2026年山东省济南市历城区中考二模考试数学试题

绝密女肩用前 2026年九年级学业水平模拟测试（二) 数学试题 (2026.5) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。) 1.下列四个数中，最小的数为（) A.3 B. C.3 D.-3 2.下列几何体中，左视图是三角形的为（ A. B. D. 3.人工智能模型的参数量越大，理解能力越强：Deepseek-仍模型参数可达6710亿个，其中 数据“6710亿”用科学记数法表示为（) A.6.71×1012 B.0.671×1012 C.6.71×1011 D.6.71×103 4.已知a≤b,下列不等式一定成立的是（() A.a+1≥br1 B.1-a21-b C.3a23b D.-a≤-b 5,围棋是中华民族发明的博弈活动。下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心 对称图形的是（) B, c. D 6.下列运算正确的是（ A.2m+2n=4mn B.(mn2)3=mn6 C.m5+m2=m3 D.m2m3=ms 九年级数学试题第1页共8页 7.若关于x的方程x2+mx-6=0有一个根为2，则另一个根为（) A.1 B.-3 C.3 D.-1 8,“舜耕历山”是济南标志性历史文化符号。某学校开展大舜文化主题活动，制作了正面印 有“孝、亲、仁、善”四张卡片，卡片除文字外完全相同。将卡片背面朝上洗匀后，从中 随机抽取两张，则这两张卡片恰好是“仁”和“善”的概率是（) B月 c D片 9.如图，在△BC中，AB=8,BC=6,CA=5,∠ABC的平分线BP与AC相交于点D。在 线段AD上取一点K,以点C为圆心，CK长为半径作弧，与射线BP相交于点M和点N, 再分别以点M和点N为圆心，大于与M0N的长为半径作弧，两弧相交于点2，作射线C2, 与AB相交于点E,连接DE。则△DAE的周长为( 】 A.7 B.8 C.9 D.10 第9题图 10.定义：在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(a,b),点Q的坐标为(c,d)。若 c=a,d=-kb,其中k为常数，且k0,则称点2是点P的“k级变换点”。例如， 点(-4,6)是点(2,3)的“-2级变换点”。则下列结论中，正确的个数是（) ①函数y=-的图象上存在点(1,2)的“-3级变换点”： ②点A是函数y=x2的图象上一点，A'是点A的“1级变换点”，则OA'的最小值为√2： ③点A(红，2)与其“2级变换点”B分别在直线h,h上，在4，h上分别取点 (m,y）,(m,y2)，若y1-y2l=2,则m=8: ④关于x的二次函数y=nx2-4x5n(x>0)的图象上恰有两个点，这两个点的“1级 变换点”都在直线y=-x+5上，则n的取值范围为0<nsI且味后。 A.4 B.3 C.2 D.1 九年级数学试题第2页共8页 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。） 11.分解因式：9-m2= 12.正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板 上，那么米粒最终停留在黑色区域的概率是 第12题图 第13题图 13.如图AC是正五边形ABCDE的对角线，过点B作直线1∥AC,则∠1的大小是 度 14.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的 人原地休息。已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出 发的时间（分）之间的关系如图所示，则乙比甲早到」 分钟。 Ay/米 240 16 t分 第14愿图 第15题图 15.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC-4,点F在边AD上，点E在边CD上。连接EF, 将矩形沿EF翻折，点A,B,C的对应点分别为A',B',C,线段BC恰好经过点D。 若EF∥AC,则AF的长等于。 三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 16.