦定理可得， 即，即， 解得或（舍去），则米. 故选：C 6. 瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ） A. 556π B. 900π C. 732π D. 588π 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆台、圆柱及球的体积计算公式可得. 【详解】由题图可知，半球和圆柱的半径为6，圆柱的高为8，圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，高为9， 所以该瓷器的体积为, 故选：D 7. 如图，在 中，， 是 与 的交点，且，则在上的投影向量的模取得最小值时，（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为基底，用不同方式表示出向量，结合平面向量基本定理和投影定义求解可得. 【详解】设，则 ， 同理设，则. 由平面向量基本定理得，解得，所以， 向量在上的投影向量的模为 ， 而，当且仅当时取等号， 所以在上的投影向量的模取得最小值时，. 8. 在中，角 的对边分别为 ，若 ，，且的面积，则 （ ） A. 64 B. 84 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 即 已知 ，展开并化简得 ， 由余弦定理得 又，所以，. 由正弦定理 ，代入得 整理得 ， 又，，所以， 所以 整理得 ，即 又，所以，所以， 所以 ， 又三角形面积，代入得 ， 由正弦定理得 ， 所以 ，解得 所以 所以原式 . 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于复数的四个命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 的共轭复数的虚部为1 C. 若，则的最大值为3 D. 若是关于 的实系数方程的一个根，则 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，设，由得到，计算得到结论.选项B，计算 ，利用共轭复数的定义得到 的共轭复数，从而得到结论；选项C，设，由，得到复数 对应的点表示以为圆心，以为半径的圆，表示点到点的距离，则的最大值为点到点的距离加上半径，通过计算得解.选项D，若是关于 的实系数方程的一个根得到此方程的另一个根，利用根与系数的关系得到 的值，计算得解. 【详解】选项A，设，因为，所以， 即，则，故选项A正确. 选项B，因为，所以， 则 的共轭复数为，故 的共轭复数的虚部为 ，故选项B错误； 选项C，设，因为，所以， 即，即， 即复数对应的点在以为圆心，以为半径的圆上， 则，则表示点与点的距离， 则的最大值为点与点的距离加上半径， 即的最大值为，故选项C正确； 选项D，若是关于 的实系数方程的一个根，则此方程的另一个根为， 则，解得，则，故选项D错误. 10. 菲，是一种含三个苯环的稠环芳烃，化学式为，存在于煤焦油中，菲的三个环的中心不在一条直线上，菲的分子结构图如图1所示（图中的三个正六边形在同一平面内），将菲的分子结构图中的14个C原子分别记为，如图2所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正六边形的性质和平面向量的加法和夹角定义判断AB；建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算判断CD. 【详解】由图可知，，A错误. 连接，，B正确. 分别取的中点，以正六边形的中心为坐标原点， 所在直线为 轴，所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 不妨设，则. 则， 则 C错误，D正确. 故选：BD 11. 在 中，角所对的边分别为，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 若点是 的重心，则的面积为 B. C. 的最小值为 D. 若点 是 的外心，且，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简已知式可得，，由结合三角形的面积公式可判断A；由余弦定理结合基本不等式可判断B；将化简为，结合和三角函数的性质可判断C；由向量的线性运算可判断D. 【详解】， 则，因为，所以， 设为 外接圆的半径，由正弦定理可得：， 所以，，解得：， 对于A，，故A正确； 对于B，由余弦定理可得：， 当且仅当时取等，所以，故B正确； 对于C， ， 因为，，所以， 所以，故C错误； 对于D，点 是 的外心，则， ， 因为，，，所以， 所以，， 又因为 所以，解得：，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积与底面积的比值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出圆锥的底面半径，再表示出其侧面积与底面积计算即可得. 【详解】设圆锥的底面半径为，则其母线长， 该圆锥的底面积为，侧面积为， 所以其侧面积与底面积的比值为． 13. 在梯形ABCD中， ， ，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意建立直角坐标系，把转化为，利用二次函数求最值即可. 【详解】   如图所示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则：、 不妨设 则 ∴， ∴的最小值为，当且仅当 时取得. 14. 如图，在中，若，在外取点 ，且， ，则 的大小为______，四边形 面积的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知的正弦关系式转化为边的关系，结合余弦定理变形推导，可得出为等边三角形，得到角 的大小；将四边形面积拆分为和的面积和，在中用余弦定理得到 与的关系，代入面积后利用三角函数性质求最大值. 【详解】根据正弦定理，​，代入已知等式得： ， 由余弦定理，代入上式整理得：  ，由基本不等式， 且，故等号成立当且仅当且，得. 因此，即. 设，，在中，由余弦定理：  ，  四边形面积， ； . 因此， 由于最大值为，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，，． （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数 的值； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由向量的夹角公式求解即可； （2）由向量的线性运算求出，再由垂直向量的坐标表示求解即可. （3）由向量的模长公式结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由，，可得， ， 所以． 所以. 【小问2详解】 由，，可得， 由（1）得， 所以， 解得:. 【小问3详解】 由（2）得， 所以． 当时，的最小值为． 16. 在 中，角所对的边分别是，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，①；②；③． （1）求角 的大小； （2）设 面积为，且，，求 的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若选①②：根据题意利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换运算求解；若选③：根据题意结合三角恒等变换运算求解； （2）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等可得，根据面积关系可得，结合余弦定理解得，即可得结果. 【小问1详解】 若选①：因为， 由正弦定理可得， 因为，则，可得， 且，所以； 若选②：因为，由正弦定理可得， 因为，则，可得，即， 且，所以； 若选③：因为， 且，可得， 因为，则，可得，即， 且，所以. 