(7分)计算：(r-1)0+9tan30°-V27+1-3引-()-1。 2(x-1)-1<5 17.(7分)解不等式组 x+1>-1，并写出它的所有正整数解。 32 九年级数学试题第3页共8页 18.（7分)如图，点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上，且CE=CF。 求证：∠BAF=∠DAE。 D E 第18题图 19.（9分)在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域。某科研团队研发了A, B,C三款智能机器人。为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现， 该团队对它们进行了全面测试。在图象识别能力测试中，A,B,C三款机器人的得分（满 分为100分)分别为87分、85分、90分。运动能力测试由10位专业测试员根据一系列 动作任务进行打分（满分为10分)。现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析， 以评估哪款机器人的综合性能更优。 【数据收集与整理】 A、B两款机器人运动能力得分的折线统计图 C款机器人运动能力得分 得分/分 ●一●A 的扇形统计图 10 oB 9 6分 20% 8 7 40% 9分 8分 6 10% 012345678910测试员编号 A,B,C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 1.85 B 8.5 8 87 32 c n 83 2.01 (1)填空：m= ，n= (2)通过比较方差，判断测试员对 (填“A”,“B”或“C”)款机器人运动能 力测试表现评价的一致性程度更高： (3)若按图象识别能力测试成绩占40%，运动能力测试成缋占60%计算综合成绩，请你 通过计算判断A,B这两款机器人中综合成绩高的是哪一款？ 九年级数学试题第4页共8页 20.(8分)“泉城济南，好客山东”成为山东旅游极具彩响力的宜传口号，济南某仿古景观 城楼成为市民休闲打卡地。某中学数学兴趣小组利用无人机测量该城楼CD的高度，测量 方案如图：在坡底A处测得楼顶C的仰角为45°，沿坡比为5：12的斜坡AB前行13米 到达平台B处，在B处测得楼顶C的仰角为58°。 (参考数据：tan58=1.60,sin58-≈0.85，cos58=0.53) (1)求坡项B到地面的距离： (2)计算城楼CD的高度（结果精确到0.1米)。 B 第20题图 21.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,以BC为直径的⊙O交AB边于点D,点E在AC 上，连接CD,DE,∠ADE=∠BCD. (1)证明：DE是⊙O的切线： (2)若⊙O的直径为5，BD=3,求AC的长。 D 8 第21题图 九年级数学试题第5页共8页 22.(10分)依据《济南市深化体教融合促进背少年健康发展实施方案》要求，我市推进校 园足球、排球普及工程。某中学计划采购一批足球与排球。已知足球单价是排球单价的 1.5倍，用960元购买足球的数量比用360元购买排球的数量多7个。 (1)求足球和排球的单价各是多少元？ (2)该校计划购买足球和排球共50个，其中排球α个，足球数量不少于排球数量的 设购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用。 23。(10分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x的图象与反比例函数y=冬的图象 交于A,B两点，过点A作直线ACLB交x轴于点C(4,0),直线BC交反比例函数 y广货图象于另一点D。 (1)求k值和直线BC的函数表达式： (2)连接AD,求△ABD的面积： (3)若点P是反比例函数y=冬上一点，点P的横坐标为m,当∠BDP=∠ABC时，请直 接写出m的值。 备用图 九年级数学试愿第6页共8页 24.(12分)已知矩形ABCD,点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合)，连接 AE,以AE为一边构造矩形AEFG（A,E,F,G按逆时针方向排列)，连接DG, 若2=4C AB 一A龙=m(m为常数)，请完成下列问题： (1)如图1，当m=1时，线段BE与线段DG的数量关系为 :位置关系为 (2)如图2，当m=2时，请想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由： (3)如图3，在(2)的条件下，连接BG,取线段BG的中点M,连接CM,若AB=V5, 求线段CM的最小值。 G G M D D E B B B 图1 图2 图3 九年级数学试题第7页共8页 25.(12分)如图，二次函数y=x2+bx1经过点(-2，-1)，点P是第一象限内抛物线上一 点，其横坐标为m,连接PO并延长至点2，使O2=2PO,过点P作x轴的垂线，过点 2作y轴的垂线，这两条垂线交于点M。 (1)求二次函数的表达式及顶点坐标： (2)当△P2M的边Mg经过此抛物线的最低点时，求点2的坐标： (3)当此抛物线在△POM内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，求m的取值范围。 备用图 九年级数学试愿第8页共8页 2026年九年级学业水平模拟测试（二)参考答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A c B D B A A 11.(3+m)(3-m) 12g 13.36 14.6 16.原式=1+3V3-3V3+3-2 …5分 =2 …7分 17.解：解不等式①得x<4 …2分 解不等式②得 x<5 …4分 .不答式组的解集为x<4 …6分 .正整数解是1,2,3 …7分 18.证明：~四边形ABCD是菱形 ∴.AB=AD,∠B=∠D,BC=CD …3分 CE=CF .BC-CE=CD-CF 即BE=DF …5分 在△ABE和△ADF中 (AB=AD ∠B=∠D, BE DF .△ABE≌△ADF(SAS) …6分 ∴.∠BAF=∠DAE …7分 19.解：（1)m=9, …2分 n=8: …4分 (2)B: …6分 (3)A款机器人的综合成绩为87X40%+85X60%=85.8（分)， B款机器人的综合成锁为85X40%+87X60%=86.2(分)，…8分 86.2>85.8, ∴综合成绒最高的是B款机器人 …9分 20.解：（1)过点B作BF⊥AE,垂足为F, …1分 ,斜坡AB的坡比为5：12， BF 5 AF=12 …2分 .设BF=5x米，则AF=12x米， 在Rt△ABF中，AB=VAF2+BF7=13x(米)， ,AB=13米， .13x=13, B 解得：x=1, .BF=5米，AF=12米， …3分 (2)由题意可知，四边形BFED为矩形 ∴.BF=DE=5米，BD=EF, …4分 设BD=EF=y米， AF=12米， ∴.AE=AF+EF=（12+y)米， 在Rt△AEC中，∠CAE=45°， .CE=AEtan45°=（12+y)米， …5分 在Rt△CBD中，∠CBD=58°， .CD=BD.tan58°≈1.y（米)， …6分 CD+DE=CE, ∴.1.6y+5=12+y, 解得：碧， …7分 .CD=1.6y≈18.7（米）， 答：(1)坡顶B到地面的距离为5米：(2)城楼CD的高度约为187米.…8分 21.（1)证明：连接OD,则OD=OB, .∠ODB=∠B, …1分 BC是⊙O的直径， ∴.∠BDC=90°， 0 …2分 ∠ADE=∠BCD, ∴.∠ADE+∠ODB=∠BCD+∠B=90°， ∴.∠ODE=180°-（∠ADE+∠ODB)=90°，…3分 ,OD是⊙O的半径，且DE⊥OD, .DE是⊙O的切线. …4分 (2)解：，⊙0的直径为5， ∴.BC=5, BD=3, .CD=BCZ BDZ=52-32=4, …5分 .AB=AC, ..AD=AB-BD=AC-3, …6分 ,∠ADC=∠BDC=90°， ∴AD2+CD2=AC2 .(（AC-3)2+42=AC2, …7分 解得AC=2吾， ÷4C的长是客 …8分 22.解：（1)设排球的单价为x元，则足球的单价为1.5x元.…1分 960360 依题意得：5x=x 2+7, …3分 解得：x=40, …4分 经检验，x=40是原方程的根， …5分 .1.5x=60, 答：足球的单价是60元，排球的单价是40元. …6分 (2)设计划购买排球a个，则购买足球的数量为(50~a)个。 :足球数量不少于排球数量的 2 50-a≥号a, 解得：a≤30， …7分 依题意得：W=40a+60(50-a)=-20a+3000, ∴.W与a的函数关系式为：W=-20a+3000: …8分 :-20<0,.W随a的增大而减小， 当a为最大时，W为最小， …9分 又，a≤30，且a为正整数， .a的最大值为30， 即当a=30时，W为最小，此时W=-20×30+3000=2400（元)， 答：购买最少费用为2400元. …10分 23.解(1)·A点在一次函数y=x上 .∴.∠A0C=45 又AC⊥AB ∴.△ABC为等腰直角三角形 .C(4,0) .A（2,2) …小分 “A点在反比例函数y=华图象 .k=2×2=4 …2分 “反比例函数为y=生 “一次函数y=x与反比例函数y=交于A,B两点，A(2,2) ∴.B(-2,-2) 设BC解析式为y=m+n(m≠0)，代入B(-2,-2),C(4,0) 领十风=。2 3分 解得 m=号 n= ·8C解析式为厂x-首 …4分 (2):BC解析式为)x-月 ·设D(t-学 又：点D在反比例函数y=生上 ∴-学=4 …5分 解得t1=6,t2=-2（舍) D(6, …6分 过点A作y轴平行线，交BD于点E 则E(2,-) 6M80=AEx-xg=主(2+)·(6+2)=号 …7分 (3)m=-号 …8分 或m=号 …10分 24.解：(1)BE=DG:BE⊥DG: …4分 (2)DG=2BE,BE⊥DG,理由如下： …5分 由题意知：四边形ABCD和四边形AEFG为矩形， ∴.∠BAD=∠EAG=90°， 即∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠DAG, ∴.∠BAE=∠DAG, 治-治=m2 ∴.△BAEn△DAG, …7分 DG AD BE-AB =2,∠ABE=∠ADG, .DG=2BE,∠ADG+∠ADB=∠ABE+∠ADB=90°， .∠BDG=90°， .BE⊥DG: …8分 (3)由(2)知∠BDG=90° .△BDG为直角三角形， M是线段BG的中点， ∴DM=BM=MG=2BG, ∴.点M的轨迹为线段BD的中垂线， …9分 取BD的中点M,作直线MM'交BC于点H,过点C作CN⊥MM',垂足为N, ∴.当点M运动到与点N重合时，线段CM长度取得最小值， “在矩形ABCD中 AB =2,AB=V5, BD=VAB2+AD=(V5)2+2V5)2=5,CosLCBD-25 ∴BM'=BD=, 21 在直角三角形BMH中 BM'=,cos∠CBD=-25， …BH=5S …10分 4 ∴CH=BC-BH=35 又.CN⊥MM',BD⊥MM', ∴.∠BM'N=∠CNM'=90°， ∴.CN∥BD, ∴.∠HCN=∠CBD, cos∠HCW=cos∠CBD=25 ……11分 在直角三角形CWNH中 'cos∠HCN=25, 5，CH=35 ∴Cw=, 即线段CM的最小值为。 …12分 25.解：(1)将（2，-1)代入y=x2-bx-1得， -1=4-2b-1, …1分 解得b=2, …2分 .抛物线的解析式为y=x2+2x-1: …3分 顶点坐标为（-1，-2)， …4分 (2)因为QM经过最低点，即经过顶点， 如图，ON∥QM OP NP 1 00=NM=2 根据顶点纵坐标可得，MN=2, …5分 P(mm2+2m-1) 则心、1 MN=Z 即m2+2m-1 1 …6分 解得m=-1±V3, m>0 .m=-1+3, …7分 ∴.Q(2-23,-2): …8分 (3)①当P2经过顶点G时，过点G作GF⊥y轴，PE⊥y轴 由∠PE0=∠GFO=90°，∠POE=∠GOF得，△POE∽△GOF, 器-器男= 2 解得m=1,或m=-1（舍去)， …9分 当点P向右运动时，满足题意， .m≥1： …10分 ②如图所示， 01 00=2 .2(-2m-2(m2+2m-1)),代入抛物线解析式得， -2(m2+2m-1)=(-2m)2-4m-1, 解得m=号或m=-竖（舍去）》 此时，当P点向下一直移动，直至到x轴时（注意：P点在第一象限，），都符合题意， 当yp=0时，有x2+2x-1=0, 解得x1=-1-V2,2=-1+V2, …11分 ∴-l+V2<m≤， 综上：m≥1或-1+V反<ms号 …12分