【小问2详解】 设 的外接圆半径为， 则， 所以； 由可得，即， 由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 所以 的面积为． 17. 已知，，，设 的内角所对的边分别为，且． （1）若，， 为角 的平分线，且交 于点 ，求 的长； （2）若 的面积为， 为 边的中点，求 长的最小值； （3）若，求锐角 周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先化简并由求出，再用面积法，可求得 的长； （2）由面积公式得，利用中线向量公式，结合均值不等式求得 的最小值； （3）由正弦定理得外接圆半径，将周长表示为 的三角函数，结合锐角三角形条件，可求得周长范围. 【小问1详解】 ， 由 ， 由， 因此有， 由已知得，且 为角 的平分线，所以， 因为， 则， 即，解得． 【小问2详解】 由已知，又 的面积为， 则，解得， 又， 则 当且仅当时，等号取到，所以； 即 边 上中线 长的最小值为． 【小问3详解】 由正弦定理可知：， 因此有 ， 由于，，则， 可得，因此 . 18. 已知 中，角的对边分别是，且． （1）求角 的大小； （2）若， 的面积，求 边的长； （3）如图，作（位于直线 异侧），使得四边形满足，，求边 的最大值． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理将已知等式变形可得； （2）根据面积公式可得，利用正弦定理可得，即可得结果； （3）设，在 中，由正弦定理得 ，在 中，由正弦定理得 ，利用三角恒等变换结合正弦函数的值域可得. 【小问1详解】 因为 由正弦定理可得，整理可得， 根据余弦定理可得，因为，即. 【小问2详解】 因为，则， 由正弦定理可得，即， 可得，即，所以. 【小问3详解】 设，则，， 在 中，由正弦定理可得， 则， 在 中，由正弦定理可得， 则 ， 当时，即时，可得 的最大值是． 19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，，分别为同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为． （1）在斜坐标系中，，求； （2）在斜坐标系中，，，且与的夹角． ①求 ； ②分别在射线上，， 为线段 上两点，且，，求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据定义及向量数量积的运算律即可求解； （2）①根据定义及向量夹角的计算公式即可求解；②设，，根据向量数量积的运算律，余弦定理，结合三角函数性质运算求解． 【小问1详解】 在斜坐标系中，则，， 因为，则， 可得， 所以． 【小问2详解】 ①因为，， 所以，， 得到， 则， 化简并整理得， 解得或（舍去），则； ②依题意设，，， 如图，作出符合题意的图形， 因为 为 中点，则， 同理， 则 ， 在 中，，，，， 依据余弦定理得， 整理得， 所以 ， 在 中，， ， 由正弦定理， 设，则，， ， 因为，所以，则， 所以当时，取得最小值， 即取最小值，此时取最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六中学校2026年下学期期中考试 高一数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设复数 在复平面内对应的点为，则复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，四边形 的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形 的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的为（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥 C. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥 4. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 （ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔 的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距80米的（与该信号塔的塔底 在同一水平面上）两个测量点：从 点观测该信号塔塔顶的仰角为，从 点观测该信号塔塔顶的仰角为，且，则这座信号塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 40米 D. 80米 6. 瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ） A. 556π B. 900π C. 732π D. 588π 7. 如图，在 中，， 是 与 的交点，且，则在上的投影向量的模取得最小值时，（ ） A. B. 1 C. 2 D. 8. 在中，角 的对边分别为 ，若 ，，且的面积，则 （ ） A. 64 B. 84 C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于复数的四个命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 的共轭复数的虚部为1 C. 若，则的最大值为3 D. 若是关于 的实系数方程的一个根，则 10. 菲，是一种含三个苯环的稠环芳烃，化学式为，存在于煤焦油中，菲的三个环的中心不在一条直线上，菲的分子结构图如图1所示（图中的三个正六边形在同一平面内），将菲的分子结构图中的14个C原子分别记为，如图2所示，则（ ） A. B. C. D. 11. 在 中，角所对的边分别为，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 若点是 的重心，则的面积为 B. C. 的最小值为 D. 若点 是 的外心，且，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积与底面积的比值为________． 13. 在梯形ABCD中，， ，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______． 14. 如图，在中，若，在外取点 ，且， ，则 的大小为______，四边形 面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，，． （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数 的值； （3）求的最小值． 16. 在 中，角所对的边分别是，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，①；②；③． （1）求角 的大小； （2）设 面积为，且，，求 的面积． 17. 已知，，，设 的内角所对的边分别为，且． （1）若，， 为角 的平分线，且交 于点 ，求 的长； （2）若 的面积为， 为 边的中点，求 长的最小值； （3）若，求锐角 周长的取值范围． 18. 已知 中，角的对边分别是，且． （1）求角 的大小； （2）若， 的面积，求 边的长； （3）如图，作（位于直线 异侧），使得四边形满足，，求边的最大值． 19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，，分别为同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为． （1）在斜坐标系中，，求； （2）在斜坐标系中，，，且与的夹角． ①求 ； ②分别在射线上，， 为线段 上两点，且，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $